Dérivés actions: risques un (rapide) aperçu

Transcription

1 Dérvés actons: rsques un (rapde) aperçu Lorenzo Bergom Equty Dervatves Quanttatve Research océté Générale

2 Introducton - le Dow Jones 9-6 () 4 Dow Jones Industral Average Ln Log /5/9 /5/94 /5/96 /5/98 /5/ Lorenzo Bergom

3 Introducton - le Dow Jones 9-6 () Densté cumulée des returns DJ IA - LOG[ P(return/vol < x) ] tudent mu 3 Gaussenne ( x) ρ µ x µ -5 x -6 Lorenzo Bergom

4 Lorenzo Bergom 3 Rsques des produts dérvés ( le portage) Un pett exercce de comptablté: P&L (proft & loss) entre t et la maturté de l opton à taux nuls pour smplfer: On peut réécrre le P&L total comme une somme de petts P&Ls ournalers: on sat dre s l on perd/gagne de l argent sans attendre la maturté. Il sufft de s ntéresser au P&L élémentare sur un ntervalle [t, tδt] En ntégrant l effet des taux: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T d t P t P d t P t P L P,,,, & Prme Payoff ( ) ( )( ) [ ] ( ) rδt δ rδt t P δ δt t P L P,, &

5 Rsques des produts dérvés ( le portage) Un pett développement lmté : P & L [ P( t δt, δ ) P( t, )( rδt) ] ( δ rδt) rp r δt δ L dt d - Rsque sur le sous-acent - ordre domnant : Gamma Γ - Est-ce un gros rsque? - Imagnons que le prx P est calculé avec le modèle Back-choles avec σ P d -6% -4% -% % % 4% 6% σ δt σ δt dt rp r d σ P d -3-4 P & L δ σ t Pδ d - tdev typque de la somme de ces P&Ls sur la durée de ve d une opton avec un hedge en delta ournaler? Dans Black-choles? Dans la réalté? - Exemple d un Call an, vol % Lorenzo Bergom 4

6 Rsques des produts dérvés ( le mark-to-market) La foncton de prcng fat ntervenr d autres paramètres : [ P( t δt, δ, σ δσ, r δr, dv δdv) P( t,, σ, r, dv) ] δ δt δσ δr δdv δ L ensbltés aux paramètres? dt dσ dr ddv d Call K Maturté semane ens vol: % ens taux:.5% de varaton Gamma: varaton relatve de % ens taux de dvdende:.5% de varaton.6.4. Call K Maturté an ens vol: % ens taux:.5% de varaton Gamma: varaton relatve de % ens taux de dvdende:.5% de varaton En règle générale, pour un payoff sur Maturtés longues : sensblté par rapport aux paramètres de la dynamque Maturtés courtes : sensblté par rapport aux condtons ntales des sous-acents Lorenzo Bergom 5

7 Rsques des produts dérvés (3 le mark-to-market) Comment calbre-t-on les paramètres de prcng? Dot-on vrament calbrer? A pror non: prcng avec coût de couverture. On couvre le rsque sur un paramètre p en tratant un nstrument O de telle sorte à annuler ce rsque : do λ dp dp Le prx donné au clent pour l opton P est austé pour tenr compte du prx de marché de l nstrument de couverture Alors quel avantage de la calbraton? Prx P ( pˆ ) λ( O( p ) O( p) ) P ˆ ( p p ) Nous assure que le modèle prce ben tous les nstruments de couverture: aucun coût supplémentare n est encouru au moment où l on se couvre. Market Market essentel de calbrer le modèle sur un chox pertnent d nstruments Autres rasons : tandardsaton du prcng Prx «en lgne avec la concurrence» Bénéfce psychologque Qud des paramètres non couvrables? Lorenzo Bergom 6

8 Rsques des produts dérvés (4 le mark-to-market) Paramètres typques pour les dérvés actons Volatltés Dvdendes Taux Corrélatons Volatltés des taux de change / corrélaton avec les sous-acents acton Volatlté des taux / corrélatons avec les sous-acents acton Volatlté/smle forward Volatlté de la volatlté (,, σ, r, dv,... ) P t Indépendamment du modèle de prcng utlsé, l faut () caractérser et () mesurer les rsques sur ces paramètres ( ) Pertnence de P t,, σ, r, dv,... : rsque de modèle Lorenzo Bergom 7

9 Volatltés () Exemple de l Eurostoxx 5 on a tous les ours une matrce complète (K, T) de volatltés mplctes Vols mpls au 8 / /8 Hstorque des volatltés ATM mos (bleu) et 5 ans (rouge) Mar-4 -Apr- 5-Apr- 7-Apr Hstorque de la dfférence des vols mplctes 3 mos K 95% et K 5% 7 mle 3 mos K 95 - K Comment décrre de façon économque la varaton ournalère de la nappe de vols mplctes? /5/ /5/ /5/3 /5/4 /4/5 /4/6 /4/7 /4/8 Lorenzo Bergom 8

10 Volatltés () mesure des rsques oluton : translater unformément les volatltés mplctes Est-ce une bonne dée? Modes propres de déformaton des surfaces de volatlté mplcte les plus «mportants». Crtère : fracton de la varance des varatons de volatlté mplctes explquée : Translaton 9 95% Torson en maturté 5 % Torson en strke % Pb: un book d optons est en général structuré de façon telle que - exemple d un Call pread 9/ 3 mos t TV δp&l V δp&l dσ V M t δσ VMV δσ δσ k ω k t ( T V ) k - sensblté à une translaton des vols mpls: on ne vot pas de rsque - & sensblté à un changement de pente du smle autour du strke % 9. ensblté d'un Call spread 9/ 3 mos à une translaton des volatltés.3 ensblté d'un Call spread 9/ 3 mos à une pentfcaton du smle Lorenzo Bergom 9

11 Dvdendes () Au moment où un dvdende est versé - l acton basse exactement du montant du dvdende - le prx de l opton est nchangé : T ( ) (, ) P( T, D( )) P T T D Les dvdendes prochans sont connus avec une bonne précson Ceux versés plus tard dans le futur sont estmés ur les ndces: dv swaps - Rsque sur leur montant. Y Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y Y Y Y3 Y4 Y5 - Rsque sur le modèle de dvdendes Dv. en cash Dv. en yeld Autres ( ) D ( ) µ D D Jan- Apr- Jun- ep- Dec- Mar-3 Jun-3 ep-3 Dec-3 Mar-4 Jun-4 ep-4 Dec-4 Mar-5 Jun-5 ep-5 Lorenzo Bergom

12 Dvdendes () Vols mpls des vanlles dépendent du modèle de dvdende utlsé rsque de modèle 5% Vols mpls vanlle % Yeld Cash 5% 5 5 Un cas ntéressant: le Call sur max Payoff ( max K ) τ τ - Ben couvert en Vega par Calls vanlle de même maturté - Pas d mpact des dvs proches de la maturté - Fable sensblté ntrnsèque au modèle de dvdende - Forte sensblté au modèle de dvdende Lorenzo Bergom

13 La saga récente des produts mult sous-acents () Produts mult sous-acents de dstrbuton à captal garant Everest 997 ans / actons % mn T Altplano ans / actons au cours des 5 dernères années, aucune acton < 6% de sa valeur ntale 3% snon T % N Klmanaro 6 ans / actons Coupon annuel de 6% tant qu aucune acton du basket < 6% de sa valeur ntale; les actons qu traversent la barrère sont successvement élmnées du basket A maturté % Atlas 6 ans / 6 actons Non garant A maturté on enlève les actons ayant connu les 3 melleures et les 3 pres performances 5% du basket equpondéré des restantes Lorenzo Bergom

14 La saga récente des produts mult sous-acents () Emeraude 4 ans / actons Chaque année, l acton dont la performance depus t est la plus élevée est fgée à son nveau, avec un mnmum de % de son nveau ntal. A maturté % la performance maxmale par rapport à t du paner equpondéré, floorée à. Produts à sorte antcpée à captal garant Oxygène 3 6 ans / 3 ndces A la fn de la 3ème année, sorte possble s la moyenne trmestrelle de la performance du basket depus t dépasse 5% 5% on reste dans le produt, à maturté : Mn( 5%, % moyenne trm. de la perf. depus t, sur 6 ans) Ttanum 3 8 ans / 6 actons Coupon annuel τ max mn, 6%, N τ Dès que la somme des coupons versés dépasse 3%, on reçot chaque année un coupon supplémentare de % Et tous les produts hybrdes Equty/Forex/Fxed Income/Commodty magnables Lorenzo Bergom 3

15 Corrélatons () Une écrasante maorté des dérvés actons sont mult sous-acents - Leur prx fat ntervenr des hypothèses de corrélaton. Ex : cadre Black-choles dt ( r ) ˆ ˆ ˆ (, ˆ, ˆ q ρ σ σ rp P σ ρ, K) d d d - Comment mesure-t-on des corrélatons? - Les corrélatons sont-elles stables dans le temps? Exemple d un basket mondal - Que se passe-t-l lorsque corrélaton mplcte et réalsée dffèrent? Lorenzo Bergom 4 P & L d d δδ ρˆ σˆ σˆ δt

16 Corrélatons () Comment se couvrr sur la corrélaton réalsée? - le correlaton swap Payoff N - tablté de la couverture en corrélaton? ρ ρˆ ( N ) ρ τ τ τ τ τ x τ τ ( x ) ( x ) τ x x τ ln τ ensblté à la corrélaton - pour pt de correl Call K Call K 5 Everest.3... % 3% 4% 5% 6% 7% 8% Comment mesurer le rsque de corrélaton? - Comment «déformer» une matrce de corrélaton? Ex. Rsque de modèle sur la corrélaton? dρ ρˆ dρˆ λρhsto dλ Hsto ( λ) ( ρ ) Lorenzo Bergom 5

17 Rsque de modèle () Un modèle rustque de prcng d opton - Modèle smple de «dynamque» du sous-acent : sous-acent gelé Equvalent à prcer en B à vol nulle K dt ( ) P K P&L 5 5 P & L [ P( t δt, δ ) P( t, )] δ δt dt δ d δ ( K ) δ δ d Un modèle un peu mons rustque : Black choles P&L 5 dt σˆ d 9 P & L δ ˆ σ δt d Lorenzo Bergom 6

18 Rsque de modèle () A nouveau de la comptablté - avec quelques paramètres supplémentares pas de taux pour smplfer P & L [ P( t δt, δ, σˆ δσˆ, p δp ) P( t,, σˆ, p) ] δ dt δt δσˆ dσˆ dp δp δ d δp dp δσˆ dσˆ δδp ddp δδσˆ ddσˆ δpδσˆ dpdσˆ K En utlsant une foncton de prcng P ssue du modèle Black-choles : le P&L se réécrt comme : dt σˆ d P & L δ δσˆ δp σˆ δt δp δσˆ δδp δδσˆ δpδσˆ dσˆ dp d dp dσˆ ddp ddσˆ dpdσˆ K Termes d ordre : couvrables en delta Gamma / Theta Gammas Theta?? Lorenzo Bergom 7

19 Rsque de modèle (3) le modèle de volatlté locale A une nappe de volatltés mplctes donnée correspond une surface de volatlté locale qu redonne les prx de marché des optons vanlle. σ (, t) dc dt qc K ( r q) d C dk K dc dk K T t 5 5 Eurostoxx 5 - mat an mle orgnal mle 5% mle 95% d rdt σ (, t) dwt 8 9 En quo ce modèle dffère-t-l de Black choles? Quelle dynamque onte du spot / des vols mpls mplque-t-l? Est-elle plus/mons rasonnable? dσ d K dσ K dk 4 37 Vol mpl ATM 3m 36 Vol mpl ATM 5y Eurostoxx5 35 3//6 3/3/6 4/3/6 Lorenzo Bergom 8

20 Rsque de modèle (4) l exemple de la dgtale amércane Dgtale amercane paye dès que le sous-acent passe en dessous de la barrère Maturté an, lmte 8% Dans le cadre B.. Gamma / Vega ben couverts par la dgtale Européenne double:. Euro double Amercane Gamma Euro double Amercane 8 9 Vega Euro Double Amercane. 8 9 A la traversée de la lmte, on revend la dgtale Européenne Rsques résduels : - valeur du skew le our où on traverse la lmte - rsque de gap modèles dfférents mplquent dynamques du smle dfférentes prx dfférents Lorenzo Bergom 9

21 Rsque de modèle (5) la volatlté forward les clquets Exemple: Call ATM forward paye à t T t T T T T ˆσ Dans le modèle B.. la foncton de prcng s écrt: - fat ntervenr la volatlté forward,, les taux, pas le sous-acent - pas de delta à t trader en vacances usqu à T ˆσ P ( σ, r, L ) ˆ σ,r - dynamque des arguments de la foncton de prcng: ˆ pas prcée par le modèle ndce d un séreux rsque / problème de modèle Dans le modèle de volatlté locale la foncton de prcng delta non-nul à t - est-ce une melleure soluton? P K K ( σˆ, σˆ,, L ), T r T fat explctement apparaître et produt un ˆσ Le clquet est en réalté une opton sur, pas sur : attenton à ne pas se tromper de sous-acent!! Lorenzo Bergom

22 Napoléon Rsque de modèle (5) la volatlté forward l exemple du Napoléon - on observe chaque année les performances mensuelles de l Eurostoxx5 - on paye en fn d année un coupon foncton de la plus basse de ces performances Rsque de modèle: - dynamque des vols mpls forward - dynamque onte vols mpls forward / sous-acent Γ dσˆ ˆ ˆ > σσ ˆ < σ Γ ddσˆ Coupon ( 8% mn ) r r Rsk Magazne: ullet 4 Eurostoxx vol ATM 5y Rsk Magazne: févrer // //3 //4 /3/4 /3/5 Lorenzo Bergom

23 Concluson Rsques - Mesure macroscopque au nveau d un book - Méthodologe de mesure d un rsque dot refléter : - sa pertnence au regard des occurrences hstorques - sa matéralté : mpact sur le book Rsque de modèle: - Peut souvent être detecté même dans un modèle fruste - Questons de base : - Quels sont les vras sous-acents sur lesquels porte l opton? Leur dynamque est-elle prcée par le modèle? - Quels sont les nstruments de couverture? Leur dynamque est-elle correctement prcée par le modèle? - mpossblté de se couvrr: les nveaux de portage des paramètres sont-ls rasonnables? - Le modèle condense-t-l des rsques de nature dfférente en un seul paramètre? (ex. vol-of-vol & forward skew) - Réponses à ces questons s apprécent produt par produt - Ne pas «subr» le modèle chosr Lorenzo Bergom