Lycée Fénelon Sainte-Marie. Mardi 19 Mars 2013 Durée : 3 heures DTL N 4

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1 Lycée Féelo Saie-Marie Termiale ES Aée 0-0 Mahémaiques Mardi 9 Mars 0 Durée : heures DTL N La calcularice es auorisée. Le suje compore u oal de exercices. Le barème es fouri à ire idicaif. EXERCICE (6 pois) e boie coie deux dés : u dé rose cubique parfaieme équilibré do les faces so uméroées de à 6 e u dé ver do deux faces pore le uméro 6 e les aures le uméro. O choisi u dé au hasard das la boie, puis o lace ce dé. Le dé rose a deux fois plus de chace d êre choisi que le dé ver. O oe : R l évéeme «le dé es rose» S l évéeme «o obie 6 au lacer du dé». a. Décrire la siuaio par u arbre podéré b. Calculer la probabilié d avoir choisi le dé rose e obeu u six. c. Calculer la probabilié d obeir u six quel que soi le dé choisi. d. O a obeu u six. Calculer la probabilié que le dé soi ver.. O relace le dé choisi ue deuxième fois. a. Prologer l arbre précéde. b. Calculer la probabilié d avoir choisi le dé rose e d avoir obeu deux fois le six. c. Calculer la probabilié d obeir deux fois le six quel que soi le dé choisi. d. Sacha qu o a obeu deux fois le six, calculer la probabilié que le dé soi ver.. O relace fois le dé choisi. Morer que la probabilié d obeir fois u six es : ( ) ( ). a. Exprimer, e focio de, la probabilié d obeir le dé ver sacha qu o a obeu fois u six. b. Morer que la probabilié d obeir le dé ver e fois u six es : q c. Déermier par u calcul, la plus peie valeur de elle que.

2 Correcio Exercice : 6p. a. /6 S / R 5/6 S / / S / S.b. p R S p R pr S 6 9.c. Les évéemes R e forme ue pariio de l uivers, P(S) es ue probabilié oale. p S p R S p S ps 9 9 p S. d. p 9 S ps 9.a. /6 S /6 S S / R /6 S 5/6 S S / / S / S S / S / S S.b. La probabilié d avoir choisi le dé rose e d avoir obeu deux fois le six. p R S S c. La probabilié d obeir deux fois le six quel que soi le dé choisi. p S p R S S p S S ps d. Sacha qu o a obeu deux fois le six, calculer la probabilié que le dé soi ver. p S S p 7 S. ps 8. La probabilié d obeir fois u six. p p R S S... S p S S... S p p 6.a. La probabilié d obeir le dé ver sacha qu o a obeu fois u six.

3 p p S S... S p S 6 S p S.b. La probabilié d obeir le dé ver e fois u six q p S S... S.c. Résoudre q 0,00 q 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 l l 0,00 l 0,00 0,00 l 0,00 5,8 Doc = 6 EXERCICE ( pois) Sur ue porio de 6 kilomères de boulevard périphérique parisie, le rafic peu êre perurbé ere 7h e h du mai. Au débu de cee porio, u paeau lumieux idique à chaque isa, le emps de parcours d u véhicule sur ces 6 kilomères. O modélise l évoluio du rafic à l aide d ue focio f défiie sur [ ; 5] par : l f 8e. Le ombre f() es le emps de parcours idiqué sur le paeau e exprimé e miue, à u isa exprimé e heure. Il es 7h du mai à l isa =. Le paeau idique «rafic fluide»s il fau mois de 6 miues pour parcourir les 6 kilomères e «perurbé» s il fau plus de miues.. a. Eudier les variaios de f sur [ ; 5] e dresser so ableau de variaios. b. E déduire que le rafic es pas fluide à 7h 0mi e qu il e l es plus jusqu à h.. Soi g la focio défiie sur [ ; 5] par :

4 l g a. Calculer g () e e déduire ue primiive de f sur [ ; 5] b. Calculer, à ue miue près, la valeur moyee du emps écessaire pour parcourir les 6 km ere 7h e h du mai. Correcio : exercice (pois) l f 8e avec Df ;5.a. Dérivée de la focio f l f 8e l ; doc f 8e Pour éudier le sige de f () o éudie le sige de l Or l > 0 ssi > l d où e > Si e alors f () 0 e f es sriceme croissae Si e alors f () 0 e f es sriceme décroissae e 5 f () + 0 f () f(5) l 5 f 5 8e e f 5 5 ableau.b. il fau résoudre l iéquaio f() 6. p f es ue fc coiue e sriceme croissae sur [ ;e] e 6[ ;]d après TI l équaio f () = 6 a ue uique soluio α. Sur l iervalle [e ; 5] ; l équaio f() = 6 a pas de sol. Avec la calcularice :α, soi 7h06mi doc la circulaio es pas fluide se 7h0mi à h.. g l e D ;5 g.a. Dérivos la focio g l g l Déermios ue primiive F de f l l f 8 e e F e l 0.b. La valeur moyee du emps écessaire pour parcourir les 6 km, ere 7h e h du mai. 5 m f d 5 l 5 m e m e l 5 5 e l m e l 5 6 m,0 E moyee, ere 7h e h, les auomobilises mee misec.

5 EXERCICE (6 pois) e ereprise fabrique e ved à des pariculiers des paeaux solaires phoovolaïques produisa de l élecricié. Elle e produi chaque mois ere 50 e 500. Soi f la focio défiie sur l iervalle [0,5 ; 5] par f (x) = 8lx x²+6x 5. Si x représee le ombre de ceaies de paeaux solaires fabriqués e vedus, alors o adme que f (x) représee le bééfice mesuel de l ereprise, e milliers d euros. O suppose que f es dérivable sur [0,5 ; 5], e o oe f sa focio dérivée. PARTIE A. Calculer f (x). érifier que, pour ou ombre x apparea à l iervalle [0,5 ; 5], o a / x 6x8 f x. x. Éudier le sige de f (x) sur l iervalle [0,5 ; 5]. E déduire les variaios de la focio f sur l iervalle [0,5 ; 5].. a. Calculer f (). b. Morer que sur l iervalle [8 ; 9] l équaio f (x) = 0 adme ue soluio uique α. Déermier ue valeur approchée par défau de α à0 près. c. E déduire le sige de f (x) pour ou x apparea à l iervalle [0,5 ; 5].. Quels so le ombre miimal e le ombre maximal de paeaux que l ereprise doi produire e vedre pour êre bééficiaire? 5. L ereprise peu-elle réaliser u bééfice mesuel de ? Jusifier la répose. PARTIE B. O adme que la focio G défiie sur l iervalle ]0 ; + [ par G(x) = x lx x es ue primiive de la focio logarihme épérie sur l iervalle ]0 ; + [. E déduire ue primiive F de la focio f sur l iervalle [0,5 ; 5].. Déermier la valeur moyee du bééfice mesuel de l ereprise, arrodie à la ceaie d euros, lorsque celle-ci produi e ved ere 00 e 800 paeaux solaires. Correcio exercice f (x) = 8lx x²+6x 5. Df [0,5 ; 5] Parie A. Dérivos la focio f 8 x 6x8 f x x 6 ; fx x x. Éudios le sige de f (x) sur l iervalle [0,5 ; 5]. Le sige de f (x) es le sige de ( x² + 8x + 9) sur [0,5 ; 5] ; x éa posiif Δ = 6+6 = 00 ; d où x e x 9 mais x Df 5

6 Si 0,5 x 9 alors f (x) 0 e f es sriceme croissae Si 9 x 5 alors f (x) 0 es f es sriceme décroissae x 0,5 9 5 f () + 0 f () f(9) f(0,5) f(5) f (0,5) = 8l0,5 (0,5)²+6(0,5) 5. f (5) = 8l5 (5)²+6(5) 5. f(0,5) = 8l 7,5 f (5) = 6l5 0 f (0,5) 9,7 f (5) 8,06 f (9) = 8l9 (9)²+6(9) 5. f (9) = 6l+8 ; f (9) 87,55..a. f () = 8l ()²+6() 5 ; f () = 0..b. Sur l iervalle [8 ; 9] l équaio f (x) = 0 adme ue soluio uique α f (8) = 8l8 (8)²+6(8) 5. f (9) = 8l9 (9)²+6(9) 5. f(8) = 8l8 5 f (9) = 8l9 7 f (8), f (9) 9 f es ue fc coiue e sriceme décroissae sur [8 ;9] e 0[f(9) ;f(8)] d après le TI l équaio f (x) = 0 a ue uique soluio α. Avec la calcularice α 8,05 à0 près..c. Le sige de f (x) pour ou x apparea à l iervalle [0,5 ; 5]. x 0,5 α 5 Sige de f(x) Pour que l ereprise soi bééficiaire, il fau que f(x) > 0 doc il fau qu elle produise ere 0 e 8,05 0 f 8,06 0 ) paeaux solaires. 805 ( f mais 5. L ereprise peu-elle réaliser u bééfice mesuel de il fau résoudre f(x) = 00 or le maximum de f es f(9) milliers d euro, soi euro doc l ereprise e pourra aeidre le bééfice de ce mille euro. Parie B. Déermios ue primiive F de la focio f sur l iervalle [0,5 ; 5]. f (x) = 8lx x²+6x 5. x F x 8 x l x x 8x 5x 0. Déermios la valeur moyee du bééfice mesuel de l ereprise, arrodie à la ceaie d euros, lorsque celle-ci produi e ved ere 00 e 800 paeaux solaires. m 8 8 f d d où m F x 8 7 doc m F 8 F 7 8 F 8 88l ; d ou F F l 8 5 ; d où 5 F 8 990, 8 6

7 m 990, 8 8, soi m 58,76 le bééfice moye si l ereprise produi e ved ere 7 00e 800 paeaux solaires es de Exercice (6pois) e reeue d eau arificielle es alimeée par u ruisseau do le débu dimiue de 0% par jour à cause de la chaleur. Soi le débi e pour le -ième jour après le er jui. Pour la jourée du er jui, le débi es égal à 00 par jour. O arrodira les résulas au dixième de mère cube près.. a. Calculer le débi pour le jui. b. Exprimer e focio de. Quelle es la aure de la suie ( c. Exprimer e focio de. Calculer le débi pour la jourée du 0 jui. d. Calculer le volume d eau apporé das la reeue au cours des 0 jours du mois de jui.. A parir du er juille, le débi du ruisseau peu-êre cosidéré comme ul (iférieur à 0,5 par jour). La chaleur provoque, das la reeue, ue évaporaio de % du volume oal de l eau par jour. De plus o doi libérer de la reeue 500 d eau chaque soir, après évaporaio, à cause de la sécheresse. Le er juille au mai, la reeue coie. Soi le volume d eau au -ième mai après le er juille. a. Morer que b. Exprimer e focio de.. O cosidère la suie de erme gééral défiie, pour ou eier, par Morer que la suie es ue suie géomérique de raiso 0,96 do o calculera le premier erme.. Exprimer e focio de. E déduire l expressio de e focio de. 5. Calculer le volume resa au mai du er aoû. 6. A quelle dae la reeue sera--elle à sec? jusifier le résula. Correcio exercice.a. Calculer le débi ; ; ;..b. Exprimer e focio de. ; ; doc..c. Exprimer e focio de ; es ue suie géomérique de raiso 0,8 e de premier erme ; doc..d. Calculer le volume d eau, au cours des 0 jours du mois de jui. DD q 0,8 00 q 0,8 ; doc D 90 m..a. Morer que , , m 0 7

8 .b. Exprimer e focio de , Morer que la suie es ue suie géomérique e 500 0, , ,96 0, ,96 La suie es ue suie géomérique de raiso 0,96 e de premier erme 0 avec 500; Exprimer e focio de : 0 ; 500 0,96 q Exprimer e focio de : , Calculer , m 6. A quelle dae la reeue sera--elle à sec? Il fau résoudre l iéquaio , , l 0,96 l 9 l 9 0 l 0,96 5,8 doc la reeue sera à sec à parir du 5 ème jour ; soi à parir du aoû. 8