SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE

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1 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p1 SYSTEMES OGIQUES OGIQUE COMBINATOIRE I Commnde des systèmes logiques 1. Structure des systèmes utomtisés Reprenons l structure étlie dns le cours d'nlyse fonctionnelle, VII 1. Ce cours porte sur l'étude des systèmes utilisnt des données logiques, prticulièrement sur l chîne d'informtion, depuis l'cquisition des données, le tritement de ces données et l'élortion des ordres de commnde à destintion des préctionneurs. 'étude des systèmes utomtisés à logique comintoire ou séquentielle conduit à une représenttion de l prtie commnde et de l prtie opértive du système.

2 2. Structure Informtionnelle Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p es grndeurs cquises sont générlement de différentes ntures. e tritement logique de ces grndeurs nécessite u prélle un codge. Ensuite les grndeurs logiques sont mnipulées sous formes d'étts inires, ce qui nécessite l'utilistion de l'lgère de BOOE e système étnt isolé, on peut définir les entrées et sorties de l prtie commnde. C'est en fit âtir l structure informtionnelle du système. e schém ci-dessus met en évidence tout un réseu de communiction, qui permet le dilogue entre les différentes prties (opérteur, P.O., utres P.C.). Cette notion de dilogue est très importnte : il s'git d'échnge de données, de mise en œuvre de signux. nture même des données, informtions, v en définir le mode de tritement. Terminologie (d'près norme NFZ ) : Donnée : fit, notion ou instruction représentés sous forme conventionnelle convennt à une communiction, une interpréttion ou un tritement, pr l'homme ou utomtiquement. Informtion : significtion que l'homme donne à une donnée, à l'ide d'une convention employée pour l représenter. Signl : grndeur, fonction du temps, crctérisnt un phénomène physique, et représentnt des données es différentes ntures de données et de tritement prtie commnde est en reltion à crctère informtionnelle vec s prtie opértive, et le milieu extérieur. es données qui sont créées, stockées ou gérées pr l P.C., sont clssées en trois ctégories : les données logiques, nlogiques ou numériques. e tritement des données logiques peut être comintoire ou séquentiel. suite du cours porte sur le tritement et l gestion en logique comintoire ou en logique séquentielle des données. Rppel # Informtion (signl) discrète est constituée d'un ensemle fini de vleurs. On distingue : De mnière générle, l logique inire est utilisée dns le tritement des données, ffectnt à l'un des étts l vleur 0, à l'utre l vleur 1 (0 ou 1, vri/fux, noir/lnc, Tout Ou Rien). 1 Informtion inire 0 t Exemples : du cournt psse ou ne psse ps dns un fil, un condensteur est chrgé ou non, une tension vut 0 Volt ou 5 Volts. 1 BOOE George ( ) : ogicien et Mthémticien nglis, The Mthemticl Anlysis of logique, 1847.

3 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p3 En prtique, il s'git de positionner des seuils définissnt des fourchettes de niveu logique : Tension (Volts) 5 Niveu logique 1 2 Tension (Volts) 0.4 Niveu logique Signl entrnt t Signl sortnt t Exemple de définition de niveux logiques # Informtion numérique : sous l forme d'un mot inire, constitué de plusieurs vriles inires (its 2 ). Informtion générlement issue d'un tritement d'une informtion nlogique (échntillonnge, codge). x(t) Vrile mesurée échntillonnée Informtion nlogique t t t Mot inire Informtion numérique 3. Système à logique comintoire On défini le système à logique comintoire dns le premier chpitre du cours "commnde des systèmes sservis", pour un tel système les sorties dépendent exclusivement d'une cominison des entrées, sns prendre en compte "l'histoire" du système. A un étt des entrées, correspond un et un seul étt en sortie. Aucune mémoire des étts précédents des entrées et des sorties n'est conservée. 'informtion logique est tritée de mnière instntnée. Un circuit logique comintoire est un dispositif étlissnt une reltion cusle entre les étts inires de ses grndeurs d'entrée, et ceux de ses sorties. e tritement de tels systèmes s'ppuie sur un outil mthémtique nommé lgère inire ou encore lgère de Boole 3. notion de vriles ou de fonctions ooléennes, se concrétise prfitement vec un grnd nomre d'éléments technologiques : interrupteur fermé ou ouvert, semi-conducteur loqué ou sturé, piston de vérin sorti ou rentré... 2 BIT : contrction de inry digit 3 'lgère de Boole ne porte ps nécessirement sur des vriles inires.

4 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p4 simplicité de l'lgère de Boole, et les progrès de l technologie ctuelle, ont conduit à un importnt développement des commndes logiques. 'ctuelle cpcité d'intégrtion des composnts électroniques est telle que l'on peut envisger un très hut degré de complexité dns le tritement des informtions inires. Grndeurs : Entrées logiques : - Réels - Entiers - Codge, tritement - mots inires - vriles inires Système A logique Sorties logiques : commnde de préctionneurs - vriles inires (étt d'un contct ) comintoire Exemple : technologie HSD du véhicule HYBRIDE TOYOTA PRIUS Dns le contexte ctuel d économie des énergies fossiles et de réduction des émissions de gz nocifs, le système de propulsion hyride constitue une lterntive intéressnte à l propulsion clssique pr moteur thermique seul cr il permet de réduire l consommtion. Une spécificité de l solution retenue sur l Prius consiste à exploiter le moteur thermique à son rendement optiml. Pour cel une gestion optimle des modes de fonctionnement du système hyride permet d optimiser l consommtion d énergie chimique : l mise route du moteur thermique et l'sservissement de s vitesse permettent d'exploiter u mieux ce moteur. loi de mise en mrche du moteur thermique est une loi comintoire. es entrées sont les suivntes : Prmètres de contrôle du système HSD : - consigne EV, pour un fonctionnement «Tout Electrique», jusqu à une vitesse de 50 km/h. - e Sélecteur de Mrche Avnt (MA = 1 si enclenché, 0 sinon), Arrière ou Point Mort. - P demndée, (puissnce motrice + puissnce demndée pr les composnts uxiliires). On définie l vrile P tot ; P tot =1 si puissnce demndée est supérieure à 6 kw. - F r, ssociée à l ppui sur l pédle de frein ; F r = 1 indique un ppui sur cette pédle. Vriles inires de fonctionnement - V e, ssociée à l vitesse du véhicule ; V e = 1 si l vitesse est supérieure à 50 km/h. - T e ssociée à l tempérture de l eu du moteur ; T e = 1 si l tempérture est supérieure à 50 C.

5 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p5 A prtir des conditions de fonctionnement du moteur thermique sont, il est lors possile de déterminer l loi qui définit l vrile de commnde du moteur MT. EV MA F r P tot V e T e Circuit de mise en route du moteur MT II Codge d'une informtion 1. Présenttion ors du codge d'une informtion, différentes ses de numértions peuvent être utiles. Outre l se 10 se usuelle d'expression des différentes grndeurs, les ses hexdécimle et inire sont très utilisées. Seront exposées ici seulement quelques techniques de codge. 'nnexe "numértion & codge" fournir des compléments d'informtion. Dns un système numérique, toute grndeur est représentée pr un ensemle d'éléments inires ppelés "its" (contrction de inry digit). Chque it ne peut prendre que les vleurs "zéro" et "un". On ffecte à chcun des its, soit un poids numérique, soit un rôle prticulier (contrôle, signe...). Tout le prolème réside dns les différentes ntures des grndeurs à trnsmettre : entiers positifs, entiers reltifs, réels, symoles... Grndeur à coder Nomre Symole. Codge Représenttion de l grndeur dns une structure mtérielle Mot, ensemle de n its de vleur 1 ou 0 Remrque : l'opértion inverse est nommée trnscodge. Avec l multipliction des systèmes qui utilisent le tritement utomtique de l'informtion, pprît l nécessité de définir des codes dptés à chque prolème. Tous ces codes seront nécessirement comptiles vec le inire, puisque le tritement des informtions est effectué pr des systèmes informtiques. e codge est l'ction d'ffecter à un ensemle de symoles, une significtion prticulière. e codge inire, ffecte à un ensemle de n its (qui forment un mot) une correspondnce vec des nomres (codes numériques) ou vec d'utres informtions (code A.S.C.I.I. pr exemple). es codes numériques sont représentés à l'ide de tles de vérité.

6 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p6 Pour un mot de n its, correspondent 2 n cominisons possiles. structure mtérielle du système, v définir l longueur des mots trnsmis, soit le nomre de its trnsmis en même temps. es systèmes cournts seront de 8 its, 16 its, 32 its, 64 its... Enfin, lorsqu'on mnipule des mots, il est indispensle de connître le code utilisé, cr deux représenttions identiques uront des significtions différentes. 2. e code inire nturel Directement ssocié à l se 2, il permet le clcul numérique. Sur 4 its l tle de vérité est donnée ci-contre, s construction suit les règles de l se 2. On peut remrquer que dns l colonne 2 n, on écrit une lternnce de 2 n [0] vec 2 n [1]. On distingue les its de poids forts (2 3 et 2 2 ), et les its de poids files (2 1 et 2 0 ). Dns certines pplictions, seuls les its de poids forts sont pris en compte, pour 4 its cel revient à prendre l prtie entière de l division du nomre pr 4 (utilistion pour un comptge pr exemple) Codge des entiers positifs sur "n" its Chque mot ser constitué d'une suite de n its. A chcun des its i, est ffecté le poids 2 i. 0 it le plus à droite, 0 est le it de poids le plus file,.s.b. st Significnt Bit ; n-1 it le plus à droite, est le it de poids le plus fort, M.S.B. Most Significnt Bit. M.S.B..S.B. n-1 n n-1 2 n Nomre entier le plus grnd : [ 2 n - 1 ]. Soit sur 8 its : 255 Nomre de cominisons : 2 n

7 2.2. Codge des entiers reltifs sur "n" its Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p7 Il existe principlement deux codges pour l représenttion des entiers reltifs. représenttion en "complément à deux" et l représenttion en "complément à 2 déclé". Seule l représenttion en complément à 2 ser exposée ici, voir l'nnexe "numértion & codge" pour plus d'informtions. Représenttion en "complément à 2" # On ffecte cette fois le it de poids le plus fort (M.S.B.) u it de poids 2 n-2 ; # e it situé à guche du M.S.B. pour rôle de définir le signe, vec l convention suivnte : "0" pour les entiers positifs, et "1" pour les entiers négtifs ; # vleur solue d'un entier positif est codée vec le code inire nturel ; # vleur solue d'un entier négtif est codée vec le "complément à 2" de son expression positive (complément à 1 de chque rng du mot + 1). e "complément à 2", Nomre complémentire dns une se B Dns une se B, on ppelle complément à B d'un nomre, le nomre qu'il fut lui jouter pour otenir l puissnce entière de B directement supérieure. Exemple en inire : (Nomre à complémenter sur 4 rngs) (Complément à 2) (2 4 ) 10 Détermintion : l détermintion du complément à B, peut se fire très fcilement en déterminnt le complément à (B - 1) de chcun des chiffres, puis en joutnt 1. Exemples : En déciml : le complément à 10 de D 654 est D [ ] = D 346 En inire : le complément à 2 de % 1011 est % [ ] = % 0101 Remrque : vec une telle représenttion, et si on considère huit its, les vleurs numériques iront de (-128) 10 à (127) 10 soit là encore 256 cominisons, ce qui est logique... Exemple : représenttion de (- 5) 10 sur huit its it de signe = 0 nr positif MSB (+5) 10 sur huit its ( ) 2 Complément à 1 ( ) Complément à 2 ( ) 2 it de signe = 1 nr négtif

8 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p8 Ainsi, en codge en complément à 2 sur huit its : (- 5) 10 = ( ) 2 Vleurs décimles sur huit its Représenttion hexdécimle du mot complet $ $ FF $ 00 $ $ 7F Appliction : l soustrction. 'vntge de ce type de codge, est qu'il donne un résultt toujours correct pr ddition inire, que les grndeurs soient positives ou négtives. Exemples : (+5) (+4) (-5) (-5) it perdu (0) (-1) 10 ou $00 10 ou $FF 3. e inire réfléchi : code GRAY Un inconvénient de l codifiction en inire pur, est que plusieurs its d'un mot chngent lorsqu'on psse d'un chiffre N à N+1. e code GRAY été créé pour résoudre ce prolème : une codifiction donnée ne diffère que d'un it de celle qui l précède. Ce codge est très utilisé sur les dispositifs d'entrées / sorties des systèmes, il évite des résultts migus lors des trnsitions. # Pssge du code inire nturel u code GRAY : Soit B un nomre en inire nturel, et G son expression en inire GRAY :

9 B 2B G = ( ou exclusif voir chpitre suivnt ) 2 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p9 Exemple : expression de (7) 10 en code GRAY : = = Détection d'erreurs, it de prité trnsmission de données d'un point d'un système à un utre est source d'erreurs. Il est norml de trouver des moyens de contrôle de l vlidité du mot trnsmis. e plus cournt est d'ttriuer à un it ce rôle. Bit de prité pire : l vleur du it de contrôle ("0" ou "1") est déterminée de fçon à ce que le nomre de its à "1" trnsmis soit pir. e receveur peut contrôler cette prité, sns pour utnt svoir où est l'erreur. Il est clculé en prennt le "ou exclusif" entre les utres its du mot. Bit de prité impire : méthode identique, vec cette fois un nomre impir de its à "1" trnsmis. 5. Autre code numérique : le code "p prmi n" Définition : le code p prmi n est un code à n its, dont p its sont à "1", et (n - p) its à "0". e nomre de cominisons otenues est lors de C. Remrques : # C'est un code uto-correcteur (le nomre de its à "1" est fixe) # Code personnlisé : en effet s'il existe # Code souvent utilisé pour les codes à rres. p n p C n cominisons, il y p C n! rrngements possiles... III Algère de Boole Opérteurs logiques 1. Algère de Boole, lgère inire, circuit logique Un ensemle {E} possède une structure d'lgère de Boole si on défini dns cet ensemle les éléments suivnts : - Une reltion d'équivlence notée " = " ; - Deux lois de composition internes notées " + " et ". " (ddition et multipliction ooléenne) ; - Une opértion unire : loi qui ssocie à tout élément de E son complément (lu " rre"), cette loi est ppelée complémenttion. Une lgère inire est une lgère de Boole dont les éléments, ppelés vriles inires, peuvent prendre deux vleurs notées 0 et 1, suf les deux éléments "0" et " 1 " qui ne peuvent prendre que leur propre vleur. es lois énoncées ci-dessus s'écrivent :

10 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p10 2. Exemple de vriles inires : contcts et circuits électriques 2.1. Contct à fermeture; contct à ouverture Contct à fermeture : normlement ouvert u repos, fermé lorsqu'il est ctionné. On désigne ce type de contct pr " ", " ", " c "... Bornes numérotées 3 et 4. Contct à ouverture : normlement fermé u repos, ouvert lorsqu'il est ctionné. On désigne ce type de contct pr " ", " ", " c "... Bornes numérotées 1 et Ces deux types de contct sont des vriles d'entrée pour un circuit logique Ett d'un circuit On définit un circuit pssnt (ou fermé), lorsqu'un cournt peut circuler dns le circuit. Inversement un circuit ser non pssnt (ou ouvert) lorsque le cournt ne peut ps circuler dns le circuit. On note lors deux étts des contcts ou des récepteurs, l'étt " 0 " et l'étt " 1 ". Pour un contct : sence ou présence d'ction physique sur le contct. Pour les récepteurs : récepteur limenté ou non (lmpe llumée ou non, relis enclenché...). 3. es opérteurs logiques de se es fonctions logiques vont permettre d'étlir les reltions entre les vriles d'entrée, et les vriles de sortie. Ces reltions pourront prendre l forme d'équtions, ou encore de logigrmmes. Pour chque fonction élémentire on définit plusieurs représenttions : électrique (schém développé), lgérique (éqution), rithmétique (tle de vérité), et grphique (symole logique 4 ) 'opérteur OUI Schém électrique : Tle de vérité : Eqution : = Symole : 1 4 Symole : norme IEC (Interntionl Electrotechnicl Commission)

11 3.2. 'opérteur NON Schém électrique : Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p11 Tle de vérité : Eqution : = Symole : 1 ire " rre" 3.3. 'opérteur ET Schém électrique : Tle de vérité : Eqution : =. Symole : & ire " et " 3.4. 'opérteur OU Schém électrique : Tle de vérité : Eqution : = + Symole : 1 ire " ou "

12 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p12 IV Propriétés des opértions logiques - Théorèmes 1. Eléments neutres, idempotence et complémenttion Reltif à... Fonction OU + Fonction ET. Elément neutre " 0 " + 0 =. 0 = 0 Elément neutre " 1 " + 1 = 1. 1 = Idempotence 5 + =. = Complémenttion + = 1. = 0 2. Propriétés fondmentles Commuttivité : les deux lois internes, produit et somme logiques sont commuttives.. =. + = + Associtivité : les propriétés d'ssocitivité peuvent être ppliquées ux expressions logiques. Distriutivité :. (. c) = (. ). c =.. c + ( + c) = ( + ) + c = + + c - distriutivité de l fonction OU pr rpport à l fonction ET + (. c) = ( + ). ( + c) - distriutivité de l fonction ET pr rpport à l fonction OU 3. Théorèmes de De Morgn 6. ( + c) = (. ) + (. c) Premier théorème : e complément d'une somme logique est égl u produit logique des termes complémentés de cette somme. e théorème s'pplique quel que soit le nomre de termes de l somme. + =. Expression générlisée : i = Deuxième théorème : e complément d'un produit logique est égl à l somme logique des termes complémentés de cette somme. e théorème s'pplique quel que soit le nomre de termes du produit. n i= 1 n i= 1 = + Expression générlisée : i = i n i= 1 n i= 1 i 5 Idempotence : fit d'être idempotent pour une ensemle mthémtique. Idempotent, en mthémtique, qui rmène à soi même, en prlnt de l'élément d'un ensemle mthémtique. 6 De Morgn Augustus ( ) : ogicien et Mthémticien Anglis (Forml ogic 1847 ; Trigonometry nd Doule Alger 1849)

13 V Autres Opérteurs Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p13 1. 'opérteur NAND (contrction de Not And) NON ET Schém électrique : Tle de vérité : r R Eqution : Symole : =. = + & ire " et " 2. 'opérteur NOR (contrction de Not Or) NON OU Schém électrique : Tle de vérité : r R Eqution : = + =. Symole : 1 3. 'opérteur OU EXCUSIF Schém électrique : Tle de vérité : Eqution : = =. +. Symole : =1

14 4. 'opérteur IDENTITE (complémentire du OU Exclusif) Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p14 Schém électrique : Tle de vérité : Eqution : =. +. Symole : =1 5. 'opérteur RETARD Schém électrique : Chronogrmme : t 1 t 2 t t Eqution : t 1 t 2 = t 1 / / t 2 Symole : t 1 t 2 VI Fonctions de vriles logiques - ogigrmmes 1. Fonctions de vriles logiques Tle de vérité Une fonction de n vriles logiques est une cominison de ces n vriles inires et des éléments "0" et "1". Définie dns une structure d'lgère de Boole, elle s'exprime à l'ide des lois de l'lgère inire (., +, complémenttion). Il existe 2 2n cominisons de n vriles. On peut étlir l tle de vérité de l fonction logique, tleu qui représente l'étt de l vrile de sortie, en fonction de l'étt des différentes vriles en entrée. fonction logique ser rélisée pr le circuit logique, lui-même rélisé dns une technologie donnée (informtique, circuit imprimé électronique, pneumtique ). Une première étpe consister à étlir le logigrmme de l fonction logique, utilisnt des opérteurs logiques.

15 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p15 Exemple : technologie HSD du véhicule HYBRIDE TOYOTA PRIUS Reprenons l'exemple de l mise en route du moteur thermique MT = f(ev, MA, P tot, F r, V e, T e ). On redonne ci-dessous définition des vriles d'entrée : - consigne EV, pour un fonctionnement «Tout Electrique», jusqu à une vitesse de 50 km/h. - e Sélecteur de Mrche Avnt (MA = 1 si enclenché, 0 sinon), Arrière ou Point Mort. - P demndée, (puissnce motrice + puissnce demndée pr les composnts uxiliires). On définit l vrile P tot ; P tot = 1 si puissnce demndée est supérieure à 6 kw. - F r, ssociée à l ppui sur l pédle de frein ; F r = 1 indique un ppui sur cette pédle. - V e, ssociée à l vitesse du véhicule ; V e = 1 si l vitesse est supérieure à 50 km/h. - T e ssociée à l tempérture de l eu du moteur ; T e = 1 si l tempérture est supérieure à 50 C. es conditions de fonctionnement sont : - Arrêt impértif à l rrêt du véhicule et en mrche rrière, - ppui sur le outon EV = 1 interdit toute mise en route du moteur thermique si l vitesse du véhicule est inférieure à 50 km/h ; - Si l puissnce demndée totle dépsse 6 kw, le moteur thermique doit se mettre en mrche, suf si EV = 1. - Si l vitesse du véhicule est supérieure à 50 km/h, le moteur thermique est en mrche suf si l pédle de frein est ctionnée, - Si l tempérture de l eu du moteur est inférieure à 50 C, le moteur thermique doit se mettre en mrche (pour conserver un on rendement u redémrrge), suf si EV = 1 ; - ppui sur l pédle de frein rrête le moteur thermique, suf si l tempérture de l eu du moteur est inférieure à 50 C ; - puissnce demndée pr les composnts uxiliires ne dépsse ps 4 kw u mximum. Tle de vérité prtielle de l fonction MT : EV MA P tot F r V e T e MT Ainsi dns l tle de vérité chque 1 de l vrile MT correspond à un terme logique. somme logique de tous ces termes constitue lors l fonction logique MT. 'éqution otenue ser complexe (nomre de vriles importnt) et nécessiter une simplifiction.

16 2. ogigrmme Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p16 e logigrmme est un outil grphique, permettnt de représenter une fonction logique comintoire. C'est le schém d'une ssocition d'opérteurs logiques, décrivnt l fonction logique à représenter. On le construit très simplement en prtnt de l vrile de sortie, et en llnt vers les vriles d'entrée (il est possile de le construire dns l'utre sens). Remrque : une éqution logique comintoire pouvnt prendre plusieurs formes, un logigrmme pour une fonction donnée ne ser ps unique. Exemple : On donne l'éqution suivnte : =. + c.. es différentes étpes de l construction du logigrmme pprissent ci-dessous, en considérnt les termes pris entre prenthèses. [ =. + c. = (.) + (c.) = ().() + (c).() = ().() + (c).() ] Voici un logigrmme de cette fonction : c 1 &. 1 c & c. Remrque : le terme. peut s'écrire différemment en utilisnt les théorèmes de De Morgn.. =. = + : cette dernière expression fit intervenir deux opérteurs NON, et un opérteur OU, lors que le logigrmme ci-dessus montre l'utilistion d'un opérteur ET, et d'un opérteur NON. On voit ien lors que pour l même fonction on peut étlir plusieurs logigrmmes. VII Systèmes complets d'opérteurs - ogique NOR / NAND 1. Systèmes complets d'opérteurs logiques élémentires On ppelle système complet d'opérteurs, un ensemle d'opérteurs à prtir duquel peut être construite toute fonction logique, on prle lors de se des opérteurs logiques. Une se élémentire est celle qui permet de réliser les fonctions élémentires de l'lgère de Boole.

17 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p17 # 'ensemle {ET, OU, NON} est une se d'opérteurs élémentires. Aussi lorsqu'il ser possile de disposer de ces opérteurs, on pourr réliser toutes les fonctions logiques à prtir de ces opérteurs. Nénmoins il existe d'utres ses d'opérteurs élémentires, on montre pr exemple que les deux ses suivntes le sont. # 'ensemle {ET, NON} : en effet, l'opérteur OU s'écrit très simplement à prtir des opérteurs ET et NON. à prtir des théorèmes de De Morgn : + =. # 'ensemle {OU, NON} : en effet, l'opérteur ET s'écrit très simplement à prtir des opérteurs OU et NON. à prtir des théorèmes de De Morgn :. = + 2. ogique NOR ogique NAND Il est possile d'écrire les trois opérteurs de se ET, OU, NON à prtir de l'opérteur NOR, ou de l'opérteur NAND. Ces deux opérteurs forment chcun une se élémentire. On pourr décrire chque fonction à prtir de l'un ou de l'utre, ce qui est très intéressnt dns certines technologies où ces opérteurs existent en tnt que tels. Ainsi l'opérteur NAND est l'opérteur de se de l fmille des circuits intégrés logiques T.T.. (Trnsistor - Trnsistor - ogic). Opérteurs ET, OU, NON en logique NOR : NON 0 1 ET OU 1 1 +

18 Opérteurs ET, OU, NON en logique NAND : Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p18 NON 1 & ou encore & & OU & + & ET & &. VIII Quelques techniques de simplifiction On vu l'intérêt de simplifier les équtions qui peuvent très vite devenir longues et fstidieuses. Mis ien plus encore, il s'git d'économiser le mtériel nécessire à l rélistion de telle ou telle fonction. Il existe plusieurs méthodes de simplifiction. Certines sont systémtiques, mis très lourdes à mettre en œuvre, nous ne les orderons ps dns ce cours. Ces méthodes sont ppliquées pour des systèmes complexes, cr propices à l progrmmtion. Il reste deux méthodes, l'une intuitive, et l'utre, à prtir du tleu de Krnugh, très prtique lorsque le nomre de vriles n'est ps trop grnd. 1. Méthode lgérique Cette méthode repose sur une stucieuse utilistion des propriétés rencontrées jusque là. Elle est donc très intuitive, et nécessite ps ml d'entrînement pour conduire à des résultts intéressnts... A chcun de juger l'intérêt de cette méthode, présentée ci-dessous à prtir d'un exemple. Soit l'expression : S = + c + c S =. +.c +.c.1 S =. +.c +.c.( + ) S =..(1 + c) +.c.(1 + ) Soit enfin l'expression simplifiée de S : S =. +.c

19 2. Tleu de KARNAUGH, cs des fonctions complètes Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p19 es règles de construction du tleu de Krnugh pourront être visulisées sur l'exemple trité ciprès. On considère une fonction complète, c'est à dire que toutes les cominisons des vriles d'entrée sont prises en compte pr le système. e tleu de Krnugh est un tleu qui comporte 2 n cses, n étnt le nomre de vriles d'entrée du système (de l fonction à représenter). # Si n = 2p : le tleu ur 2 P colonnes et 2 P lignes. Aux colonnes sont ssociées p vriles, et ux lignes sont ssociés les p vriles restntes. # Si n = 2p+1, le tleu ur 2 (p+1) colonnes et 2 P lignes (ou inversement). Aux colonnes sont ssociées (p+1) vriles, et ux lignes sont ssociées les p vriles restntes (ou inversement). En tête de chque colonne, on plce les étts successifs des vriles ssociées ux colonnes. 'orgnistion des étts de ces vriles doit respecter le codge GRAY (inire réfléchi). On procède de même en tête des lignes, vec les utres vriles. e fit de respecter le codge GRAY, ssure que le pssge d'une cse à une cse djcente ne modifie l'étt que d'une seule vrile d'entrée. On ssocie l vleur "0" ou "1" à chque cse en fonction de l'étt de l sortie logique du système. Ainsi chque cse du tleu représente un étt des vriles d'entrée. On ssocie lors à chque cse le terme logique correspondnt (voir exemple ci-dessous). Exemple : entrées c d Système S sortie e tleu de Krnugh de ce système possède 2 4 cses soit 8 cses : 2 2 = 4 colonnes et 2 2 = 4 lignes. On ssocie ux colonnes les vriles et, et ux lignes les vriles c et d. cse encdrée dns le tleu correspond à l'étt suivnt des vriles : (,, c, d) = ( 0, 1, 0, 1) (, ) (c, d) e terme logique ssocié à cette cse est lors :..c. d

20 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p20 Pour cette cse l vleur de l sortie vut "1", et il existe six utres cses ynt l même vleur. sortie est l somme logique des termes ssociés à ces cses. Ainsi on pourrit écrire l'expression de l fonction de l mnière suivnte : S =..c.d +..c.d +..c.d +..c.d +..c.d +..c.d +..c.d Remrque : cette expression n'est certinement ps l plus simple. En fit on retrouve exctement l même que l'expression otenue à prtir de l tle de vérité. Il nous reste donc à montrer l'intérêt du tleu de Krnugh pour l simplifiction des équtions. 3. Simplifiction pr l méthode de KARNAUGH Remrque à prtir de l'exemple précédent : (, ) (c, d) Considérons le groupement des deux cses encdrées ci-dessus. es deux cses sont djcentes, et le pssge de l'une à l'utre ne modifie que l vrile, on peut écrire le terme correspondnt :..c.d +..c.d =.c.d.( + ) =.c.d Une expliction simple est de considérer que l sortie est à "1" pour les deux cses, quelle que soit l vleur de l vrile. On remrque lors que pour ce groupement l vrile n'intervient plus. e principe de l simplifiction à prtir du tleu de Krnugh, repose justement sur le regroupement de 2 n cses dns le tleu de Krnugh. On v mintennt présenter les règles générles de cette méthode, puis procéder à l'ppliction de cette méthode sur l'exemple, fin de déterminer l'expression l plus simple de l sortie logique du système. Présenttion de l méthode dns le cs générl : es règles qui suivent, sont celles qui permettent les simplifictions optimles, donnnt l'expression logique de l sortie. 1. Effectuer des regroupements de deux cses, qutre cses,..., ynt l vleur "1", en ligne, en colonne, en crré. 2. Effectuer le moins de regroupements possile, et des regroupements de plus grnde dimension possile. 3. Recouvrir toutes les cses de vleur "1".

21 4. es recouvrements entre regroupements sont possiles. Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p21 5. Une cse d'un ord est ussi djcente à celle correspondnte du ord opposé (on vérifie fcilement que seul l'étt d'une vrile est modifié). 6. un regroupement de 2 cses permet l'élimintion d'une vrile, un regroupement de 4 cses l'élimintion de deux vriles, etc vleur de l sortie est lors l somme logique des termes ssociés à chque regroupement. Remrque : l règle n 5 se comprend fcilement en considérnt un modèle cylindrique de tleu de Krnugh, soit horizontl, soit verticl, qui ssure une continuité du tleu. Appliction à l'exemple, détermintion de l'expression minimle de l fonction : (II) (c, d) (III) (I) (, ) 'étude du tleu de Krnugh ci-contre conduit à trois regroupements (I), (II), (III) : Groupement (I) : Groupement (II) : Groupement (III) :. d..c. d 'expression logique minimle de l sortie est : S =.d +. +.c. d Remrques : # Une cse à l'intersection de deux regroupements, pour terme logique ssocié, le produit logique des termes de chque regroupement. ET [ de deux zones]. # 'union de deux regroupements, pour terme logique ssocié, l somme logique des termes de chque regroupement. OU [ de deux zones]. # Il est églement possile de risonner sur les cses de vleurs "0". démrche est identique, le résultt trouvé est lors le complément logique de l sortie. Il suffit donc ensuite de complémenter ce résultt pour otenir l'expression de l sortie logique S.

22 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p22 Un exemple est donné ci-près. (, ) (c) S =.c S =.c = + c = + c et S = + c 4. Cs des fonctions incomplètes Il est de nomreux cs réels, où toutes les cominisons des vriles d'entrée, ne sont ps utilisées pr le système. Deux situtions existent lors : # es cominisons inutilisées sont impértivement à rejeter : les cses correspondntes sont ffectées de l vleur "0". e système est insi sécurisé. # es cominisons inutilisées n'ont ps d'incidence sur le fonctionnement du système : les cses correspondntes sont ffectées du signe "Φ" ou "X". l vleur "0" ou "1" ser ffectée fin d'otenir l meilleure simplifiction. Remrques : # Dns le second cs, l sortie pourr être ffectée de l vleur "1", pour un étt des entrées différent de ceux ttendus. Cel peut être possile pour les risons suivntes : - vleur de l fonction pour certines cominisons n' ps d'importnce dns le système. - Certines cominisons ne sont physiquement ps possiles pour le système. - e système est sécurisé en mont (cohérence des entrées ). Exemple : (, ) X X (c, d) X X X X X X Tritement des "1" : Tritement des "0" : S = + S =. c c

23 Ex. 1 Afficheur sept segments 'informtion, chiffre compris entre 0 et 9, est fournie pr un nomre inire sur 4 its, soit pour notre fficheur qutre entrées (E 0, E 1, E 2 et E 3 ) et en sortie les segments seront llumés ou éteints. Pour chque cominison des qutre entrées, doit correspondre un et un seul étt des sorties, correspondnt à l'ffichge correct de l'informtion. Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p23 EXERCICES D'APPICATION Soit l tle de vérité (à compléter) de l'fficheur sept segments. On se propose d'étlir prtiellement les logigrmmes des fonctions. S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 N E 3 E 2 E 1 E Compléter l tle de vérité donnée ci-dessus. 2. Etlir le tleu de Krnugh de l fonction S 2 (segment en s à droite), et donner l'expression simplifiée de cette fonction. 3. Etlir le logigrmme de l fonction en logique NAND (opérteurs NAND à deux entrées). 4. Procéder de même pour d'utres segments. Ex. 2 Codge du code postl e tri utomtique des plis postux, nécessite l codifiction numérique du ureu distriuteur. e code peut être lu utomtiquement pr un lecteur optique (Reconnissnce Optique de Crctères), ou encore pr un opérteur. Il est ensuite trduit en un code à rres mtérilisé sous l forme de âtonnets fluorescents déposés sur le pli postl. tle de vérité du code est donnée ciprès. e principe du codge est le suivnt : - Il s'git d'un code 3 prmi 5 - e âtonnet de droite est l'indiction de déprt, le "Strt". - Il y des séprteurs entre chque chiffre (repérés sur l'enveloppe). - lecture du code postl se fit de droite à guche à prtir du Strt. - es cinq its de chque chiffre restent ordonnés de guche à droite.

24 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p Ecrire l séquence codée du code postl (à l'ide de 0 et de 1) en groupnt les its de chque chiffre. Justifier le choix d'un tel code pr Poste. Question susidiire : où hite Monsieur Dupond? 2. Trnscodge On souhite réliser un trnscodeur permettnt d'exprimer le code postl en inire pur, pouvnt ensuite être visulisé en déciml, à l'ide de cinq fficheurs sept segments. On schémtise le trnscodeur de l fçon suivnte : Trnscodeur A 0 A 1 A 2 A 3 ( 0, 1, 2, 3, 4 ) sont les cinq its représentnt un chiffre du code postl (codge 3 prmi 5). (A 0, A 1, A 2, A 3 ) sont les qutre its nécessires u codge (en inire) du chiffre correspondnt. e principe du trnscodge est de trouver les reltions de pssge de () vers (A).

25 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p25 1. Etlir l tle de vérité du trnscodeur. 2. Etlir le tleu de Krnugh de l fonction A 0. Déterminer lors son expression simplifiée. 3. Construire le logigrmme de l fonction A 0 (opérteurs à deux entrées). Ex. 3 Technologie HSD du véhicule HYBRIDE TOYOTA PRIUS On v dns cet exercice déterminer l'éqution de mise en route du moteur thermique (Voir Présenttion I 3. p.4) : MT = f(ev, MA, P tot, F r, V e, T e ) - consigne EV, pour un fonctionnement «Tout Electrique», jusqu à une vitesse de 50 km/h. - e Sélecteur de Mrche Avnt (MA = 1 si enclenché, 0 sinon), Arrière ou Point Mort. - P demndée, (puissnce motrice + puissnce demndée pr les composnts uxiliires). On définit l vrile P tot ; P tot = 1 si puissnce demndée est supérieure à 6 kw. - F r, ssociée à l ppui sur l pédle de frein ; F r = 1 indique un ppui sur cette pédle. - V e, ssociée à l vitesse du véhicule ; V e = 1 si l vitesse est supérieure à 50 km/h. - T e ssociée à l tempérture de l eu du moteur ; T e = 1 si l tempérture est supérieure à 50 C. es conditions de fonctionnement sont : - Arrêt impértif à l rrêt du véhicule et en mrche rrière, - ppui sur le outon EV = 1 interdit toute mise en route du moteur thermique si l vitesse du véhicule est inférieure à 50 km/h ; - Si l puissnce demndée totle dépsse 6 kw, le moteur thermique doit se mettre en mrche, suf si EV = 1. - Si l vitesse du véhicule est supérieure à 50 km/h, le moteur thermique est en mrche suf si l pédle de frein est ctionnée, - Si l tempérture de l eu du moteur est inférieure à 50 C, le moteur thermique doit se mettre en mrche (pour conserver un on rendement u redémrrge), suf si EV = 1 ; - ppui sur l pédle de frein rrête le moteur thermique, suf si l tempérture de l eu du moteur est inférieure à 50 C ; - puissnce demndée pr les composnts uxiliires ne dépsse ps 4 kw u mximum. 1. Etlir le tleu de Krnugh reltif ux qutre vriles d entrée P tot, F r, V e, T e, en mettnt en évidence les configurtions d entrée impossiles. En déduire l expression l plus simplifiée de l mise en mrche du moteur thermique, notée MT 1, en fonction des qutre vriles précédentes. 2. Anlyser les conditions de mise en mrche vec les vriles MA et EV et en déduire l expression complète de MT en fonction des six vriles d entrée. 3. Identifier, sur l figure suivnte, les différents modes de fonctionnement du système HSD u cours du temps. On dopter pour simplifier : MA = 1; EV = 0 ; T e = 1.

26 Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p26 Évolutions temporelles de : l vitesse du véhicule V en, km/h l puissnce électrique consommée ou générée pr le moteur électrique P ME en KW, l puissnce mécnique fournie pr le moteur thermique en P MT en KW. Principux modes de fonctionnement du véhicule hyride : Mode Mode 1 : tout électrique Mode 2 : hyride Mode 3 : récupértion d énergie Mode 4 : mode mixte Commentires e moteur électrique entrîne le véhicule en puisnt l énergie électrique dns l tterie. e moteur thermique est générlement rrêté. e moteur thermique entrîne le véhicule. puissnce du moteur thermique en fonctionnement se réprtit dns le trin épicycloïdl entre : puissnce directement trnsmise ux roues, puissnce trnsmise à l génértrice qui limente lors directement le moteur électrique. e moteur électrique, entrîné pr le véhicule, récupère une prtie de l énergie cinétique et l convertit en énergie électrique qui rechrge l tterie. e moteur électrique et le moteur thermique entrînent le véhicule, lors de fortes ccélértions. Dns ce mode, le moteur électrique est limenté non seulement pr l énergie délivrée pr l génértrice mis ussi pr l tterie, ce qui correspond u cumul des deux modes 1 et 2. Ce mode de fonctionnement n'est ps étudié ici.

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