EXERCICE 1 - Calculs de déterminants

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1 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau EXERCICE 1 - Calculs de détermiats 1 Via C 1 C 1 C 2 et C 2 C 2 C puis e factorisat selo la première coloe par a 1 a 2 et selo la secode par a 2 a ot trouve : a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 + a 1 a 1 + a 1 a a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 1 + a 2 a 1 + a 2 a det1 + a i a j 1 i,j a a 1 a 2 a a 2 a 1 + a a 1 + a a a 1 a a 1 a 1 + a 1 a a 2 a a 2 a 1 + a 2 a det1 + a i a j 1 i,j a 1 a 2 a 2 a a a 1 + a a 1 + a a Cette matrice admettat deux coloes idetiques, so détermiat est ul sauf pour 1 ou 2 2 Via les opératios élémetaires L i L i + L 1, o obtiet ue matrice triagulaire iférieure : ! O effectue C 1 C 1 C puis L 4 L 4 xl 1 pour trouver : 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 1 x x 2 1 x 1 x 0 1 x x 2 0 x 1 x 0 1 x x 2 0 x 1 x x x 2 x 1 2x x 2 x x 4 O effectue L L x L 2 pour trouver ue matrice triagulaire : 2 x 1 x 0 1 x x x 4 x 21 x x1 x1 + x x 4 [] 4 O effectue u développemet suivat la première lige, puis selo la première coloe pour trouver : [] [] [ 1] est ue suite récurrete liéaire d ordre 2 d équatio caractéristique r 2 + 2r 0 admettat pour racies r 1 1 et r 2 Il existe doc α, β R tels que N, αr 1 + βr 2 Avec 1 2 α β et 2 7 α + 9β, o trouve β 4 et α 1 4 Fialemet

2 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau EXERCICE 2 - Matrice d ue applicatio 1 Soiet M, M M 2 R et λ R, o a ϕλm +M AλM +M λam +AM λϕm+ϕm O e déduit que Φ est liéaire Comme AM est ue matrice carrée de dimesio 2, Φ est u edomorphisme a b a + c b + d 2 Soit M Ker Φ, ceci équivaut à AM 0 soit 0 c d a + c b + d 2 { a + c 0 a b Ou ecore soit c a et d b et M a +b b + d 0 a b Soit fialemet Ker Φ Vect, Ces deux matrices état pas propor tioelles, il s agit bie d ue famille libre et géératrice, doc d ue base de Ker Φ Le théorème du rag appliqué à Φ prouve que rg Φ dimm 2 R dim Ker Φ a + c b + d O remarque égalemet que AM a + c + b + d soit a + c b + d Im Φ Vect, Das la base caoique E 1,1, E 1,2, E 2,1, E 2,2 de M 2 R, o obtiet : ΦE 1,1 E 1,1 + E 2,1, ΦE 1,2 E 2,1 + E 2,2, ΦE 2,1 E 1,1 + E 2,1, ΦE 2,2 E 1,2 + E 2,2 O e déduit que la matrice de Φ relativemet à la base caoique de M 2 R est Ker Φ et Im Φ sot chacu de dimesio 2 doc la somme de leurs dimesios vaut celle de M 2 R Soit M Ker Φ Im Φ a b M Im Φ doc M a b 2a 2b Mais M Ker Φ doc AM 0 2 soit AM 0 2a 2b 2 soit a b 0 et M 0 2 Fialemet Ker Φ Im Φ {0 E } et doc avec l égalité des dimesios, o e déduit que : Ker Φ Im Φ M 2 R 2

3 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau PROBLÈME 1 D après Cocours des Écoles des Mies d Albi, Alès, Douai, Nates - PCSI Partie I - Étude d ue équatio foctioelle 1 Soit f kid E ue homothétie vectorielle de rapport k où k est u ombre complexe O a f + Id E 2 Id E k + Id E 2 Id E P kid E avec P X Doc f est solutio de l équatio proposée si et seulemet si k est racie de P, c est à dire X + 1 est ue racie 2-ième de l uité, doc il existe u etier k compris etre 0 et 2 1 tel que X + 1 e 2ikπ 2 soit X e ikπ 1 avec k compris etre 0 et E utilisat le biôme de Newto, o a 2 2 k0 C k 2 et 0 2 k0 C k 2 1 k Or tout etier k compris etre 0 et 2 est soit de la forme 2l où l est u etier compris etre 0 et soit de la forme 2l+1 où l est u etier compris etre 0 et 1 E séparat das les deux sommes précédetes les etiers pairs des etiers impairs, o a 2 S + S et 0 S S, ce qui doe S S 2 1 Soit s ue symétrie s et Id E commutet das LE doc s + Id E 2 Or s k Id E si k est pair et s k s si k est impair car s s Id E O obtiet s + Id E 2 Id E S 1Id E + S s 2 1 1Id E s 2 k0 C k 2s k Aisi si s est ue symétrie solutio du problème posé s Id E qui est pas ue symétrie Il y a doc pas de symétrie solutio du problème posé Partie II - Étude d ue équatio matricielle 4 Notos C M 0,1 Alors C et I appartieet à G et G {ai + bc, a, b C 2 } VectI, C Doc G est u sous espace vectoriel de M C dot I, C est ue famille géératrice Si λ et µ sot deux complexes tels que λi + µc 0 alors M λ,µ 0 doc λ µ 0 La famille I, C est libre G est doc u sous vectoriel de M C de dimesio 2 dot I, C est ue base Soit M a,b et M a,b deux élémets de G Alors M a,bm a,b aa I + ab + ba C + bb C 2 Or C 2 2I + C doc C 2 appartiet à G et M a,b M a,b aussi O a même plus précisémet : M a,b M a,b aa + 2bb I + ab + ba + bb C M aa +2bb,ab +ba +bb 5 detma, b a ab 2 + 2b a ba 2 + ab 2b 2 a b 2 a + 2b La matrice Ma, b est iversible si et seulemet si so determiat e s aule pas doc si et seulemet si a b et a 2b La matrice M a,b est iversible si, et seulemet si, a b et a 2b, 6 Pour a b et a 2b, il suffit de chercher a, b tels que Ma, b Ma, b Maa + 2bb, ab + a b + bb I { aa O e déduit que + 2bb 1 ab + a b + bb 0 soit b b b + a a puis a Au fial Ma, b 1 b + a M a ba + 2b, b a ba + 2b 7 O trouve e calculat ue 1 a + 2be 1 b + a a ba + 2b

4 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau 8 Soit F Keru a bid E O a, puisque b 0 : x, y, z F x + y + z 0 Doc F Vecte 2, e avec e 2 1, 1, 0 et e 1, 0, 1 De plus e 2, e est libre doc c est ue base de F 9 e 1 1, 1, 1 / E 2 car x, y, z F x + y + z 0 et ici x + y + z 0 O e déduit que e 1 est pas combiaiso liéaire de e 2 et e, ces deux deriers état o coliéaires d après la questio précédete, o e déduit que e 1, e 2, e est libre et maximale, c est ue base de C 10 Comme ue 1 a + 2be 1, ue 2 a be 2 et ue a be, la matrice de u das B est : a + 2b 0 0 D 0 a b a b O a P Soit x, y, z et a, b, c deux élémets de C : x a x + y + z a x + y + z a P y b x y b 2x + z a + b L z c x z c 2 L 2 +L 1 x a + b + c L L 1 +L 2 +L ce qui démotre que P est iversible et que P D après la formule de chagemet de base M P DP 1 x a+b+c z a + b 2x a+b 2c y a x z a 2b+c Si M est ue matrice, o peut démotrer par récurrece sur que M P DP 1 P D P 1 Il suffit alors de calculer D e élevat à la puissace les coefficiets de la diagoale puis de multiplier à gauche par P et à droite par P 1 pour obteir M 1 Alors : M + I I P DP 1 + I I P D + IP 1 I P D + I P 1 I P D + I IP 1 D autre part, comme P est iversible, P NP 1 0 équivaut à N 0 Doc, d après le calcul précédet : M + I I 0 D + I I 0 Aa + 2b Avec la matrice D de la questio 10, D + I I 0 Aa b Aa b Par suite, D est solutio de si et seulemet si a + 2b et a b est racie de P polyôme évoqué au 1 De plus, comme b 0, D est solutio de si et seulemet si il existe deux etiers p et q disticts compris etre 0 et 2 1 tels que a + 2b e ipπ 1 et a b e iqπ 1 Aisi D est solutio de si et seulemet si il existe deux etiers p et q disticts compris etre 0 et 2 1 tels que a e ipπ + 2e iqπ 1 et b e ipπ e iqπ 1 15 D après la questio, les matrices M a,0 matrices d homothéties solutios de sot les matrices M e ipπ 1,0 où p est u etier compris etre 0 et 2 1 D après la questio 14, les matrices M a,b avec b 0 solutios de sot les matrices M a,b avec a e ipπ +2e iqπ 1 et b e ipπ iqπ e 1 où p et q sot deux etiers disticts compris etre 0 et 2 1 4

5 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau PROBLÈME 2 D après Cocours des Écoles des Mies d Albi, Alès, Douai, Nates - MPSI Partie I - Études d edomorphismes doées par leur matrice 1 a E otat C 1, C 2, C les trois coloes de la matrice A, o remarque que : vc 1 + uc 2 C Les coloes de la matrice état liées, elle est pas de rag, doc A est pas iversible et deta detf 0 C 1 et C 2 état pas coliéaires, ceci prouve que rga rgf 2 b Le théorème du rag appliqué à f doe dimr dimker f + rgf Soit dimker f 2 1, Ker f est doc ue droite vectorielle egedré par u uique vecteur Via la relatio vc 1 + uc 2 + C 0, o trouve que Ker A Vectv, u, 1 Soit Ker f Vectv + ux + X 2 c rgf 2 doc Imf est u pla vectoriel egedré par deux vecteurs o-coliéaires, par exemples ceux doc les coordoées formet les coloes C 1 et C 2 de la matrice A, c est à dire Im A Vect u, 2, 0, v, 0, 1 et Im f Vect u 2X, v X 2 2 a Via l opératio élémetaire L 2 L 2 L 1, puis e développat suivat C 1, o obtiet : w 0 0 w 0 0 det B 1 2w w 0 1 w 2w 0 1 w 2w w 2 1 w Via l opératio élémetaire C 2 C C, puis e développat suivat L, o obtiet : 1 w 2w 0 det B w w w 2w w 9 w2 2w 1+4w 9w 1 2 b Lorsque w w 0 1, B est plus iversible et alors le oyau est plus réduit à 0 E x O a ici B Posos X y z et résolvos BX 0 4,1 soit : t x + y 0 x y + 2z 0 2y + z + t 0 z + t 0 x 1 y x y + 2z 0 2y 6t z t x t t t + 2t 0 y t z t O obtiet Ker B Vect1,,, 1 soit Ker g Vect1 + X + X 2 + X Vect1 + X Partie II - Défiitio d ue applicatio liéaire Soiet P, R R[X] 2 et λ R, alors : ϕλp + R 2λP + R Q λp + RQ λp Q P Q R Q RQ λϕp + ϕr ϕ est doc liéaire, prouvos qu elle est à valeurs das R [X], o sait déjà que par opératios sur les polyômes, ϕp est u polyôme mais attetio au degré! Si degp 1 alors deg2p Q 2+2 et deg P Q 1+1 doc degϕp Remarquos alors la valeur de ϕx 2X 1 Q X Q, or Q ax 2 + bx + c ϕx 2X 1 ax 2 +bx +c X 2aX +b 2aX +1 +2bX +2cX 1 2aX +1 2bX Fialemet ϕx 2b 1X + 2cX 1 soit degϕx Par liéarité o e déduit que l image de tout polyôme par ϕ est u polyôme de R [X] ϕ est doc bie u edomorphisme de R [X] 5

6 PCSI CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau 4 Soit u et v deux réels O suppose das cette questio que 2 et que : Q X 2 + ux + v a Ici o obtiet ϕp 2P X 2 + ux + v 22X + up et doc : ϕ1 2u 4X ϕx 2X 2 + ux + v 22X + ux 2X 2 + 2uX + 2v 4X 2 2uX 2X 2 + 2v ϕx 2 4XX 2 + ux + v 22X + ux 2 4X + 4uX 2 + 4vX 4X 2uX 2 2uX 2 + 4vX O remarque alors que la matrice de ϕ sur la base caoique de R 2 [X] est 2A b O se sert des résultats de la partie 1 : Ker ϕ Ker f Vectv + ux + X 2 Vect Q 5 Soit w u réel O suppose das cette questio que et que : Q X 2 + 2X + w a Ici o obtiet ϕp 2P X 2 + 2X + w 2X + 2P et doc : ϕ1 6 6X ϕx 2X 2 + 2X + w 2X + 2X 2X 2 + 4X + 2w 6X 2 6X 4X 2 2X + 2w ϕx 2 4XX 2 +2X +w 2X +2X 2 4X +8X 2 +4wX 6X 6X 2 2X +2X 2 +4wX ϕx 6X + 6wX 2 O remarque alors que la matrice de ϕ sur la base caoique de R [X] est 2B b D après la partie 1 : Si w 1, Ker ϕ Ker g {0 E } et si w 1, Ker ϕ Ker g Vect 1 + X B Étude du cas gééral 6 O suppose ici que Q ax 2 + bx avec a 0 et b 0 a Pour k {0} :ϕx k 2kX k 1 ax 2 + bx X k 2aX + b 2ak X k+1 + b2k X k b a b a La matrice de ϕ das la base caoique est : a 1 b b Le détermiat de cette matrice triagulaire iférieure vaut b2k Si est pair, le terme d idice k 2 est ul doc le détermiat aussi et Ker ϕ {0 R [X]} Si est impair, le détermiat est o ul et doc Ker ϕ {0 R[X]} Si est pair, la matrice de ϕ das la base caoique de R [X] état sous la forme triagulaire iférieure et ayat qu u uique pivot o ul, o e déduit que le rag de ϕ vaut 7 O suppose maiteat que Q ax 2 + bx + c admet ue racie double réelle otée α a La famille C 1, X α, X α 2,, X α est ue famille libre car écheloée e degré et maximale car comportat + 1 élémets, c est doc ue base de R [X] b Récrivos, e le factorisat, Q ax 2 + bx ax α 2 et calculos pour k {0} : ϕx α k 2kX α k+1 ax α 2 X α k 2aX α 2ak X α k+1 Plus particulièremet ϕx α 0 La matrice de ϕ das la base C de R [X] est alors : k a a a 0 c O e déduit que rag de ϕ est car sa matrice comporte pivots o uls doc le théorème du rag ous doe que Ker ϕ est de dimesio 1, c est à dire ue droite vectorielle et ϕx α 0 prouve que Ker ϕ VectX α 6