Construction de portefeuille : recherche d une cohérence entre le risque stratégique et le risque actif

Transcription

1 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR 30 èms Journés ntrnatonals d'économ Monétar ancar t Fnancèr otrs 7/8 jun 03 Constructon d portfull : rchrch d un cohérnc ntr l rsu stratégu t l rsu actf Alxs FLAGEOLLET Ingénur fnancr énor atxs Asst Managmnt AlxsFlagollt@amnatxscom Franc ICOLA Drctur Invstmnt & Clnt olutons atxs Asst Managmnt Franccolas@amnatxscom L dgré moyn d gston actv u l on ntrodut dans un portfull st-l foncton d l allocaton stratégu? À prmèr vu cla n st pas ndspnsabl ourtant un nvstssur dont l allocaton stratégu st défnsv t u corrspond d fat à un horzon plus court dvrat normalmnt possédr un gston plus passv En fft s son allocaton d actfs st prudnt c st u l n souhat pas ndurr d prts trop mportants Il n y a alors aucun rason pour u un gston actv trop agrssv l rmtt n stuaton d prt potntll mportant À l nvrs un nvstssur plus dynamu avc plus d tmps dvant lu aura un allocaton d actfs plus rsué t pourra d fat assumr un rsu actf d gston proportonnl La théor fnancèr répond assz mal au rsu u put ndurr un nvstssur En partculr aucun lason n st fat ntr l rsu stratégu l rsu tactu t l rsu d gston à l ntérur d un class d actf ou rsu d sélcton ous proposons c un approch u réconcl ls tros concpts n rchrchant un cohérnc d nsmbl Ctt démarch prmt d construr un portfull n défnssant ds margs d manœuvrs d gston u sont cohérnts au rgard du nvau d rsu global u un nvstssur st prêt à prndr Dpus ulus annés crtans nvstssurs nsttutonnls pratunt l approch nvrs Ils confnt davantag d budgt à la gston très actv lorsu la vsblté d marché s rédut t u ls comptnt davantag sur la prformanc d gérant plus u sur l drctonnl Invrsmnt lorsu l drctonnl dvnt plus attractf lur portfull rdvnnnt plus passfs au fur t à msur u l mx d actfs dvnt plus agrssf Mas on n put plus sulmnt parlr d stratégu c En fat la réducton du rsu marché n favur du rsu gérant dans ls marchés bassrs t vc-vrsa st déjà un act tactu u put s far à rsu actf global nchangé par rapport à un allocaton stratégu d long trm C st just l donsd rs global u dvnt plus snsbl au gérant n phas bassèr t plus snsbl au marché n phas haussèr sur ls actfs rsués

2 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR I/ Foncton d utlté dans la théor ds chox d nvstssmnt La théor ds chox d nvstssmnt décrt un procssus d sélcton d portfull dans lul l nvstssur dvra chosr ntr plusurs solutons suvant son objctf d nvstssmnt L prmr nju d un stratég d nvstssmnt st donc d bn dntfr l objctf rchrché Généralmnt un foncton d utlté ad ls agnts économus à classr lurs préférncs ntr plusurs solutons n rapport avc l bn êtr u lls apportnt our un portfull donné on stm n général u l nvstssur chrchra à maxmsr l utlté u l obtndra d la rchss accumulé d un portfull ar conséunt la foncton d utlté s présnt souvnt avc un dérvé prmèr postv t un dérvé scond négatv En fft l utlté st : Crossant : l utlté d un portfull s accroît avc sa rchss C st élémnt st fondamntal pour justfr u un supplémnt d rchss contrbura postvmnt à l accrossmnt d l utlté C st l concpt d utlté margnal u ndu u l gan d utlté st mpacté postvmnt par un supplémnt d rchss Concav : l accrossmnt d l utlté dmnura avc la valur du portfull C st l prncp d satété d un agnt économu u ntrvnt au fur t à msur u la valur d un portfull s appréc Dans l concrt la plupart ds fonctons d utlté utlsé par ls pratcns sont uadratus Ctt foncton prnd la form suvant : U X X X Ctt foncton st crossant pour chau valur d la rchss comprs sur un ntrvall : 0 L coffcnt d rsu absolu st égalmnt un foncton crossant d la rchss avc : X X Ctt foncton d utlté st partculèrmnt ntérssant car ll donn accès à un rasonnmnt moynn varanc dans lul un nvstssur maxmsra sa rchss attndu n basant son chox sur la varanc antcpé ds rndmnts En conséunc l nvstssur tntra d maxmsr son utlté U n foncton d dux paramètrs l spéranc d rndmnt u agt postvmnt sur l utlté t la varanc ds rndmnts u agt négatvmnt sur U L programm d nvstssmnt dvnt alors : Maxmsr l rndmnt attndu pour un crtan nvau d varanc ds rndmnts Mnmsr la varanc d un portfull pour un crtan nvau d rndmnt Cla donn égalmnt accès au concpt d Valu-at-Rs VaR u uantf l rsué maxmum pour un pérod donné avc un crtan nvau d confanc Ar xmpl la VaR 99% à un an d un nvstssmnt s défnt comm : VaR µ 96 ; tands u la VaR 95% sra : VaR µ 64 dans l cas gaussn Avc : µ l rndmnt d un portfull t l écart-typd un portfull

3 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR un nvstssur décd d allour ntr ds actons t ds oblgatons son utlté spéré dvndra : E U µ W µ W W W ρ W W Avc : µ : rndmnt attndu ds actons µ : rndmnt attndu ds oblgatons W : pods ds actons dans l allocaton W : pods ds oblgatons dans l allocaton : écart-typ du rndmnt ds actons : écart-typ du rndmnt ds oblgatons ρ : corrélaton ntr ls actons t ls oblgatons : coffcnt d avrson au rsu Il st alors possbl d écrr la dérvé partll d l utlté spéré u rprésnt l changmnt d utlté généré par un unté supplémntar d actons ou d oblgatons dans l allocaton d actfs Ls dérvés partlls par rapport aux actons t aux oblgatons s écrvnt rspctvmnt : E U E U W µ W ρ W W µ W ρ W nous égalsons cs dux dérvés cla condut à un avrson au rsu mplct u st un foncton ds rndmnts attndus ds écart-typs ds rndmnts d la corrélaton ntr ls actons t ls oblgatons t d l allocaton d actfs d l nvstssur µ µ W ρ W W ρ W Typumnt c st c l problèm prncpal posé par cs approchs En fft : D un part ctt foncton d utlté n prnd pas n compt l asymétr possbl dans la dstrbuton ds actfs Dans la réalté un nvstssur préférra un actf avc mons d asymétr pour un varanc dntu 3 Ensut l coffcnt d avrson au rsu dépnd lu-mêm d l allocaton d actfs Cla mplu u l coffcnt n puss êtr connu u lorsu l allocaton st défn ou u nvrsmnt l allocaton d actf n puss s défnr u lorsu c coffcnt st défnt Or la défnton d st précsémnt c u pos problèm L approch proposé c-après vsra donc à sortr d un démarch classu pour défnr un nvau d avrson pour l rsu u tratra à la fos d l allocaton stratégu du nvau d rsu actf par rapport à ctt allocaton stratégu toléré par l coffcnt t d la répartton ntr actfs cor t satllt u l on put supportr sur un portfull 3 Cc st auss un lmt ds logus n VaR dans l cadr d rndmnts gaussns 3

4 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR II/ Défnton d l ntoléranc pour l rsu our pouvor s mttr n stuaton d gston d portfull nous défnssons un référnc d gston u put êtr un bnchmar Dans l concrt s l s agt d défnr l allocaton stratégu d un nvstssur c bnchmar put êtr un allocaton stratégu naïv par xmpl éulbré n captal ou n rsu ntr plusurs classs d actfs d laull on va dévr n foncton d la plus ou mons grand avrson pour l rsu ou du plus ou mons d appétt pour l rsu d un nvstssur Ans posons la prformanc du bnchmar t la prformanc du portfull stratégu ~ ~ rprésnt à la prformanc rlatv sot ot l nombr d actfs composant l portfull r t sont rspctvmnt l rndmnt d l actf t son pods dans l portfull ot l pods d l actf dans l bnchmar On pos bnchmar u sont ls dévatons actvs du portfulls par rapport au On a Donc 0 ous posons : : un horzon d nvstssmnt 4 R m dt dt : ls log-rndmnts d actfs obsrvés à un fréunc rlatvmnt court 5 m : l vctur ds log-rndmnts annualsés spérés Σ : la matrc d varancs/covarancs annualsés on suppos un rchss ntal untar alors sont t rndmnt t la rchss fnal attnt à l horzon 6 on obtnt : E xp m t E xp rspctvmnt l 4 ous nous sturons c dans un horzon d nvstssnt supérur à un anné D c fat l hypothès d lo normal n st plus tnabl compt tnu du caractèr géométru ds rndmnts sur l long trm Un lo lognormal st un hypothès plus réalst 5 dt / nombr d pérods par an la fréunc d rbalancmnt du portfull st assz court alors l log-rndmnt du portfull st gaussn d spéranc ' m t ' m 6 DE LA GRADVILLE O - "Th Long-Trm Expctd Rat of Rturn : ttng t Rght" Fnancal Analysts Journal ovmbr/dcmbr 998 pp

5 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR our dntfr l profl d rsu d un nvstssur nous chosssons d détrmnr l allocaton t l avrson pour l rsu u maxms la dvrsfcaton du portfull sous contrant d prt absolu Ctt allocaton sra à la fos bn dvrsfé t rspctra un sul statstu d prformanc n-dssous du ul un nvstssur n vut pas dscndr sur un horzon donné Un fos m t fxés nous chrchons l allocaton u prmt d spérr obtnr à X% un rndmnt à l horzon d au mons égal à un sul d souffranc d un nvstssur C sul d souffranc corrspondra à la prt statstu u un nvstssur sra prêt à assumr sur un horzon d tmps donné t avc un ntrvall d confanc donné corrspondant à la probablté u ct événmnt s réals On appll r l sul d souffranc d l nvstssur 7 t on put alors écrr : [ 00% 00% ] X % nous travallons à X% d ntrvall d confanc par xmpl l st alors possbl 8 d écrr u : E QX % xp[ % ] Avc : / X Q X % [ xp ] / Avc : l uantl d la lo normal cntré t rédut par xmpl à 5% 64 X % 5% Q X % l uantl d la lo normal ajusté d l horzon d nvstssmnt l st postf car un lo log normal a ds valurs xclusvmnt postvs On défnt l paramètr d ntoléranc au rsu mplct comm : E / / E Avc : E [] E t : rspctvmnt l spéranc d rndmnt t la volatlté du portfull : l éuvalnt sur un pérod annull du sul d souffranc toléré à l horzon 7 0% alors on chrch l allocaton u n génèr un rndmnt nul dans au mons 5% ds cas 5% on chrch l allocaton u donn un prt d -5% dans au mons 5% ds cas Enfn s 5% alors on chrch l allocaton u procur 5% d rndmnt mnmum dans au mons 5% ds cas 8 ALRECT T - "Th Man -Varanc Framor and Long orzons" Fnancal Analysts Journal vol 54 n 4 July/August 998 pp

6 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR C st donc n défnssant un sul d prt statstu maxmum à un horzon donné u l paramètr d ntoléranc au rsu mplct d l nvstssur va êtr dédut t non l nvrs Cc comport l avantag d pouvor accédr à un coffcnt d ntoléranc au rsu u at un sgnfcaton concrèt pusu rn n st plus parlant pour un nvstssur u l nvau d prt possbl sur un portfull dans un crtan laps d tmps aturllmnt c rasonnmnt n s affrancht pas d un logu conform au CAM dans laull l rndmnt spéré t la volatlté ds actfs sont lés postvmnt Mas s l n st dfférmmnt ou s l on vut ntrodur un volatlté tnant compt d un symétr d la dstrbuton par xmpl avc un corrcton d Cornsh-Fshr 9 cla st égalmnt possbl ar xmpl rtnons un allocaton à bas d tros classs d actfs ds actons ds oblgatons t un class d actf dt altrnatv tatuons sur ls coupls rndmnt rsu suvants : Rndmnt annualsé Volatlté annull Actons 80% 50% Oblgatons 50% 40% Altrnatf 60% 60% Avc la matrc d corrélatons suvant : Actons Oblgatons Altrnatf Actons 0 Oblgatons 03 0 Altrnatf ous obsrvons c-contr l uantl ajusté t l ntoléranc mplct pour dux nvaux d uantl d la lo normal % t 5% n fasant varr l sul d souffranc d ndvdu pour un horzon d nvstssmnt d 3 ans La varaton du sul s souffranc étant n ln drct avc la volatlté nous pouvons donc xprmr l uantl ajusté t l ntoléranc mplct u n découl pour dfférnts nvaux d volatlté Cs nvaux d volatlté provnnnt ds allocatons d actfs u un nvstssur st suscptbl d composr 9 LEE Y & LI T K - "ghr-ordr Cornsh Fshr Expanson" Appld tatstcs 99 vol 4 pp

7 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR ous comprnons donc u nous avons défn un coffcnt d ntoléranc pour l rsu u va dépndr d l spéranc t d la volatlté ds classs d actfs mas auss du sul d souffranc d un nvstssur pusu : E [] Dès lors nous pouvons xprmr l sul d souffranc n foncton ds dvrs nvaux d volatlté n rstant sur un horzon d nvstssmnt d 3 ans Cla prmttra à un nvstssur d s postonnr sur un allocaton d actfs ou un famll d allocaton d actfs compatbl avc son nvau d rsu assumé ous obsrvons un snsblté du sul d souffranc au uantl rtnu lus on souhat crnr l maxmum d prt possbl avc un fort probablté plus c mnmum sra fabl car on nglobra un part plus mportant d la dstrbuton possbl tout n s résrvant un fos ncor la possblté d xplorr ds momnts d ordrs supérurs 0 ous xprmons par xmpl c-dssous ds sul d souffranc théoru pour un portfull d rndmnt 5% t d volatlté 7% sur dux horzons d nvstssmnt 5 t 0 ans ous voyons u mons nous nglobons un part mportant d la dstrbuton possbl vrs la drot du graphu plus l sul d souffranc possbl s rédut mas l st déformé n favur d un mons grand réalsm 0 KRITZMA M - "About ghr Momnts" Fnancal Analysts Journal vol 50 n pp 0-7 Vor annx pour la snsblté du sul d souffranc au uantl d la lo normal 7

8 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR III/ Décomposton du rsu lé la sur/sous xposton d l allocaton au bnchmar Un fos l mx d classs d actfs défn n foncton d la prt à horzon ndossabl par un nvstssur un rsu d gston put-êtr ntrprs Clu-c put êtr : un rsu actf d allocaton tactu par dévaton opportunst ntr ls classs d actfs n ffctuant du mart tmng ou un rsu actf d sélcton n rtnant sur chacun ds classs d actfs ds stratégs d nvstssmnt plus ou mons actvs u vont vnr s addtonnr au rsu actf du portfull our modélsr l rsu actf contnu dans un portfull nous posons l éuaton d régrsson lnéar suvant: α β [3] avc : : l bnchmar ssu d l xrcc précédnt d allocaton stratégu cov0 α : l apport d la gston actv vu comm un rato d nformaton On a : α β En posant β on obtnt : ~ α [4] L trm st l βta d l écart d prformanc - au bnchmar Un valur postv ndu un surxposton drctonnl postf sur l bnchmar tands u un valur négatv ndu un sous-xposton drctonnl négatf sur l bnchmar La prformanc rlatv s écrt : E ~ α E [5] Clarmnt s la prformanc du bnchmar st postv alors un surxposton mplu un surprformanc postv Évdmmnt l n y a pas d possblté d fr lunch aucun rsu actf tracng rror n st prs aucun supplémnt d prformanc alpha α n put êtr nrgstré En fft s 0 α 0 C st pouruo on pos : α [6] our ls xmpls chffrés nous rtndrons un nvau d 05 u put corrspondr à un objctf d rato d nformaton pour un gston actv 8

9 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR 9 ous xprmons ans l rsu actf sous form d tracng rror t on obtnt : [7] En conséunc la volatlté global dvnt : β [8] Alors l coffcnt d sur/sous xposton à savor l βta du portfull au bnchmar s écrt : r r cov cov cov β β r r r r r cov cov cov cov cov β β β β [9] D un crtan façon Gamma 3 msur l agrssvté d la poltu d nvstssmnt du pont d vu tactu 3 Vor Annx pour un autr xprsson d Gamma

10 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR 0 IV/ Détrmnaton du rsu rlatf global ous prnons donc mantnant un foncton d utlté uadratu 4 au sn d laull nous pouvons nclur l rsu actf d gston n plus du rsu stratégu [ ] actf rsu stratégu rsu ~ ~ E E U E E E U D [] nous posons E t nous avons : ~ E ous obtnons : U En chrchant à maxmsr l utlté d l nvstssur dans c cadr ls condtons d optmalté du prmr ordr dvnnnt : D un part : 0 0 U [0] D autr part : 0 0 U * * [] En substtuant [] dans [5] on obtnt : Ans la tracng rror d allocaton tactu s défnt avc : [] 4 COLLI RA& GUR EE - "Quadratc Utlty and Lnar Man-Varanc: A dagogc ot" Rv of Agrcultural Economcs Vol 3 o July 99 pp 89-9

11 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR On s rnd donc compt u : lus la volatlté du bnchmar st élvé plus la tracng rror st élvé lus l ntoléranc au rsu st élvé plus la tracng rror st fabl

12 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR lus l rato d nformaton d la gston actv satllt st élvé plus la st élvé Effctvmnt s l on opt pour un combnason 5 d gston d réplcaton à fabl tracng rror d un part Cor t d un gston à plus fort valur ajouté atllt d autr part pour chacun ds classs d actfs alors l pourcntag à nvstr n atllt st lu-mêm foncton d un paramètr d avrson Il s calcul n supposant un corrélaton null ntr l cor t l satllt: ods IR IR C C atllt [4] C C ous avons rtnu ls paramètrs d tracng rror suvants pour chacun ds gstons : Actons Oblgatons Altrnatf Cor 30% 5% 40% atllt 80% 40% 0% 5 AMEC ; MALAIE h & MARLLII L Rvstng Cor-atltt Invstng Th Journal of ortfolo Managmnt Fall 004 pp64-75

13 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR En général plus ls dévatons stratégus sont élvés sur ls actfs à fort βta plus la tracng rror st élvé 6 On s rnd compt d c phénomèn n fasant varr ls margs tactus ds actf rsués actons t altrnatfs contr oblgatons la somms ds dévatons étant toujours null pour un allocaton stratégu unu 40% actons 30% oblgatons 30% altrnatf c-dssous Concluson ous avons vu u l xst un possblté d harmonsr ls tros plrs du rsu global d un portfull : la volatlté stratégu la tracng rror d gston tactu t la tracng rror d sélcton sur chacun ds classs d actfs ntrant dans l mx stratégu Un foncton d utlté smpl d typ uadratu put êtr utlsé n partant d la prformanc mnmal u un nvstssur st prêt à ndurr sous un spac d tmps donné L paramètr d avrson au rsu mplct u s n dédut prmt : d fxr l allocaton stratégu d l nvstssur d postonnr l rsu actf dû à l allocaton tactu d défnr l rsu actf provnant d la sélcton t par conséunt d connaîtr la répartton d c rsu d sélcton ntr ds stratégs d gstons plus ou mons actvs 6 La n st pas un foncton strctmnt crossant d la dévaton stratégu L mnmum d st attnt pour 3

14 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR Référncs ACERI C & TACE D "On th Cohrnc of Expctd hortfall" Journal of anng and Fnanc 00 vol6 pp ALRECT ; MAURER R & RUCKAUL U - "hortfall Rss of tocs n th Long Run" Fnancal Marts and ortfolo Managmnt Volum 5 00 umbr 4 pp AMMA M & REIC C - ''Valu-at-Rs for on-lnar Fnancal Instrumnts Lnar Approxmaton or Full Mont-Carlo?'' WWZ/Dpartmnt of Fnanc Worng apr 8 Dc00 ODIE Z - "On th Rs of tocs n th Long Run" Fnancal Analysts Journal May-Jun 995 p-7 OOT L - "Formulatng Rtrmnt Targts and th Impact of Tm orzon on Asst Allocaton" Fnancal rvcs Rv pp -7 CAMERER C & WEER M - "Rcnt Dvlopmnts n Modllng rfrncs: Uncrtanty and Ambguty" Journal of Rs and Uncrtanty 99vol5 pp35-70 CAMELL R ; UIMA R & KOEDIJK K - "Optmal ortfolo lcton n a Valu-at-Rs Framor" Journal of anng & Fnanc 5 00 pp CAMERLAI G - A charactrzaton of th Dstrbutons that Imply Man-Varanc utlty Functons Journal of Economc Thory 983 vol9 pp 85-0 DOW J Ag Invstng orzon and Asst Allocaton Journal of Economcs and Fnanc Vol 33 n 4 pp May 008 DOWD K ; LAKE D & CAIR A - "Long-Trm Valu at Rs" CRI Dscusson apr rs ptmbr 003 pp -5 DUVAL J - "Th Myth of Tm Dvrsfcaton : Analyss Applcaton and Incorrct Account Forms" IAA ar Journal prng 006 pp 5-3 FAOZZI F & al 6 Fnancal Modlng of th uty Mart: from CAM to contgraton Wly Fnanc 006 p 45 FIER KI & TATMA M - "A havoural Framor for Tm Dvrsfcaton" Th Fnancal Analysts Journal May/Jun 999 pp FRIEDMA M & AVAGE L - "Th utlty analyss of chocs nvolvng rss" Journal of oltcal Economy 948 vol 56 pp GOLLIER C - "Optmal ortfolo Managmnt for Indvdual nson lans" CEIFO Worng apr n 394 Catgory 3 ocal rotcton Fbruary 005 pp -6 KRAU A & LITZEEGER R - "nss rfrnc and th Valuaton of Rs Assts" Journal of Fnanc vol 3 n 4 ptmbr 976 pp LI M-C & COU - - "Th tfall of Usng harp Rato" Global EcoFnanc 003 n pp LOOCO A & DIARTOLOMEO D - "Approxmatng th Confdnc Intrvals for harp tyl Wghts" Th Fnancal Analysts Journal vol 53 n 4 July/August 997 pp LUCA A & KLAAE - "Extrm Rturns Donsd Rs and Optmal Asst Allocaton" Journal of ortfolo Managmnt n 5 Fall 998 pp7-79 ORTIO F & FOREY - "On th Us and Msus of Donsd Rs" Journal of ortfolo Managmnt vol n 996 pp 35-4 TVERKY A & KAEMA D - "Loss Avrson n Rslss Choc: a Rfrnc Dpndnt Modl" Quartrly Journal of Economcs 99vol06 pp

15 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR 5 Annx : Dérvé du uantl ajusté par rapport au uantl d la lo normal d d d d d d d d d d d d d d 05 d d 3

16 Objctf stratégu t gston actv 30 èm Collou GDR Annx : Exprsson du paramètr Gamma Il st rlatvmnt asé d réntégrr la contrant 0 d la façon u sut osons u l èm actf du portfull st clu u a l plus ptt βta par rapport au bnchmar t l prmr clu u a l plus mportant sot β β β L β β Donc [9] dvnt : max mn β β avc β β 0 Evdmnt la surxposton > 0 ds actfs à fort βta augmnt t donc la surxposton du portfull au bnchmar t la tracng rror Il st auss mportant d notr u l βta d l écart d prformanc - put êtr xprmé à la fos comm la combnason lnéar ds βtas ds actfs du portfull ou ds βtas ds écarts d prformanc ds actfs nvrs l bnchmar ~ ~ cov r β ~ cov r cov ~ 6