Autour des produits infinis

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Arsène Thibault
il y a 5 ans
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1 CORRIGÉ d l éruv d MATHS ds ENSI - - Filièr MP Autour ds roduits ifiis I Géérlités t mls Suosos qu l roduit ifii u covrg, doc qu l suit P dmt u limit fii l Alors écssirmt u + P + P l l O suos qu, u t qu lim u ε >, /, ε < u < + ε E rt ε, o obtit : /, < u b Posos P u k our Alors, P u k u k u k P P k k k k Comm P, ls du suits P t P sot d mêm tur, doc ls roduits ifiis u t u sot d mêm tur 3 O suos qu, u > O os S lp l u k O ussi P S Si l roduit ifii u covrg, lors l suit P dmt u limit fii l, doc l > t comost r l foctio logrithm cotiu sur, [, S lp l l, c qui rouv qu l séri l u covrg Si l séri l u covrg, lors l suit S dmt u limit fii L t comost r l foctio otill cotiu sur R, P S L, c qui rouv qu l roduit ifii u covrg Rmrqu imortt : ds cs coditios, l L t L l l, c st à dir : u lu I t lu l u II b Si l roduit ifii +u covrg, lors d rès l, écssirmt lim +u, c st à dir lim u Aisi l + u u D utr rt, d rès l 3, l séri l + u covrg, doc l séri u covrg d rès l théorèm d l équivlt ds séris à trms réls osififs Si l séri u covrg, lors lim u, doc l+u u Il résult qu l séri l+u covrg, doc d rès l 3, l roduit ifii + u covrg c Il suffit d rrdr l démostrtio du 3b scht qu comm < u <, lors u > L théorèm d l équivlt ds séris rst licbl cr ls du suits équivlts l u t u sot d sig costt égtif mmct - g

2 4 Emls umériqus itrvt ds l suit du roblèm 4 covrg d rès l 3c rt u 4 uisqu, < u < b c, >, u + covrg d mêm rt ici u, [ uisqu < > t l u + l + O, doc l séri l u covrg E liqut l 3, o déduit qu l roduit ifii u covrg our tout > 5 Alictio : u u d histoir D rès 3b, our motrr qu Or ici P k k k b Pour, l séri géométriqu k c Motrr qu l séri Or s il covrgit, lors P divrg, il suffit d motrr qu l roduit ifii k d riso covrg t our somm + divrg divrg rvit d rès l 3c à motrr qu l roduit ifii divrg urit u vlur fii, c qui st cotrdictoir vc l églité P II Dévlomt uliéri du sius t formul d Wllis 6 f α étt ir, ls cofficits b f α sot uls, f α cosαt cost dt [ cosα + t + cosα t dt, d où f α [ siα + t siα t t + α + α [ siα + siα, t α + α doc f α siα α O rmrqu qu f α st cotiu t d clss C r morcu sur R, doc l théorèm d covrgc octull d Dirichlt s liqu isi qu l théorèm d covrgc orml d illurs O doc R, f α siα [ α + α α cos E s lçt, scht qu cos, o obtit : cosα siα Aisi cotα α + α [ α + α 7 < < t g t gt cot t t si t, Il st clir qu g st déjà cotiu sur, cr < < mmct - g

3 t,, gt cos t si t t cos t si t t t si t Aisi g st cotiu sur [, b Si < < <, lors gt dt si Comm lim, o déduit qu + t + ot t + ot t + ot cos t si t dt L idtité : cotα α + α α t, [, cot t t gt dt lim + t t uisqu g, t si t dt l l ot o, doc lim gt t + ot t + si si gt dt l vlbl our α, [ do ost t α : t [,, gt t t t c O os g t t O costt qu, g [, O, c qui motr l covrgc orml sur [, d l séri d foctios g O ut doc itégrr trm à trm, c qui do : Aisi gt dt, [, l t t si [ l t t t l [ l l l E utilist l formul I vu à l fi du 3 t comt-tu d l covrgc d l ml 4b, o :, [, l si l si L églité récédt st cor vlbl our < < r rité ds du mmbrs t l églité suivt st cor vlbl : si our, [ 8 Alictio : our, o obtit 4 III Formul d Wisrtrss t costt d Eulr 9 Il s git d u qustio d cours sur l foctio Gmm d Eulr oits fcils à ggr Voir l corrigé ds l cours O trouv qu Γ t qu >, Γ O rmrqu qu f st cotiu, doc cotiu sur, lt t t dt O rll qu >, l + Si t, [, lors > t >, doc l O doc our < t <, f t l t/ t/ t Comm f t si t, o obtit :, t >, f t t b Soit > fié Posos g t f t t our t > t chqu g st cotiu sur, [ l suit d foctios g covrg simlmt sur, [ vrs g : t t t E fft soit t > fié Pour > t, g t t l t/ t [ t/+o/ mmct - g 3 t t o gt

4 ls g sot ositivs t mjorés r g itégrbl sur, [ cf défiitio d Γ O vit d vérifir ls hyothèss rmttt d liqur l théorèm d l covrgc domié O déduit qu t t dt g t dt gt dt Γ L itégrl I u u du st imror, mis covrgt cr < Effctuos u itégrtio r rtis sur [, d bord vc < < O rd ϕu u t ψ u u, d où ϕ u u t ψu u Alors u u du + Aisi I I + b Pour y >, I y c >, Γ lim Alictio : [ u u y y du y u u t t dt tu lim u u du y t I + I + Si, [, lors, [, doc Γ Γ lim Or Aisi + k + k k u u du lim I! + k + k k + + k k + k Γ Γ lim + b E rt t ds l églité : si t t our, [, si Doc l formul ds comlémts st :, [, k u u du cr lim +! + + lim! + k k k +!, t obtu u 7c our t, [, o trouv qu : Γ Γ si k c Pour, o obtit : Γ/, doc Γ Doc t dt u t t u du, d où u du itégrl d Guss 3 Ici u t dt u l l l O, doc l séri u covrg mmct - g 4

5 Grhiqumt, u k rrést l ir d u trigl curvilig situé sous l courb d équtio y tr ls du t droits d équtio t k t t k Si o trslt horizotlmt tous cs trigls our ls mr tr ls du droits d équtio t t t, o costt qu ils sot tous cotus ds l crré [, [,, c qui motr qu l suit croisst u k st mjoré r, doc st covrgt b L suit v st d mêm tur qu séri v v qui st covrgt E fft : v v l + l u 4 O vu u c qu >, Γ lim ϕ vc ϕ Or ϕ + l + v k k + k k! + k L covrgc vrs γ d l suit v, l cotiuité d l otill t l covrgc du roduit ifii du 4c rmttt d déduir qu : 5 Alictio >, >, l Γ l γ l l églité II obtu u 3 Doc l Γ l γ + Γ γ + + l γ l + w vc w l + Chqu w st d clss C sur, l séri d foctios w covrg simlmt sur, l séri d foctios w covrg uiformémt sur, E fft,, w + III utilist +, d où l covrgc orml d w sur, D rès l théorèm d dérivtio ds séris d foctios, o ut dérivr trm à trm ds III t o obtit : b O vu qu Γ Or Aisi + lim t lt dt γ,, Γ Γ γ + + lt t t dt L itégrl dmdé st doc égl à Γ k lim Doc Γ k + + Γ γ + + γ Fi du corrigé mmct - g 5

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