Gilles Desvilles, Cereg Paris Dauphine.

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1 UN CADRE UNIFIE POUR LE CONRA A ERME Glles Desvlles, Cereg Pars Dauphne Il est courant e lre que les contrats à terme fnancers, future ou forwar, se valorsent e manères en stnctes selon qu ls portent sur es actfs négocales ou sur es taux, qu ls soent ntérêt court-terme ou e change. L nnovaton e ce paper est unfer ans un même care ces eux types e contrats. Pour cela, nous employons un moèle mathématque foné sur le prncpe e coût e portage, qu appartent à la famlle es Cost-of-Carry Moels ont l aéquaton avec les contrats sur actf fnancer est unversellement amse. Nous conférons la plus grane smplcté à ce moèle afn qu l offre la melleure lslté car l nexaton es varales pour tenr compte es fourchettes, es ates, ou encore e certans partcularsmes, alourt très vte les écrtures. Nous nttulons care général l ensemle consttué par ce moèle et l hypothèse un règlement par lvrason e l actf sous-jacent. Dans ce care sont aor écrts les eux artrages comptant-terme purs, c est-à-re sans rsque (parte I). L unté s otent ensute en mettant en évence les sous-jacents mplctes es futures e type euroollar (parte IV), es FRAs (parte V) et es contrats e evse (parte VI), fférents e ceux présentés offcellement, et au cas par cas, en mofant les soles artrage avec es termes atfs reflétant l mperfecton lée au règlement cash, présentée en parte II, et celle lée à la forme lnéare es cotatons un contrat, présentée aux partes IV et V. La parte III, consacrée au future sur on u résor, est une étape ans l analyse es futures euroollar et es FRAs ans le sens où elle pose es artrages parfatement purs. Enfn, la parte VII est conclusve. I UN CADRE GENERAL REALIE Le care exposé c-essous est générque car l concerne un contrat à terme portant sur un actf fnancer néfn. Il est réalste parce qu l ncorpore les fourchettes e cotaton es nstruments fnancers et es taux ntérêt.

2 2 I. Care général I.. Prêts-emprunts Les taux ntérêt au comptant ou cash, c est à re portant sur une péroe éutant à la ate contemporane, sont notés. Les taux à terme ou forwar, c est à re portant sur une péroe éutant à une ate future, sont notés f. Les taux e placement ou prêt sont ncés, comme, et ceux emprunt sont ncés a, a comme ask. Ben entenu < a et f < fa sous pene offrr une opportunté artrage par prêt et emprunt smultanés. Les taux sont lnéares ou smples et en ase annuelle. [ : a], 3 aujour hu t t2 t3 > temps [f : fa], 23 En l asence amguïté et par souc e smplcté, les taux ne sont pas ncés par les péroes sur lesquelles ls portent. I..2 ous-jacent L actf fnancer sous-jacent est noté U. Les marchés le nomment comptant ou spot ou encore cash. U est négocale sur un marché, à la vente au cours U et à l achat au cours Ua ask. Ben entenu U < Ua sous pene offrr une opportunté artrage par achat et vente nstantanés. Nous ésgnons par [U : Ua] la fourchette e cotaton. L actf fnancer étache un revenu R un vene certan pour une acton, un coupon pour une olgaton à la ate τ.

3 3 I..3 Contrat générque Il exste un contrat forwar ou future sur U, noté F. Ce contrat se négoce à l achat à Fa et à la vente à F. La ate échéance e F est notée. F est supposé à règlement par lvrason. Les amenements lés à un règlement en espèces ne mofent pas les résultats qu vont suvre et seront exposés ans la secone parte. I..4 Hypothèse e geston es appels e marge F est un future, l est supposé sans appel e marge, à l nstar un forwar. Il est assort un appel e marge unque à l échéance. L asence e la premère fférence e forme va permettre la mse en place artrages parfatement sans rsque sur les futures. Une autre formulaton e l hypothèse consste à re que les appels e marge sont cumulés sur un compte attente jusqu au jour e l échéance, et réglés unquement à cette ate. Le compte est non rémunéré mas ne supporte aucun ago en cas e écouvert. Il est onc fat astracton es ntérêts sur les appels e marge. ce tratement ne reflète pas strctement la pratque es marchés, elle en est cepenant une représentaton suffsamment proche et pratque pour que chercheurs et Echanges l aent empruntée ans leurs travaux 2 et présentatons 3. Le prx un future avec appel e marge unque à l échéance n est cepenant pas celu un forwar. La stncton tent à la secone fférence e forme, le règlement avant terme, et à la fférence organsaton e leurs marchés. C est cette ernère qu est au centre e cet artcle 4. Pour évaluer l mportance es ntérêts sur les appels e marge, se reporter au chaptre 5, Artrage sur les marchés à terme, Glles Desvlles, hèse e octorat, Mars Ctons par exemple he qualty opton mplct n futures contracts, Geral D. Gay et teven Manaster, Journal of Fnancal Economcs, Ctons par exemple Le contrat à terme sur l nce CAC 40, Matf, 989, et reasury Futures for Insttutonal Investors, Cot, L ncence u règlement avant-terme est formalsée notamment ans Artrage n stock nex futures, Journal of Busness, 990, e Mchael J. Brennan et Euaro. chwartz, et ans la thèse e octorat e Glles Desvlles.

4 4 I.2 Artrage pur I.2. Cash an carry (C&C) Le cash an carry est l un es eux artrages purs qu s effectuent sur les contrats. Comme son nom l nque, l consste à acheter avec es espèces et porter un actf, en l occurrence c l actf U. l artragste ven en même temps le contrat au cours F, l s engage contractuellement à échanger cet actf U contre le montant F, à l échéance. D après notre éfnton générale e l artrage, le sole e l opératon est nul à l orgne. Or s U est acheté comptant, ce sole vaut -Ua. Il convent onc emprunter pour fnancer cet achat, et ramener le sole ntal à 0. Le taux emprunt prévalant est t, t,ask, terme ésgnant un taux emprunt, connu à la ate t, couvrant la péroe t à. Il s agt un taux comptant lnéare t encore taux smple annuel, que nous noterons plus smplement amguïté. t, ask, ou encore a en l asence Le chox une mesure lnéare annuelle répon à un souc e smplcté (nous aurons pu opter pour une mesure actuarelle) et aéquaton avec les marchés fnancers (nous aurons pu opter pour es taux contnus). Le contrat se négoce à une fourchette [ F t, = F : on cours e compensaton est t, ask F = Fa] t F comp et son cours e lquaton Flq. a, t τ > Ua Rh Flq F f, τ Le taux forwar e prêt, connu à la ate t, couvrant la péroe τ à, est f =, τ t,. Nous notons la urée e ve u contrat tme to maturty en ase annuelle: t = = (jours) t(jours) 365 = (an) t(an) = t, et τ = τ la urée e replacement en comptant les ates en ase annuelle.

5 5 Mse à plat es cash flows Le éroulement u cash an carry est le suvant: actons flux en t achète cash actf U -Ua ven un contrat échéance à F 0 emprunte Ua à a Ua place forwar le montant es revenus 0 sole en t t = 0 en τ encassement es revenus rh Ua replacement es revenus au taux forwar f -rh Ua sole en τ τ = 0 en lvre l actf U porté jusque là carry 0 F est un forwar: lasse exprer le contrat, reçot F F est un future: lasse exprer le contrat, reçot Flq honore l appel e marge unque 5 F Flq = F remourse l'emprunt -Ua (+ a ) récupère le placement es revenus rh Ua (+ f τ ) sole e C&C en C&C = = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) = t 2 5 Appel e marge unque = (F F comp t t+ t + )+ (F comp Fcomp + ) +( = 0 Fcomp Flq) = F Flq

6 6 A la ate t, est un résultat éjà étermné, le sole e l artrage est une varale étermnste parce que rh, τ et f sont connus. C est pourquo est également noté C&C, où sparaît l nce temporel témognant la ate. Cette remarque event une hypothèse ans les cas nomreux où le montant et la ate e versement es revenus ne sont que es estmatons comme avec les venes actons. Nous présentons c l artrage ans un care étermnste, qu pourrat être par exemple celu un contrat sur olgaton à taux fxe et sans rsque e éfaut. Lorsqu en t les calculs font ressortr un sole postf, l artrage C&C est nté. La écson entreprenre l artrage repose exclusvement sur le résultat à l échéance, pusque les soles nterméares sont par constructon nuls. En outre, ce résultat ne épen pas u cours e U à l échéance. Le épôt e garante Les Echanges mposent que chaque achat ou vente e l un es ses quatre futures sot accompagné un épôt e garante, foncton u nomnal u contrat. Par exemple sur le Matf: nom u contrat Euro Notonal Euro All overegn Euror Cac 40 nomnal EUR EUR EUR 0 x nce CAC40 épôt e garante 750 EUR 500 EUR 500 EUR EUR Des épôts e garante en ons u résor sont acceptés par les Echanges. Les épôts e garante représentent e 0.2 à envron 5% u nomnal es contrats (le nomnal effectf e l Euror étant le ¼ e M EUR). Leur étenton est onc eaucoup plus à la portée es artragstes que celle es mportants montants e cash ou e ttres, qu ls sont généralement olgés emprunter pour otenr es gans tangles. Nous supposerons ans tout ce qu sut que l artragste étent les ons acceptés par l Echange en qualté e épôt e garante, les épose en tant que tel, et jout plenement e leurs ntérêts. Dans notre care général, le épôt e garante ne génère aucun coût, et sa présence est omse. I.2.2 Reverse cash an carry (RCC) les calculs font ressortr un sole négatf, l artrage n est pas nté. Mas l event tentant e calculer le résultat e l nverson es opératons écrtes plus haut, e manère à otenr l opposé e négatf, sot un sole créteur. L opératon est appelée reverse cash an carry, et consttue le secon artrage pur sur les contrats.

7 7 Le éroulement u reverse cash an carry est le suvant: actons flux en t se fat prêter l actf U 0 ven l actf U U achète un contrat échéance à Fa 0 place U à -U emprunte forwar le montant es revenus à resttuer au prêteur 0 sole en t t = 0 en τ percepton e l emprunt au taux forwar fa rs U resttuton es revenus -rs U sole en τ τ = 0 en se fat lvrer l actf U 0 resttue l actf U au prêteur 0 F est un forwar: lasse exprer le contrat, paye -Fa F est un future: lasse exprer le contrat, paye -Flq honore l appel e marge unque Flq Fa = -Fa récupère le placement U (+ ) remourse l'emprunt forwar -rs U (+ fa τ) sole e RCC en RCC = = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ) Lorsqu en t les calculs font ressortr un sole postf, l artrage RCC est nté.

8 I.3 Appartenance au care général 8 I.3. Moèle e coût e portage nous fasons une premère hypothèse e marchés sans coûts e transacton, les cotatons et ask se confonent, et les soles artrage evennent: C&C = RCC = F U (+ ) + r U (+ f τ ) = F U [+ r (+ f τ )] Une secone hypothèse effcence es marchés à terme conut à l asence opportunté artrage sans rsque et par conséquence au prx u contrat: F = U [+ r (+ f τ )] La quantté [ r (+ f τ )] est couramment appelée cost of carry en s nsprant e l artrage qu procure son expresson. Elle est souvent traute en Franças par coût e portage net. Lorsque les cotatons et ask ffèrent, l hypothèse effcence conut à l encarement suvant, où emeure le concept e coût e portage 6 : U (+ ) rs U (+ fa τ ) < F < Fa < Ua (+ a ) rh Ua (+ f τ ) Les expressons otenues relèvent e la famlle es classques Cost of Carry Moels 7. La prse en compte es fourchettes e marché ren ce type e moèle plus réalste. I.3.2 Crtère appartenance Notre moèle s applque à un contrat forwar ou future F lorsque les eux artrages purs peuvent être élaorés strctement, c est-à-re lorsqu exste un sous-jacent U tel que les soles e cash an carry et e reverse s écrvent comme: C&C = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) RCC = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ) Remarquons que ces soles sont lnéares en F et U et qu ls sont étermnstes. Le moèle s applque partculèrement en aux forwars sur acton et sur olgaton. Il est a pror mons propce aux futures sur nce acton car ces erners véhculent un rsque 6 Glles Desvlles, cf. nfra note. L étalssement e l négalté proposée y est éveloppé au chaptre 3.

9 9 exécuton lé au éla e consttuton es paners ncels; ans les fats, cette mperfecton a presque sparu grâce à l automatsaton es orres e paners. Le moèle semle en revanche mal aapté à es contrats tratonnellement artrés par es prêts-emprunts réels ou synthétques, tels que les futures euroollar ou les FRAs. L ojet prncpal e ce paper est e montrer que malgré les apparences ces contrats majeurs entrent ans notre care général moyennant es amenements en entfés. II REGLEMEN CAH Le règlement cash, t encore en espèces, est une caractérstque es contrats forwar e taux (FRAs) et es contrats future sur taux court nterancare, alors que notre care général s appue sur un règlement par lvrason e ttres. Nous étuons ans cette parte l mpact e cette fférence e fonctonnement. L attenton est c portée sur l étalssement u cours e lquaton. II. Imperfecton e règlement cash II.. Cash-an-carry (C&C) Le règlement en espèces affecte les soles e C&C et RCC au travers es actons et flux en. En revanche les actons et flux sont nchangés en t et τ, auss ne présentons-nous c que le éroulement es artrages purs en. Il n exste typquement qu un cours e lquaton commun aux eux types artrage, noté Flq. actons flux en ven l actf U porté jusque là U lasse exprer le contrat, règle l appel e marge unque F Flq remourse l'emprunt -Ua (+ a ) récupère le placement es revenus rh Ua (+ f τ ) sole e C&C en = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ )+ ( U Flq) 7 Unerstanng futures markets, pages 89 à 5, Roert W. Kol, New York Insttute of Fnance, 3 r Eton.

10 0 Le sole e C&C ne ffère e son homologue u règlement par lvrason que par le terme ( U Flq), qu est l écart entre le u sous-jacent à l échéance et le cours e lquaton, et que nous nttulons mperfecton e règlement cash. II..2 Reverse (RCC) actons flux en achète l actf U venu jusque là à écouvert - resttue l actf U au prêteur 0 Ua lasse exprer le contrat, règle ou perçot cash Flq Fa récupère le placement U (+ ) remourse l'emprunt forwar -rs U (+ fa τ ) sole e RCC en = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ ) + (Flq U a ) Le sole e RCC ne ffère e son homologue u règlement par lvrason que par le terme (Flq U a ), qu est l écart entre le cours e lquaton et le ask u sous-jacent à l échéance, et qu est auss l mperfecton e règlement cash, mas côté reverse. Pour que les soles e C&C et e RCC soent étermnstes, l faurat que les caractérstques u contrat, fxées par les ntervenants e gré-à-gré ou l Echange, fxent un cours e lquaton es veneurs égal à U, et un cours e lquaton es acheteurs égal à U a. Cette règle suscterat vrasemlalement e nomreuses manpulatons nous allons explquer cette noton ans le éveloppé suvant e la fourchette u sous-jacent par les artragstes, et aoutrat à une stuaton nésrale. A éfaut, les opérateurs pourraent-ls taler sur un fxng Flq comprs au sens large entre U et U a, qu leur permettrat encarer les valeurs possles e leurs soles artrage ésormas aléatores? Deux cas concrets montrent que la réponse est varale. Les Cost of Carry Moels sont amplement présentés.

11 II.2 Deux exemples II.2. FRA Nous accepterons c l ée que le sous-jacent u FRA est un taux. Nous verrons que le sous-jacent est en réalté un on, et que les calculs sont plus complexes que ceux présentés c-essous (cf. V.2. Artrage classque u FRA et artrage équvalent en page 3). Cepenant l approxmaton par le taux n altère pas le caractère llustratf u FRA. L exemple c-essous fat ntervenr le taux nterancare por qu a été totalement remplacé à partr u 4 janver 999 par l euror. Néanmons les mécansmes écrts ont été conservés et l sufft e susttuer euror à por pour renre actuel l exemple. Le taux e lquaton un FRA tratonnel est éfn contractuellement comme le taux ask u sous-jacent à l échéance. Rapporté à notre care général, l nstrument se caractérse onc par Flq = U a. L exemple 8 suvant atteste u chox u ask à la lquaton, que le FRA sot acheté ou venu, pusque le por est un taux offert: Encart extrat e FRA, océté Générale Les caractérstques une opératon e FRA sont les suvantes: le montant e référence MR (soulgnons qu l s agt un montant notonnel qu sert au calcul es flux ntérêts, mas qu ne onne pas leu à versement; ans le cas une opératon e couverture, ce montant corresponra au volume à emprunter, ou prêter, à une ate future); le taux contractuel C (taux garant); le taux u marché M qu est l nex e référence chos (par exemple, le por); la péroe e référence (ou péroe e garante, sur laquelle sont calculés les ntérêts); la ate e règlement coïnce avec le jour ouvré où commence la péroe e référence; c est le jour où est effectué le versement; la ate e lquaton se stue généralement eux jours ouvrés avant la ate e règlement: c est à cette ate qu on compare le taux u marché avec le taux contractuel; le nomre e jours nj e la péroe e référence; le nomre e jours e la ase annuelle B (360 pour es opératons en francs franças) 8 FRA, Les cahers es marchés olgatares, océté Générale, 990.

12 2 le versement effectué à la ate e règlement est e: MRx(C M)xnj (00xB) + (Mxnj) MRx(M C)xnj (00xB) + (Mxnj) s M < C (payé par l acheteur e FRA au veneur e FRA) s M > C (payé par le veneur e FRA à l acheteur e FRA) Notre care assmle ate e règlement et ate e lquaton; le écalage t J+2 oservé ans la réalté ne présenta pas ntérêt théorque ans la mesure où toutes les opératons fnancères sont assortes e tels écalages, au paement comme à récepton es flux. En autres termes, les eux jours e écalage ne pénalsant n n avantageant le FRA et autres contrats, nous aoptons un écalage nul J+0 pour notre contrat générque F. L acheteur et le veneur e FRA e l encart sont respectvement les artragstes en RCC et C&C e nos propos. Pour une melleure compréhenson u rapprochement avec notre care ncorporant es fourchettes e marché, ctons un exemple chffré: Encart extrat e FRA, océté Générale upposons que le 9 avrl 990, le FRA 3/9 (sx mos ans tros mos) est coté: (l entreprse) achète le taux garant (9.70%), elle recevra (ou versera) à l échéance la fférence entre le por et 9.70%. En venant un FRA au taux garant e 9.60%, elle paera (ou recevra) à l échéance la fférence entre le por et 9.60%. Le chffrage se répercute comme sut sur les artrages purs sur FRA: RCC Acton sélectonnée Flux t: Achat e FRA en à 9.70% 0 t + 3mos: Règlement cash Flq Fa = por 6 mos 9.70% = U a 9.70% C&C Acton sélectonnée Flux t: Vente e FRA en à 9.60% 0 t + 3mos: Règlement cash F Flq = 9.60% por 6 mos = 9.60% Ua

13 3 L artragste en RCC se retrouvant emprunteur à la ate e règlement énéfce une mperfecton e règlement cash nulle Flq U a = 0. En revanche, en C&C, l mperfecton est égale à la largeur u -ask u comptant et vent en réucton u résultat artrage U U < 0. a Le por 6 mos est le cours e lquaton. Il est unque et relevé à h e chaque journée par l AFB. Il est ans les fats utlsé en tant que pvot ans les négocatons e tous les nstants u marché monétare, ce qu le ren complètement opératonnel et sufft à le qualfer e sous-jacent. Que Flq sot une moyenne es taux nterancares cotés par 6 étalssements e crét e référence l amène en théore à pouvor fférer un taux U a négocé par un artragste auprès e l un e ces étalssements. Mas ans la pratque, cet écart est nul car les étalssements s algnent sur un même nveau. II.2.2 L ex-future Por 3 mos Des remarques smlares à celles émses au éut u éveloppé sur le FRA s applquent à cet nstrument (cf. page ). Le contrat por lancé au prntemps 987 les taux por au comptant e à 2 mos ayant vu le jour en octore 986 clôturat sur une valeur unque, à l nstar u contrat Cac 40, à h u jour e l échéance. Encart extrat e contrat à terme Por 3 mos, Matf, Avrl 89 La lquaton Il n y a pas e lvrason à l échéance. oute poston non énouée avant l échéance onne leu à une lquaton automatque entraînant le règlement e l ultme appel e marge fférence entre le cours e négocaton u jour ou, à éfaut, le cours e compensaton e la velle et le cours e lquaton. Ce cours correspon à 00 mons le por 3 mos pulé par l AFB le jour e la lquaton à h, arron à eux écmales. Le cours e lquaton pouvant être connu à partr e h5,les négocatons sur l échéance concernée cessent à h le jour e la clôture. Ce taux e lquaton étant également sujet à manpulaton, Matf A a aopté une logque e moyenne au vosnage e l échéance:

14 4 Encart extrat e contrat Por 3 mos, Matf, Avrl 95 Lquaton Le cours e lquaton u contrat à terme por 3 mos correspon à 00 mons la moyenne arrone à eux écmales es taux por 3 mos comptants constatés le jour e la lquaton à 9h30, h00 et 2h30, cette ernère étant calculée par l AFB. La même remarque, au sujet e l mperfecton u règlement cash, que celle émse ans l exemple u Cac 40 s applque c. II.3 Concluson ur le plan u formalsme, le règlement cash mofe peu les soles artrage, pusqu l sufft e leur ajonre un terme atf mperfecton partculèrement smple. Les résultats proposés en premère parte sont vales pour les nstruments mplquant un règlement cash à conton e garer à l esprt que les opératons encourent un coût ou un rsque supplémentare. Ce que nous pouvons écrre e la manère suvante: CAH C&C = CAH RCC = LIVR C&C coût ou rsque e règlement cash en C&C LIVR RCC coût ou rsque e règlement cash en RCC Dans la pratque, ce coût ou rsque peut revêtr eaucoup mportance e par sa possle ampltue au regar es soles artrage pur, généralement fales sur es marchés mûrs lorsque rapportés aux prx es actfs sous-jacents. Ben qu estmer numérquement ce rsque sot un ojectf ntéressant, l ne fgure pas parm ceux que nous nous sommes assgnés ans ce paper.

15 5 III FUURE UR BON DU REOR Les contrats majeurs sur taux court sont les FRAs, et les futures u type euroollar 3 ou mos ont le contrat Matf por 3 mos fat parte. Comme annoncé en préamule u FRA et u future por 3 mos fgurant ans la parte précéente consacrée au règlement cash, le sous-jacent e ces contrats n est pas le taux court lu-même. Plus précsément, un taux court ne peut être le sous-jacent es eux opératons écrtes en I.2 Artrage pur pour la smple rason que sur les marchés fnancers, acheter et venre un taux ntérêt ne se pratque pas, en que ce sot le taux et non le prx qu sot négocé ans toutes les transactons monétares et olgatares. A éfaut, l artragste peut acheter ou venre un on portant sur le taux propre au contrat, ou prêter et emprunter à ce taux, ou encore contracter un swap taux fxe contre taux varale. C est avec ces nstruments qu l réalsera ses cash an carry et reverse. Le sous-jacent U n est pas, mas un nstrument e taux. Au mons tros sont élgles ons, prêts-emprunts, swaps mas quel qu l sot, la présentaton qu va suvre leur est commune. III. Bon générque Un on est classquement l nstrument rapportant es ntérêts calculés sur un taux fxe et une urée étermnée qu est auss sa urée e ve. Il est aor éms par un gouvernement, une anque, une entreprse ou autre organsme, et la péroe e souscrpton consttue son marché prmare. Pus l se négoce sur le marché monétare ou olgatare nttulé pour l occason seconare par opposton au marché prmare. Le prx u on générque à une ate quelconque t est noté Bt,( t ), avec ate e maturté et t taux pertnent u marché. Un taux t onne un prx achat B( t ), un taux ask t a un prx e vente B( t a ). Cette relaton classque suffra et éfnr une fourchette [B : Ba] ne sera pas nécessare. Le on générque est u type zéro-coupon, à savor que les ntérêts portés sont versés en une seule fos, à la maturté et avec le remoursement u captal souscrt. La somme u captal et es ntérêts est onc la valeur fnale u on, sot B,( ), népenante e et notée rèvement B. Il n est pas queston mposer une ou pluseurs formes strctes à ce on, comme le font les marchés e taux. Peu mporte à la théore e la fnance moerne comment le captal et les ntérêts sont présentés. eule lu sufft l actualsaton es flux futurs.

16 6 B Θ t ate émsson [ t = : t a = a] En t, le on se règle onc aux prx: [B(a) = B + pertnents, c est-à-re négocés pour le on en queston. a : B() = B + ], étals avec es taux III.2 Future sur on u résor Le 3-months -Bll future est florssant aux UA epus son lancement en janver 976 par le CME, alors que l équvalent franças, lancé par Matf A en jun 986, s est étent au out e eux ans. La rason premère e cet échec fut certanement l asence e marché seconare u sous-jacent, le on u résor franças 9. Le future F porte sur un reasury ll B ont la ate e maturté excèe e tros mos ateà-ate sa propre échéance. Le règlement s effectue par lvrason es ttres. Un on étache en un revenu R sous forme ntérêts, mas ce revenu étant versé en postéreur à, Rs et Rh sont nuls ans les soles artrage. Enfn, les -Blls étant éms par le gouvernement amércan et les artragstes travallant typquement pour es anques prvées ou assmlées, leurs taux sont stncts. Ils respectent une hérarche lée au rsque e l un et l autre. Le gouvernement étant plus sûr que les tales artrage et leurs masons mères, à maturté égale le taux un -Bll est nféreur au taux e prêt e l artragste, le taux ask nféreur au taux emprunt. Notant µ et µa les marges les séparant, et et a les taux e prêt-emprunt e l artragste, eux -Blls sont écrts par le schéma suvant: 9 Lre à ce sujet Contrat on u résor ou contrat por?, Eouar Macko et Phlppe Cahen, p , La Revue Banque, Avrl 988.

17 7 -Bll long B() : [U : Ua] Future : [F : Fa] a µ [ - µ : - a] B = 00 Θ ate émsson t [ µ : a µa] [ ϕ : ϕ ] -Bll court B () a Pour un U -Bll, = 3 mos R est entque pour le étenteur et le veneur à écouvert u on. Ben que cela n at aucune mportance e fon, nous posons B = P Θ + R = 00 avec P Θ prx à l émsson, par smplcté e forme qu s avère auss conforme à la réalté es -Blls. A la ate t, le prx [U : Ua] un -Bll payant 00 en est [ 00 + ( -µ ) a a : 00 + ( -µ ) ]. Les marchés négocent les -Blls à l ae e taux escompte 0 scount yels, mas parce qu l exste une relaton unvoque entre les taux escompte et ( µ, a - µ a ), ces erners sont pertnents ès lors que la relaton est actualsée. - D autre part, les taux forwar e la coure es ons u résor, ( ϕ, ϕ classquement es taux spot : a ), se éusent + ϕ = + ( -µ ) a a + ( -µ ) et + ϕ a = + ( a-µ + ( -µ a ) ) a ( ϕ, ϕ ) sont entèrement étermnés à la ate t, et nullement aléatores en. En posant U = 00 + ( -µ ) a a et Ua = 00, et rs = rh = 0, les soles artrage pur en, + ( -µ ) C&C = F Ua (+ a ) + rh Ua (+ f τ ) et RCC = -Fa + U (+ ) rs U (+ fa τ ), evennent: C&C = F RCC = -Fa ( -µ ) a a 00 + ( -µ ) (+a) = F (+) = ( Fa 00 + a + ϕ + (a -µ a) ϕ a + ( -µ ) ) 0 Prx = 00 ( taux escompte x urée) Pour étalr le, consérer un nvestsseur voulant placer un flux en, qu emprunte court et reprête long. Consérer l nverse pour étalr le ask.

18 8 Ces soles sont étermnstes à la ate t. Nous savons par avance que le -Bll future s nscrt parfatement ans notre care général, mas cette analyse prépare l ntégraton ans ce même care u contrat euroollar n-mos, sensé a pror ne pas porter sur un actf mas sur un taux. III.3 aux mplcte u future contre taux forwar u comptant Le CME a écé e coter le -Bll future selon une cotaton smlare à celle es -Blls, à savor: IMM Inex = 00 ( scount yel ). Notons le pseuo-scount yel (ou taux escompte) mplcte à l nce IMM. Ans IMM = 00( a) et IMM = 00( ). Le CME a également étal la règle e lvrason suvante 2 : Prx u -Bll lvré après vente un future = 00 ( a ) Prx u -Bll reçu après achat un future = 00 ( ) Ans le future effectf F n est pas exactement l nce IMM coté et négocé, mas 00 ( scount yel x ). D où: F = 00 ( a ) Fa = 00 ( ) Ce qu onne es valeurs approxmatves en éveloppant en séres e aylor les fractons et néglgeant les termes u secon egré et la marge µ pour les soles artrage: C&C = 00 ( a ) RCC = ( 00 ( ) 00 + a + ϕ + (a -µ a) ϕ a + ( -µ ) 00 ( ϕ a) ) 00 ( ϕ a ) 2 En réalté, ce n est pas qu fgure mas une urée stanar proche e n ou 3 mos exacts, sans toutefos leur être nécessarement égale. L écart entre les eux urées génère un rsque analysé en Contrat por: taux à terme et tenson monétare, Glles Desvlles, Banque et Marchés, Mars-Avrl 997. sous l appellaton. Nous l omettons ans ce qu sut.

19 9 En premère approche, l artragste compare onc le taux mplcte u future au taux ϕ forwar 3 mos en es -Blls: ϕ > a ntaton un C&C > a ϕ ntaton un RCC a > a ϕ > ϕ > pas ntaton artrage IV FUURE DE YPE EURODOLLAR N-MOI IV. Future sur certfcat e épôt Le CD future porte sur l équvalent ancare u on u résor, à savor un Certfcate of Depost ou Certfcat e Dépôt. Ce future, qu a exsté sur le CME e jullet 98 à fn 987 3, porte sur es CDs omestques éms par es anques e premer nom. Il mplque un règlement par lvrason e ttres éms par un panel étal par le CME. Le veneur e future énéfce une wl car opton sur la ate e lvrason comprse ans les 5 erners jours précéant l échéance, caractérstque que nous gnorerons c. L étue précéente est vale à conton qu l exste un fort volume sur le marché seconare es CDs ce qu est le cas aux UA, mas eaucoup mons en France et aopter es marges µ nulles l artragste étant représentatf e sa communauté professonnelle. D où les nouveaux soles artrage sur le CD future (µ = 0): C&C = F RCC = ( Fa 00 + f 00 + f a ) a ( f, f ) sont les taux forwar ssus e la coure nterancare par les enttés: + f + + a et + fa + a + 3 Le CD future u CME a sparu parce que son champ utlsaton s est avéré reonant vs-à-vs e celu u future euroollar.

20 20 IV.2 ous-jacent mplcte IV.2. Présentaton Le CME, le LIFFE et quelques autres Echanges ont le MAIF pour le contrat por ont aopté également une cotaton en scount yel e leurs futures euroevses n mos. Restant sur le CME, le cours u future se trate comme l IMM Inex = 00 ( ). Le n- month euroollar future, comme t ans l encart e II.2.2 3, clôture son échéance à L ex-future Por 3 mos en page IMMlq 00 ( taux offcellement offert sur l nterancare n mos en ollar), où le taux est celu négocé à Lonres, c est-à-re le lor. Le règlement est cash. Afn soler chaque évaton vs-à-vs e notre care général, nous supposons le taux e lquaton étal à h GM précse et représentatf es échanges ancares, parm lesquels fgurent les prêts-emprunts es artragstes. Aucune moyenne offcelle n ntervent, aucune manpulaton e la référence n est à cranre. D où:,a IMMlq = 00( l ) avec l,a lor n-mos ffusé en. Le lor ffusé par l assocaton es anques à Lonres est un chffre offcel, qu ressort toujours avec une marge au essus u taux emprunt opératonnel. Cette marge et le taux ask opératonnel sont notés respectvement µoff et,a. D où: l,a =,a + µoff La règle e lquaton éctée par les Echanges et aaptée à notre hypothèse appel e marge termnal est: règlement cash après vente u future = (IMM IMMlq) règlement cash après achat u future = (IMMlq IMMa) n mos an n mos an Le future effectf est onc F = 00 ( n mos ) an Pour smplfer la présentaton qu sut, nous supposons enfn que = n mos 4. an 4 Même remarque qu en note 2.

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