MAT144 INTRODUCTION AUX MATHÉMATIQUES DU GÉNIE FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

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1 MAT44 INTRODUCTION AUX MATHÉMATIQUES DU GÉNIE FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES Pr Clude Blis Mître d eseigeet, Service des eseigeets gééru École de techologie supérieure Révisé e oût 0

2 Clude Blis Pge

3 FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES - Propriétés des ores réels Associtivité de l dditio + ( y + z) ( + y) + z [.] Associtivité de l ultiplictio yz ( ) ( yz ) [.] Couttivité de l dditio + y y + [.3] Couttivité de l ultiplictio y y [.4] Éléets eutres pour l dditio et l ultiplictio 0 + et [.5] Éléet iverse dditif : opposé + 0 [.6] Éléet iverse ultiplictif : iverse ;si 0 Distriutivité de l ultiplictio sur l dditio y ( + z) y + z [.8] Défiitio de l soustrctio + ( ) [.9] [.7] Défiitio de l divisio ;si y 0 y y [.0] Propriétés suppléetires cocert les égtifs ( ) [.] ( y ) ( y) ( y) y [.] ( )( y) y [.3] ( ) [.4] ; si y 0 y y y [.5] ; si y 0 y y y y [.6] Zéro est u éléet sort 0 0 [.7] Itégrité des réels y 0 0 ou y 0 [.8] - Propriétés des frctios L divisio pr 0 est eclue c d c d k [.] k c c [.] d d [.3] d d c c c d [.4] c + c + [.5] c c [.6] c d + c + d d [.7] c d c d d [.8] Clude Blis Pge 3

4 3- Les eposts etiers... [3.] 0 ;pour 0 [3.] ( ) fois pour 0 [3.3] [3.5] [3.7] + [3.4] ( ) [3.6] [3.8] ( ) p p p [3.9] p p p [3.0] [3.] [3.] 4- Les eposts rtioels [4.] si est pir [4.] si est ipir [4.3] y y [4.4] y y [4.5] 5- L fctoristio Crré prfit ( + ) + + [5.] Crré prfit + ( ) [5.] Différece de crrés ( + )( ) [5.3] Différece de cues 3 3 ( )( + + ) [5.4] Soe de cues ( + )( + ) [5.5] Coplétio du crré [5.6] Clude Blis Pge 4

5 6- Les équtios Propriété de l dditio + c + c [6.] Propriété de l soustrctio c c [6.] Propriété de l ultiplictio c c si c 0 [6.3] Propriété de l divisio si c 0 c c Propriété de l sustitutio Si, lors o peut sustituer [6.5] l u à l utre ds toute équtio. Soit f ue foctio f() f() [6.6] Soit f ue foctio ijective f() f() [6.7] [6.4] 7- Les iéqutios Propriété de trsitivité < et < c < c [7.] Propriété de l dditio < + c < + c [7.] Propriété de l soustrctio < c < c [7.3] Multiplictio pr u positif < et c > 0 c < c [7.4] Multiplictio pr u égtif < et c < 0 c > c [7.5] Divisio pr u positif < et c > 0 < c c Divisio pr u égtif < et c < 0 > c c [7.6] [7.7] 8- Les équtios qudrtiques Équtio qudrtique de se ou, 0 [8.] Différece de crrés 0 ( )( + ) 0 ou [8.] Forule qudrtique 4c + + c 0 ±, 0 [8.3] Clude Blis Pge 5

6 9- Les foctios epoetielles Pour > 0,, > 0, ety deu vriles réelles : y + y [9.] ( ) y y ( ) [9.3] y y pour tout réel [9.7] [9.] [9.4] y [9.5] y [9.6] 0- Les foctios logrithes Pour > 0, : y log( ) y [0.] log() 0 [0.] log() [0.3] log( ) [0.4] log ( ), > 0 [0.5] log( y) log( ) + log( y ) [0.6] ( ) log p y log( ) log( y) [0.7] log( ) p log( ) [0.8] log( ) l( ) log( ) log( y) y [0.9] log( ) log() l() [0.0] Clude Blis Pge 6

7 - L trigooétrie α c β γ Loi des sius si( α) si( β) si( γ) c [.] Loi des cosius + c ccos( α ) [.] Idetités de réciprocité sec( ) cosec( ) cos( ) si( ) [.3] [.4] Idetités de quotiet si( ) tg( ) cos( ) [.6] cos( cotg( ) ) si( ) [.7] cotg( ) tg( ) [.5] Idetités vec les égtifs si( ) si( ) [.8] cos( ) cos( ) [.9] tg( ) tg() [.0] Idetités pythgoriciees si( ) + cos() [.] tg( ) + sec( ) [.] cotg( ) + cosec( ) [.3] Idetités de soe et de différece si( ± y) si( )cos( y) ± cos( )si( y ) [.4] cos( ± y) cos( )cos( y) si( )si( y) [.5] tg( ) ± tg( y) tg( ± y) tg( )tg( y) [.6] Idetités de co-foctio cos π si( ) si π cos( ) tg π cotg( ) [.7] [.8] [.9] Idetités du doule de l gle si( ) si( )cos( ) [.0] cos( ) cos( ) si( ) [.] tg( ) tg( ) [.] Idetités des crrés + cos( ) cos( ) [.3] cos( ) si( ) [.4] Clude Blis Pge 7

8 Idetités de trsfortio d u produit e ue soe si( )cos( y) ( si( + y) + si( y )) [.5] cos( )si( y) ( si( + y) si( y )) [.6] si( )si( y) ( cos( y) cos( + y )) [.7] cos( )cos( y) ( cos( + y) + cos( y )) [.8] Idetités de l oitié de l gle cos( ) si ± + cos( ) cos ± cos( ) tg ± + cos( ) tg si( ) cos( ) + cos( ) si( ) [.9] [.30] [.3] [.3] Idetités de l trsfortio d ue soe e u produit + si( ) + si( y ) si y cos y [.33] + si( ) si( y ) cos y si y [.34] + cos( ) + cos( y ) cos y cos y [.35] + cos( ) cos( y ) si y si y [.36] Clude Blis Pge 8

9 - Droites, proles, cercles, Équtio d ue coure ds le pl crtésie L équtio d ue coure C ds le pl crtésie est ue reltio etre les coordoées et y d u poit quelcoque (,y) sur l coure C. Sous fore iplicite, l reltio s écrit : L droite Fy (, ) 0 Fore «poit-pete», où est l pete et (, y ) est u poit cou sur l droite. y y ( ) [.] Fore «ordoée à l origie-pete», où est l pete et (0, ) est le poit d itersectio de l droite vec l e y (l e des ordoées). Fore géérle. y + [.] A + By + C 0 [.3] Droites prllèles et droites perpediculires Soit l droite D de pete et l droite D de pete. D D [.4] D D [.5] L prole Fore «stdrd». y + + c [.6] Fore «coique». Le cercle y ( h) + k [.7] Fore «coique» d u cercle de cetre (, y ) et de ryo r. ( ) + ( y y) r [.8] L ellipse Fore «coique» d ue ellipse dot les es de syétrie sot prllèles u systèe d es, de cetre (, y ), de dei-e horizotl et de dei-e verticl. ( ) ( y y) + [.9] Clude Blis Pge 9

10 3- L dérivée Défiitio L dérivée d ue foctio f est otéef. Si est l vrile idépedte, lors : Règles de dérivtio Si c est ue costte et si f, g, u et v sot des foctios, lors : f ( + h) f ( ) f ( ) li [3.] h 0 h Dérivtio d ue foctio ultipliée pr ue costte ( cu) cu [3.] Dérivtio d ue soe de foctios ( u + v) u + v [3.3] Dérivtio d ue différece de foctios ( u v)' u' v' [3.4] Dérivtio d u produit de foctios ( uv) uv + uv [3.5] Dérivtio d u quotiet de foctios Dérivtio de foctios coposées () ( ) Dérivtio de foctios coposées () ( ) u uv uv v v [3.6] fg (( )) f (( g)) g ( ) [3.7] fu ( ) f ( u) u [3.8] Forules de dérivtio : versio «siple» Si c et sot des costtes réelles, est ue costte positive et est l vrile idépedte, lors c 0 [3.9] [3.0] ( ) ( e ) e [3.] ( ) l() ( l( )) [3.3] ( log( ) ) ( si( ) ) cos( ) [3.5] ( ) ( t( ) ) sec( ) [3.7] ( ) [3.] Clude Blis Pge 0 l() ( csc( ) ) csc( )cot( ) [3.9] ( ) [3.4] cos( ) si( ) [3.6] sec( ) sec( )t( ) [3.8] cot( ) csc( ) [3.0]

11 ( rcsi( ) ) rccos( ) [3.] ( ) [3.] ( rct( ) ) [3.3] + Forules de dérivtio : versio géérle Si c et sot des costtes, est ue costte positive et u ue foctio d ue vrile idépedte o spécifiée, lors l règle 3.8 s pplique ds tous les cs : u ( ) u e e u u u [3.5] ( ) l() ( u ) u u [3.4] u [3.6] ( l( u )) u u [3.7] ( log( u ) ) l() u u [3.8] ( u ) si( ) cos( uu ) [3.9] ( u ) ( t( u) ) sec( uu ) [3.3] ( u ) ( u ) sec( ) sec( u)t( uu ) [3.33] ( u ) cos( ) si( uu ) [3.30] cot( ) csc( uu ) [3.3] csc( ) csc( u)cot( uu ) [3.34] ( rcsi( u) ) u u rccos( u) [3.35] ( ) u u [3.36] ( rct( u) ) u [3.37] + u Clude Blis Pge