8. Applications des intégrales définies

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1 APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES Applictios des itégrles défiies 8.1. Aire etre deux coures Prolème Soiet f et g deux foctios cotiues ds l'itervlle [, ] telles que f(x) g(x), pour x. Clculer l'ire A du domie délimité pr ces deux coures. Si g est positive (g ) ds l'itervlle [, ], lors doc A= A = «ire sous f» «ire sous g» f xdx g xdx= [ f x g x] dx Cette formule est ussi vlle qud les foctios e sot ps prtout positives. E effet, si g pred des vleurs égtives ds l'itervlle [, ], o trslte les deux coures verticlemet vers le hut de sorte que l foctio g soit prtout positive ou ulle. Il s'git doc de trouver le miimum m de g sur [, ], puis de soustrire m (cr m<) à f(x) et à g(x). Puisque les deux coures sot trsltées de l même fço, il est clir que l'ire etre les deux coures e v ps chger. O lors : Les m se sot simplifiés A= [ f x m g x m] dx= [ f x g x]dx Exercice 8.1 O doe les foctios f et g. Clculez l'ire du domie oré délimité pr les deux foctios.. f x=x g x=8 x. f x=x 3 x g x= x x6 c. f x=x 3 5 x 6 x g x=x 3 7 x 1 x d. f x= 1 4 x 3 g x= x Clculez l'ire du domie compris etre les coures des foctios f et g et les droites verticles x = et x =. e. f(x) = x + 1 g(x) = x = 1 = f. f(x) = x 3 g(x) = x = = g. Clculez l'ire du domie compris etre les coures y = x, y= 1 x horizotles y = 1 et y =., et les droites Didier Müller - LCP - 1 Chier Alyse

2 58 CHAPITRE Volume d'u solide de révolutio Prolème Soit f ue foctio cotiue et o égtive sur l'itervlle [, ]. Trouver le volume V du solide gééré pr l révolutio utour de l'xe Ox de l portio de coure y = f(x) comprise etre x = et x = Volume de révolutio oteu e fist tourer l coure de guche utour de l'xe Ox (méthode des disques) L'idée est l même que lorsque l'o cherchit l'ire sous ue coure. O v découper l'itervlle [, ] e sous-itervlles de même lrgeur [x, x 1 ], [x 1, x ],..., [x 1, x ], vec x = et x =. L lrgeur de chque sous-itervlle est égle à l lrgeur de l'itervlle [, ] divisé pr le omre de sous-itervlles, c'est-à-dire : x=. Pour chque i =, 1,..., 1, o dessie u rectgle yt comme se le segmet x i x i+1 et comme huteur f(x i ). Lorsqu'ils tourerot utour de l'xe Ox, chcu de ces rectgles v défiir u cylidre très fi (presque u disque) de volume π [f(x i )] x. Le volume du corps de révolutio ser l somme de tous ces cylidres : V = lim i=1 qui 'est rie d'utre que l'itégrle défiie : [ f x] x V = [ f x] dx Volume de révolutio pproché pr ue série de cylidres. Chier Alyse Didier Müller - LCP - 1

3 APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES 59 Exercice 8. Clculez le volume des solides géérés pr l révolutio utour de l'xe Ox des coures suivtes et doez le om (qud ils e ot u) de ces solides :. y = 4, 1 x 3. y = 3x, x c. y = x + 1, x 3 d. y= R x, R x R e. y=3 x, x 1 f. y = x, x g. Doez l formule permettt de trouver le volume egedré pr ue révolutio utour de l'xe Oy, puis clculez le volume du solide gééré pr l révolutio utour de l'xe Oy de l coure : y = x 3, y 1. h. Trouvez le volume du corps egedré pr l révolutio utour de l'xe Oy de l coure x=1y, y Logueur d'ue coure ple Défiitio prélle Prolème Ue foctio est lisse sur u itervlle si s dérivée est cotiue sur cet itervlle. Soit f ue foctio lisse ds l'itervlle [, ]. Trouver l logueur L de l coure y = f(x) de à. L'idée cosiste à découper l'itervlle [, ] e sous-itervlles [x, x 1 ], [x 1, x ],..., [x 1, x ] de lrgeur x. O pose évidemmet x = et x =. O relie esuite pr ue lige polygole les poits P, P 1,..., P. O otiedr ue oe pproximtio de l logueur de l coure e dditiot les logueurs L k des différets segmets, pour k = 1,...,. Regrdos u segmet. Le théorème de Pythgore ous doe fcilemet s logueur s : s= x y Que l'o peut ussi écrire : x s= x y x x x= 1 y x Voir L dérivée 3.6 Si l'o regrde de segmet [x k 1, x k ], o peut écrire : = L 1 k f x k f x k 1 x x k x k 1 k x k 1 D'près le théorème des ccroissemets fiis, Pr coséquet, f x k f x k 1 = f ' x k x k où x k 1 < ξ k < x k k 1 L k =1[ f ' k ] x Doc, l logueur de l lige polygole est L= 1[ f ' k ] x k=1 Didier Müller - LCP - 1 Chier Alyse

4 6 CHAPITRE 8 Si ous ugmetos mitet le omre de sous-itervlles de sorte que x, lors l logueur de l coure polygole v pprocher l logueur de l coure y = f(x). Pr défiitio, ce 'est rie d'utre que l'itégrle défiie suivte : L= 1[ f ' x] dx Exercice 8.3. Clculez l logueur de l coure y = x etre les poits (1, ) et (, 4) e utilist l formule ci-dessus, puis vérifiez votre répose à l'ide du théorème de Pythgore.. Clculez l logueur de l coure y=x 1 de x = à x = 1. c. 1. Clculez l logueur de l coure y=x 3 de x = 1 à x = 8.. Pourquoi e peut-o ps utiliser telle quelle l formule pour clculer l logueur de cette coure etre 1 et 8? Doez u moye de s'e sortir. d. Clculez l logueur de l coure y=1 x de x = à x = Aire d'ue surfce de révolutio Prolème Soit f ue foctio lisse et o égtive sur l'itervlle [, ]. Trouver l'ire de l surfce géérée pr l révolutio utour de l'xe Ox de l portio de coure y = f(x) comprise etre x = et x =. L'idée est u peu l même que pour clculer l logueur d'ue coure : o v pprocher l coure pr ue lige polygole. E fist tourer cette lige polygole utour de l'xe Ox, l surfce oteue ser composée de trocs de côes circulires droits mis out à out. Si r 1 est le ryo du grd cercle de se, r le ryo du petit et g l logueur d'ue géértrice du troc de côe, so ire ltérle vut : A côe = π(r 1 + r ) g Le théorème de l vleur itermédiire ous ssure que m k existe. Repreos otre surfce de révolutio dot o veut coître l'ire. Coupos-l e trches de lrgeur x, comme le ferit u oucher vec u jmo. Ces trches sot «à peu près» des côes troqués. L'ire ltérle du troc de côe o k est : A k = f m k L k vec m k compris etre x k 1 et x k et tel que f m k = f x k 1 f x k. Lors des clculs de l logueur d'ue coure du 8.3, ous vos clculé que L k =1[ f ' k ] x, doc L'ire de l surfce totle est l somme : A k = f m k 1[ f ' k ] x A= f m k 1[ f ' k ] x k=1 Le clcul itégrl vcé ous ppred que cette suppositio est e fit iutile cr f et f ' sot toutes deux cotiues. Qud o ugmete le omre de segmets, leur logueur dimiue, et forcémet ξ se rpproche de m. Si o suppose qu'à l limite ces poits sot cofodus, o trouve l'itégrle suivte : A= f x 1 f ' x dx Chier Alyse Didier Müller - LCP - 1

5 APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES Surfce de révolutio oteue e fist tourer utour de l'xe Ox l lige polygole pprocht l coure Prolème semlle Pour ue foctio exprimée sous l forme x = g(y), vec g'(y) cotiue sur l'itervlle [c, d] et g(y) pour c y d, l'ire de l surfce géérée pr l révolutio de g(y) utour de l'xe Oy est doée pr l formule : d A= g y1g ' y dy c Exercice 8.4 Trouvez l'ire de l surfce egedrée pr l révolutio utour de l'xe Ox des coures suivtes :. y=1 x, x 1 c. y= 4 x 1x1. y = 7x, x1 Trouvez l'ire de l surfce egedrée pr l révolutio utour de l'xe Oy des coures suivtes : d. x=9 y1 y e. x=9 y y f. y= 3 3 x y 8.5. Mouvemet rectilige Remrque Ds ce prgrphe, ous supposeros que tous les mouvemets se fot sur ue lige droite. Pour itroduire les dérivées, ous vios prlé du prolème de clculer l vitesse isttée d'u moile coisst so horire s(t). Nous vios vu que l vitesse v(t) est l dérivée de l'horire et l'ccélértio (t) l dérivée de l vitesse : v t=s' t = ds dt et t =v ' t= dv dt = d s dt Iversemet, o déduit que l'horire est l'tidérivée de l vitesse et que l vitesse est l'tidérivée de l'ccélértio : st= v t dt et v t= t dt Aisi, si l foctio vitesse d'u moile est coue, o peut trouver s positio à coditio d'voir suffismmet d'iformtios pour détermier l costte d'itégrtio. Didier Müller - LCP - 1 Chier Alyse

6 6 CHAPITRE 8 Exemple Trouvez l foctio horire d'ue prticule se déplçt vec ue vitesse v(t) = cos(π t) le log d'ue lige droite, e scht qu'e t =, s = 4. L foctio horire est st= v t dt= cost dt= 1 si tc. Comme s = 4 qud t =, il suit que 4=s= 1 si C=C. Aisi, st= 1 si t4. Déplcemet et distce prcourue Le chgemet de positio, ou déplcemet, du moile ds u lps de temps [t 1, t ] est doé pr l formule : t vt dt=s t st 1 t 1 L distce prcourue pr le moile ds ce même lps de temps peut être différete du déplcemet. Elle est doée pr l formule : t vt dt t 1 Exercice 8.5 Doez l foctio horire s(t) d'u moile scht que. v(t) = t 3 t + 1 ; s() = 1. (t) = 4 ; v() = 1 ; s() = c. (t) = 4cos(t) ; v() = 1 ; s() = 3 d. Trouvez l positio, l vitesse et l'ccélértio e t = 1, si v t=si t et scht que s = qud t =. Doez le déplcemet et l distce prcourue pr ue prticule le log d'ue droite scht que e. v(t) = t + t ; t f. (t) = t ; v() = ; 1 t 5 g. t = 1 5t1 ; v() = ; t 3 h. Scht qu'u moile e chute lire ds le vide suit ue ccélértio (t) = g, trouvez les formules de l vitesse v(t) et de l'horire s(t) Ce qu'il fut solumet svoir Clculer l'ire etre deux coures Clculer le volume d'u solide de révolutio utour d'u des xes Trouver les vleurs de l costte C d'près les doées iitiles ok ok ok Chier Alyse Didier Müller - LCP - 1