Corrigé. f(k)dt = f(k) =

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1 Baqu PT 0 sporiss.luci@orag.fr Epruv d Mahémaiqus C Corrigé Prélimiair Soi u ir aurl o ul f u focio à valurs posiivs, coiu par morcaux hypohès oublié par l éocé), décroissa sur [,+ [. { [, +] f +) f) f) a. Soi ir aurl l qu +. f éa décroissa, [,] f) f) f ). D où : + f)d + f)d = f) = f)d f)d y y = fx) A,f )) I,f)) B,f)) J +,f)) C +,f+)) O a,0) b, 0) c +,0) x La doubl iégalié dmadé radui l fai qu l air sous la courb délimié par bcbc s ifériur ou égal à l air du rcagl bcbj qu l air sous la courb délimié par abab s supériur ou égal à l air du rcagl abbi ; ls dux rcagls o ds côés d loguur f). b. Soi +. +, + + f)d = c. Rapplos ds résulas du cours : La séri =+ + f)d =+ f) =+ f)d = f)d f) s u séri posiiv. Ell covrg si sulm si la sui d ss somms parills défiis

2 par :, S = s majoré das c cas la somm d la séri s : S = L iégral gééralisé défii par : s majoré das c cas : = f) = f) = sup S. f)d d la focio posiiv f s covrg si sulm si la focio F O va morr qu la séri x, Fx) = f)d = sup x Fx). x f)d f) covrg si sulm si l iégral gééralisé Supposos qu l iégral gééralisé covrg. Comm das c cas : iégalié du b do :, S = = f) = =+ f)+f ) f)d+f ) La séri posiiv covrg puisqu la sui d ss somms parills s majoré. Supposos qu la séri covrg. La prmièr iégalié du b do alors pour ou + : D où : +, F+) = + f)d = 0+ f)d+ + + f)d f)d covrg. f)d = sup x Fx), la duxièm 0+ f)d+ + + =+ f)d Qul qu soi x, soi [x] la pari ièr d x défii comm l ir vérifia [x] x < [x] +. Alors, comm F s croissa, car f s posiiv : x, Fx) F[x]+) E, comm F s majoré, l iégral gééralisé 0+ f)d+ f)d covrg. =+ f) O a bi moré la séri f) covrg si sulm si l iégral gééralisé cas d covrgc, passa à la limi pour + das l iégalié du b : + f)d =+ Pari A f) f)d f) =+ f)d covrg, f). ) a. La focio f défii sur [,+ [ par f) = l) s C sur [,+ [, car quoi d focios C sur [,+ [, l déomiaur s aula pas. Bi sûr, ul bsoi d calculr f pour l ss d variaio : f s décroissa sur [,+ [ puisqu f s l ivrs d u focio croissa posiiv : mais puisqu l éocé l dmad : x, f x) = l) 3l+)

3 b. f décroi sur [,+ [ d à 0. L ax Ox s asympo. c. d. U primiiv sur [,+ [ d f, coiu sur c irvall s F défii par : Doc x, x L iégral gééralisé [ l) d = l ] x. x + x, Fx) = l d covrg doc l) d =. l). D après l prélimiair, puisqu f s cpm décroissa sur [,+ [, la séri f) = l) covrg. ) a. La focio g défii sur [,+ [ par g) = l) s C sur [,+ [, car quoi d focios C sur [,+ [, l déomiaur s aula pas. Bi sûr, das c qusio aussi, ul bsoi d calculr g pour l ss d variaio : g s décroissa sur [,+ [ puisqu g s l ivrs d u focio croissa posiiv : mais puisqu l éocé l dmad : x, g x) = l+ 3 l) 3 b. g décroi sur [,+ [ d à 0. L ax Ox s asympo. c. d. Or l iégral d Rimma., 0 g) d covrg car l xposa d au déomiaur s sricm supériur à Par comparaiso par iégalié ds iégrals gééralisés ds focios posiivs, l iégral gééralisé covrg aussi. l) d. D après l prélimiair, puisqu g s cpm décroissa sur [,+ [, la séri g) = l) covrg. 3 ) O cosidèr la sui u ), défii par : u = a., I = + l p= b. La focio h défii sur [,+ [ par h) = l Eudios ls variaios d la sui u ) : lp p l). [ l) d = ] + = l+)) l) ) s décroissa sur [,+ [, puisqu : [,+ [, h ) = l 0 3, u + u = l+) + l+)) l) ) = cf3 a l+) + La sui u ) 3 s décroissa. + l d = + l+) + l ) d 0 hց 3

4 c. Or + 3 Aisi : l 3, u = l + [ l) d = ] + 3 p=3 lp p l) Prélimiair b = l+)) l3) ). Doc : l + + l d 3 l) 3, u l l3) + l+)) l) ) } {{ } 0 3, u l l3) Rmarqu : l éocé idiquai à or d démorr c propriéé pour. d. La sui u ) s décroissa mioré : ll covrg doc.. D où :, u = p= lp p l) =,, u l + l p p= u l = p= lp }{{} lp l Comm la sui u ) covrg, l prmir mmbr d l iégalié d vrs + pour da vrs l ifii. Aisi : H = p= p ) La séri harmoiqu d rm gééral divrg. O cosidèr la sui H ) défii par : H = a. O appliqu l prélimiair b à la focio défii par f) = pra = : p= p. Doc : +, + d H = + p= p + d, l+) l+)+ l) H +l } {{ } 0 Il s ffcivm facil d vérifir qu la formul s vrai pour =. b. Posos :, γ = H l. D après l a,, 0 l+) l γ. La sui γ ) s majoré par mioré par 0, d après l a. Eudios ls variaios d c sui., γ + γ = + l+) l) Soi la focio ϕ défii par : x > 0, ϕx) = x+ lx+) lx). x > 0, ϕ x) = x+) x+ + x = xx+) 0 + ) x Doc ϕ s croissa sur ]0,+ [. Or ϕx) = x+ l 4 0. Doc x > 0, ϕx) 0. x +

5 Aisi, γ + γ = ϕ) 0. La sui γ ) s décroissa mioré par 0. Ell covrg doc. Comm la sui γ ) s majoré par mioré par 0, sa limi, oé l vérifi 0 l. c. Formos u dévloppm gééralisé l ifii d γ + γ :, γ + γ = l + ) = + ) ε) + ) ε) + γ + γ + = + ε) + Comm la séri d référc d rm gééral, par comparaiso par équivalc ds séris d sig cosa, o dédui qu la séri d rm gééral γ + γ covrg. Noos Γ sa somm. Alors : Γ = γ p+ γ p ) = γ γ = γ Γ = γ Γ+ = l + + p= d. O rrouv l résula du b : la sui d rm gééral γ = H l = Doc : p= ) p l p = p H p H p lp lp ))) = p= p= ) l = l + p= l s covrg. p γ p γ p ) = Γ Γ = l + p= =. Bi sûr,, γ = γ + γ γ ) = + = =, γ l = + γ γ ) = + = = γ γ ). Doc, d après l d : = ) ) l + = = = ) l = ) l Aisi :, γ l = =+ l ) f. Formos u dévloppm gééralisé l ifii : l ) = l ) = ) 3ε) + + ) ε) D où l ) = ε) = ε). Aisi : g. Comm la séri d Rima d rm gééral covrg absolum doc : ε > 0, N, 0,, ε > 0, N, 0,, l ) ε =+ > covrg, la séri d rm gééral l ) l ) + ) =+ l + ) ε =+ 5

6 h. E fai, si o cosidèr la focio défii par f) =, si o appliqu la duxièm iégalié d la fi du corrigé du préliimiair à c focio, rmplaça par, comm Comm =+ ε > 0, N, 0,, ) = =+ ε > 0, N, 0,, =+ ) =, o pu écrir : H l l = γ l = E doc, o sulm comm l éocé l dmad, o a : H l l + 0 Mais d plus, o obi u dévloppm asympoiqu d H : H = l+l+ + ε) Pari B f)d =, o a : l ) ) ε =+ l ) ) ε Soi h β dux réls, avc h > 0. ) Comm la puissac l mpor sur l logarihm : h l) β + 0 ) La focio h l) β s posiiv sur ]0,+ [ ; oublios pas qu l)β = βl! D après la qusio précéd, il xis 0 > 0, l qu, pour ou 0 : 0 < 3 ) Posos α = +h. Comm 4 ) h l) β <. +h α l) β = h, la qusio précéd mor qu : l) β 0, 0 < α l) β < +h Moros la covrgc d l iégral gééralisé 0 α l) β d, avc 0 > 0 α >. Tou d abord, la focio f : α l) β s coiu par morcaux, car coiu sur [ 0,+ [. D aur par, posa α = +h, h > 0, l iégral d Rima d covrg. 0 +h> La qusio précéd mor, par comparaiso par iégalié ds iégrals gééralisés ds focios posiivs qu, + qul qu soi α >, l iégral gééralisé α d covrg. l) β 5 ) 0>0 6

7 Soi α >. La focio f d la qusio précéd vérifi sur [,+ [ ls hypohèss du prélimiair ; pariculir, f s décroissa car c s l ivrs d u focio posiiv croissa. Doc, l iégral gééralisé α l) β d covrga, il s d mêm d la séri α l) β. Pari C a. Il s clair qu, qul qu soi p > 0, l+p) l. + E ff l+p) l+l + p ) l + p ) = = + l l l. + Doc [l+)] l) ll+) + ll. Aisi : + Comm l+p) = l+l + p ) v = [l+)] ll+) + 0 = l +, v = l + p l ) l + + l + b. O fai u dévloppm asympoiqu au voisiag d l ifii : Rapplos qu au voisiag d 0 : [ v = + l ) + v = [ + l + l, o pu écrir : ) l + ) l + )] ε) + ) ε) +u = u+u +u εu). D où : ][ l) + l) ε) l ) + ] 4 l) + l) ε) Il xis doc rél ls qu : v = l + l) + l) ε). Doc v + l = l) +ε). Comm ε) s boré, puisqu ε) 0, il xis doc a = + b rél l qu, lorsqu d vrs l ifii : Or : v = v a l ) + a v a b l l) l v b l) + a l b l) + a l = La séri d rm gééral covrg comm somm d dux séris covrgs, d après la duxièm pari. Par comparaiso par iégalié ds séris posiivs, o dédui qu la séri d rm gééral v covrg absolum. 7