CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL ; B = ; F = 2 e e 2 ; G = 3 8. ; K 0 = 1 ln 2

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1 Lycé Thirs CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL Tchniqus d bas E Réponss, non déaillés dans un prmir mps : A = 5 ; B = 4 ; C = D = ln ) ; D = ln ) ; D = ln ) 4 E = ln ) ; F = ; G = 8 H = 4 ) + K = ln M = ; I = π ) + ; K = ln ; N = π 4 ; J = ; L = ln ) ; P = ln ) A présn, qulqus indicaions... pour B : dévloppr + ). pour C : inégral d un foncion impair sur un inrvall symériqu par rappor à. pour D : obsrvr c qu vau la somm D + D. pour D : obsrvr c qu vau la somm D + D. pour E : «décomposr n élémns simpls», c s-à-dir uilisr l égalié valabl pour ou R {, }) : + ) + ) = + + pour F : dévloppr ). pour H : rconnaîr à qulqu chos près) la dérivé d sin 4 ). pour I : linéarisr, c s-à-dir uilisr la rlaion : sin ) = cos ) ou bin inégrr par paris n dérivan un facur sin ) n primiivan l aur). pour J : rconnaîr la dérivé d cos ) pour K : l numéraur s obnu n dérivan l dénominaur.

2 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL pour K : obsrvr c qu vau la somm K + K. pour L : rconnaîr la dérivé d ], + R, ln ln )). pour M : rconnaîr à qulqu chos près) la dérivé d + ) /. pour N : qu pu-on dir d la courb d équaion y = pour )? pour P : rconnaîr la dérivé d ] π, π R, ln cos )). Enfin, ls calculs déaillés... Pour A = 4 d A = 5 ] = 5 5 Pour B = Pour C = + ) d B = + ) d + + 6) d = ] 7 7 = = 4 C = car + ) s impair, ] s symériqu par rappor à Pour D = + d D = ln + )] = ln ) Pour D = + d D = ) d = D = ln ) + Pour D = D = Pour E = Pour F = F = E = + d ) + ) d d = + ) ] d = + ln + ) = ln ) + + ) ) d = ln + ) ln + )] 4 + = ln ) ln ) = ln ) d + ) d = + ] = + + = +

3 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL Pour G = π/ sin 4) d G = ] π/ 4 cos 4) = 4π 4 cos ) + 4 = 8 4π car : cos ) = cos π + π ) ) π = cos = Pour H = π/ sin ) cos ) d π/ H = )] 4 sin4 = 4 Pour I = Pour J = π π/4 sin ) d sin ) cos ) d I = π cos ) J = cos ) d = ] π/4 ] π sin ) + = π 4 = Pour K = Pour K = + d + d K = ln + )] ) + = ln + ) ln ) = ln K = ) + ) + d = K = ln Pour L = ln ) d L = ) ln ) d = ln ln ))] = ln ) Pour M = + d M = + d = + ) ] / = / ) Pour N = d Asuc, N s l air d un quar d disqu d rayon : N = π 4

4 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 4 Mais on pu aussi s débrouillr sans passr par c inrpréaion géomériqu. Pour cla, on va considérr un rél a ], ainsi qu : On inègr par paris n posan : N a = a d u ) = ; u ) = v ) = ; v ) = c qui n éai pas nvisagabl avc, ] pour inrvall d inégraion, puisqu l applicaion, ] R, n s pas d class C ); on obin ainsi : N a = ] a a + d = a a a + ) d = a a +arcsin a) N a par conséqun : N a = a a + arcsin a) ) Il n rs plus qu à fair ndr a vrs, pour obnir : N = π 4. Pour P = π/ an ) d Par définiion an ) = sin ) pour ou R l qu cos ) ) donc : cos ) P = ln cos ))] π/ = ln ) E Pour ou R {, } : a + b + c a ) + b ) + c = ) = a + c) + b a) b ) Donc par idnificaion), l égalié proposé aura liu si, sulmn si : a + c = b a = b = c s-à-dir : Ainsi : R {, }, Il n résul qu, pour ou : F ) = + ) d = a = b = c = + ) = + ln ) + + ln ) ] = ln ) + + ln )

5 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 5 ) Comm lim =, alors lim + ln = donc : + lim + F ) = ln ) Inégraion par paris E Calculr A = π/ Pour A, on pos : c qui donn : cos ) d, puis A = ln ) d. A = f ) = cos ) ; g ) = f ) = sin ) ; g ) = sin ) ] π/ π/ sin ) d Or d un par sin π) = sin ) =, donc l croch s nul, d aur par, un primiiv d sin ) s 4 cos ). Ainsi : ] π/ A = 4 cos ) = 4 cos π) cos )) soi : A = Pour A, on pos : f ) = ; g ) = ln ) f ) = ; g ) = on obin : A = ] ln ) d = 4 ] soi : A = + 4 E 4 Calculr B = + ) d. On ffcu du IPP succssivs. Tou d abord : donc : B = + ) ] f ) = ; g ) = + f ) = ; g ) = 4 ) d = B avc B = ) d

6 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 6 On pos mainnan : c qui donn : d où : B = f ) = ; g ) = f ) = ; g ) = ) ] ] d = = + = B = B = 5 4 soi finlmn : B = 7 4 E 5 On considèr la foncion ϕ défini par R, ϕ ) = ln + + ). ) Calculr la dérivé d ϕ. ) Calculr C = d, puis C = + ln + + ) d. ) On appliqu la formul d d ln u ))] = u ) u ) dans laqull u désign un foncion d sign consan, dérivabl sur un inrvall. On obin : ϕ ) = ) D après c qui précèd, on a immédiamn : C = ln + + )] puis, pour C, on inègr par paris n posan : c qui donn : soi finalmn : = + soi : C = ln + ) f ) = ; g ) = ln + + ) f ) = ; g ) = C = ln + + )] + + d = ln + ) + ] C = ln + ) + E 6 Calculr D = π cos ) d.

7 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 7 On ffcu un doubl IPP. On commnc par posr : f ) = ; g ) = cos ) f ) = ; g ) = sin ) c qui donn : D = cos ) ] π π sin ) d = π + D avc D = On pos nsui : f ) = ; g ) = sin ) f ) = ; g ) = cos ) π sin ) d on obin : Par conséqun : D = sin ) ] π π + cos ) d = D D = + π 9D finalmn : D = + π E 7 Calculr, à l aid d un IPP qu l on précisra, chacun ds douz inégrals suivans : A = π d ; B = + ) cos d ; C = 4) π/ sin 5) d D = ln ) + d ; E = d ; F = + ) ln ) d G = arcan ) d ; H = arcan ) d ; I = J = / arcsin ) d ; K = ln ) d ; L = + d d ln ) Pour A = d on pos : u ) = ; u ) = v ) = ; v ) = On obin alors : ] A = ] d = 9 ] =

8 Pour B = π On obin alors : π B = 4 + ) sin 4)] Pour C = π/ CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 8 + ) cos d on pos : 4) u ) = + ; u ) = v ) = cos ; v ) = 4 sin 4) 4) π sin d = π + 4) 4) sin 5) d on pos : On obin alors : C = cos 5) 5 u ) = ; u ) = v ) = sin 5) ; v ) = cos 5) 5 ] π/ + 5 C avc : C = π + 48 cos = 6π 4)] π/ cos 5) d On calcul donc C n inégran ncor par paris on uilis ls mêms lrs u v pour désignr d nouvlls foncions!) : Il vin : ] π/ C = 5 sin 5) En rporan, on obin : Pour D = donc : u ) = ; u ) = v ) = cos 5) ; v ) = sin 5) 5 π/ 5 sin 5) d = π ] π/ + 5 cos 5) = π 5 C = 5 C = π d on pu rès bin s n sorir sans IPP. Il suffi d voir qu : D = + ) ) + d = + ) / + ) /) d D = 5 + )5/ ] + )/ = 5/ ) / ) = 4 ) Mais puisqu on nous dmand d ffcur un IPP, allons-y... On pos : on obin : ] D = + )/ u ) = ; u ) = v ) = + ; v ) = + )/ ] + ) / d = + )/ )5/ ]

9 c s-à-dir : Pour E = ln ) d on pos : CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 9 D = / 4 5 5/ ) = 4 + ) 5 u ) = ln ) ; u ) = On obin alors : Pour F = E = v ) = ; v ) = + ) ln ) d on pos : ] ln ) + d = c qui donn : Pour G = c qui donn : donc : Pour H = donc : arcan ) d on pos : G = On calcul séparémn : H = u ) = ln ) ; u ) = v ) = + ) ; v ) = F = ln )] d = + + u ) = arcan ) ; u ) = v ) = ; v ) = ] arcan ) + d = π 8 G = π 8 arcan ) d on pos : π ) = π 4 4 u ) = arcan ) ; u ) = H = v ) = ; v ) = + + ] arcan ) + ) d ) d + + d = + ) d = d + + d = ln + )]

10 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL soi : Par conséqun : H = ln )) H = π H = π 6 + ln ) 6 Pour I = donc : soi finalmn : + d on pu, comm pour D, évir l IPP. En ff : I = + ) d = + d + + d ] I = + )/ + ) / = / / + I = 4 / Mainnan, on pu aussi inégrr par paris n posan : c qui donn : l on rrouv donc bin : Pour J = / u ) = ; u ) = v ) = ; v ) = + + I = + ] ] 4 + d = + )/ I = / 4 arcsin ) d on pos : / ) = 4 / u ) = arcsin ) ; u ) = v ) = ; v ) = c qui donn : / ) J = arcsin )] / d = arcsin + ] / ) Or, arcsin = π donc : Pour K = ln ) d on pos : J = π 6 u ) = ln ) ; u ln ) ) = v ) = ; v ) =

11 c qui donn : soi finalmn : Pour L = CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL K = ln ) ] ln ) d = ln ) ] K = d ln, il s possibl d inégrr «à vu» puisqu : ) ) d d ln = ) ln ) Ainsi : L = ln ) Mais on pu inégrr par paris n posan : u ) = ln ) ] = 8 = 8 ; u ) = ln 4 ) v ) = ; v ) = ln ) c qui donn : donc : ] L = ln + L ) L = ] ln = ) ) 4 = 8 Q On no U = ln + ) d. Alors... QCM A) U = ln + ) d Fau B) U ln + ) d Vrai C) U d Vrai D) U = ln + )] + E) U = ln + ) ] +) d Fau ln + ) + +) d Vrai Q Soin f, g :, ] R ds foncions coninus k un nombr rél. A) B) C) ) f ) + g ) d = f ) d + g ) d Vrai ) k f ) d = k f ) d Vrai f ) g ) d = f ) d ) f ) d ) Fau D) Si f ) d =, alors, ], f ) = Fau E) Si f ) d > k, alors, ] ; f ) > k Vrai

12 Q On pos pour ou k N : W k = π/ sin k ) d CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL A) W + W = Fau B) Pour ou k N, W k = π sink ) d Vrai C) W = π/ cos) d = π 4 Vrai D) La sui W k ) k s croissan Fau E) La sui W k ) k s convrgn Vrai Q 4 On no A = sin) + d A) A = ] sin) + Fau B) A dépnd d Fau C) A ln ) Vrai D) A cos ) Vrai E) A = ] cos) + cos) d Vrai +) Q 5 On no R ) = d pour ou > A) R s un foncion croissan sur ], + Fau B) R ) = Fau C) La dérivé d R s donné par R ) = Fau D) R ) = Vrai E) R adm un limi fini n Vrai Q 6 On pos pour ou k N : I k = k d A) I = Fau B) La sui I k ) k s décroissan Vrai C) Pour ou k N, I k k+ Vrai D) La sui I k ) k s convrg vrs un rél l > Fau E) Pour ou k, I k+ = + k + ) I k Vrai Q 7 On no J = d K = d. A) K J Vrai B) J d Vrai C) K Vrai D) K = ) Vrai E) J Vrai A présn, voici ds plicaions déaillés... Q Si l on no F un primiiv d la foncion f défini par f ) = ln + ), alors U = F ) F ). Il srai farflu d pnsr qu U dépnd d... donc A s grossièrmn fauss. Pour ou, ], on a donc ln + ) ln + ), puisqu ln + ). Ainsi U ln + ) d B s vrai Par aillurs, pour ou, ], on a ln + ) inégalié plus généralmn vrai pour ou ). Donc, comm, on n dédui qu ln + ). Ainsi U d C s vrai

13 Si l on inègr par paris n posan : CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL u = ; v = ln + ) u = ; v = + il vin U = ln + )] +) d donc D s fauss problèm d sign). Enfin, on pu aussi inégrr par paris n posan : u = ; v = ln + ) u = ; v = ln + ) + + c qui donn U = ln + ) ] ln + ) + +) d donc E s vrai Q Ls affirmaions A B son vrais : c s la propriéé d linéarié d l inégral. Il s facil d voir qu C s fauss, avc un conr-mpl : ) ) d d = = 6 4 = d D s fauss : là ncor, un conr-mpl pour s n convaincr : ) d = Enfin E s vrai. En ff, si l on avai, ], f ) k, alors par croissanc d l inégral il n résulrai qu f ) d k, conrairmn à l hypohès. Q On calcul séparémn W = π/ W + W = π +. Donc A s fauss d = π W = π/ sin ) d = cos )] π/ = donc L graph d la foncion sin présn un syméri par rappor à la droi d équaion = π, donc mêm chos pour l graph d sin k ). Il n résul qu π/ sin k ) d = π π/ sink ) d donc, d après la rlaion d Chasls, qu W k = π sink ) d. Ainsi, B s vrai On connaî la formul R, cos ) = sin ). On n dédui aussiô la formul d linéarisaion sin ) = cos). Ainsi : W = c qui monr qu C s vrai π/ cos ) d = ] π/ cos ) = π 4 4 Pour ou k N : W k+ W k = π/ sin k ) sin ) ] d, puisqu pour ou ], π, on a sin k ) sin ). Ainsi la sui W k ) k s décroissan D s fauss. Soyons rigouru : si c sui éai simulanémn croissan décroissan, ll srai consan, c qui n s pas l cas on sai déjà qu W W ). Pour finir, la sui W k ) k N s convrgn puisqu ll s décroissan minoré par d évidnc) : E s vrai

14 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 4 Q 4 Ls affirmaions A B son fausss mêm fanaisiss!) En majoran l sinus par, on obin A On a aussi, ], sin) + sin ) car D s vrai Enfin, on pu inégrr par paris n posan : + d = ln ), donc C s vrai + ) donc A u = sin ) ; v = + u = cos ) ; v = + ) c qui donn A = ] cos) + cos) d donc E s vrai +) sin ) d = cos ). Ainsi, Q 5 Pour ou >, R ) = <, donc R s sricmn) décroissan sur ], + donc A s fauss, dans la foulé, C s fauss. Aur poin d vu pour la prmièr affirmaion : si < a < b, alors rlaion d Chasls) : d b d d d R a) = = + > = R b) a a b b c qui rdonn la décroissanc sric d R. Ensui, pour calculr R ), il suffi d savoir qu un primiiv d s. Ainsi R ) = ] =. Donc B s fauss problèm d sign). La formul d définiion monr d évidnc qu R ) = c qui s n accord avc la formul plici obnu ci-dssus) : D s vrai ) Enfin : lim R ) = lim =, donc E s vrai + + Q 6 Par définiion I = d =. Donc A s fauss Pour savoir si la sui I k ) k s monoon = croissan ou décroissan), on amin l sign d I k+ I k : I k+ I k = k+ d k d = k ) d Or, pour ou, ] : k, donc I k+ I k. Ainsi la sui I k ) k s décroissan B s vrai Ean donné k N, on a pour ou, ] : k k donc I k k d = k+. Ainsi C s vrai L héorèm ds gndarms s appliqu lim k + I k = : donc D s fauss Pour finir, on inègr I k+ = k+ d par pari n posan : c qui donn I k+ = k+ ] u = ; v = k+ u = ; v = k + ) k + k + ) k d = + k + ) I k donc E s vrai Q 7 Pour ou, ] : donc K J. Donc A s vrai

15 CORRECTION DES EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 5 On a aussi, pour ou, ] :, donc donc par croissanc d l ponnill), puis n inégran : J d. Donc B s vrai Pour ou, ] :, donc K C s vrai On calcul K n obsrvan qu la dérivé d s. Ainsi : K = d = ] = ) donc D s vrai Pour finir, qulqu soi, ] : donc donc, n inégran : J. Ainsi E s vrai