Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

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1 L-MATH II-(25-26). Résumé sur les Intégrles Impropres & eercices supplémentires Une fonction définie sur un intervlle I est dite loclement intégrble sur I si f est Riemnnintégrble sur tout intervlle [, b] I.. Définitions. () Soit f une fonction définie sur l intervlle I = [, b[ (on peut voir b = + ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle F () = f(t)dt est convergente en b si l fonction f(t)dt, définie sur [, b[, dmet une limite finie qund tend vers b (Cette limite finie est ppelée l intégrle de f sur [, b[ et est notée f(t)dt). Dns le cs contrire, on dit que l intégrle f(t)dt est divergente. (2) Soit f une fonction définie sur l intervlle I =], b] (on peut voir = ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle F () = f(t)dt est convergente en si l fonction f(t)dt, définie sur ], b], dmet une limite finie qund tend vers (Cette limite finie est ppelée l intégrle de f sur ], b] et est notée. Eemples. (). On (b). divergente. On (c). On est divergente. (d). On f(t)dt). Dns le cs contrire, on dit que l intégrle e t dt = e. Comme lim + e =, l intégrle f(t)dt est divergente. e t dt est convergente et vut cos(t)dt = sin(). Comme lim sin() n eiste ps, l intégrle cos(t)dt est + 2 dt = ln( ), pour >. Comme lim t ln( ) =, l intégrle t dt dt = 2 2. Comme lim =, l intégrle dt est convergente. t t (3) Soit f une fonction définie sur l intervlle I =], b[ (on peut voir =, b = + ) et loclement intégrble sur I. On dit que l intégrle c ], b[ (ou d une fcon équivlente si pour tout c ], b[) l intégrle et l intégrle c f(t)dt est convergente en b. Pr définition on pose f(t)dt = c f(t)dt + f(t)dt est convergente (en et b) s il eiste c c f(t)dt est convergente en

2 2 (4) Soit f une fonction définie sur une réunion ] i, b i [, vec b i i+ (on peut voir i n =, b n = + ) et loclement intégrble sur chque ] i, b i [. On dit que l intégrle est convergente si pour tout i, l intégrle i i i=n f(t)dt = i= i f(t)dt est convergente. Pr définition on pose i f(t)dt Eemples. (). Montrons que l intégrle + t dt est convergente. L fonction est définie et continue 2 + t2 (donc loclement intégrble) sur R, donc il fut (et il suffit) de montrer que les intégrles + t dt, + dt sont convergentes. + t2 On dt = rctn(), ( ), + t2 π/2 et lim rctn() = π/2, les intégrles + t dt et + t2 = rctn(), ( ). Comme lim rctn() = 2 + conséquent dt est convergente et vut π. + t2 (b). Montrons que l intégrle t dt est divergente. L fonction Donc on étudie les intégrles et pr conséquent dt et t dt est divergente. t dt. D près ce qui précède, t dt sont convergentes et pr + t2 est définie sur ], [ ], + [. t dt est divergente t On considère dns l suite une fonction f définie et loclement intégrble sur I = [, b[ et on étudie l convergence de l intégrle 2. L convergence bsolue. On dit que l intégrle convergente (en b). Toutes les utres intégrles se rmènent à ce cs. f(t)dt est bsolument convergente (en b) si l intégrle Théorème Une intégrle bsolument convergente est convergente. 3. Intégrles Impropres des fonctions à signe constnt. Si f est négtive sur I, lors f est positive sur I et l convergence de l intégrle rmène à celle de l intégrle des fonctions positives. f(t) dt est f(t)dt se Pr conséquent, dns l suite on ne considère que le cs Critère de l convergence mjorée. Si f est positive lors l intégrle (en b) si et seulement si l fonction F () = f(t)dt est bornée sur [, b[. f(t)dt est convergente

3 3 Critère de comprison. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. S il eiste M R tel que f() Mg() pour tout [, b[, lors l convergence de l intégrle g(t)dt entrîne celle de Critère de l convergence dominée. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. (). Si f =O b (g) lors l convergence de l intégrle (2). Si f =o b (g) lors l convergence de l intégrle g(t)dt entrîne celle de g(t)dt entrîne celle de Rppel. Soit f et g deu fonctions définie sur D, où D est une réunion d intervlles disjoints. Soit b D où D est l dhérence de D dns R {, + }. (). On dit que f est négligeble devnt g u voisinge de b et on écrit f = o b (g) s il eiste une fonction ε, définie sur D, telle que f = gε u voisinge de b et lim b ε() =. (2) On dit que f est dominée pr g u voisinge de b et on écrit f =O b (g), s il eiste une fonction ε définie sur D, bornée, telle que f = gε u voisinge de b. Remrques. (). Si g ne s nnule ps sur D {b}, lors f est dominée pr g u voisinge de b si et seulement si f g est bornée u voisinge de b. (2). Si g ne s nnule ps sur D {b}, lors f est négligeble devnt g u voisinge de b si et seulement si lim g =. (3). f = o b (g) f = O b (g). b f f = O b (g) implique, qund f et g sont positives, et b R, qu il eiste M R + et δ > tels que pour tout D ]b δ, b + δ[, f() Mg(). (Enoncer l propriété nlogue pour b = et b = + ). Pr conséquent on voit, d près le critère de l convergence mjorée ou celui de comprison, que si Eemples. g(t)dt est convergente lors f(t)dt est convergente. (). Pour tout t, on e t2 e t et donc e t2 = O + (e t ). Comme l intégrle convergente, l intégrle (b). Montrons que l intégrle e t2 dt est ussi convergente. devnt lquelle f est négligeble u voisinge de +. On e t dt est t α e t dt est convergente où α >. Cherchons une fonction g(t) t α e t t α+ lim t + = lim =. t 2 t + e t Donc t α e t = o + ( ) et d près le critère de l convergence dominée, l intégrle t 2 est convergente. t α e t dt Critère des équivlents. Soit f et g deu fonctions positives, définies et loclement intégrbles sur [, b[. Si f est équivlente à g u voisinge b, lors les intégrles l même nture. Eemples. f(t)dt, g(t)dt sont de

4 4 (). Montrons que l intégrle t α e t dt est convergente où α > (Rppelons que t α (α ) ln t = e et donc l fonction f(t) = t α e t n est ps définie en ). Cherchons une fonction g(t) équivlente à f u voisinge de. On t α e t lim = lim e t =. t t α t Donc t α e t t α et d près le critère des équivlents l intégrle cr l intégrle t α dt est convergente. 4. Intégrles de références. (). (Intégrles de Riemnn). Soit α R. dt, ( > ), est convergente si et seulement si α >. tα t α e t dt est convergente dt, ( > ), est convergente si et seulement si α <. tα (b) (Intégrles de Bertrnd). Soit α, β R. t α dt, ( > ), est convergente si et seulement si (α > ) ou (α = et β > ). (ln t) β (c) (Intégrle de Guss). L intégrle (d) (Intégrle de Dirichlet). L intégrle e t2 π dt est convergente et vut 2. sin t dt est convergente et vut π t 2. (e) (Intégrles de Fresnel). Les intégrles sin(t 2 ) dt et π et leurs vleurs est 2 2. Eercices supplémentires cos(t 2 ) dt sont convergentes Eercice. Déterminer l nture des intégrles suivntes et, lorsqu elles convergent, les clculer. ln t dt, rctn(t) + t 2 dt, t( + t) dt, t(t + ), Eercice 2. Etudier l convergence des intégrles suivntes : (t 2 + )t 2 dt, Eercice 3. Montrer que l intégrle t 3 ln t + t 4, π/2 t ( t) 2 dt tn(t) dt, e t t dt. t4 + t 3 t 2 dt. ln t est convergente. Clculer s vleur. + t2 Eercice 4. Montrer que les intégrles suivntes sont bsolument convergentes. (ln t)(sin( t ))dt, e t2 cos t dt, te t2 (t 2 sin t cos( t )) dt, ln t cos t dt t 3/2

5 5 Eercice 5.. Déterminer, selon l vleur de α R, l nture de l intégrle 2. Déterminer l nture de l intégrle sin t t e t dt. ( ) α e t2 dt. Eercice 6. Etudier, suivnt les vleurs des réels et b, l nture des intégrles suivntes : t dt (b > ), + tb /2 (sin t) (ln t) b dt, /2 (sin(πt)) (ln t) b dt.