Commentaires sur l'exercice 1

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1 Commetaires sur l'exercice 1 O pred comme populatio de référece le groupe des quatre efats. Cet exemple, bie que o pertiet du fait du faible effectif de la populatio, permet de mettre e place les otios idispesables de la théorie de l'échatilloage. Descriptio de la populatio La proportio d'efats piaistes das la populatio est p =,25. Proportio Populatio No P P Répartitio des âges Das la populatio, l'âge a pour moyee µ = 1,5 as, pour variace σ 2 = 1,25 et pour écarttype σ 1,12 a. Nombre d'efats Ages Les échatillos d'u poit de vue descriptif Par u tirage avec remise, o peut obteir 4 = 64 échatillos différets de taille das la populatio étudiée. Remarque : Si la taille de la populatio est 1, il y a 1 = 1 9 échatillos costitués avec remise, différets de taille. Distributio de la fréquece de choix du piaiste das les échatillos Pour les 64 échatillos costitués avec remise de taille das la populatio des 4 efats, o a la distributio des fréqueces ci-cotre : La moyee des fréqueces de choix du piaiste observées das tous les échatillos différets de taille est,25. Ce résultat est égal à p. Nombres d'échatillos Échatillos de taille 1/ 2/ 1 Fréquece de choix du piaiste La variace des fréqueces de choix du piaiste observées das tous les échatillos différets de taille est,625, c'est p (1 p). Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage 1

2 Échatillos de taille Istrumets de musique Série A fréqueces de choix du piaiste Âges das les échatillos A A A F F F A A B F F F A A C F F P A A D F F G A B A F F F A B B F F F A B C F F P A B D F F G A C A F P F A C B F P F A C C F P P A C D F P G A D A F G F A D B F G F A D C F G P A D D F G G B A A F F F B A B F F F B A C F F P B A D F F G B B A F F F B B B F F F B B C F F P B B D F F G B C A F P F B C B F P F B C C F P P B C D F P G B D A F G F B D B F G F B D C F G P B D D F G G C A A P F F C A B P F F C A C P F P C A D P F G C B A P F F C B B P F F C B C P F P C B D P F G C C A P P F C C B P P F C C C P P P C C D P P G C D A P G F C D B P G F C D C P G P C D D P G G D A A G F F D A B G F F D A C G F P D A D G F G D B A G F F D B B G F F D B C G F P D B D G F G D C A G P F D C B G P F D C C G P P D C D G P G D D A G G F D D B G G F D D C G G P D D D G G G Moyee Moyee Variace Variace Série B moyees Série C variaces Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 2

3 Échatillos d'efats de taille Istrumets de musique Série A fréqueces de choix du piaiste Âges das les échatillos Série B moyees Série C variaces Écarts-types A A A F F F ,,, A A B F F F ,,22,47 A A C F F P 1/ ,67,89,94 A A D F F G , 2, 1,41 A B A F F F ,,22,47 A B B F F F ,67,22,47 A B C F F P 1/ ,,67,82 A B D F F G , 1,56 1,25 A C A F P F 1/ ,67,89,94 A C B F P F 1/ ,,67,82 A C C F P P 2/ ,,89,94 A C D F P G 1/ ,67 1,56 1,25 A D A F G F , 2, 1,41 A D B F G F , 1,56 1,25 A D C F G P 1/ ,67 1,56 1,25 A D D F G G , 2, 1,41 B A A F F F ,,22,47 B A B F F F ,67,22,47 B A C F F P 1/ ,,67,82 B A D F F G , 1,56 1,25 B B A F F F ,67,22,47 B B B F F F ,,, B B C F F P 1/ ,,22,47 B B D F F G ,67,89,94 B C A F P F 1/ ,,67,82 B C B F P F 1/ ,,22,47 B C C F P P 2/ ,67,22,47 B C D F P G 1/ ,,67,82 B D A F G F , 1,56 1,25 B D B F G F ,67,89,94 B D C F G P 1/ ,,67,82 B D D F G G ,,89,94 C A A P F F 1/ ,67,89,94 C A B P F F 1/ ,,67,82 C A C P F P 2/ ,,89,94 C A D P F G 1/ ,67 1,56 1,25 C B A P F F 1/ ,,67,82 C B B P F F 1/ ,,22,47 C B C P F P 2/ ,67,22,47 C B D P F G 1/ ,,67,82 C C A P P F 2/ ,,89,94 C C B P P F 2/ ,67,22,47 C C C P P P ,,, C C D P P G 2/ ,,22,47 C D A P G F 1/ ,67 1,56 1,25 C D B P G F 1/ ,,67,82 C D C P G P 2/ ,,22,47 C D D P G G 1/ ,67,22,47 D A A G F F , 2, 1,41 D A B G F F , 1,56 1,25 D A C G F P 1/ ,67 1,56 1,25 D A D G F G , 2, 1,41 D B A G F F , 1,56 1,25 D B B G F F ,67,89,94 D B C G F P 1/ ,,67,82 D B D G F G ,,89,94 D C A G P F 1/ ,67 1,56 1,25 D C B G P F 1/ ,,67,82 D C C G P P 2/ ,,22,47 D C D G P G 1/ ,67,22,47 D D A G G F , 2, 1,41 D D B G G F ,,89,94 D D C G G P 1/ ,67,22,47 D D D G G G ,,, Moyee,25 1,5,8 Variace,625,42,8 Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1

4 Les échatillos d'u poit de vue probabiliste Distributio de probabilités de la fréquece d'échatilloage Lors de la costitutio au hasard et avec remise d'u échatillo de taille, les 64 échatillos d'efats sot équiprobables. Si o s'itéresse o plus aux efats choisis pour l'échatillo, mais à l'istrumet de musique dot ils jouet, o obtiet 27 échatillos d'istrumets de musique qui e sot pas équiprobables. Échatillos d'istrumets de taille s Échatillos d'istrumets de taille s Échatillos d'istrumets de taille s F F F 8/64 P F F 4/64 G F F 4/64 F F P 4/64 P F P 2/64 G F P 2/64 F F G 4/64 P F G 2/64 G F G 2/64 F P F 4/64 P P F 2/64 G P F 2/64 F P P 2/64 P P P 1/64 G P P 1/64 F P G 2/64 P P G 1/64 G P G 1/64 F G F 4/64 P G F 2/64 G G F 2/64 F G P 2/64 P G P 1/64 G G P 1/64 F G G 2/64 P G G 1/64 G G G 1/64 Si o s'itéresse au fait que les efats jouet ou o du piao, o obtiet 2 = 8 échatillos de taille costitués de P (piaiste) ou op (autre) : (P, P, P), (P, P, op), (P, op, P), (P, op, op), (op, P, P), (op, P, op), (op, op, P) et (op, op, op). Ces 8 échatillos de type "expérimetal", e sot plus équiprobables : Échatillos de taille s Échatillos de taille s Échatillos de taille s P P P 1/64 P op op 9/64 op op P 9/64 P P op /64 op P P /64 op op op 27/64 P op P /64 op P op 9/64 La distributio de probabilités de la fréquece d'échatilloage est alors : Fréqueces de choix du piaiste das l'échatillo Nombre d'échatillos s % % % % Cette distributio de probabilités e déped que de la proportio de piaistes das la populatio. O aurait la même avec, par exemple, ue populatio de 4 efats dot 1 piaistes. Pour d'autres tailles d'échatillo Échatillos de taille 1 Das ue populatio P, o cosidère ue souspopulatio A coteat p = 25 % des idividus de P. O costitue, avec remise, des échatillos de taille 1, puis, puis 1 et o s'itéresse à la fréquece d'idividus de A das les échatillos. Les distributios de probabilités des fréqueces de A sot les suivates : 1/1 2/1 /1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1 1/1 Fréquece de A Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 4

5 Échatillos de taille 1 Échatillos de taille 1 18% 9% % 2/ 4/ 6/ 8/ 1/ 12/ 14/ 16/ 18/ 2/ Fréquece de A 22/ 24/ 26/ 28/ / 8% 7% % 1% 5/1 1/1 15/1 2/1 25/1 /1 5/1 4/1 45/1 5/1 55/1 6/1 Fréquece de A 65/1 7/1 75/1 8/1 85/1 9/1 95/1 1/1 O costate que plus la taille de l'échatillo est importate, plus les fréqueces se regroupet autour de,25 et plus la forme de la distributio pred l'allure d'ue "cloche". Des explicatios Pour des échatillos costitués avec remise de taille, la distributio du ombre d'idividus de A das les échatillos se fait selo la loi biomiale de paramètre et p. Le ombre moye d'idividus de A das tous les échatillos différets de taille est doc p, aisi, la moyee des fréqueces des idividus de A das ces échatillos est p = p =,25 : la fréquece des idividus de A das u échatillo estime sas biais la proportio p de la populatio. La variace des fréqueces des idividus de A das tous les échatillos différets de taille est p (1 p). Pour = 1, elle vaut,1875, pour =, elle vaut,625 et pour = 1, elle vaut,1875. Remarques Plus est grad, plus la variace est faible ; les observatios des fréqueces des idividus de A se resserret autour de la moyee de la distributio, doc autour de p (loi faible des grads ombres). Plus est grad plus la répartitio de la fréquece des idividus de A se rapproche d'ue distributio ormale d'espérace mathématique p et d'écart-type p (1 p) (théorème limite cetral). Cette approximatio peut être utilisée das les calculs pour, p 15 et p (1 - p) > 5. Applicatio Das la populatio P précédete, o choisit au hasard avec remise u échatillo de taille 6. Quelle est la probabilité que l'échatillo choisi ait ue fréquece d'idividus de A comprise etre,2 et,4? Si o appelle F la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille 6, costitué avec remise, associe la fréquece des idividus de A, 6 F suit la loi biomiale de paramètre 6 et,25. O a alors P(,2 F,4) = P(12 6 F 24),849. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 5

6 Comme,25 6 = 15 et,25,75 6 = 11,25, o peut approcher la loi de F par la loi ormale de paramètres,25 et la correctio de cotiuité. Fialemet, P(,2 F,4) P 1,4 F,25, 125, 125. Aisi, P(,2 F,4) = P 12 6 F 24 6 = P 11,5 6 F 24,5 6 par la loi ormale cetrée, réduite. e utilisat F,25 2,84, 125, soit eviro,8485 e approchat la loi de Distributio de la moyee d'âge das les échatillos costitués avec remise Pour les 64 échatillos de taille das la populatio des 4 efats, o a la distributio suivate : Moyee d'âge das l'échatillo (e aées) 12 12, 12, , 1, , 14, Nombre d'échatillos Echatillos de taille 14 Nombre d'échatillos , 12,67 1 1, 1, , 14,67 15 Moyee d'âge de l'échatillo La moyee des moyees d'âge des efats das tous les échatillos différets de taille est 1,5 as, ce résultat est égal à µ. La variace des moyees d'âge des efats observées das tous les échatillos différets de taille est,4167, soit σ2, l'écart-type des moyees est eviro,645 a. Les résultats précédets sot idépedats de l'effectif de la populatio, ils e dépedet que de la répartitio des âges das la populatio. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 6

7 Pour d'autres tailles d'échatillo : Pour ue même répartitio des âges des efats das la populatio, o obtiet les distributios de probabilités de la moyee d'échatilloage suivates pour des échatillos costitués avec remise de taille 1, puis : 1 1 8% Echatillos de taille 1 7% % Echatillos de taille 12 12,2 12,4 12,6 12,8 1 1,2 1,4 1,6 1, ,2 Moyee d'âge de l'échatillo 14,4 14,6 14,8 15 1% 12 12,2 12,4 12,6 12,8 1 1,2 1,4 1,6 1, ,2 Moyee d'âge de l'échatillo 14,4 14,6 14,8 15 Pour chaque taille, la moyee des moyees d'âge observées das les tous échatillos différets de taille est toujours µ = 1,5 as : la moyee d'âge des efats das u échatillo estime sas biais la moyee µ de la populatio. La variace des moyees d'âge observées das les tous échatillos différets de taille est σ2. Pour = 1, cette variace est,125 et pour =, elle est,417. Remarques : Plus est grad, plus la variace des moyees d'âge est faible ; les résultats se resserret autour de la moyee de la populatio (loi faible des grads ombres). Plus est grad plus la répartitio des moyees d'âge se rapproche d'ue distributio ormale d'espérace mathématique µ et d'écart-type σ (théorème limite cetral). Applicatio : O choisit au hasard u échatillo de taille. Si o appelle X la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille associe la moyee d'âge das l'échatillo. O a, par exemple, P( 1,2 X 1,6 ),655. Le calcul de P(1,2 X 1,6) e utilisat l'approximatio de la loi de X par la loi ormale de paramètres 1,5 et X 1,5 doe P 1,47,49,617. 1,25 1,25 Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 7

8 Distributio de la variace des âges das les échatillos costitués avec remise Pour les 64 échatillos de taille das la populatio des 4 efats, o a la distributio suivate : Echatillos de taille Pourcetage d'échatillos ,22, ,89 1, , Variace de l'âge das l'échatillo La variace des âges das les échatillos a pour moyee eviro,8 et pour variace eviro,796. Les résultats précédets sot idépedats de l'effectif de la populatio, ils e dépedet que de la répartitio des âges das la populatio. Pour d'autres tailles d'échatillo : Pour des échatillos costitués avec remise de taille 1, puis, o obtiet les distributios suivates : Echatillos de taille 1 Echatillos de taille % 1% 1%,21,6,45,61,76,85 1,1 1,16 1,25 1,41 1,56 1,65 1,81 2,1,21,29,7,45,54,6,7,82,9,98 1,8 1,18 1,29 1,7 1,45 1,56 1,65 1,77 1,89 1,98 2,11 Variace de l'âge das l'échatillo Variace de l'âge das l'échatillo Pour = 1, o trouve ue moyee des variaces des âges das les échatillos de 1,125 avec ue variace d'eviro,191. Pour =, o trouve ue moyee des variaces des âges das les échatillos d'eviro 1,28 avec ue variace d'eviro,45. La moyee des variaces observées est ( 1) σ 2 : la variace d'âge des efats d'u échatillo est u estimateur biaisé de la variace σ 2 du caractère das la populatio. Pour obteir u estimateur sas biais, o utilise la variace corrigée égale à 1 (x 1 i x) 2 où les x i sot les valeurs observées du caractères das i = 1 les échatillos et x est la moyee du caractère das l'échatillo. Remarques : Plus est grad, plus la variace est faible ; les résultats se resserret autour de la moyee des observatios possibles. Statistique iféretielle e BTSA - B. Chaput - ENFA - Échatilloage Exercice 1 8