NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS / ARITHMETIQUE THEME 10 : Exercice n 1: 1. Exercice n 2:. + c b. Exercice n 3 : = A

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1 THEME 0 : NOMRES ENTIERS ET RTIONNELS / RITHMETIQUE Exercice n :.. Exercice n :. ) ( c b ) ( bc c b b c ) ( c b Exercice n :

2 0 0 D D D D D D D E E E E E E E TIVITE : ) Diviseur / Multiple : Ne ps confondre! ) Les flèches ont été oubliées: Dns chque cdre, si est un diviseur de b, lors tu dois indiquer l flèche de vers b. Exemple: est un diviseur de 0 0 b) Vri ou fux?. est un diviseur de ux. est un diviseur de Vri. 0 est un multiple de Vri. est un multiple de ux. 0 est un multiple de ux. est un multiple de Vri. est un diviseur de 0 Vri

3 ) Trouver les diviseurs ) Ecris pr ordre croissnt l liste complète des nombres qui divisent: 0 : ide : Tu peux fire un tbleu comme ci-dessous: Les diviseurs de 0 sont : 0 Les diviseurs de sont : Les diviseurs de sont : Les diviseurs de 00 sont : b) omplète: 0 est divisible pr, en effet, on peut écrire : 0 est divisible pr, en effet, on peut écrire : est divisible pr, en effet, on peut écrire : est divisible pr, en effet, on peut écrire :. Exercice n : ssocie à chque nombre de l colonne de guche ses diviseurs situés dns l colonne de droite. ses diviseurs sont ses diviseurs sont 0 ses diviseurs sont ses diviseurs sont 0 ses diviseurs sont Exercice n : Trouve un nombre entier qui soit : diviseur de multiple de et le plus grnd possible, mis strictement inférieur à. Le nombre est Exercice n :. Ecris l liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont :. Ecris l liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont :

4 Exercice n : Dns l'expression n² - n, si on remplce n pr n'importe quel nombre entier positif, obtient-on toujours un nombre ynt exctement deux diviseurs? is des essis vec plusieurs nombres. n n² - n diviseurs n n² - n diviseurs et et et et et et et et et et et et et et TIVITE : - PGD de deux nombres Ecris l liste des diviseurs de : Les diviseurs de sont : Ecris l liste des diviseurs de 0 : 0 0 Les diviseurs de 0 sont : 0 0 En déduire l liste des diviseurs communs ux nombres 0 et : Quel est le plus grnd diviseur de 0 et? : e nombre est ppelé le Plus Grnd ommun Diviseur à 0 et on le note P.G..D. (0) Tous les nombres ont-ils un diviseur commun? : Oui, le diviseur Détermine le DGD des nombres et : Liste des diviseurs de : Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs de : Les diviseurs de sont : PGD ( ) Nombres premiers entre eux. Ecris l liste des diviseurs de : Les diviseurs de sont : Ecris l liste des diviseurs de : Les diviseurs de sont : En déduire le PGD des nombres et : PGD ( ) Si deux nombres ont pour P.G..D. le nombre, on dit qu'ils sont premiers entre eux.

5 Les phrses suivntes sont-elles vries ou fusses? ) est le P.G..D. de et 0 : ux cr PGD ( 0 ) ) est le P.G..D. de et : Vrie ) est le P.G..D. de et : Vrie D) est le P.G..D. de et : Vrie E) est le P.G..D. de et : ux cr PGD ( ) Exercice n :. Ecris l liste des diviseurs de Les diviseurs de 0 sont : 0 0. Ecris l liste des diviseurs de Les diviseurs de 0 sont : Etblir l liste des diviseurs communs à 0 et à 0 : 0 0. En déduire PGD (0 0). PGD ( 0 0 ) 0 Exercice n 0 :. Ecris l liste des diviseurs de Les diviseurs de sont :. Ecris l liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont :. Etblir l liste des diviseurs communs à et à :. En déduire PGD ( ). PGD ( ) Exercice n : Dns chcun des cs suivnts, détermine le PGD des deux nombres proposés et en déduire s ils sont premiers entre eux. ) et Liste des diviseurs de Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs communs à et à : PGD ( ). PGD ( ) et sont donc deux nombres premiers entre eux. b) 0 et Liste des diviseurs de Les diviseurs de 0 sont : 0 0 Liste des diviseurs de.

6 Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs communs à 0 et à : PGD (0 ). PGD ( 0 ) 0 et sont donc deux nombres premiers entre eux. c) et 0. Liste des diviseurs de Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs de Les diviseurs de 0 sont : 0 0 Liste des diviseurs communs à et à 0 : PGD ( 0). PGD ( 0 ) et 0 ne sont donc ps premiers entre eux. TIVITE : lgorithme des différences Dresser l liste des diviseurs de deux nombres pour trouver le P.G..D. n'est ps toujours performnte surtout vec de grnds nombres. Il existe plusieurs lgorithmes. ) Les diviseurs de 0 : 0 0 Les diviseurs de 0 sont : 0 0 Les diviseurs de : Les diviseurs de sont : Les diviseurs communs à 0 et sont : Vérifions que chcun de ces nombres est diviseur de ( 0 - ) 0 On : : : : ) Liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs de. Les diviseurs de sont : Les diviseurs communs à et : et Vérifions que chcun de ces nombres est diviseur de ( - ) On : : : ) D une mnière générle: Si d est un diviseur de et de b lors d est diviseur de b et de ( - b ) vec > b On dmet que: PGD (, b ) PGD ( b - b ) vec > b ) Un exemple simple pour comprendre comment fonctionne l lgorithme des soustrctions successives ( des différences ):

7 Déterminons le PGD de et de. Explictions PGD ( ) PGD (. ) PGD. ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) Mise en forme de tbleu b - b 0 onclusion : PGD ( ) ) Que signifie le mot lgorithme D'près le Lrousse: Ensemble de règles opértoires permettnt de résoudre un problème vec un nombre fini d'opértions D'ou vient ce mot?: Muhmmd ibn Mus l-khuwârizmi écrit le premier ouvrge en lngue rbe présentnt l numértion indienne de position u e siècle. 'est pr cet ouvrge que le clcul indien pénétr dns l Occident chrétien. Mintes fois trduit en ltin à prtir de e siècle, s célébrité fût telle que ce clcul fut nommé lgorisme, d'lgorisme ltinistion d'l-khuwârizmi. Données On deux nombres et Test et NON sont-ils égux? OUI ction On clcule - in e nombre est le P.G..D.! ction On les rnge pr ordre croissnt vec > oucle ction On remplce le plus grnd des deux pr - Exercice n : Pour chcun des cs, détermine le PGD de n et de d pr l méthode des soustrctions successives. ) n 0 et d b) n et d PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) onclusion : PGD ( ) onclusion : PGD ( 0 ) c) n et d PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) d) n et d PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( 0 )

8 PGD ( ) PGD ( ) onclusion : PGD ( ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( 0 ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) onclusion : PGD ( ) TIVITE : lcul du PGD pr divisions successives : LGORYTHME D EULIDE Exemple: lcul du PGD de 00 et 0. L méthode s ppuie sur le fit qu un diviseur commun à 00 et 0 est ussi un diviseur commun de 0 et u reste ( ) de l division de 00 et 0. On remplce donc le PGD de 00 et 0 pr l recherche du PGD deux nombres plus petits 0 et. On recommence le même procédé de division vec ces deux nouveux nombres. On s rrête qund on obtient un reste nul, c est-à-dire lorsque l un des nombres est multiple de l utre. omplète: dividende diviseur quotient reste PGD( 00 0 ) PGD(0 ) 00 0 PGD(0 ) PGD( 0) 0 0 PGD( 0) PGD( 0 ) 0 PGD( 0 ) PGD( 0 ) 0 0 onclusion: PGD ( 00 0 )

9 Exercice n : lcul du PGD vec l lgorithme d Euclide : ) et 0 PGD ( ) b) et 0 PGD ( ) c) et 0 PGD ( ) Exercice n : ) lcule du PGD de et de pr l méthode des soustrctions successives : PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) PGD ( ) onclusion : PGD ( ) b) vec l méthode d Euclide. 0 PGD ( ) c) L méthode d Euclide est plus rpide. Exercice n : ) Détermine tous les diviseurs communs de et 0, puis déduis-en leur PGD.

10 Liste des diviseurs de Les diviseurs de sont : Liste des diviseurs de Les diviseurs de 0 sont : Les diviseurs communs à et 0 sont : b) Vérifie vec l lgorithme d Euclide. 0 0 PGD ( 0. ) c) trouve deux nombres dont le PGD est, en expliqunt t méthode. On : et 0 0 et sont nombre dont le PGD est d) Le PGD de deux nombres est. Le plus grnd des deux nombres est. Quel peut être l utre nombre? Si le PGD est, lors est divisible pr. Soit : L utre nombre est donc cr. utre méthode : PGD ( ) PGD ( ) Le deuxième nombre est Exercice n : Les nombres suivnts sont-ils premiers entre eux? ) et Les nombres et sont des multiples de ( et ) donc ils sont divisibles pr. Le PGD étnt donc différent de, les nombres et ne sont ps premiers entre eux. b) et omme PGD ( 0 ), lors les nombres et 0 sont premiers entre eux. c) et 0 omme PGD ( ), lors les nombres et ne sont ps premiers entre eux. d) et. 0 omme PGD ( ), lors les nombres et sont premiers entre eux.

11 Exercice n : Explique si les frctions suivntes sont irréductibles ou ps : ). 0 omme PGD ( ), lors les nombres et sont premiers entre eux et insi l frction est irréductible. b). Les nombres et se terminent pr donc il sont divisibles pr. Le PGD étnt donc différent de, les nombres et ne sont ps premiers entre eux et insi l frction n est ps irréductible. c). 0 omme PGD ( ), lors les nombres et sont premiers entre eux et insi l frction est irréductible. d). 0 omme PGD ( ), lors les nombres et sont premiers entre eux et insi l frction irréductible. e) omme PGD ( 0 ), lors les nombres et 0 ne sont ps premiers entre eux et insi l frction n est ps irréductible. f) omme PGD ( ), lors les nombres et sont premiers entre eux et insi l frction est irréductible. Exercice n : Ecris ces frctions sous forme irréductible, qund c est possible : ) 0

12 0 0 omme PGD ( 0 ), lors : b) 0 omme PGD ( ), lors l frction est déjà irréductible. c) omme PGD ( 0 ), lors : 0 d). 0 omme PGD ( ), lors : SUJETS REVET Exercice n :. Les nombres et sont-ils premiers entre eux? Justifier Les nombres et sont pires donc divisibles pr. Le PGD étnt donc différent de, les nombres et ne sont donc ps premiers entre eux.. lculer le Plus Grnd ommun Diviseur (PGD) de et de. 0 PGD ( ). Simplifier l frction pour rendre irréductible, en indiqunt l méthode. On : et D où : Exercice n 0 :. lcul du PGD de 0 et 00 en utilisnt l lgorithme d Euclide :

13 L dernier reste non nul est 0 PGD ( 0 00 ) 0. Une pièce rectngulire de,0 m de long et de m de lrge est recouverte, sns découpe, pr des dlles de moquette crrées, toutes identiques. ) Mesure du côté de chcune de ces dlles schnt que l on veut le moins de dlles possibles. D près l question précédente, l mesure du côté de chcune de ces dlles est de 0 cm. b) lcul du nombre de dlles utilisées. On : 0 : 0 et 00 : 0 Donc, si n est le nombre de dlles, on : n. onclusion : Le nombre de dlles utilisées est. Exercice n :. lcul du PGD de 0 et en utilisnt l lgorithme d Euclide : PGD ( 0 ). Le sol d une pièce rectngulire pour dimensions 0 cm et cm. On veut recouvrir entièrement de dlles crrées identiques dont le côté est un nombre entier de centimètres, sns fire de découpe. ) Détermintion de l longueur du côté de l plus grnde dlle possible. D près l question précédente, l longueur du côté de l plus grnd dlle est cm. ) lcul du nombre de dlles utilisées. On : et 0 Donc, si n est le nombre de dlles, on : n. onclusion : ll fut dlles pour recouvrir toute l pièce. 0 Exercice n : On considère l frction :.. Montrons que cette frction n est ps irréductible. Les nombres 0 et sont pirs donc divisibles pr. Le PGD étnt donc différent de, les nombres 0 et ne sont ps premiers entre eux et insi l frction n est ps irréductible.. Déterminons le PGD des nombres 0 et en utilisnt l lgorithme d Euclide PGD ( 0 ) 0. Ecriture de l frction sous forme irréductible. On : et 0 0 Donc : TIVITE : «Les nombres» Nture du nombre

14 . et b sont deux nombres entiers non nuls. omplète le tbleu suivnt : hiffre des unités de ( ou de b ) 0 hiffre des unités de ² 0 hiffre des unités de b² 0 hiffre des unités de b ² 0 0. omment choisir les chiffres des unités de et b pour que ² b ²? : uniquement 0. En déduire qu il n existe ps de nombres entiers et b premiers entre eux tels que :. b On ² b ² ou encore ou encore ou encore b b b Or comme et b se termine pr 0 donc ils sont divisibles pr 0.insi, Ils ne peuvent ps être premiers entre eux et il n existe donc ps de nombres entiers et b premiers entre eux tels que :. b ( le nombre est irrtionnel ) : Les nombres Voici une liste de nombres :, 0 π Plce chcun de ces nombres dns le ou les «bons sc» 0 0, Nombres entiers Nombres entiers Nombre décimux Nombres pouvnt utres positifs reltifs s écrire en écriture frctionnire Exercice n : On considère les nombres suivnts : 0, 00 π Prmi ces nombres, quels sont ceux qui sont : ) Des entiers nturels? : 00 b) Des entiers reltifs? : 00 - c) Des nombres décimux? : 00 -, -. d) Des nombres rtionnels? : 00 -, - e) Des nombres réels? : 0, 00 π Exercice n : Montre, pr un clcul que le nombre :

15 0, , est donc un nombre déciml 0,..) ( : est donc un nombre rtionnel est donc un nombre entier nturel.