CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L ARQS

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1 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 1/14 CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS I. INTODUCTION Sos nomms mannan mns ds ols connassancs nécssars por abordr l éd ds crcs lnmn varabls (a sns d l AQS). Nos lsrons dans c chapr ds sorcs d coran d nson conns nos nos nérssrons ax régms ransors ds crcs. Ls crcs almnés par n générar d nson o coran varabls sron vs n dxèm par d l anné. II. DIPÔLES, L, C SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION OU DE COUANT 1) Echlon d nson Un échlon d nson o d coran s n varaon bral d la grandr physq concrné (fgr 6.1.). x Fgr 6.1. : Echlon d la grandr x Dans la praq, l n ds valrs nal o fnal d x s sovn nll : on réals alors l monag n ovran o n frman n nrrpr K à la da = (fgrs 6.., où ls réssancs nrns ds générars son consdérés néglgabls). Nos chrchrons dans la s à décrr qanavmn l régm ransor a cors dql l crc pass d n régm saonnar à n ar. K () K η () Fgr 6..a. : éalsaon d n échlon d coran Fgr 6..b. : éalsaon d n échlon d nson

2 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS /14 ) Assocaon n sér d n condnsar d n réssanc a. Eqaon d évolon On consdèr l crc,c d la fgr 6.3. soms à n échlon d nson. K C + ( ) Fgr 6.3. : crc,c sér soms à n échlon d nson La lo ds mall nos prm d écrr : = + (s la réssanc nrn d la sorc r n s pas néglgabl, l fa far la sbson + r). Nos avons v a chapr 5 q n condnsar éa caracérsé par la rlaon nr la nson la charg poré par son armar : q= C so, n dérvan par : = C La lo ds malls s m donc sos la form d n éqaon dfférnll lnéar à coffcns consans poran sr la nson : + C = + = où l on a posé C, grandr caracérsq d crc ayan la dmnson d n dré (afn q a la mêm dmnson q ), applé consan d mps d crc. La solon général d l éqaon sans scond mmbr s : = A La solon parclèr évdn s = La solon général por la nson ax borns d condnsar s la somm d cs solons : = A + où la consan A s ajsé svan ls condons nals. Ls varaons ds grandrs physqs caracérsan l crc évolron donc sgnfcavmn sr 3 ds drés d l ordr d grandr d la consan. Por ls crcs sls, 1 Ω 6 3 C 1 F, d où 1 s : rnons q l régm ransor d n crc C s rès brf. Noons q c résla prm d vérfr a posror q, mêm s cs drés son brèvs, ls condons d l lsaon d l AQS son bn vérfés : 8 Lc 1 s Edons mannan pls n déals qlqs cas parclrs nérssans : b. Charg d condnsar L nrrpr s frm à = l condnsar s nalmn déchargé. On a donc, l ndc s référan à la da = : = q C = A= = 1

3 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 3/14 La nson agmn xponnllmn ax borns d condnsar, ans q la charg ds armars d condnsar q l s proporonnll (fgr 6.3.a.). La consan d mps s la dré a bo d laqll la valr d l xponnll s dvsé par 1 : l condnsar s donc praqmn chargé a bo d qlqs. C dré s ass applé mps d rlaxaon d crc. Comm nos l avons annoncé dans l chapr 5 par n rasonnmn énrgéq, on rrov l fa q la nson s conn ax borns d n condnsar. = 1 Ω ; C = 1µF ; = 5V =1 Fgr 6.3.a. : Evolon d la nson ax borns d condnsar a cors d sa charg Fgr 6.3.b. : Evolon d l nnsé ravrsan l condnsar a cors d sa charg On obn la lo d évolon d coran n dérvan par l mps (fgr 6.3.b.) : = C = L nnsé dans l crc s donc dsconn n =. L blan énrgéq nsanané s écr, n mlplan l éqaon d la mall par d. = Cd. : d 1 () d = () d+ C () d = () d+ E () d d L énrg forn par l générar pndan d s répar donc nr l énrg élcrq E socké dans l condnsar l énrg dsspé par ff jol dans la réssanc (fgr 6.4.). L blan énrgéq s obn par négraon sr l ax ds mps (n praq, l négraon sr qlqs sff). En noan q lm =, on vo q : d 1 1 Cd = d + C d C = d + C d = = = = D où, globalmn : E = d où E = lme ( ) = L condnsar sock donc la moé d l énrg forn par l générar, l ar moé éan dsspé dans la réssanc par ff Jol. c. Décharg d condnsar On s nérss mannan à la décharg d n condnsar à ravrs n réssanc (fgr 6.5.) : on a donc comm condons nals : = ; = CQ. L éqaon d évolon s réd à : 1 vor no 4, chapr 3.

4 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 4/14 Pssanc forn par l générar Pssanc dsspé par la réssanc Pssanc socké dans l condnsar K C + ( ) Fgr 6.5. : décharg d n condnsar ) ravrs n réssanc Fgr 6.4. : Evolon ds pssancs a cors d la charg d n condnsar Fgr 6.6.a. : Evolon d la nson ax borns d condnsar a cors d sa décharg Fgr 6.6.b. : Evolon d l nnsé ravrsan l condnsar a cors d sa décharg D solon : + = () = Q q s conn xponnllmn décrossan (fgr 6.6.a.). L nnsé s n déd asémn (fgr 6.6.b.) : CQ = C = La pssanc rç par l condnsar s donc négav, c q n s pas srprnan psq, n rsan l énrg élcrq q l socka, l s compor comm n générar. L blan d pssanc nsanané s smplmn : C + = E ( ) = ( ) La pssanc forn par l condnsar s donc dsspé négralmn par ff Jol dans la réssanc. L blan énrgéq négral s :

5 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 5/14 + d= = E où E = E ( < ) 3) Assocaon n sér d n bobn d n réssanc a. Eqaon d évolon On consdèr l crc,l d la fgr 6.7. soms à n échlon d nson. K L Fgr 6.7. : crc,c sér soms à n échlon d nson La lo ds mall nos prm d écrr : = + Nos avons v a chapr 5 q n bobn éa caracérsé par la rlaon : d = L d La lo ds malls s m donc sos la form d n éqaon dfférnll poran sr l coran : Ld + d = d + = d où L s la consan d mps d crc. L ramn d c éqaon dfférnll pls généralmn l ramn mahémaq d c problèm, son mannan bn conns, la solon por s : = B Typqmn, 1 Ω ; L 1 H, d où 1 s : ls phénomèns ransors son donc brfs, mas dans ls condons d applcaon d l AQS. Envsagons mannan ls dx saons lms d c échlon d nson. b. Frmr d l nrrpr à = La condon nal ( ) = prm d rovr B = / : = 1 L coran s donc conn (fgr 6.8.a.), comm ds argmns énrgéqs nos l avan ndqé a chapr précédn. La nson s obn par dérvaon : d = L = xp( ) d c q s assz malhrx comm noaon. La nson s dsconn ax borns d la bobn n = (fgr 6.8.b). L blan énrgéq nsanané s obn n mlplan la lo ds malls par.d :

6 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 6/14 () + () = () d 1 () + () = () () d L d d d d L d d d d 1 E = m L l énrg magnéq mmagasné dans la bobn : d + E d = d so, avc () () ( ) ( ) ( ) m don l nrpréaon n présn acn dffclé. En négran sr l ax ds mps, on obn l blan énrgéq (négral) : () d+ E m = () d = = 1 avc E m lme m() = L marqons q la rlaon n s smplf pas, conrarmn a cas d condnsar. = 1 Ω ; L = 5mH ; = 5V =.5 Fgr 6.8.a. : Evolon d coran ravrsan la bobn après la frmr d l nrrpr Fgr 6.8.b. : Evolon d la nson ax borns d la bobn après la frmr d l nrrpr c. Décharg d n bobn dans n réssanc Un bobn n possèd d l énrg magnéq q s n coran la ravrs, l fa donc modfr l monag lsé por déchargr n condnsar (fgr 6.9.) : a mps =, l nrrpr déal bascl d la poson 1 à la poson. 1 K L Fgr 6.9. : Décharg d n bobn dans n réssanc En absnc d générar, l éqaon d évolon s réd à :

7 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 7/14 La condon nal ( ) = Bxp( ) = prmn alors d rovr la valr d la consan d négraon : = xp On obn la nson par dérvaon : d = L = xp( ) d Ls évolons d cs grandrs son ndqés sr ls fgrs 6.1. L blan n pssanc s écr, n mlplan la lo d la mall par : E m = la pssanc forn par la bobn s donc négralmn dsspé par la réssanc, l blan énrgéq s obnan par négraon s : E m = d où E = E ( < m m ) = Fgr 6.1.a. : Evolon d coran ravrsan la bobn pndan sa décharg Fgr 6.1.b. : Evolon d la nson ax borns d la bobn pndan sa décharg III. EGIME LIBE D UN CICUIT, L, C SEIE On s nérss mannan à l évolon lbr (.. sans sorcs) d n crc consé par l assocaon n sér d n réssanc, d n condnsar d n bobn. 1) Eqaon d évolon On consdèr l crc,l, C d la fgr La lo d la mall s : d + qc + L = d On p obnr n éqaon dfférnll d dxèm ordr à coffcns consans por la nson ax borns d condnsar avc la rlaon = C : C + + LC =

8 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 8/14 + C L L Fgr : Crc, L, C sér ω = où L ω 1 LC son ls mps propr plsaon propr d crc. Nos avons déjà rnconré c éqaon dfférnll : c s l éqaon d évolon d l oscllar harmonq amor à n dgré d lbré (chapr 3). Dans n conx physq dfférn, nos rrovons donc n mêm ramn mahémaq. Ls varabls d «poson» d «vss» éan c la nson ax borns d condnsar l coran dans l crc q n dérv par = C. Nos chrchons ds solons d la form = Axp( r ), mnan à l éqaon caracérsq 1 r + r+ ω = d solons r = ω ω 1 ± ( ) = ± ( Q) n posan Q ω = L C, qané sans dmnson nommé facr d qalé d crc. Noons q l éqaon dfférnll s réécr n foncon d c nova paramèr : ω + + ω = Q Comm n mécanq, dfférns régms xsn n foncon d la valr d Q, nos n nos aardrons donc pas sr ls résolons d l éqaon. S Q < ½, on a : ) égms d fonconnmn a. égm apérodq : Q 1 β β = A+ + A la valr ds consans dépndan ds condons nals. Exmpl : S q = q = à =, on rov : 1 avc β ω 1, ( Q) d manèr éqvaln, n dvsan c éqaon par C, on obn l éqaon dfférnll sr la charg q : 1 q + q + ω q =

9 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 9/14 d où q ( ) = = A + A = + C 1 ( ) = = A = β 1 β = snh( β ) β 1 1 snh ( ) cosh C β = + β β + ( β) β Dans l cas lm Q = ½, l dscrmnan d l éqaon caracérsq s annl l éqaon d évolon s réd à : + ω + ω = Sa solon général s (vor chapr 3) : = A+ B ω ( ) Q < Q < Q 1 1 C = Q 1 Q 1 Q C Q Q Q C Fgr 6.1.a. : Tnson ax borns d condnsar dans n crc, L, C avc Q 1 Fgr 6.1.b. : Coran dans n crc, L, C avc Q 1 Exmpl : S q = q = à =, on rov : ( ) = A= ( ) = B = ω d où ω ( 1 ω ) = + ω =Cω C régm lm s qalfé d crq car c s cl por lql l annlaon d s la pls rapd. Ls fgrs 6.1. monrn ls évolons d la nson d l nnsé por ls régms apérodqs. b. égm psdo-pérodq ( Q > 1) Dans c cas, l n xs pas d solons rélls por r. On pos alors r = ω 1 ω a ± Q = ± ( )

10 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 1/14 1 avc ωa ω 1 = 1. La nson prnd alors la form : Q ( ) a a ω ω ( + ) = A + A * U ϕ U ϕ q l on p écrr, éan réll ( = A ; A + = ) : = U cos( ω + ϕ ) Exmpl : Por ls mêms condons nals q dans l paragraph c-dsss, on rov : ( ) = ϕ = arcan ( 1 ω a ) ( ) = U = cosϕ On n déd : 1 1 = cos ω + arcan a cos[ arcan ( 1/ ω) ] ω a a L régm s donc psdo-pérodq, d dré d rlaxaon, d psdo-plsaon ω a d psdopérod Ta = π ωa (fgrs 6.13.),.. l évolon mporll d la nson s snsoïdal son ampld décroî xponnllmn, avc n consan d mps. a Q =1 Fgr 6.1.a. : Tnson ax borns d condnsar dans n crc, L, C avc Q > 1 Fgr 6.1.a. : Coran dans n crc, L, C avc Q > 1 S Q s élvé ( Q 1), on obn ls xprssons approchés por la psdo-pérod la psdo-plsaon : 1 ωa ω 1 π π 1 8 Ta = 1+ Q ωa ω 8 Q applons q l facr d qalé corrspond, dans c cas, à l ordr d grandr d nombr d psdo-pérods après lql ls amplds ds grandrs physqs son sgnfcavmn modfés. Pnchons nos nfn sr la ranson nr l régm apérodq l régm psdo-pérodq, q s monré sr ls fgrs 6.13., où plsrs corbs son racés por ds valrs d Q allan d,1 à 3 (la plsaon propr rsan fxé). On y vo bn q l passag d n régm à l ar (n foncon ds caracérsqs ds dpôls lsés) s conn, nor ramn mahémaq n s dfférn q à cas d l apparon d zéros dans la foncon.

11 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 11/ ω = 1 rad.s,1,5,7,3 3,1,3,5,7 3 Fgr 6.13.a. : Evolon d la nson n foncon d Q (la plsaon propr éan fxé) Fgr 6.13.b. : Evolon d coran n foncon d Q (la plsaon propr éan fxé) 3) Aspcs énrgéqs L blan nsanané (n pssanc) s obn n mlplan la lo d la mall par : d 1 1 d + C + L = ( Em + E ) = < d d résla q n dvra srprndr prsonn. L énrg socké dans l crc dmn donc car la réssanc dssp d l énrg. L blan énrgéq négral s écr : = Em + E = ( = ) ( = ) L énrg dsspé par la réssanc s donc égal à l énrg nalmn répar dans l condnsar la bobn : l énrg d crc à = s nll. 4) Analog élcromécanq Ls éqaons dfférnlls, sr lsqlls son bâs la physq acll, prmn d décrr l évolon fr d n grandr physq n connassan sa valr à n nsan «nal» sa prmèr dérvé mporll à c nsan. Ans n mécanq nwonnn, la connassanc d la poson d la vss d n pon maérl à n nsan sff, va la lo fondamnal d la dynamq sos résrv d connaîr ls acons xérrs, por prévor son évolon fr q p êr rprésné sr n dagramm d phas ( x, x ). Dans n crc lnéar, d manèr analog, nson coran caracérsn nèrmn l crc cs grandrs son rlés par n éqaon dfférnll. Nos avons évdmmn obn, paran d éqaons dfférnlls analogs, ds solons analogs. La rssmblanc s ncor pls frappan s l on rac l dagramm d phas (, = C ) ds xmpls édés dans c scon (fgr ) q nos ls comparons ax réslas d chapr 3. Dans l cas d l oscllar mécanq, l énrg mécanq oscll nr ss forms cnéq (lé à la vss) ponll (lé à la poson) dmn par cas d fromn. Ic, l énrg d sysèm oscll nr sa form élcrq (lé à la nson) sa form magnéq (lé a coran) dmn par ff Jol. En comparan ls éqaons govrnan ls évolon d n oscllar mécanq d n crc,l,c, on vo q lls son n corrspondanc nvoq (fgr 6.16.). On vo sr c fgr ls corrspondancs nr ls grandrs élcrqs mécanq : α dsspaon L m nr 1 C k rappl

12 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 1/14 Nos avons là n xmpl d n phénomèn s prodsan sovn n physq : dx saons, n ayan a pror rn n commn, son décrs mahémaqmn par ls mêms éqaons dfférnlls. Un ar xmpl q nos abordrons n déal n dxèm anné s l éd ds phénomèns ondlaors : ls prrbaons d la prsson (ond sonors), d champ élcrq (ond lmnss), ds conrans dans n sold (onds mécanqs), o ncor d la mérq d l spac mps (onds gravaonnlls) son décr par n mêm sql mahémaq.,1,3,5,75 3 Fgr : Dagramms d phas (, ) 1 por dfférns valrs d Q (ls corbs corrspondan à plsrs oscllaons Q = 3 1 son ronqés por n pas alordr la fgr) Fgr : Dagramms d phas (, ) Q = 1 nqmn por Sysèm C +q L k x m x 1 Eqaon d l oscllar + L + LC = α k x+ x + x= m m Plsaon propr ω = 1 LC ω = km Dré d rlaxaon Facr d qalé ω ( ) Enrg d l oscllar C L E = + Blan d pssanc de = d = L = m α Q = L C Q ω = Fgr : Analog élcromécanq km α k m E = x + v de =αv d

13 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 13/14 IV. CICUIT,L,C SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION 1) Eqaon d évolon On consdèr l monag d la fgr L nrrpr K éan ovr o ls grandrs son nlls à par la forc élcromorc d générar. On frm l nrrpr à la da =. L éqaon d la mall s : Ld d+ + = so, avc ls noaons adopés dans la scon III (fgr c-dsss) : ω + + ω = ω Q + C L L ) égms d fonconnmn Fgr : Crc,L,C soms à n échlon d nson Ls solons d l éqaon dfférnll c-dsss s obnnn à parr ds solons rovés dans la scon précédn por l régm lbr n y rajoan la solon parclèr évdn d l éqaon avc scond mmbr =. Avc ls condons nals ( ) = ; ( ) = ; = 5V, on rov : 1 β = snh( β ) β 1 1 β = C + β xp snh ( β) cosh ( β) + β Ls fgrs llsrn c compormn (rmarqz q n abassan l nrrpr nos modfons l pon d éqlbr sabl d sysèm : nos passons, dans l analog élcromécanq, d la confgraon d n oscllar horzonal à cll d n oscllar vrcal soms à son pods, mas n l «branchmn» nsanané d pods s bn sûr mpossbl n mécanq). L régm ransor s achèv après qlqs fos la dré d rlaxaon, on s alors n régm éabl, por lql = ; =. 3) Aspcs énrgéqs K L blan d pssanc s écr : l blan énrgéq oal s : d L C d + + =

14 PCSI CHAPITE 6 : CICUITS LINEAIES DANS L AQS 14/14 + d= = = E d. où E C = L coran éan nl n régm éabl, la bobn n nrvn pas dans c blan global : l énrg forn par l générar s la somm d l énrg dsspé par la réssanc pndan l régm ransor d l énrg élcrq socké dans l condnsar n régm éabl. Fgr 6.18.a. : Evolon d la nson ax borns d condnsar n régm apérodq (Q =,4) Fgr 6.18.b. : Evolon d coran n régm apérodq (Q =,4) Fgr 6.18.c. : Evolon d la nson ax borns d condnsar n régm psdo-pérodq (Q = 3) Fgr 6.18.d. : Evolon d coran n régm psdopérodq (Q = 3) Q = 3 Q =,4 Fgr : Porra d phas d crc,l,c soms à n échlon d nson