Fonctions convexes. Prologue

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions convexes. Prologue"

Transcription

1 Foctios covexes Prologue Ce chapître développe les propriétés des foctios covexes f C E R défiies sur ue partie covexe C d u espace de dimesio fiie E. Si, fodametalemet, la covexité est ue propriété uidimesioelle - ue foctio f C E R est covexe si et seulemet si, pour toute droite affie (D) de E, sa restrictio à (D) C est covexe - l exigece que cette propriété soit vérifiée das toutes les directios, c est-à-dire pour toute droite affie (D), cotrait la foctio f à ue certaie régularité globale. O prouve par exemple que toute foctio covexe f C E R est localemet Lipschitziee sur l itérieur de so domaie C (Corollaire 9.4.1), et qu elle est Fréchet-dérivable e tout poit a de l itérieur de C e lequel elle admet des directioelles das les directios des vecteurs d ue quelcoque base B = {e(1),...,e()} de E. E particulier, f C R R est Fréchet-dérivable e u poit a de l itérieur de C, dès qu elle admet des dérivées partielles e a (Corollaire 9.4.2). O caractérise les foctios covexes f C E R deux-fois Fréchet-dérivables sur u ouvert covexe C comme les foctios dot la dérivée secode, e tout poit de C, est ue forme biliéaire SDP, et o éoce alors ue coditio écessaire et suffisate pour qu ue telle foctio f soit strictemet covexe (Corollaire 9.5.1). La covexité joue u rôle cetral e optimisatio pour au mois deux raisos fodametales. La première est que l o sait écrire, pour tout problème d optimisatio covexe, c est-à-dire tout problème cosistat à miimiser ue foctio covexe sur u esemble covexe, des coditios écessaires et suffisates d optimalité (Théorème 9.3.2). La secode, plus pragmatique, est que, s il existe des algorithmes bie adaptés à la résolutio umérique des problèmes covexes, les problèmes o covexes s avèret extrèmemet difficiles à résoudre umériquemet, et écessitet le recours à des heuristiques (1) ou à des méthodes stochastiques (2). 1. Heuristique : du grec : ɛυρισκω : «je trouve» : méthode de calcul fourissat e temps polyômial ue solutio réalisable o écessairemet optimale d u problème d optimisatio. 2. Stochastique : Se dit des phéomèes relevat du hasard, et faisat l objet d ue aalyse statistique : http : // larousse.fr/dictioaires/fraçais/stochastique/74742.

2 224 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES Avertissemet : Das toute cette partie, E désige toujours u espace de dimesio fiie, D ue partie quelcoque de E, et C ue partie covexe de E, coteue das D. O rappelle qu ue partie C de E est «covexe» si et seulemet si : a,c C,,0 t 1 t b +(1 t) a C 9.1 Foctios covexes et foctios affies Foctios covexes Défiitio f C E R est dite «covexe» (resp. «cocave») si, pour tout couple de poits disticts a et b de C, et tout réel t strictemet compris etre zéro et u : f (t b +(1 t) a) t f (b)+(1 t) f (a) (resp. ) (9.1) et «strictemet covexe» (resp. «strictemet cocave») si : f (t b +(1 t) a) < t f (b)+(1 t) f (a) (resp. >) (9.2) f D E R est dite «covexe (resp. cocave, strictemet covexe, strictemet cocave) sur C», si C est ue partie covexe coteue das D, et si la restrictio de f à C est covexe (resp. cocave, strictemet covexe, strictemet cocave) f est doc cocave (resp. strictemet cocave) si et seulemet si (-f) est covexe (resp. strictemet covexe). Propositio Si f C E R est covexe, stous es esembles de iveau : S c (f ) = {x C f (x) c} (c R) (9.3) sot covexes (évetuellemet vides). Preuve : C est ue coséquece directe de (9.1). Foctios affies Défiitio Ue foctio f C E F est dite «affie» si, pour tout couple de poits disticts a et b de C, et tout réel t strictemet compris etre zéro et u : f (t b +(1 t) a) = t f (b)+(1 t) f (a) (9.4) Ue foctio f D E F est dite «affie sur C» si C est ue partie covexe coteue das D, et si la restrictio de f à C est affie. Ue foctio affie à valeurs réelles est ue foctio à la fois covexe et cocave.

3 9.1. FONCTIONS CONVEXES ET FONCTIONS AFFINES 225 Propositio (Admise) Ue foctio f C E F est affie si et seulemet si o peut trouver ue applicatio liéaire L E F et u élémet y das F tels que, pour tout x das C : g(x) = L(x)+y. Lorsque C est d itérieur o vide das E, L et y sot défiis de maière uique. Toute foctio affie défiie sur ue partie covexe C de R, à valeurs das R m, est de la forme : f C R R m x A x + b où A est ue m matrice réelle, et b u vecteur de R m doés. Lorsque C est d itérieur o vide, A et b sot défiis de maière uique. Iégalité de Jese Théorème (Iégalité de Jese (3) ) Si f C E R est covexe : f ( α(k) a(k)) ) α(k) f (a(k)) (9.5) pour toute suite fiie de poits a(k) (1 k ) de C, et toute combiaiso covexe : α(k) a(k) des a(k). Pour tout etier, et toute suite a(k) (1 k ) de poits de C, po- Preuve : sos : Σ() = {α = (α(1),...,α()) α(i) = 0 (i 1 ), α(k) = 1} et : C (a(1),..., a()) = {α Σ() f ( α(k) a(k)) α(k) f (a(k))} Il s agit de prouver que, pour tout etier, et toute suite a(k) (1 k ) de poits de C : C (a(1),..., a()) = Σ(). Mais C (a(1),..., a()) est covexe, 3. - Joha Ludwig Jese, , Mathématicie amateur Daois, essetiellemet autodidacte, employé par la succursale Daoise de l Iteratioal Bell Telephoe Compay. L iégalité de Jese apparait pour la première fois e 1906 das u article publié par Jese das la revue Acta Mathematica. Pour découvrir sa biographie :

4 226 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES puisque : α, β Σ(), α β, et : 0 < t < 1 impliquet : f ( (t α(k)+(1 t)β(k)) a(k)) = f (t... t f (... t... = α(k) a(k)+(1 t) β(k) a(k)) α(k) a(k))+(1 t) f ( β(k) a(k)) α(k) f (a(k))+(1 t) ) (t α(k)+(1 t)β(k)) f (a(k)) α(k) f (a(k)) et cotiet tous les sommets de Σ(), doc : C (a(1),..., a()) = Σ(). Opératios sur les foctios covexes Propositio Si f C E R et g C E R sot covexes (resp. cocaves) : f + g C E R x f (x)+ g(x) l est aussi. Si e outre f ou g est strictemet covexe (resp. strictemet cocave), f + g l est égalemet. Propositio (Compositio à gauche) Si : f C E R est covexe (resp. cocave), f (C) est coteu das u itervalle I de R, et ϕ I R R est covexe (resp. cocave) croissate : ϕ f C E R est covexe. Si e outre f est strictemet covexe (resp. strictemet cocave) et ϕ strictemet croissate, g f est strictemet covexe (resp. strictemet cocave). Exemple Pour toute matrice réelle symétrique Q, et tout vecteur r de R, O = {x R x Q x r x < 0} est u ouvert covexe de R, et : f O R R x l(r x x Q x) est cocave (resp. strictemet cocave) dès que Q est SDP (resp. DP) (Exercice 9.5). Le produit de deux foctios covexes sur C est pas e gééral ue foctio covexe sur C.

5 9.2. EXISTENCE DE DEMI-DÉRIVÉES DIRECTIONNELLES 227 Exemple f R 2 R (x 1 x 2 ) x 1 x 2 est le produit de deux foctios liéaires mais est covexe sur aucu ouvert covexe de R 2. Propositio (Compositio à droite) Si g C E F est affie, et f g(c) F R est covexe, f g C E R est covexe (resp. cocave). Si e outre g est ijective et f strictemet covexe, (resp. strictemet cocave) f g est strictemet covexe (resp. strictemet cocave). Exemple Pour toute suite fiie de N vecteurs : p(k) (1 k N ) de R, et toute suite de N réels q(k)i (1 k N ), la foctio : f C R R x N l(q(k) p(k) x) où : C = {x R p(k) x < q(k) (1 k N)}, est cocave. Elle est strictemet cocave sur C lorsque le rag du système des N vecteurs p(k) est : N. 9.2 Existece de demi-dérivées directioelles Théorème Soit f C E R ue foctio covexe, et a u poit de l itérieur de C. 1. f admet ue «demi-dérivée directioelle» : D f (a,υ) = lim t 0+ t 1 ([f (a + t υ) f (a)] (9.6) au poit a das la directio de tout vecteur υ de E. 2. D f (a) E R υ D f (a,υ) est ue foctio covexe, homogèe de degré u. 3. Pour tout poit x das C : f (a)+d f (a, x a) f (x) (9.7) et l iégalité est stricte dès que f est strictemet covexe et x distict de a. Preuve : - 1. Soiet υ u vecteur quelcoque de E et t u réel strictemet positif assez petit pour que : 0 < s < t a + s υ C (u tel t existe toujours puisque a est supposé apparteir à l itérieur de C ). Pour tout couple de réels s et r de l itervalle ouvert ]0, t [, tels que : s < r, il existe u réel θ, strictemet compris etre zéro et u, tel que : s = θ r, d où : f (a+s υ) = f (a+θ r υ) = f ((1 θ) a+θ (a+r υ)) (1 θ) f (a)+θ f (a+r υ)

6 228 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES impliquat : s 1 [ f (a + s υ) f (a)]... θ s 1 [ f (a + r υ) f (a)] = r 1 [ f (a + r υ) f (a)] (9.8) Aisi la foctio : ϕ ]0, t [ R R s s 1 [ f (a + s υ) f (a)] décroît, doc a ue limite - fiie ou o - lorsque : s 0 +. De plus, pour tout réel s strictemet compris etre zéro et t, la covexité de f etraîe : doc : f (a) 1 2 f (a + t υ)+ 1 f (a t υ), 2 0 < s r < t 0 s 1 [ f (a + s υ) f (a)]+ s 1 [ f (a s υ) f (a)]... s 1 [ f (a + s υ) f (a)]+r 1 [ f (a r υ) f (a)] (9.9) d où, e passat à la limite lorsque : s 0 + : lim s 1 [ f (a + s d) f (a)] r 1 [ f (a) f (a r υ)] > s 0 + qui prouve que la limite est fiie, doc l existece de la demi-dérivée directioelle D f (a,υ). - 2 Pour tous vecteurs υ 1 et υ 2 das E, o peut ecore choisir t strictemet positif tel que : 0 < s < t a + s υ i C (i = 1,2). Pour tout réel s strictemet compris etre zéro et t, et tout réel θ strictemet compris etre zéro et u : f [a + s (θ υ 2 +(1 θ)υ 1 )] f (a) = f [(a + θ s υ 2 )+(1 θ)(a + s υ 1 )] f (a) θ [ f (a + s υ 2 ) f (a)]+(1 θ) [ f (a + s υ 1 ) f (a)] (9.10) qui, e passat à la limite lorsque : s 0 +, doe : D f (a,θ υ 2 +(1 θ)υ 1 ) θ D f (a,υ 2 )+(1 θ)d f (a,υ 1 ). Le résultat valat pour tout couple de vecteurs υ 1 et υ 2 de E, et tout réel θ strictemet compris etre zéro et u, D f (a) E R υ D f (a,υ) est covexe. - 3 Fialemet, pour tout poit x das C, la décroissace de : implique : ϕ [0,1] R R t t 1 [ f (a + t(x a)) f (a)] 0 < s < 1 s 1 [ f (a + s (x a)) f (a)] = ϕ(s) ϕ(1) = f (x) f (a)

7 9.3. PROBLÈMES D OPTIMISATION CONVEXES 229 d où, e passat à la limite lorsque : s 0 + : D f (a, x a) f (x) f (a), et, si f est strictemet covexe, et x distict de a : D f (a)(b a) = 2D f (a)( a + b 2 a) 2 [ f ( a + b ) f (a)] 2... < 2 [ 1 2 f (b)+ 1 f (a) f (a)] = f (b) f (a) (9.11) 2 Corollaire Si f D E R est covexe sur ue partie covexe C coteue das D, et Gateaux-dérivable e u poit a de l itérieur de C, le graphe : G = {(x,ξ) C R f (x) = ξ} de f «au dessus» de C est tout etier coteu das le demi-espace : (H) + = {(x,ξ) E R ξ f (a)+ f (a)(x a)} (9.12) délimité par l hyperpla affie : (H) = {(x,ξ) E R ξ = f (a)+ f (a)(x a)} (9.13) Lorsque : E = R, (H) est l hyperpla affie passat par (a, f (a)), orthogoal au gradiet de f au poit a. 9.3 Problèmes d optimisatio covexes Défiitio Le problème d optimisatio : (P) Mi f (x) (9.14) s.c. x C est dit «covexe» lorsque : 1. «L esemble admissible» C de (P) est ue partie covexe de E. 2. Le «critère» f C E est covexe. Exemple Le problème cosistat à détermier la projectio Euclidiee d u poit a d u espace Euclidie (E,<,>) sur ue partie covexe fermée de E est u problème covexe.

8 230 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES Solutios d u problème covexe Théorème L esemble des solutios de tout problème covexe : (P) Mi s.c. x C f (x) est ue partie covexe (évetuellemet vide!) de l esemble admissible C. Si e outre le critère f C E R du problème (P) est strictemet covexe, l esemble des solutios de (P) est vide ou réduit à u poit. Preuve : Pour tout couple de solutios distictes a et b, et tout t strictemet compris etre zéro et u, t b +(1 t) a est admissible, et : f (t b +(1 t) a) t f (b)+(1 t) f (a) = = t ifp +(1 t)ifp = if(p) (9.15) doc t b +(1 t) a est ecore solutio, et si f est strictemet covexe, il e peut y avoir deux solutios a et b distictes car l iégalité das (9.15) devrait alors être stricte. Exemple (Maximum d etropie (4) ) Le problème : (P) Mi s.c. p i = 1 p i 0(1 i ) p i l p i est u problème covexe, qui admet au mois ue solutio (5). Le critère état strictemet covexe, la solutio est uique, et puisque le problème est ivariat par toute permutatio des p i, l uique solutio est : p i = 1/ (1 i ). Suffisace des coditios écessaires d optimalité Rappelos que, si C est ue partie covexe quelcoque d u espace de dimesio fiie E, tout miimiseur a d ue quelcoque foctio f C E R doit vérifier la coditio écessaire d optimalité : x C D + f (a, x a) 0 (9.16) (Théorème 6.5.1). Lorsque f est covexe, la dérivée de Dii D + f (a, x a) est e fait ue demi-dérivée directioelle D f (a, x a) (Théorème 9.2.1). Réciproquemet : 4. L etropie d ue distributio de probabilité discrète p 1,..., p est : E = p i l p i. Voir : http ://fr.wikipedia.org/wiki/etropie_de_shao 5. O miimise ue foctio cotiue sur u compact.

9 9.4. RÉGULARITÉ DES FONCTIONS CONVEXES 231 Théorème Lorsque f C E R est covexe, tout poit a de C vérifiat la coditio écessaire d optimalité : x C D f (a, x a) 0 (9.17) est u miimiseur de f sur C. Si e outre f est strictemet covexe, c est l uique miimiseur de f sur C. Preuve : C est ue coséquece directe du théorème puisque : x C D f (a, x a) f (x) f (a) l iégalité état stricte si f est strictemet covexe et x distict de a. Corollaire Si f D R R est covexe sur ue partie covexe C de E, coteue das D : 1. Tout poit critique de f apparteat à l itérieur de C miimise f sur C. 2. Si f est strictemet covexe sur C, elle a au plus u poit critique das l itérieur de C. 9.4 Régularité des foctios covexes U lemme prélimiaire Soiet f C E R ue foctio covexe, et a u poit de l itérieur de C. La clé des propriétés de régularité de f est le : Lemme Soit B = {e(1),...,e()} ue base quelcoque de E. Pour tout réel : ɛ > 0 doé, il existe u voisiage de a das E, coteu das C, e tout poit x duquel : (x i a i )θ i D f (a, θ i e(i)) f (x) f (a) où : θ i (x i a i ) = x i a i (1 i ) (x i a i )θ i D f (a, θ i e(i))+ ɛ x i a i (9.18) Preuve : Par défiitio des demi-dérivées directioelles, o peut choisir : r > 0 assez petit pour que : 0 < s < r implique : a + s θ i e(i) C, et : s 1 [ f (a + s θ i e(i)) f (a)] D f (a, θ i e(i))+ ɛ (1 i ) (9.19)

10 232 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES Pour tout x das le voisiage V = {x E x i a i < r } de a, o pose alors : s = x i a i < r, et : α(i) = s 1 x i a i (1 i ) de sorte que : α(i) 0 (1 i ), et : α(i) = 1. d où : - O commece par majorer, e ivoquat l iégalité de Jese : f (x) = f (a + α(i)θ i s e(i)) f (x) f (a) s qui, compte teu de : se récrit : s α i = x i a i = θ i (x i a i ) α(i) f (a + s θ i e(i)), α(i)s 1 [ f (a + s θ i e(i)) f (a)]... s α(i)d f (a, θ i e(i))+ ɛ s f (x) f (a) (x i a i )θ i D f (a, θ i e(i)) ɛ x i a i - Das u secod temps, o miore e ivoquat deux fois le théorème Ue première fois pour déduire : doc : 0 = D f (a,0) 1 2 D f (a, x a)+ 1 D f (a, a x) 2 D f (a, a x) D f (a, x a) (9.20) Ue secode fois, combiée à l homogééité de la foctio : D f (a) E R υ D f (a,υ) pour écrire : D f (a, a x) = D f (a, s α(i)θ i e(i))... s α i D f (a, θ i e(i)) (9.21)

11 9.4. RÉGULARITÉ DES FONCTIONS CONVEXES 233 De (9.20), (9.21), et de la relatio : s α i = x i a i = θ i (x i a i ) (1 i ), o déduit : (x i a i )θ i D f (a)( θ i e(i)) D f (a)(a x)... D f (a)(x a) f (x) f (a) Cotiuité Théorème Pour toute foctio covexe f C E R, et tout poit a das l itérieur de C, il existe u voisiage V de a das E, coteu das C, tel que : sup f (x) < + (9.22) x V Preuve : Soiet B = {e(1),...,e()} ue base quelcoque de E, V u voisiage de a das E, coteu das C, e tout poit x duquel (9.18) est vérifiée avec : ɛ = 1, et : θ i x i a i = x i a i (1 i ) (Lemme 9.4.1), et r u réel strictemet positif assez petit pour que la boule de cetre a et de rayo r associée à la orme : N 1 E [0,+ [ x = x i e(i) x i soit coteue das V. De (9.18), o déduit : où : sup f (x) f (a) +(K + 1)r < + x B N1 (a,r ) K = max max(d f (a,e(i)),d f (a, e(i))) Corollaire Toute foctio covexe f C E R est localemet Lipschitziee sur l itérieur de C. Preuve : Soiet N ue orme quelcoque sur E, et V u voisiage de a das E, coteu das C tel que : sup f (x) = K < + x V

12 234 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES (Théorème 9.4.1). De la cotiuité de la foctio liéaire : L E E E (x, y) x + y il résulte l existece d u voisiage W de a, coteu das V, et d u réel strictemet positif r tels que : x W, y E, N(y) < r x + y V De (9.7), o déduit, pour tout poit x das W, tout vecteur υ de E de orme N(υ) = r, et tout ombre réel θ strictemet compris etre zéro et u : D f (x, θ υ) f (x + θ υ) f (x) 2K d où, pour tout x das W : sup D f (x,υ) 2K N(υ)=r et, puisque D f (x) E R est homogèe degré u : f (x) f (y) D f (x, x y) 2K r N(x y) pour tout couple (x, y) de poits de W. Aisi la restrictio de f à W est 2K r - Lipschitziee. Ue foctio covexe f C E R est pas écessairemet cotiue aux poits du bord de C. Exemple La foctio f [0,1] R R défiie par : f (t) = { est covexe. 1 si : t = 1 ou : t = 0 0 sio Dérivabilité Théorème Pour toute foctio covexe f C E R, tout poit a de l itérieur de C, et toute base : B = {e(1),e(2),...,e()} de E, les assertios suivates sot équivaletes : 1. D f (e(i)) = D f (a)( e(i)) (1 i ). 2. f est Gateaux-dérivable e a. 3. f est Fréchet-dérivable a. Preuve : Il suffit de vérifier : 1 3. Mais si 1 est vérifiée, (9.18) se récrit : 0 f (x) f (a) (x i a i )D f (a)(e(i)) ɛ x i a i.

13 9.5. CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS CONVEXES DÉRIVABLES 235 et (9.4.1) garatit, pour tout réel ɛ strictemet positif fixé, l existece d u réel : r strictemet positif tel que : x i a i < r f (x) f (a) (x i a i )D f (a)(e(i)) ɛ x i a i et doc : f (x) = f (a)+ (x i a i )D f (a)(e(i))+o (x a). Aisi f est dérivable e a, et sa dérivée est l applicatio liéaire : f (a) E R υ = υ i e(i) υ i D f (a)(e(i)) Corollaire Toute foctio covexe f C R R admettat des dérivées partielles e poit doé a de l itérieur de C est Fréchet-dérivable e a. 9.5 Caractérisatios des foctios covexes dérivables Soiet C u ouvert covexe de E, et f C E R ue foctio dérivable e tout poit de C. Théorème Les assertios suivates sot équivaletes : 1. f est covexe (resp. strictemet covexe) sur C. 2. x, y C, x y f (x)+ f (x)(y x) f (y) (resp. <) (9.23) 3. x, y C, x y ( f (x) f (y))(x y) 0 (resp. >) (9.24) Preuve : est coséquece directe du Théorème : Pour tout couple de (x, y) de poits disticts de C, (9.24) se déduit de la combiaiso de (9.23) avec l iégalité aalogue obteue e permutat les rôles de x et de y : Pour tout couple de (x, y) de poits disticts de C, o déduit du théorème des accroissemets fiis : f (y) f (x) f (x)(y x) = [ f (θ y+(1 θ) x) f (x)](y x) 0 (resp. >) où θ est u réel de l itervalle ]0, 1[ : Pour tout couple de (x, y) de poits disticts de C, et tout réel t strictemet compris etre zéro et u, o obtiet, e ivoquat deux fois (9.23) : f (t y +(1 t) x)+(1 t) f (t y +(1 t) x)(y x) f (y) (resp. <) (9.25)

14 236 CHAPITRE 9. FONCTIONS CONVEXES et : f (t y +(1 t) x)+ t f (t y +(1 t) x)(x y) f (x) (resp. <) (9.26) E combiat les iégalités obteues e multipliat (9.25) et (9.26) par t et (1 t) respectivemet, o déduit : f (t y +(1 t) x) t f (y)+(1 t) f (y) (resp. <) qui prouve que f est covexe (resp. strictemet covexe sur C. Corollaire Si f est deux fois dérivable e tout poit de C, elle est covexe sur C si et seulemet si : x, y C f (x)(y x, y x) 0 (9.27) et strictemet covexe sur C si et seulemet si elle y est covexe, et : x, y C, x y sup f (t y +(1 t) x)(y x, y x) > 0 (9.28) 0 < t < 1 Preuve : Soiet x et y deux poits disticts de C. Par hypothèse, la foctio : ϕ [0,1] R R t [ f (t y +(1 t) x) f (x)](y x) est ulle e zéro, dérivable sur ]0, 1[, et, pour tout t das ]0, 1[ : ϕ (t) = f (t y +(1 t) x)(y x, y x) Si f est covexe sur C, le théorème ( 1 3) motre que ϕ est toujours positive, et, puisque : ϕ(0) = 0 : ϕ (0) = f (x)(y x, y x) 0 Le résultat valat pour tout couple (x, y) de poits disticsts de C, (9.27) est vérifiée. - Réciproquemmet, (9.27) implique que ϕ est toujours positive, et, puisque : ϕ(0) = 0 : ϕ(1) = [ f (y) f (x)](y x) 0 Le résultat valat pour tout couple (x, y) de poits disticts de C, le théorème ( 3 1) motre que f est covexe sur C. - Lorsque f est covexe sur C, elle y est strictemet covexe si et seulemet si, pour tout couple (x, y) de poits disticts de C, la foctio : ψ [0,1] R R t f (t y +(1 t) x) t f (y) (1 t) f (x) (9.29)

15 9.5. CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS CONVEXES DÉRIVABLES 237 ulle aux deux extrémités de l itervalle [0, 1], est strictemet égative sur l itérieur ]0,1[ de cet itervalle. A cotrario, f sera covexe mais e sera pas strictemet covexe sur C, si et seulemet si, la foctio ψ défie par (9.29) est égative ou ulle pour tout couple (x, y) de poits disticts de C, et si pour au mois u couple de poits x et y disticts de C, elle s aule e u poit de l itervalle ]0,1[. Si ψ est toujours égative et s aule e u poit de l itervalle ]0,1[, alors ce poit doit être u maximum local, doc u poit critique, de ψ. Mais, si f est covexe sur C, ψ l est aussi, comme somme : ψ = f ξ+ζ de la composée f ξ de la foctio affie : ξ [0,1 R E t t y +(1 t) x avec f, et de la foctio affie : ζ [0,1] E R t t [ f (x) f (y)] f (x) (Propositios et 9.1.5), et tout poit critique de ψ das l itervalle ]0,1[ miimise écessairemet ψ sur [0, 1] (Corollaire 9.3.1). La foctio ψ e peut doc s auler e u poit de l itervalle ]0,1[ que si elle est idetiquemet ulle sur l itervalle [0, 1]. Fialemet, la foctio f sera covexe mais e sera pas strictemet covexe sur C si et seulemet si o peut trouver deux poits disticts x et y, de C tels que la foctio ψ défiie par (9.29), ulle, par costructio, aux deux extrémités de l itervalle [0,1], soit e fait ulle e tout poit de l itervalle [0,1], c està-dire tels que sa dérivée secode : ψ (t) = f (t y +(1 t) x)(y x, y x) soit ulle e tout poit de l itervalle ] 0,1[ (6). Elle sera doc strictemet covexe sur C si et seulemet si (9.28) est vérifiée. Exemple Si Q est ue matrice symétrique SDP, et r u vecteur de R quelcoques, la foctio quadratique : f R R x x Q x r x est covexe. Elle est strictemet covexe lorsque Q est DP. 6. Si ψ est idetiquemet ulle sur [0,1], sa dérivée secode est ulle e tout poit de ]0,1[. Réciproquemmet, si ψ est idetiquemet ulle sur ]0,1[, ψ est costate sur ]0,1[, et doc ψ est ue foctio affie, ulle au deux extrémités de l itervalle [ 0, 1], c est-à-dire idetiquemet ulle sur [0,1].

16 238 CHAPITRE 9. EXERCICES Corollaire Ue foctio f D R R, deux fois dérivable e tout poit d u ouvert covexe C coteu das l itérieur de D, est : 1. Covexe sur C si et seulemet si sa matrice Hessiee 2 f (x) est SDP e tout poit x de C 2. Strictemet covexe sur C si et seulemet si elle est covexe sur C et si, pour tout couple de poits disticts x et y de C, il existe au mois u poit z = t y +(1 t) x (0 < t < 1) tel que : (y x) 2 f (z) (y x) > 0 Exemple La foctio f R 2 R (x 1, x 2 ) x x4 2 est strictemet covexe. Preuve : - Sa Hessiee : 2 f (x 1, x 2 )( 12 x x 2 2 ) est partout SDP, et, pour tout couple de poits disticts x = (x 1, x 2 ) et (y 1, y 2 ) de R 2, la foctio : ϕ [0,1] R R t (y x) 2 f (t y +(1 t) x) (y x) =... = 12 (t y 1 +(1 t) x 1 ) 2 (y 1 x 1 ) (t y 2 +(1 t) x 2 ) 2 (y 2 x 2 ) 2 est positive, et o idetiquemet ulle puisque sa dérivée secode ϕ (t) = 24(y 1 x 1 ) (y 2 x 2 ) 4 e s aule jamais. O otera que, das l exemple 9.5.2, f est strictemet covexe, bie que sa Hessiee e soit DP e aucu poit des droites d équatio : x 1 = 0, et : x 2 = 0. Exercices Exercice 9.1 Das chacu des cas suivats, dire si f C R 2 R est covexe, strictemet covexe, cocave, strictemet cocave, et si elle atteit so maximum ou so miimum sur C. 1. C = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 x 2 > 1, x i > 0 (i = 1,2)}, et : f C R 2 R (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 + x 1 + x 2 1 x 1 x 2

17 CHAPITRE 9. EXERCICES C = {(x 1, x 2 ) R 2 x x2 2 + x 1 x 2 < 1}, et : f C R 2 R (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 + l(1 x 2 1 x 2 2 x 1 x 2 ) 3. C = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 2 x 1}, et : f C R 2 R (x 1, x 2 ) x 1 (x 1 + x 2 2) 4. C = R 2, et : f R 2 R (x 1, x 2 ) 2 x x2 2 2 x 1 x 2 + x C = R 2, et : f R 2 R (x 1, x 2 ) x x x x4 2 Exercice 9.2 O cosidère lle demi-espace fermé : H + = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 + x 2 foctio : > 0}, et la f H + R 2 R (x 1, x 2 ) x 1 + x x 1 x 2 x 1 + x 2 1. Vérifier que f est strictemet covexe. 2. Motrer qu elle atteit so miimum. Quelle est la valeur de ce miimum? 3. Déduire que, pour tout poit à coordoées positives (x 1, x 2, x 3 ) de la surface d équatio : x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = 1 das R 3 : x 1 + x 2 + x 3 3. Exercice 9.3 Vérifier que la foctio de Cobb-Douglas : f C = [0,+ [ [0,+ [ R 2 (x 1, x 2 ) C x α 1 xβ 2 (C > 0, α > 0, β > 0), bie coue des écoomistes, est strictemet cocave si : α+β < 1, et ecore cocave si : α+β = 1, mais qu elle est i covexe i cocave sur aucu ouvert covexe de C lorsque : α + β > 1. Exercice 9.4 O cosidère le problème d optimisatio : (P) Max s.c. x x2 2 + x 1 x 2 1 (x 1 + x 2 ) 1. Prouver qu il admet des solutios. 2. Prouver que la cotraite est écessairemet active à l optimum. 3. Déduire que la solutio est uique, et trouver sas calculs la valeur du maximum.

18 240 CHAPITRE 9. EXERCICES Exercice 9.5 Prouver que, pour toute matrice réelle symétrique Q, et tout vecteur r de R, O = {x R x Q x r x < 0} est u ouvert covexe de R, et : f O R R x l(r x x Q x) est cocave (resp. strictemet cocave) dès que Q est SDP (resp. DP) Exercice 9.6 (Modèle Logit) O cosidère la foctio : f R R R (p, q) exp[θ (p x + q)] où : θ = ±1, et x est u vecteur de R doé. 1. Vérifier que f est deux fois dérivable sur R R, et que sa matrice Hessiee e tout poit (p, q) de R R s écrit : 2 f (p, q) = exp[θ (p x + q)] ( x x x x 1 ) Déduire que f est covexe. Est-elle strictemet covexe? O cherche à costruire u classificateur automatique permettat de classer des poits d u espace R (des «cliets» idetifiés par u jeu de doées umériques : âge, situatio familiale, départemet de résidece, reveu imposable,..., etc.) das l ue ou l autre de deux catégories disjoites C 1 et C 2 recouvrat l espace R (les «bos» et les «mauvais» cliets). Le modèle «Logit» suppose la probabilité d apparteace à la classe C 1 d u élémet x, doé das R de la forme : P(x C 1 ) = 1 1+exp(p x + q) où p et q sot des paramètres icous, de sorte que : P(a C 2 ) = 1 1+exp( p x q) (le vérifier). O cherche alors à estimer les paramètres p et q du modèle à partir d u échatillo de poits a(i) (1 i N ) das R dot la classe est coue - u échatillo «d appretissage» - e maximisat la vraisemblace de l échatillo : N 1 1+exp[θ(i) (p a(i)+ q)]

19 CHAPITRE 9. EXERCICES 241 où : θ(i) est u «marqueur» de la classe du i ème poit : θ(i) = 1 si : a(i) C 1, et : θ(i) = 1 si : a(i) C 2, problème qui équivaut à miimiser la foctio : N F R R R (p, q)) l(1+exp[θ(i) ((p a(i)+ q)]) 2. Prouver que F est covexe. 3. Prouver qu elle est strictemet covexe si et seulemet si les N poits a(i) appartieet pas tous à u même hyperpla de R. idicatio: Observer que sa Hessiee est ue somme de matrices SDP. A quelle coditio est-elle DP? 4. Prouver qu elle est coercive si et seulemet si il existe aucu hyperpla de R «séparat» les deux classes, c est-à-dire aucu couple (p, q) das R R, distict de (0 R,0), tel que : θ(i) (p a(i)+ q) 0 (1 i N) idicatio: Raisoer par l absurde e supposat l existece d ue suite (p(k), q(k)) das R R telle que : N (p(k), q(k)) +, mais : F (p(k), q(k)) / + Ivoquer le théorème de Bolzao-Weierstrass pour garatir l existece d u poit d accumulatio de la suite ormalisée obteue e divisat chaque (p(k), q(k)) par sa orme, et motrer qu u tel poit «sépare» écessairemet les classes.. 5. Coclure que, le plus souvet, l estimateur du maximum de vraisemblace retourera l uique miimiseur de F. 6. O suppose que les poits a(i) appartieet pas à u même hyperpla de R. Motre que s il existe u hyperpla de R séparat les poits des deux classes C 1 et C 2, F a aucu poit critique. idicatio: Observer qu u hyperpla séparat les deux classes C 1 et C 2 fourit ue directio de descete pour F e tout poit de R R. Exercice 9.7 (Stricte covexité du carré de la orme N p ) Soiett E u espace de dimesio fiie, et B = {e(1),e(2),...,e()} ue base quelcoque de E. O cosidère la orme : N p E [0,+ [ x = x i e(i) ( x i p ) 1/p et o se propose de prouver, par l absurde, que Np 2 (1 < p < + ) est strictemet covexe. Pour cela, o suppose qu il existe deux poits disticts x et y das R, et u réel t strictemet compris etre 0 et 1, tels que : N 2 p (t y +(1 t) x) = t N 2 p(y)+(1 t) N 2 p(x)

20 242 CHAPITRE 9. EXERCICES 1. Prouver que : N p (x) = N p (y) = N p (t y +(1 t) x). idicatio: Utiliser la covexité de la orme N p et la stricte covexité de la foctio ϕ 2 R R r r Coclure e ivoquat la stricte covexité de la foctio : ϕ p R R r r p (p > 1) Exercice 9.8 ( ) O suppose X et Y variables de Beroulli idépedates, de paramètres respectifs p et q, de sorte que : Z = X + Y pred les valeurs : 0, 1, et : 2 avec les probabilités respectives : P 0 = (1 p)(1 q), P 1 = p (1 q)+ q (1 p) = p + q 2 p q, P 2 = p q Sur u échatillo de 20 réalisatios de Z, o a obteu : ciq fois la valeur 0, huit fois la valeur 1, sept fois la valeur 2, et o cherche à estimer p et q e maximisat la log-vraisemblace de l échatillo : l(p0 5 P 1 8 P 2 7 ) = 5 l(1 p)+5 l(1 q)+8 l(p +q 2 p q)+7 l p +7 l q 1. Vérifier que la foctio : f ]0,1[ ]0,1[ R 2 R (p, q) l(1 p)+5 l(1 q)+8 l(p + q 2 p q)+7 l p + 7 l q est de classe C 2, et calculer sa matrice Hessiee. 2. Etablir l iégalité : 1 (p + q 2 p q) q 2 (1 p) + 1 q, et déduire : 2 p 2 q (1 q) 32 (p + q 2 p q) 32 q2 (1 q) q (1 q) < 2 (1 p) 2 p 2 5 (1 p) p 2 idicatio: Utiliser : p + q 2 p q = p (1 q) + q (1 p) et la covexité de x 1/x 2, puis calculer la valeur de : max q 2 (1 q) = max q (1 q) Coclure que f est strictemet cocave, et déduire qu elle atteit so maximum e u poit uique ( ˆp, ˆq) que l o détermiera. idicatio: Ecrire la matrice Hessiee de f comme la somme d ue matrice diagoale et d ue matrice SDN pour vérifier que f est strictemet cocave, puis observer que le critère est ivariat par permutatio de p et de q, et déduire : ˆp = ˆq.

21 CHAPITRE 9. EXERCICES 243 Exercice 9.9 ( ) O cosidère la variable aléatoire : X = S x = S i x i, où : S = (S 1,...,S ) est u vecteur aléatoire cou de dimesio, et de moyee : E(S) = 0 R, de sorte que : E(X ) = E(S) x = 0, et o ote : D = E(S S ) la matrice de dispersio de S, de terme gééral : D j i = E(S i S j ) (1 i, j ). 1. Vérifier que : f R R x E(X 4 ) = E [(S x) 4 ] est deux fois dérivable sur R et que, pour tout x das R : 2 f (x) = 12 E ((S x) 2 S S ) idicatio: ϕ R R t f (x + t d) est ue foctio polyômiale de degré quatre. 2. Vérifier que, pour tout couple (a,b) de poits de R : (b a) 2 f (t b +(1 t) a) (b a) est idetiquemet ulle que si : S (b a) = 0 presque sûremet. idicatio: ψ R R t (b a) 2 f (t b +(1 t) a) (b a) est ue foctio polyômiale de degré deux. 3. Déduire que f est toujours covexe sur R, et strictemet covexe si et seulemet si la matrice de dispersio D de S est DP.

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Aide Mémoire de Statistique

Aide Mémoire de Statistique Aide Mémoire de Statistique (E, E, P) modèle statistique (E, E, P) modèle probabiliste E probabilité, o coaît la loi P et o fait des calculs E statistique, o e coaît pas la loi (seulemet ue famille de

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1 1.1 Présetatio..............................

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose ) k+ s = et u = l e s ) k k= a) Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b) Prouver

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S exercices 1 Exercices de base 1 1 Divisio Euclidiee - 1 (c) 1 Divisio Euclidiee- 1 3 Divisio Euclidiee-3 (c) 1 4 Multiples - 1 1 5 PGCD - 1 (c) 3 1 6 PPCM et PGCD - 1 7 PPCM et PGCD - 3 3 3

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites.

Plus en détail

Feuille d exercices: Calcul matriciel.

Feuille d exercices: Calcul matriciel. Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das

Plus en détail

Une démonstration du théorème. fondamental des nombres premiers. Fin de Licence 3, 2006-2007, Université d'orsay, Professeur : M. Zuily.

Une démonstration du théorème. fondamental des nombres premiers. Fin de Licence 3, 2006-2007, Université d'orsay, Professeur : M. Zuily. Ue démostratio du théorème fodametal des ombres premiers Fi de Licece 3, 26-27, Uiversité d'orsay, Professeur : M. Zuily. Table des matières Itroductio 2. Quelques rappels et otatios....................................

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

Application du logiciel Excel

Application du logiciel Excel Applicatio du logiciel Ecel Utilisatio du Solver du logiciel Ecel Table de matiers Lacemet du logiciel... Optimisatios... Programmatio liéaire... Problème du trasport... 8 Problème de programmatio quadratique...

Plus en détail

IUFM de La Réunion Préparation au CAPES de mathématiques. Exercices d analyse. Dominique Tournès 2000/2001. Newton Leibniz Taylor Euler

IUFM de La Réunion Préparation au CAPES de mathématiques. Exercices d analyse. Dominique Tournès 2000/2001. Newton Leibniz Taylor Euler IUFM de La Réuio Préparatio au CAPES de mathématiques Eercices d aalyse Domiique Tourès / Newto Leibiz Taylor Euler Lagrage Legedre Fourier Gauss Cauchy Abel Dirichlet Weierstrass Riema Lipschitz Ruge

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté CTU, Licece de Mathématiques Statistique Iféretielle Jea-Yves DAUXOIS Uiversité de Frache-Comté Aée scolaire 2011-2012 Ce polycopié cotiet le cours, les sujets d exercice et leurs corrigés aisi que les

Plus en détail

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a. Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère

Plus en détail

Modélisation stochastique

Modélisation stochastique Uiversité de Lorraie Master 2 IMOI 2014-2015 Modélisatio stochastique Madalia Deacou 2 Table des matières Itroductio 5 1 Simulatio de variables aléatoires 7 1.1 Itroductio............................ 7

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64

Sylvain ETIENNE 2003/2004 PLC1, groupe 1 Exposé 64 Sylvai ETIENNE 3/4 IMAGE D UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE, IMAGE D UN SEGMENT. CONTINUITE DE LA FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLE. Niveau : Complémetaire.

Plus en détail

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression Pla du cours Méthodes de statistique iféretielle. A. Philippe Laboratoire de mathématiques Jea Leray Uiversité de Nates Ae.Philippe@uiv-ates.fr 1 Itroductio 2 Probabilités : Variables Aléatoires Cotiues

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Chapitre 3: Réfraction de la lumière

Chapitre 3: Réfraction de la lumière 2 e B et C 3 Réfractio de la lumière 16 Chapitre 3: Réfractio de la lumière 1. Expériece 1 : tour de magie avec ue pièce de moaie a) Dispositio Autour d'ue petite boîte coteat ue pièce de 1 de ombreux

Plus en détail

Travaux dirigés de transports et transferts thermiques

Travaux dirigés de transports et transferts thermiques Travaux dirigés de trasports et trasferts thermiques Aée 015-016 Araud LE PADELLEC alepadellec@irap.omp.eu page page 3 P r é s e t a t i o Tous les exercices de trasports et de trasferts thermiques qui

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. LEÇON N 20 : Racies -ièmes d u ombre complexe. Iterprétatio géométrique. Applicatios. Pré-requis : Représetatio d u ombre complexe das le pla R 2 mui d u repère orthoormé direct ; Formes trigoométrique

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes 1 Ue défiitio de la foctio expoetielle das l esprit des ouveaux programmes 0. Itroductio. Les ouveaux programmes de mathématiques de termiale S qui sot etrés e vigueur à la retrée 2002 icitet fortemet

Plus en détail

Problème 1 : continuité uniforme

Problème 1 : continuité uniforme SESSION 0 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : cotiuité uiforme f est pas uiformémet cotiue sur I si et seulemet si ε > 0/ η > 0, x,y I / x y η et fx fy > ε Soit f ue foctio -lipschitziee sur I avec

Plus en détail

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre

Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre 1. Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces............. 8 B. Étude locale des applicatios Cotiuité..... 19 C. Cotiuité des applicatios liéaires....... 25 D. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie...

Plus en détail