Le mouvement brownien Exercices

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Gaston Jean
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1 Le mouvemen brownien Exercice Geneviève Gauhier Dernière mie à jour : 1 juille 00 Exercice 9.1. SoiZ une variable aléaoire de loi normale cenrée e réduie. Pour ou 0, nou poon X = Z. Le proceu ochaique X = {X : 0} a de rajecoire coninue e 0, X e de loi N (0,). E-ce que X eunmouvemenbrownien? Juifiez vore répone. (réf. Baxer e Rennie, p. 9) Exercice 9.. Soi W e W, deux mouvemen brownien andard indépendan l un de l aure, e ρ, une conane comprie enre 0 e 1. Pour ou 0, nou poon X = ρw + 1 ρ W. Le proceu ochaique X = {X : 0} a de rajecoire coninue e 0, X e de loi N (0,). E-ce que X e un mouvemen brownien? Juifiez vore répone. (réf. BaxereRennie,p. 9) Exercice 9.. Soi W un mouvemen brownien andard conrui ur l epace probabilié filré (Ω, F, F = {F : 0},P). Poon X = exp σw. σ Monrez que X = {X : 0} e une maringale. Exercice 9.. Soi W un mouvemen brownien andard conrui ur l epace probabilié filré (Ω, F, F = {F : 0},P). Monrez que {W : 0} e une maringale. Exercice 9.5. SoiW un mouvemen brownien andard. Monrez que Cov W,W = min(, ). Exercice 9.6. Soi {W : 0}, un mouvemen brownien andard. Monrez que (i) Pour ou >0, {W + W : 0} (ii) { W : 0} { } (iii) cw : 0 c { } (iv) V 0 =0e V = W 1 i >0 : 0 1

2 on aui de mouvemen brownien andard. Exercice 9.7. SoiW un mouvemen brownien andard à quare dimenion, c e-à-dire que le quare compoane de ce mouvemen brownien on de mouvemen brownien andard unidimenionnel indépendan. a) Simulez rajecoire de ce mouvemen brownien ur l inervalle 0, 1 à l aide de vore logiciel préféré. Uiliez de inervalle d une longueur de 1 pour la dicréiaion 65 du emp. Pour chaque inan k k {10, 100, 00}, calculez la moyenne échanillonnale, 65 l écar-ype échanillonnal e le corrélaion échanillonale e comparez-le avec leur valeur héorique repecive. b) Uiliez la décompoiion de Choleki afin de ranformer le mouvemen brownien mulidimenionnel de l exercice a) en un mouvemen brownien don le compoane on corrélée. La marice de corrélaion e Pour chaque inan k k {10, 100, 00}, calculez la moyenne échanillonnale, l écar-ype 65 échanillonnal e le corrélaion échanillonale e comparez-le avec leur valeur héorique repecive. Exercice 9.8. Décrivez chacune de éape permean de ranformer un mouvemen brownien B de dimenion don le compoane on corrélée (le corrélaion enre la première compoane e le uivane on repecivemen 0,5; 0,8 e 0,1, le corrélaion enre la deuxième compoane e le deux uivane on repecivemen 0, e 0, e la corrélaion enre la roiième e la quarième compoane e 0,1) comme le produi AW ou W repréene un mouvemen brownien andard de dimenion don le compoane on indépendane. Donnez expliciemen la marice A..

3 Le oluion 1 Exercice 9.1 Non, puique pour 0 <, VarX X = Var Z Z = ( ) VarZ = +. Exercice 9. Oui. Il nou ree à monrer que (i) le incrémen on indépendan enre eux e que (ii) pour ou 0 <, X X e de loi N(0, ). (ii) X X = ρ(w W ) + 1 ρ ( W W ) N (0, ) N (0, ) N (0,ρ ( )) N (0,(1 ρ )( )) Comme le deux erme du membre de droie de l égalié on deux variable aléaoire gauienne indépendane d epérance nulle, leur omme e aui de loi normale d epérance nulle. Mainenan, VarX X =ρ ( )+ ( 1 ρ ) ( ) = ce qui complèe cee première parie. (i) Soi 0 1 <. CommeX X 1 e X X on oue deux de loi normale, il uffi de monrer que leur covariance e nulle : Cov X X 1 ; X X = Cov ρ (W W 1 )+ 1 ρ ( W W ) 1 ; ρ (W W )+ 1 ρ ( W W ) = ρ Cov W W 1 ; W W +ρ 1 ρ Cov W W 1 ; W W +ρ 1 ρ Cov W W 1 ; W W + ( 1 ρ ) Cov W W 1 ; W W = 0

4 puique l indépendance enre le incrémen d un mouvemen brownien implique que Cov W W 1 ; W W =0 e Cov W W 1 ; W W =0 andi que l indépendance enre le deux mouvemen brownien enraîne que Cov W W 1 ; W W =0 e Cov W W 1 ; W W =0. Exercice 9. (i) L inégrabilié : E X = E exp σw σ = E exp σw σ = exp σw σ 1 1 exp w dw π 1 1 = exp w σw + σ dw π 1 1 (w σ) = exp dw =1< π fc. de denié d une N (σ,) (ii) Puique X e une foncion coninue de variable aléaoire F meurable, X e elle-même F meurable.

5 (iii) Pour ou 0, X E X F = X E X F car X > 0 = X E exp σw σ exp σw σ F = X E exp σ (W W ) σ ( ) F = X E exp σ (W W ) σ ( ) car W W e indépendan de F. = X exp σw σ 1 1 ( ) exp w dw π ( ) 1 1 = X exp w ( ) σw + σ ( ) dw π ( ) 1 1 (w ( ) σ) = X exp dw = X π ( ) Exercice 9. fc. de denié d une N (( )σ, ) Premièremen, W e F meurable car c e une foncion coninue de W qui e F meurable. Deuxièmemen, E W E W + = + =<. Troiièmemen, 0, E W F = E (W W + W ) F = E (W W ) +W (W W )+W F = E (W W ) F +W E W W F + W =E(W W) =EW W = = W. =0 5

6 5 Exercice 9.5 Nou pouvon uppoer an pere de généralié que 0 <<. Cov W,W = Cov W W + W,W = Cov W W,W +Cov W,W = Cov W W,W W 0 +VarW = 0+ car le incrémen de W on indépendan = min(, ) car <. 6 Exercice 9.6 Poon Z = W + W. (MB1) Z 0 = W W =0. (MB) Puique Z k Z =(W k 1 k + W ) ( ) W k 1+ W = Wk + W k 1+ e que 0 0 < 1 <...< k, le variable aléaoire W 1 + W 0 +, W + W 1 +,..., W k + W k 1+ on indépendane, alor 0 0 < 1 <... < k, le variable aléaoire Z 1 Z 0,Z Z 1,..., Z k Z k 1 on indépendane. (MB) u, 0 el que u<,z Z u =(W + W ) (W u+ W )=W + W u+ e de diribuion normale d epérance 0 e de variance ( + ) (u + ) = u. (MB) ω Ω, la rajecoire Z (ω) =W + (ω) W (ω) e coninue puique W (ω) e coninue. Poon Y = W. (MB1) Y 0 = W 0 =0. (MB) Puique Y k Y = W W k 1 k 1 k e que 0 0 < 1 <... < k, le variable aléaoire W 1 W 0,W W 1,..., W k W on indépendane, alor 0 k 1 0 < 1 <... < k, le variable aléaoire W 0 W 1,W 1 W,..., W W k 1 k on indépendane,ce qui implique que Y 1 Y 0,Y Y 1,..., Y k Y k 1 on indépendane. (MB), 0 el que <,Y Y = W W e de diribuion normale d epérance 0 e de variance. (MB) ω Ω, la rajecoire Y (ω) = W (ω) e coninue puique W (ω) e coninue. Poon X = cw c. 6

7 (MB1) X 0 = cw 0 =0. (MB) Puique X k X k 1 = cw k c cw k 1 variable aléaoire W 1 W 0,W W 1,..., W k c c c c c 0 0 < 1 <... < k, le variable aléaoire cw 1 cw c 0,cW c cw c 1,..., cw c k cw k 1 c c on indépendane,ce qui implique que X 1 X 0,X X 1,..., X k X k 1 on indépendane. (MB) Puique cw e de loi normale i W e de loi normale,, 0 el que e que 0 0 < 1 <... < k, le c W k 1 on indépendane, alor c ( ) <,X X = c W W e de diribuion normale d epérance E X c c c X = ce W W =0e de variance VarX c c c X =c Var W W = c ( ) c c c c c =. (MB) ω Ω, la rajecoire X (ω) =cw (ω) e coninue puique W c (ω) e coninue. Poon { 0 i =0 V = W 1 i >0. (MB1) V 0 =0par définiion de V. (MB), 0 el que <, V V u = W 1 W 1 ( ) = W 1 W 1 +( ) W 1 e compoée d une combinaion linéaire de deux variable aléaoire indépendane de loi normale. V V u e donc aui de diribuion normale. E V V =E W 1 W 1 = E W 1 E W 1 =0 e ( ) VarV V = Var W 1 W 1 +( ) W 1 ( ) = Var W 1 W 1 + Var ( ) W 1 car W 1 W 1 e indépendane de W 1 = Var W 1 W 1 +( ) Var W 1 ( 1 = 1 ) 1 +( ) = =

8 Si =0alor V = W 1e de diribuion normale d epérance E V =E W 1 = E W 1 =0 e de variance VarV =Var W 1 = Var W 1 = 1 =. (MB) Il uffi de monrer que, 0 1 < < la covariance enre le deux variable aléaoire V V 1 e V V e nulle puique ce dernière on de loi normale. Si 1 > 0, alor, puique 0 < 1 < 1 1 < 1, 1 Cov V V 1 ; V V = Cov W 1 1 W 1 ; W 1 W 1 1 = Cov W 1 ; W 1 Cov W 1 ; W 1 1 Cov W 1 ; W Cov W 1 ; W puique Cov (W,W )=min(, ) = = = 0 Si 1 =0,alor Cov V V 1 ; V V = Cov W 1 ; W 1 W 1 = Cov W 1 ; W 1 Cov 1 1 = = = 0 W 1 (MB) ω Ω, la rajecoire V (ω) =W 1 (ω) econinuepourou>0puique le foncion W (ω) e on coninue donc leur produi l e aui. Comme lim 0 W 1 (ω) =0preque ûremen, la rajecoire V (ω) =W 1 (ω) e coninue pour ou. ; W 1 8

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