Document 2 - Vecteurs aléatoires et loi normale multivariée

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1 Documt - Vcturs aléators t lo ormal multvaré Momts du vctur aléator y y y q y y y q Sot Y y y y q u matrc aléator. Défto. Lspérac M E(M) du matrc aléator Y st la matrc ds spéracs: E(Y) O a égalmt ls proprétés suvats: E( y ) E( y ) E( y ) q E( y ) E( y ) E( y ) q E( y ) E( y ) E( y ) q q q q Proposto. S Y st u matrc aléator t A u matrc costat, alors t Démostrato Exrcc E[tr(Y))] tr[e(y)] (s Y st carré) E(AY) AE(Y). La matrc d covarac Var(y) du vctur aléator y dspérac µ st u matrc déf par E( y ) E( y )( y ) E( y )( y ) q q E( y )( y ) E( y ) E( y )( y ) q q Var(y) E[(y-)(y-) ] E( y )( y ) E( y )( y ) E( y ) q q q q q q S j Cov(y ; y j ) t Var(y ), la matrc prd la form Rmarqu. La matrc st écssarmt symétrqu t, coséquc d la proposto. plus bas, ll st sm déf postv. La covarac tr dux vcturs aléators y t y d moys µ t µ st u matrc déf par Cov(y ; y ) E[(y - )(y - ) ] S y [y y ] t s Var(y) st parttoé d faço coform

2 Lo ormal multvaré alors Var(y ), Var(y ), Cov(y ; y ), ( ) Cov(y ; y ). Proposto.. Sot y u vctur aléator d moy µ t d matrc d covarac, L u matrc p, M u matrc q t a u vctur p. Alors t E(Ly + a) Lµ + a, Var(Ly + a) LL, (.) Cov(Ly, My) LM (.) Il st utl d otr la gééralsato suvat d la proprété b cou Var(X) E(X )-[E(X)]. Var(y) E(yy) - µµ (.3) Rmarqu. Pusqu pour tout, st la varac d y, o a qu 0 pour tout. Doc st sm déf postv. Ell st fat déf postv, à mos qu l xst u vctur tl qu 0, doc à mos qu l xst u vctur tl qu y st costat. Proposto.3. S A st u matrc réll symétrqu, y u vctur aléator d moy µ t d matrc d covarac, alors E(yAy) tr(a) + µaµ (.4) Démostrato. E[yAy] E[tr(yAy)] E[tr(Ayy)] tr[e(ayy)] tr[ae(yy)] tr[a{+ µµ}] tr(a) + tr(aµµ) tr(a) + tr(µaµ) tr(a) + µaµ La focto d dsté ormal multvaré U vctur aléator y (y,..., y ) sut u lo ormal d dmso s sa focto d dsté st doé par: f(y,, y ) / ( ) / ( / )( y ) ( y ) L vctur aléator y st alors d moy µ t d matrc d covarac, t o écrt y ~ (µ ; ). Lorsqu, o obtt la lo ormal usull, f(x) ( ) / x, - < x < O a E(y) xf(x)dx µ t Var(y) (x-µ) f(x)dx E(y - µ). Rmarqu. Ctt défto suppos qu la matrc d covarac st o-sgulèr (auqul cas o dt qu la dstrbuto st o-sgulèr). La ormalté multvaré put s défr sas ctt rstrcto, t ls coclusos ds théorèms qu suvt sapplqut mêm lorsqu 0. Das c cours, cpdat, ous allos ous rstrdr aux los ormals o sgulèrs. Los margals t codtolls Proposto.. Sot y ~ (µ ; ) t supposos qu y, µ t sot parttoés d la faço suvat, où y st d dmso. Alors la lo margal d y st y y, y y ~ t la lo codtoll d y st ormal d moy t d matrc d covaracs (.) ; ) (.) 4/03/ REG0NormalH

3 Lo ormal multvaré 3 E(y y ) + (y - ), Var(y y ) - (.3) z I 0 Démostrato Cosdéros la trasformato z A(y-) où A z. La trasformato ΣΣ I I 0 vrs st (y-) A - z z. L jacob st égal à t la focto d dsté d z st Σ Σ I z g(z,, z ) / ( ) / ( / ) A A z z / ( ) / AΣA ( / ) z z Mas [AA ] Σ 0 Σ 0. g(z,;,; z ) t z [AA ] - z / zσ z zσ z t.. Doc. ( ) / /. ( ) ( ) ( ) z z ( ) z / /. ( ) z z z z / ( ) / / / / z /. La lo margal d z st / / ( ) ( / ) z z ( ) z z z z z / ( / ). d / / ( ) / ( ) / ( / ). / / ( ) z z dz L tégral st cll d u dsté ormal multvaré, t vaut doc. La lo margal d z st doc / ( ) z z. C st la dsté d y / / ( ) -, u ormal d moy 0 t d matrc d covarac. O trouv asémt qu la dsté d y st u ormal d moy t d matrc d covarac. O obtt mmédatmt, dvsat la dsté cojot par la margal d z, qu la dsté codtoll d z état y ΣΣ ( y ), ous doé z y - st ormal d matrc d covarac.. Pusqu z cocluos qu l spérac codtoll st + (y - ) Foctos léars d u vctur ormal Proposto.. Sot y ~ (µ ; ) t A u matrc o sgulèr. Sot z Ay. Alors z ~ (Aµ ; AA ). Démostrato. La trasformato vrs st y A - z. L jacob d la trasformato st A -. La focto d - - ( / )( A z) ( A z) dsté d z st doc A / / ( ) ( / )( A za A) ( A za A) - ( / )( za) A A ( za) / / / / ( ) A ( ) A ( / )( ) - ( ) z A AA z A, c qu st la dsté d u ormal / / (Aµ ; AA ) ( ) A Corollar Sot y ~ (µ ; ) t L u matrc q d rag q. Sot z L y. Alors z ~ q (L µ ; L L). REG0NormalH 3 lud, mars 4, 0

4 4 Lo ormal multvaré L Démostrato Sot M u matrc (-q) tll qu A M st o sgulèr. Alors Ay ~ (Aµ ; AA ). Mas Ay z w, w M y t AA L L L M. L résultat découl d la proposto. M M M Rmarqu. S st o sgulèr t L q st d rag q, alors z a u dstrbuto o sgulèr. Idépdac d varabls ormals La covarac tr dux varabls aléators dépdats st ull, mas dux varabls dot la covarac st ull sot pas écssarmt dépdats. Cpdat, s X t Y suvt cojotmt u lo ormal, alors lmplcato vrs (covarac ull dépdac) st vra. Voc léocé gééral. Proposto.3 Sot y ~ (µ ; ) t supposos qu y, µ t sot parttoés: y y, y où y t y sot d dmsos t -, rspctvmt. Alors ls vcturs y t y sot stochastqumt dépdats s t sulmt s 0. Démostrato O sat déjà qu la codto st écssar. Pour motrr qu ll st suffsat l sufft d costatr qu la lo codtoll d y st ormal d moy t d matrc d covaracs E(y y ) + (y - ) t d varac Var(y y ) -, doc dépdat d y Proposto.4 Dux foctos léars L y t L y du vctur y ~ (µ ; ) sot dépdats s t sulmt s L L 0. Démostrato Sot L (L ; L ) u matrc parttoé qp. Nous supposros qu L st d rag pl. Slo l corollar d la proposto., l vctur Ly ~ (Lµ ; LL). Mas L résultat découl d la proposto.3 Trasformatos orthogoals Ly L y, t LL L y LL L L L L S ls composats y,..., y du vctur y (y,..., y ) sot dépdats, ls composats z,..., z m du vctur z Ly, focto léar ds y, l sot gééralmt plus. Qulls sot ls trasformatos léars qu présrvt ldépdac? C sot ls trasformatos orthogoals. Proposto.5 Sot y ~ (µ ; I ), P u matrc m (m ) dot ls colos sot orthoormals: PP I m. Sot z Py. Alors z ~ m (Pµ ; I m ). Démostrato Découl drctmt d la proposto.3. Qulls sot ls trasformatos qu trasformt ds varabls dépdats varabls dépdats? Cosdéros u vctur y ~ (µ ; ). La matrc, état symétrqu réll put êtr dagoalsé par u matrc orthogoal P: P P D (ou PDP) pour u crta matrc dagoal D dot ls composats d la dagoal sot touts o ulls. D a doc u «rac carré» D /. O a alors u trasformato qu rédut l vctur y u vctur z dot ls composat sot dépdats t d varac. (.) (.) «Idépdats» das l ss d dux varabls aléators. 4/03/ 4 REG0NormalH

5 Lo ormal multvaré 5 Proposto.6 S z Py, alors z ~ (Pµ ; D), t doc ls composats d z sot dépdats. Et s u D -½ Py, alors u ~ (D -½ Pµ ; I ). Démostrato Exrcc. 3 Lo kh-dux (ctral) ( ) Défto La lo du st la dstrbuto du somm d carrés d varabls aléators ormals ctrés réduts dépdats. Sot z, z,..., z ds varabls dépdats t dtqumt dstrbués (.d.d.) slo la lo ormal ctré rédut (0 ; ) t X z z... z Alors X, c st-à-dr, X st dstrbué slo la lo kh-dux avc dgrés d lbrté. Focto d dsté La focto d dsté d u varabl d lo st ( / ) Lorsqu y ~, o a E(y) t Var(y). / x / x, x > 0 (3..) / Focto géératrc ds momts La focto géératrc ds momts du varabl d lo st M(t) ( - t) -/ (t < /). (3..) Démostrato M(t) E( tx ) tx x/ x / dx ( / ) / x / (/ )( tx ) dx 0 ( / ) / 0 (-t) -/, l résultat voulu. t / / ( / )[/( )] ( / ) S y st u vctur ormal, l sufft qu ls covaracs tr ls composats d y sot ulls pour qu clls-c sot dépdats. Nous avos doc, S y ~ (0 ; I ), alors yy ~ (3..3) Addtvté t soustractvté d varabls d lo kh-dux Ls propostos suvats caractérst ls stuatos où u somm d varabls d lo st d lo. Proposto 3. (Addtvté) S X ~ r, Y ~ s t s X t Y sot dépdats, alors Z X + Y ~ rs. Démostrato. S X t M Y sot ls foctos géératrcs ds momts (fgm) d X t d Y, rspctvmt, alors la fgm M Z d Z st, grâc à ldépdac, c qu st la fgm du lo M Z (t) M X (t)m Y (t) (-t) -r/ (-t) -s/ (-t) -(r+s)/ rs Proposto 3.. (Soustractvté) Sot Z X + Y où Z ~ Alors Y~ r., X ~ r, > r, t X, Y sot dépdats. Démostrato. Sot M Z (t), M X (t) t M Y (t) ls fgm d Z, X t Y, rspctvmt. Pusqu Z st u somm d REG0NormalH 5 lud, mars 4, 0

6 6 Lo ormal multvaré varabls aléators dépdats, sa fgm st l produt ds fgm d ss facturs: M Z (t) M X (t)m Y (t). Pusqu M Z (t) (-t) -/, M X (t) (-t) -r/, ous avos M Y (t) (-t) -(-r)/ c qu st la fgm du 4 Lo kh-dux o ctral S y ~ (µ ; I ), alors X yy sut u lo applé lo kh-dux à dgrés d lbrté t paramètr d o ctralté µ µ: X yy ~ ( ). Lorsqu l paramètr d o ctralté st ul, la lo kh-dux (0) st fat u khdux ctral ordar. Proposto 4. La focto géératrc ds momts d u varabl X X y, où ls y sot dépdats, y ~ ( ; ) st Démostrato M (t) t /( t )( t) / Cosdéros d abord la focto géératrc ds momts M X (t) d u varabl X y, où y ~( ; ) : M X (t) E( tx ) ty (/ )( y) dy (/ )[( t) y y ] dy (/ )[( t) y y] / dy / /[( t)] (/ )( t)[ y y /( t) /( t) ] dy ( / )[ ( ) ] t (/ )( t)[ y /( t )] t / dy /( t ) ( t). t /( t) La focto géératrc ds momts d X st doc M () X t ( ) / t / t t /( t) t /( t )( t) / ( ) Proposto 4. La focto d dsté d u varabl X d lo ( ) st doé par r f (x) j0 / ( / ) j! j f j ( x) où f +j désg la focto d dsté d u varabl d lo j(0). Démostrato La focto géératrc ds momts d X put s écrr comm M X (t) t /( t )( t) / / j / ( / )/( ) ( t) / / / ( t) / j0 j! t t j ( / ) ( t ) j0 j! géératrc ds momts d u varabl d dsté f +j (x). ( / j). Or chaqu trm d ctt drèr somm st b cll d la focto Forms quadratqus géérals (yay) Proposto 4.3 Sot y ~ (µ ; I ), A u matrc réll symétrqu d rag r. Alors 4/03/ 6 REG0NormalH

7 Lo ormal multvaré 7 () S A A, alors y Ay ~ () S y Ay ~ Démostrato. r () où r r(a) t µ Aµ; s (), alors A A, s r(a) t µ Aµ. () Démostrato d () Supposos qu A A. Alors l xst u matrc P r tll qu PP I r t A PP. Alors yay yppy (Py) (Py) zz, où z Py ~ r (P µ ; I r ). Doc zz sut u lo (P µ) (P µ) µppµ µaµ. r () avc () Démostrato d () Nous allos démotrr ctt part du théorèm das l sul cas où µ 0 t doc 0. Supposos doc qu yay ~ s. Pusqu A st réll t symétrqu, l xst u matrc r P tll qu A PDP, où D st u matrc r r dagoal dot ls élémts d la dagoal sot ls valurs proprs,..., r o ulls d A t P P I r. Doc yay ypdpy zdz z où z Py ~ r (0 ; I r ). Sot M(t) la fgm d yay. Du part, pusqu yay ~ s, o a M(t) (-t) -s/. Dautr part, yay z où z ~ d fgm M (t) (-t) -½ t ls z sot dépdats. Pusqu la fgm d z st M ( t), o a Il sut M(t) r r r M( t) t / ( ) (-t) -s/ t / ( ) (-t)s ( t ) r d où,,..., r t r s. Il sut D I r, A PP t alors A PP PP A Rmarqu Crtas auturs défsst l paramètr d o ctralté par /, c qu smplf légèrmt l xprsso ds foctos d dsté t géératrc ds momts. 5 Idépdac d forms quadratqus Quad st-c qu dux forms quadratqus y Ay t y By d lo kh-dux sot dépdats? Il st souvt écssar d l savor af d dédur la dstrbuto d lur somm ou d lur quott. L théorèm suvat do u répos pour ds varabls d matrc d covarac I. Nous démotrros l cas gééral plus lo. Proposto 5. Sot y ~ (µ ; I ), A t B dux matrcs symétrqus. Sot y Ay t y By dux forms quadratqus d lo kh-dux (ctral ou o). Alors y Ay t y By sot dépdats s t sulmt s AB 0. Démostrato () Supposos qu y Ay t y By sot ds kh-dux dépdats. Alors A t B sot dmpotts t y Ay + y By y (A+B)y st d lo kh-dux. Doc A+B st dmpott: (A+B) A + B + AB + BA A + B A + B + AB + BA A + B AB + BA 0 AB -BA ABB -BAB AB -BAB, c qu traî qu AB st symétrqu. Doc AB (AB) B A BA. Alors AB + BA 0 AB + AB 0 AB 0. C st c qu l fallat démotrr. () Supposos qu AB 0. Pusqu y Ay t y By sot d lo kh-dux, A t B sot dmpotts. Doc l xst ds matrcs P t Q tlls qu A PP, B QQ, t P P t Q Q sot ds matrcs dtté. Alors y Ay y PP y (P y) (P y) st focto d P y; t y By y QQ y (Q y) (Q y) st focto d Q y. Doc y Ay t y By sot dépdats s P y t Q y l sot. C st c qu ous allos démotrr. Pour l far, l sufft d motrr qu P Q 0. O a AB 0 PP QQ 0 P PP QQ Q 0 IP QI 0 P Q 0. REG0NormalH 7 lud, mars 4, 0

8 8 Lo ormal multvaré Nous allos matat gééralsr ls dux théorèms précédts: ous cosdérros l cas où la matrc d covarac st u matrc déf postv qulcoqu. Proposto 5. Sot y ~ (µ ; ), A u matrc réll symétrqu d rag r. Alors () S AA A, alors y Ay ~ () S y Ay ~ r () où r r(a) t µ Aµ; s (), alors AA A, s r(a) t µ Aµ. Démostrato Pusqu st déf postv, l xst u matrc symétrqu o sgulèr E tll qu E. Alors y Ay y E - EAEE - y z EAEz, où z E - y ~ (E - µ ; I ). Nous pouvos alors applqur l théorèm 3 à la form quadratqu z EAEz. Das la part () du théorèm, la codto d dmpotc dvt EAEEAE EAE, c qu, état doé qu E st o sgulèr st équvalt à AEEA A, c st à dr AA A. S ctt codto st vérfé, alors d après l théorèm 3, z EAEz ~ () où r r(eae) r(a) grâc à la o sgularté d E; t (E - µ) EAE(E - µ) µ Aµ. Récproqumt, s z EAEz ~ s (), alors, par l théorèm 3, EAEEAE EAE AEEA A (par la o sgularté d E), c qu st équvalt à AA A; s r(eae) r(a); t (E - µ) EAE(E - µ) µ Aµ. Et voc la gééralsato d la duxèm part d la proposto 5. cocrat l dépdac d forms quadratqus. Proposto 5.3 Sot y ~ (µ ; ), A t B dux matrcs symétrqus. Sot y Ay t y By dux forms quadratqus d lo kh-dux (ctral ou o). Alors y Ay t y By sot dépdats s t sulmt s AB 0. Démostrato Pusqu st déf postv, l xst u matrc symétrqu o sgulèr E tll qu E. Alors y Ay y E - EAEE - y z EAEz, t y By y E - EBEE - y z EBEz où z E - y ~ (E - µ ; I). D après l théorèm 3.3., z EAEz, t z EBEz sot dépdats s t sulmt s EAEEBE 0. Mas état doé la o sgularté d E, cc traî qu AEEB 0, c st-à-dr, qu AB 0. Et voc u théorèm gééral cocrat la décomposto d u form quadratqu u somm d forms quadratqus dépdats. L théorèm st cou sous l om d théorèm d Cochra. Proposto 5.4 Sot y ~ (0 ; I ). Sot A u matrc dmpott t symétrqu d rag r, t A A A k, r(a ) r, Q yay, Q ya y,,..., k. Alors ls tros propostos suvats sot équvalts: k () r(a) r(a ) ; () A A t A A j 0; () Ls Q sot dépdats t Q ~ Démostrato. Oms. S st qu sm déf postv t o déf postv, ous avos la gééralsato suvat: Proposto 5.5. Sot y ~ (0 ; ) où st sm déf postv. La form quadratqu yay sut u lo s t sulmt s AA A, auqul cas, l ombr d dgrés d lbrté st r tr(a). D 0 P Esquss d démostrato. put s écrr comm PDP [ P P ] 0 0 P PDP, où P st r, r r(). P y z yay ypp APP y zp APz, z P y 0 0, où z st d moy ull t d matrc d covarac D. Alors yay zp AP z st d lo s t sulmt s r PAPDPAP PAP PAΣAP PAP PDPAΣAPDP PDPAPDP AA A Lo d Studt (lo t) Défto Sot X t Y dux varabls dépdats, Y ~ (0 ; ) t X ~ ( ). Alors la varabl. r 4/03/ 8 REG0NormalH

9 Lo ormal multvaré 9 t Y X / sut u lo applé lo d Studt à dgrés d lbrté t paramètr d o ctralté, t ~ t (). Lorsqu 0, la lo st dt ctral. O la désgra par t (0) ou plus smplmt par t Lo d Fshr (lo F) Défto Sot X ~ t X ~ ( ), X t X dépdats, alors la varabl F X / X / sut u lo applé lo d Fshr, ou lo, à t dgrés d lbrté t paramètr d o ctralté : F ~ ; ( ). Lorsqu 0, la lo st dt ctral. O la désgra par ; (0) ou plus smplmt par Rmarqus ; S F ~ F ; (0), alors S t ~ t ν, alors t ~ ;ν. ~ F ; (0). 6 Échatllos ormaux multvarés Sot y, y,, y vcturs aléators dépdats chacu d lo p ( ; ), où st u vctur p t st u matrc déf postv pp. La dsté cojot d cs vcturs st f(y ; y ; ; y ; ; ) xp ( ) ( ) / / ( ) y μ Σ y μ Σ xp ( ) ( ) / / ( ) y μ Σ y μ Σ Sot y y l vctur moy ds obsrvatos t S ( y y)( y y ) la matrc d covarac échatlloal. O put réécrr la somm das l xposat d la focto d dsté comm ( y μ) Σ ( y μ) [( ) ( )] [( ) ( )] y y y μ Σ y y y μ ( ) ( ) y y Σ y y ( yμ) Σ ( y μ) + ( y μ ) Σ ( y y ) ( y y) Σ ( y y ) + ( yμ) Σ ( y μ) + + ( μ) Σ ( ) y y y ( y y) Σ ( y y ) + ( yμ) Σ ( y μ) tr( y y) Σ ( y y ) + ( yμ) Σ ( y μ) tr Σ ( y y )( y y ) + ( yμ) Σ ( y μ) trσ ( y y)( y y ) ( yμ) Σ ( y μ) trσs+ ( yμ) Σ ( y μ) + As doc, la focto d vrasmblac put s écrr comm L(; ) xp ( ) ( ) / / ( ) μ Σ μ Σ y y xp / / ( ) trσs ( μ ) Σ ( μ ) Σ y y. Estmaturs ds paramètrs Ls valurs d t qu maxmst la focto d vrasmblac L( ; ) sot y t S. Pour motrr qu y maxms L, l sufft d otr qu, état doé l fat qu ( yμ) Σ ( yμ) 0, xp ( ) ( ) y μ Σ y μ st férur ou égal à pour tout y, t attt so maxmum d 0 à y. Alors REG0NormalH 9 lud, mars 4, 0

10 0 Lo ormal multvaré L( μ; Σ) L( y; Σ ) xp( trσs) / / ( ) Σ pour tout, t l rst à maxmsr cc par rapport à. Nous motros matat qu L( y; S) L( y; Σ) pour tous déf postv. C qu st équvalt à motrr qu l L( y; S) - l L( y; Σ) 0. l L( y; S) - l L( y ; Σ) l l S trs S + Σ trσ S l p Σ S trσ S p p l, où ls sot ls valurs proprs d ΣS. Il faut doc motrr qu p p p l 0 ( l ) p. Ls sot postfs car S st déf postv (avc / probablté ); doc ll possèd u «rac carrés» S t ls valurs proprs d ΣS sot ls mêms qu clls / / d p S ΣS, qu st déf postv. Pour motrr qu ( l ) p, l sufft d vérfr qu - l, c qu découl du fat qu la dérvé d - l st égatv das (0 ; ) t postv à drot d. Doc so mmum st au pot, c qu coclut la démostrato Dstrbuto ds stmaturs Il st assz facl d démotrr qu y ~ p ( ; (/)), utlsat ls fat qu u focto léar d ormals dépdats st ormal. La dstrbuto d la matrc A ( y )( ) y y y S xg qulqus dévloppmts. Qulqus proprétés ds échatllos ormaux multvarés Sot y,, y vcturs aléators dépdats, y ~ p ( ; ). Posos t Y [y y y ], t M [ ]. Sot a [a ; a ; ; a ] u vctur costat t l a y Y a u combasos léar ds vcturs. Alors l ~ p (M a ; a a). S a t b sot dux vcturs fxs tls qu a b 0, a a b b, alors Y a t Y b sot ds vcturs ormaux dépdats d matrc d covarac. Plus gééralmt, s P st u matrc m, m tll qu P P I m. Alors ls colos z,, z m d la matrc Y P sot dépdats, d moy M P t d matrc d covarac. S, M, alors z,, z m sot d moy 0 s ls colos d P sot orthogoals à [ ; ; ;]. Sot y,, y vcturs aléators dépdats, y ~ p ( ; ), Y [y y y ], t M [ ]. S P st u matrc m, m tll qu P P I m t M P 0, alors Y PP Y ~ W p ( ; m). E partculr, s M t C I /, alors S ( y y)( y y) Y CY ~ W p ( ; -). Lo d Wshart m Sot A zz, où ls z sot ds vcturs dépdats d lo p (0 ; ). Alors la statstqu A ~W p ( ; m) sut u lo applé «lo d Wshart d dmso p, varac, t m dgrés d lbrté. O écrt alors A ~ W p ( ; m). Qulqus proprétés d la lo d Wshart S A ~W p ( ; m) t B st u matrc qp, alors B AB ~ W q (B B ; m) S A A A A A ~W p( ; m), où A st rr, alors A ~W r ( ; m) 4/03/ 0 REG0NormalH

11 Lo ormal multvaré S A ~W p ( ; m), alors -½ A -½ ~ W p (I p ; m). S A ~W p (I ; m) t B st u matrc qp tll qu B B I q, alors B AB ~ W q (I q ; m) S A ~W p ( ; m) t a st u vctur fx tl qu a a > 0, alors a Aa/a a ~ m. Cas partculr : a / ~ m. S A t A sot dépdats, A ~W p ( ; m ) t A ~W p ( ; m ), alors A + A ~ W p ( ; m + m ). Σ Σ A A Sot u matrc d covarac (p+q)(p+q), état pq, t A Σ Σ ~ W A A p+q ( ; m), parttoé d la mêm faço. Alors A. A - A A A ~W p (A. ; m-q) t A A A ~W p ( ; q); A. st dépdat d A t d A. S 0, t A A A, A t A. sot mutullmt dépdats. Notos qu s A A A A A A A A, alors A A, d où o tr qu ( A ) ~ W. p (A. ; m-q). Sot y,, y vcturs aléators dépdats, y ~ p ( ; ), X [y y y ], t M [ ]. S P st u matrc m, m tll qu P P I m t MP 0, alors Y PP Y ~ W p ( ; m). E partculr, s M t C I - /, alors S ( y y)( y y) Y CY ~ W p ( ; -). La lo T d Hotllg La lo T d Hotllg st u gééralsato d la lo d Studt. Défto d la lo Sot y ~ p ( ; ) t A~ W p ( ; m), où y t A sot dépdats. Alors la statstqu m(y-) A - (y-) ~ T (p ; m) sut u lo applé «T d Hotllg» d paramètrs p t m dgrés d lbrté. Rlato avc la lo F La lo d Hotllg st lé à la lo F par la rlato m p mp T ( p; m) Fp ; mp Applcato U ds applcatos prcpals d la lo d Hotllg st la suvat : Sot x t S la moy t la varac d u échatllo d tall d u populato p ( ; ), alors La dstrbuto d Wlks μ S μ ~ T p (p ; -), ou cor, ( yμ) S ( yμ ) ~ F p p ; -p. ( )( y ) ( y ) Défto Sot A ~ W p (I ; m) t B ~ W p (I ; ), m, A t B dépdats. Alors la varabl A A B I+A- B - sut u lo applé lo d Wlks d paramètrs p, m, t Qulqus proprétés d la lo d Wlks u, où u,, u sot dépdats, u d lo bêta d paramètrs ½(m+-p) t p/. Ls los (p ; m ; ) t ( ; m+-p ; p) sot ls mêms ( p; m;) p ~ F ( p; m;) m p p m p ; REG0NormalH lud, mars 4, 0

12 Lo ormal multvaré (; m; ) ~ F m (; m; ) m ; ( pm ; ;) p ~ ( pm ; ;) m p F p;( mp) (; m ; ) ~ F (; ; ) m m m ;( ) Lorsqu m st grad, o a, approxmatvmt, -{m-½(p-+)}l (p ; m ; )~. p RÉSUMÉ L spérac d u matrc ou d u vctur aléator Y st la matrc (l vctur) ds spéracs d ss composats. La matrc d covarac E[(y-)(y-) ] d u vctur aléator y d moy st u matrc carré symétrqu dot l élémt j st la covarac tr la t la j composat d y. Ls élémts d la dagoal d sot doc ls varacs ds composats d y. st écssarmt sm déf postv; ll st déf postv s t sulmt s ll st o sgulèr. st sgulèr s l xst u focto léar a y d varac ull. 3 Sot y u vctur aléator d moy µ t d matrc d covarac, L t M ds matrcs costats. Alors E(Ly + a) Lµ + a, Var(Ly + a) LL, t Cov(Ly, My) LM. S y st ormal, Ly + a st ormal. 4 S A st u matrc réll symétrqu, y u vctur aléator d moy µ t d matrc d covarac, alors E(yAy) tr(a) + µaµ 5 Sot y [y ; y ] u vctur aléator ormal parttoé d moy t d matrc d covarac. Alors E(y y ) + (y - ), Var(y y ) -. y t y sot dépdats s t sulmt s 0. 6 Sot u D -½ Py, où P st u matrc orthogoal t D u matrc dagoal tll qu PDP. Alors u ~ (D -½ Pµ ; I ). 7 O désg par s () la lo kh-dux o ctral à s dgrés d lbrté t paramètr d o ctralté. Sot y ~ (µ ; ), où st déf postv, A u matrc réll symétrqu d rag r. Alors () s AA A, alors y Ay ~ r () où r r(a) t µ Aµ; () s y Ay ~ s (), alors AA A, s r(a) t µ Aµ. 0 s t sulmt s A 0. 8 Sot y ~ (µ ; ), A t B dux matrcs symétrqus. Sot y Ay t y By dux forms quadratqus d lo khdux (ctral ou o). Alors y Ay t y By sot dépdats s t sulmt s AB 0. 9 Cas partculr : I. Alors y y/ y ~ () où. y Ay/ ~ r () où r r(a) t µ Aµ/ s t sulmt s A st dmpott; s A t B sot dmpotts, alors y Ay t y By sot dépdats s t sulmt s AB 0. Y 0 U quott t sut u lo applé lo d Studt à dgrés d lbrté s X t X sot dépdats, X / X ~ t X ~. 4/03/ REG0NormalH

13 Lo ormal multvaré 3 L quott F X / X / dépdats, X ~ t X ~. sut u lo applé lo d Fshr, ou lo F, à t dgrés d lbrté s X t X sot Sot x,, x vcturs aléators dépdats, x ~ p ( ; ), Y [y y y ], M [ ], P st u matrc m, m tll qu P P I m. Alors ls colos z,, z m d la matrc Y P sot dépdats, d moy M P t d matrc d covarac. S, M, alors z,, z m sot d moy 0 s ls colos d P sot orthogoals à [ ]. m 3 Sot A zz, où ls z sot ds vcturs dépdats d lo p (0 ; ). Alors la statstqu A ~W p ( ; m). 4 S y,, y sot vcturs aléators dépdats, y ~ p ( ; ), t S ( y y)( y y ). Alors S ~ W p ( ; -), t S st dépdat d y y. 5 Sot y ~ p ( ; ) t A~ W p ( ; m), où y t A sot dépdats. Alors m(y-) A - (y-) ~ T (p ; m). m p 6 T ( p; m) F. p; mp mp 7 Sot y t S la moy t la varac d u échatllo d tall d u populato p ( ; ), alors μ S μ ~ T p (p ; -), ou cor, ( yμ) S ( yμ ) ~ F p p ; -p. ( )( y ) ( y ) REG0NormalH 3 lud, mars 4, 0