Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires"

Transcription

1 L-MATH II-(25-26). Résumé sur les Intégrles Impropres & eercices supplémentires Une fonction définie sur un intervlle I est dite loclement intégrble sur I si f est Riemnnintégrble sur tout intervlle [, b] I.. Définitions. () Soit f une fonction définie sur l intervlle I = [, b[ (on peut voir b = + ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle F () = f(t)dt est convergente en b si l fonction f(t)dt, définie sur [, b[, dmet une limite finie qund tend vers b (Cette limite finie est ppelée l intégrle de f sur [, b[ et est notée f(t)dt). Dns le cs contrire, on dit que l intégrle f(t)dt est divergente. (2) Soit f une fonction définie sur l intervlle I =], b] (on peut voir = ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle F () = f(t)dt est convergente en si l fonction f(t)dt, définie sur ], b], dmet une limite finie qund tend vers (Cette limite finie est ppelée l intégrle de f sur ], b] et est notée. Eemples. (). On (b). divergente. On (c). On est divergente. (d). On f(t)dt). Dns le cs contrire, on dit que l intégrle e t dt = e. Comme lim + e =, l intégrle f(t)dt est divergente. e t dt est convergente et vut cos(t)dt = sin(). Comme lim sin() n eiste ps, l intégrle cos(t)dt est + 2 dt = ln( ), pour >. Comme lim t ln( ) =, l intégrle t dt dt = 2 2. Comme lim =, l intégrle dt est convergente. t t (3) Soit f une fonction définie sur l intervlle I =], b[ (on peut voir =, b = + ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle c ], b[ (ou d une fcon équivlente si pour tout c ], b[) l intégrle et l intégrle c f(t)dt est convergente en b. Pr définition on pose f(t)dt = c f(t)dt + f(t)dt est convergente (en et b) s il eiste c c f(t)dt est convergente en

2 2 (4) Soit f une fonction définie sur une réunion ] i, b i [, vec b i i+ (on peut voir i n =, b n = + ) et loclement intégrble sur chque ] i, b i [. On dit que l intégrle est convergente si pour tout i, l intégrle i i i=n f(t)dt = i= i f(t)dt est convergente. Pr définition on pose i f(t)dt Eemples. (). Montrons que l intégrle + t dt est convergente. L fonction est définie et continue 2 + t2 (donc loclement intégrble) sur R, donc il fut (et il suffit) de montrer que les intégrles + t dt, + dt sont convergentes. + t2 On dt = rctn(), ( ), + t2 π/2 et lim rctn() = π/2, les intégrles + t dt et + t2 = rctn(), ( ). Comme lim rctn() = 2 + conséquent dt est convergente et vut π. + t2 (b). Montrons que l intégrle t dt est divergente. L fonction Donc on étudie les intégrles et pr conséquent dt et t dt est divergente. t dt. D près ce qui précède, t dt sont convergentes et pr + t2 est définie sur ], [ ], + [. t dt est divergente t On considère dns l suite une fonction f définie et loclement intégrble sur I = [, b[ et on étudie l convergence de l intégrle 2. L convergence bsolue. On dit que l intégrle convergente (en b). Toutes les utres intégrles se rmènent à ce cs. f(t)dt est bsolument convergente (en b) si l intégrle Théorème Une intégrle bsolument convergente est convergente. 3. Intégrles Impropres des fonctions à signe constnt. Si f est négtive sur I, lors f est positive sur I et l convergence de l intégrle rmène à celle de l intégrle des fonctions positives. f(t) dt est f(t)dt se Pr conséquent, dns l suite on ne considère que le cs Critère de l convergence mjorée. Si f est positive lors l intégrle (en b) si et seulement si l fonction F () = f(t)dt est bornée sur [, b[. f(t)dt est convergente

3 3 Critère de comprison. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. S il eiste M R tel que f() Mg() pour tout [, b[, lors l convergence de l intégrle g(t)dt entrîne celle de Critère de l convergence dominée. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. (). Si f =O b (g) lors l convergence de l intégrle (2). Si f =o b (g) lors l convergence de l intégrle g(t)dt entrîne celle de g(t)dt entrîne celle de Rppel. Soit f et g deu fonctions définie sur D, où D est une réunion d intervlles disjoints. Soit b D où D est l dhérence de D dns R {, + }. (). On dit que f est négligeble devnt g u voisinge de b et on écrit f = o b (g) s il eiste une fonction ε, définie sur D, telle que f = gε u voisinge de b et lim b ε() =. (2) On dit que f est dominée pr g u voisinge de b et on écrit f =O b (g), s il eiste une fonction ε définie sur D, bornée, telle que f = gε u voisinge de b. Remrques. (). Si g ne s nnule ps sur D {b}, lors f est dominée pr g u voisinge de b si et seulement si f g est bornée u voisinge de b. (2). Si g ne s nnule ps sur D {b}, lors f est négligeble devnt g u voisinge de b si et seulement si lim g =. (3). f = o b (g) f = O b (g). b f f = O b (g) implique, qund f et g sont positives, et b R, qu il eiste M R + et δ > tels que pour tout D ]b δ, b + δ[, f() Mg(). (Enoncer l propriété nlogue pour b = et b = + ). Pr conséquent on voit, d près le critère de l convergence mjorée ou celui de comprison, que si Eemples. g(t)dt est convergente lors f(t)dt est convergente. (). Pour tout t, on e t2 e t et donc e t2 = O + (e t ). Comme l intégrle convergente, l intégrle (b). Montrons que l intégrle e t2 dt est ussi convergente. devnt lquelle f est négligeble u voisinge de +. On e t dt est t α e t dt est convergente où α >. Cherchons une fonction g(t) t α e t t α+ lim t + = lim =. t 2 t + e t Donc t α e t = o + ( ) et d près le critère de l convergence dominée, l intégrle t 2 est convergente. t α e t dt Critère des équivlents. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. Si f est équivlente à g u voisinge b, lors les intégrles l même nture. Eemples. f(t)dt, g(t)dt sont de

4 4 (). Montrons que l intégrle t α e t dt est convergente où α > (Rppelons que t α (α ) ln t = e et donc l fonction f(t) = t α e t n est ps définie en ). Cherchons une fonction g(t) équivlente à f u voisinge de. On t α e t lim = lim e t =. t t α t Donc t α e t t α et d près le critère des équivlents l intégrle cr l intégrle t α dt est convergente. 4. Intégrles de références. (). (Intégrles de Riemnn). Soit α R. dt, ( > ), est convergente si et seulement si α >. tα t α e t dt est convergente dt, ( > ), est convergente si et seulement si α <. tα (b) (Intégrles de Bertrnd). Soit α, β R. t α dt, ( > ), est convergente si et seulement si (α > ) ou (α = et β > ). (ln t) β (c) (Intégrle de Guss). L intégrle (d) (Intégrle de Dirichlet). L intégrle e t2 π dt est convergente et vut 2. sin t dt est convergente et vut π t 2. (e) (Intégrles de Fresnel). Les intégrles sin(t 2 ) dt et π et leurs vleurs est 2 2. Eercices supplémentires cos(t 2 ) dt sont convergentes Eercice. Déterminer l nture des intégrles suivntes et, lorsqu elles convergent, les clculer. ln t dt, rctn(t) + t 2 dt, t( + t) dt, t(t + ), Eercice 2. Etudier l convergence des intégrles suivntes : (t 2 + )t 2 dt, Eercice 3. Montrer que l intégrle t 3 ln t + t 4, π/2 t ( t) 2 dt tn(t) dt, e t t dt. t4 + t 3 t 2 dt. ln t est convergente. Clculer s vleur. + t2 Eercice 4. Montrer que les intégrles suivntes sont bsolument convergentes. (ln t)(sin( t ))dt, e t2 cos t dt, te t2 (t 2 sin t cos( t )) dt, ln t cos t dt t 3/2

5 5 Eercice 5.. Déterminer, selon l vleur de α R, l nture de l intégrle 2. Déterminer l nture de l intégrle sin t t e t dt. ( ) α e t2 dt. Eercice 6. Etudier, suivnt les vleurs des réels et b, l nture des intégrles suivntes : t dt (b > ), + tb /2 (sin t) (ln t) b dt, /2 (sin(πt)) (ln t) b dt.

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b Les intégrles Introduction Etnt donnée une fonction positive f définie sur un intervlle borné [, b], on veut évluer l ire comprise entre l e des bscisses, l courbe représentnt f et les verticles = et =

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments Synthèse de cours (Terminle S) Dérivtion : rppels et compléments Rppels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. f ( + h) f ( ) Si l limite lim existe, on

Plus en détail

Primitive et intégrale d une fonction continue

Primitive et intégrale d une fonction continue Primitive et intégrle d une fonction continue O. Simon, Université de Rennes I 24 mi 2005 Avertissement : Ceci n est ps le contenu d une leçon de CAPES. Dns le progrmme 2002 de terminles S, on introduit

Plus en détail

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math Espces métriques, espces vectoriels normés Tewfik Sri L2 Mth Avertissement : ces notes sont l rédction, progressive et provisoire, d un résumé du cours d espces métriques de d espces vectoriels normés

Plus en détail

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org)

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) CCP 27. Filière MP. Mthémtiques. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lmrd (jen-louis.lmrd@preps.org EXERCCE.. f est continue (en tnt de frction rtionnelle dont le dénominteur ne s nnule ps sur le compct F

Plus en détail

COMPARAISON DE FONCTIONS

COMPARAISON DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot COMPARAISON DE FONCTIONS 1 Notion de voisinge Définition 1.1 Voisinge Soit R = R {± }. On ppelle voisinge de une prtie de R contennt un intervlle de l forme :

Plus en détail

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4. Fonctions loclement intégrbles Soit I un intervlle de R et soit f : R R une ppliction. Définition 4.. On dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble

Plus en détail

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie Exo7 Zéros des fonctions Vidéo prtie 1. L dichotomie Vidéo prtie. L méthode de l sécnte Vidéo prtie 3. L méthode de Newton Dns ce chpitre nous llons ppliquer toutes les notions précédentes sur les suites

Plus en détail

Cours d Analyse II. Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première. Notes rédigées par : M. BENELKOURCHI Slimane

Cours d Analyse II. Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première. Notes rédigées par : M. BENELKOURCHI Slimane Déprtement de Mthémtiques Fculté des Sciences Université Ibn Tofïl Kénitr Cours d Anlyse II S2 Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première nnée) Notes rédigées pr : M. BENELKOURCHI Slimne Professeur

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales généralisées

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales généralisées Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles générlisées C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 24 Pln 1 Définitions et premières propriétés Intégrles

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eo7 Clcls de primitives et d intégrles Eercices de Jen-Lois Roget. Retrover ssi cette fiche sr www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficlté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontornle

Plus en détail

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo Feuille de TD 6. Théorie de l mesure et intégrtion. J.C. Prdo Exercices. Exo. 72 Soit f une fonction sur. On considère muni de l tribu B des boréliens et d une mesure λ sur B. On suppose que f est λ-loclement

Plus en détail

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Fiche 2 : les fonctions

Fiche 2 : les fonctions Nº : 300 Fice : les foctios Pl de l fice I - Limites, comportemet symptotique II - Dérivtio III - Cotiuité I - Limites, comportemet symptotique Défiitios Ue foctio f pour ite e lorsque : l foctio f est

Plus en détail

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2 MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES OSMANOV Hmid KHELIFATI Sddek BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE PARTIE : INTEGRATION. INTEGRALE INDEFINIE

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Chapitre 1. Dénombrer et sommer. 1.1 Rappels ensemblistes. 1.1.1 Opérations ensemblistes

Chapitre 1. Dénombrer et sommer. 1.1 Rappels ensemblistes. 1.1.1 Opérations ensemblistes Chpitre 1 Dénombrer et sommer Compter des objets et fire des dditions, voilà bien les deux ctivités les plus élémentires à l bse des mthémtiques. Et pourtnt à y regrder de plus près, ce n est ps si fcile.

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Les Intégrales Impropres

Les Intégrales Impropres Pge sur Les Inégrles impropres Les Inégrles Impropres 4 / 5 ) Voculire : L noion d'inégrle générlisée On essye ici d'éendre l'inégrion sur un segmen ( on prle lors d'une "inégrle propre" ) à l'inégrion

Plus en détail

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie Mth Spé MP Chpitre 13 : intégrtion sur un intervlle quelconque : théorie 19/1/2012 1 Cs des onctions à vleurs dns R + Déinition : onction continue pr morceux sur un intervlle : Une onction : K où (K =

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Topologie Ouverts et fermés Exercice 6 [ 118 ] [correction] On muni le R-espce vectoriel des suites réelles bornées de l norme u = sup u n

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque

Intégration sur un intervalle quelconque [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le ocobre 5 Enoncés Inégrion sur un inervlle quelconque Inégrbilié Eercice [ 657 ] [Correcion] Éudier l eisence des inégrles suivnes : Eercice 5 [ 66 ] [Correcion] Monrer

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen Cours de DEUG Méthodes mthémtiques pour les sciences de l vie I Avner Br-Hen Université Aix-Mrseille III 3 Tble des mtières Tble des mtières i Fonctions, limites, continuité Fonction, représenttion grphique......................

Plus en détail

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

Fonctions affines ; Equations et inéquations

Fonctions affines ; Equations et inéquations Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que.

Plus en détail

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV LEGTHP Sint Nicols STAV Promotion 8 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV Fiches de cours S. FLOQUET Septemre 9 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SOMMAIRE STAV PARTIE : RESUMES DE COURS Équtions de droites

Plus en détail

Développements limités. Motivation. Exo7

Développements limités. Motivation. Exo7 Eo7 Développements limités Vidéo prtie. Formules de Tlor Vidéo prtie 2. Développements limités u voisinge d'un point Vidéo prtie 3. Opértions sur les DL Vidéo prtie 4. Applictions Eercices Développements

Plus en détail

Séries, intégrales et probabilités

Séries, intégrales et probabilités Séries, intégrles et probbilités Thierry MEYRE Préprtion à l grégtion interne. Année 2014-2015. Université Pris Diderot. IREM. http://www.prob.jussieu.fr/pgeperso/meyre 2 BIBLIOGRAPHIE. Les ouvrges de

Plus en détail

(surface d'un cercle : S = pd2 4 )

(surface d'un cercle : S = pd2 4 ) Les cordes sont de dimètres vribles. Si on les remplce pr deux cordes de même dimètre, le dimètre moyen, le résultt devrit être le même. Ici le résultt, c est sns doute l résistnce qui est proportionnelle

Plus en détail

Exercices - Calcul d intégrales : corrigé. Intégration par parties - Changements de variable

Exercices - Calcul d intégrales : corrigé. Intégration par parties - Changements de variable Intégration par parties - Changements de variable Eercice - Changements de variables - Niveau - L/Math Sup -. La fonction t t est une bijection de classe C de, 4] sur, ]. On peut donc poser u t. Lorsque

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines Fonctions : vritions et extremums. Fonctions ffines Clsse de seconde I. Sens de vrition d'une fonction... 1) Fonctions croissntes... ) Fonctions décroissntes... II. Tbleu de vritions...3 III. Mximum, minimum...3

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux 1/29 Théorie des Lngges Formels Chpitre 5 : Automtes minimux Florence Levé Florence.Leve@u-picrdie.fr Année 2014-2015 2/29 Introduction Les lgorithmes vus précédemment peuvent mener à des utomtes reltivement

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math Intégrles impropres et séries Tewfik Sri L2 Mth Chpitre 1 Rppels sur l intégrtion 1.1 Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Soit [, b] un intervlle fermé et borné de R. Une subdivision de [, b] et

Plus en détail

Intégrales convergentes

Intégrales convergentes Universié Joseph Fourier, Grenoble Mhs en Ligne Inégrles convergenes L plupr des inégrles que vous renconrerez ne son ps des ires de domines bornés du pln. Nous llons pprendre ici à clculer les inégrles

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Analyse 1 L1-mathématiques

Analyse 1 L1-mathématiques Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres..................................... 3.. Les ensembles N, Z, Q et R...................... 3.. Les intervlles

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système,

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système, Université Paris 7 Denis Diderot UFR de Mathématiques Licence L3 Equations différentielles 2006-2007 P. Perrin (Un) Corrigé du partiel Lundi 9 mars 2007 Eercice. On considère le système différentiel linéaire

Plus en détail

1 Projection tache Airy sur mode propre capillaire

1 Projection tache Airy sur mode propre capillaire 1 Projection tche Airy sur mode propre cpillire Dns l pproximtion prxile (petits ngles) le chmp électrique d une onde de fréquence ω polrisée rectilignement suivnt ~u x se propgent à l intérieur d un cpillire

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Comparaison de fonctions, développements limités

Comparaison de fonctions, développements limités I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours. 1. Fonctions dénies par morceaux

Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours. 1. Fonctions dénies par morceaux Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Chpitre 1 Séries de Fourier Nottion : Dns tout le chpitre, on e un réel > et on note ω =. 1. Fonctions

Plus en détail

Quantification et échantillonnage

Quantification et échantillonnage numérique à l et échntillonnge Signl physique (onde lumineuse, onde sonore) : vrition d une grndeur physique (éclirement, pression) en temps et/ou espce Sénce 4 et échntillonnge Contrintes de l représenttion

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL I-1/ Soit une brrière de

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Equations d'état, travail et chaleur

Equations d'état, travail et chaleur Equtions d'étt, trvil et chleur Exercice On donne R 8, SI. ) Quelle est l'éqution d'étt de n moles d'un gz prfit dns l'étt,,? En déduire l'unité de R. ) Clculer numériquement l vleur du volume molire d'un

Plus en détail

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x.

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x. MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème (CCP) Toutes les fonctions de ce problème sont à vleurs réelles. PARTE PRÉLMNARE Les résultts de cette prtie seront utilisés plusieurs fois dns le problème.. Fonction

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis AFD AFN Opértions Lemme de pompge 1/ 36 Théorie des Lngges Épisode 2 Automtes finis Thoms Pietrzk Université Pul Verline Metz AFD AFN Opértions Lemme de pompge Reconnisseur Définition Configurtion Accepttion

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Mathématiques du signal déterministe

Mathématiques du signal déterministe Conservtoire Ntionl des Arts et Métiers MAA17 Mthémtiques du signl déterministe Nelly POINT 11 octobre 211 Tble des mtières 1 Intégrtion 3 1.1 Méthodes d intégrtion : rppels........................ 3

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli Chpitre 6 : Fonctions ffines -8-01-1- Seconde 7, 010-011, Y. Angeli 1. Éqution réduite d une droite Théorème. Dns un repère, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) tels que x A x B. Alors l droite (AB) est

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

Fiche de cours 5 - Calcul intégral.

Fiche de cours 5 - Calcul intégral. Licence de Sciences et Technologies EM - Anlyse Primitives et intégrles Fiche de cours 5 - Clcul intégrl. Définition : soit deu fonctions f, F, définies sur un intervlle I non réduit à un point. L fonction

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012 MMIM Modèles mthémtiques en informtique musicle Mrc Chemillier Mster M2 Atim (Ircm), 2011-2012 Notions théoriques sur les lngges formels - Définitions générles o Mots, lngges o Monoïdes - Notion d utomte

Plus en détail

1 Convergence simple et convergence uniforme

1 Convergence simple et convergence uniforme Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, 0/03 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 5 - Suites et séries de foctios Soiet E et F deu espces métriques quelcoques et (f ) ue suite d pplictios de

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Intégration, probabilités

Intégration, probabilités prép-greg 7-8 Intégrtion, probbilités Dns tous les exercices probbilistes, les vribles létoires sont supposées définies sur le même espce probbilisé (Ω, A, P). I Questions de cours L fonction t sin t t

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Calcul des primitives

Calcul des primitives Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Clul des primitives Bernrd Yrt L objetif de e hpitre est purement tehnique : l théorie de l intégrtion est supposée onnue ou dmise. Le seul but est d eposer

Plus en détail

( 0 0 1 0 0 0 0 0 0. et A est semblable à T ; de même B est semblable. n. x

( 0 0 1 0 0 0 0 0 0. et A est semblable à T ; de même B est semblable. n. x Préprtion à l orl Mines-Ponts - MP I) Soit f de clsse C sur [, + [, à vleurs dns R, vérifint f() = et f (t) = (f(t)) + t Montrer que f dmet une limite l + π en + 4 II) Soient A et B non nulles dns M 3

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Table des matières. Avant propos

Table des matières. Avant propos Tble des mtières Avnt propos ii 1 Intégrle de Riemnn 1 1.1 Intégrle des fonctions en esclier............ 2 1.2 Fonctions intégrbles u sens de Riemnn........ 6 1.3 Propriétés générles de l intégrle de Riemnn......

Plus en détail