J AUVRAY Traitement du Signal SIGNAUX ET SYSTEMES NON LINEAIRES

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "J AUVRAY Traitement du Signal SIGNAUX ET SYSTEMES NON LINEAIRES"

Christian Richard
il y a 7 ans
Total affichages :

1 J UV Tritement du ignl IGNU ET TEME NON LINEIE Déinition Un ytème et non linéire il n oéit p u principe de uperpoition Il git d une déinition négtive qui utorie un grnd nomre de non linérité Nou citeron : - Le ytème prmétrique : l onction de trnert et onction du ignl C et le c de circuit contennt une thermitnce ou un vrctor - Le ytème à hytéréi, type reli ou trigger de chmitt Le clcul de leur perormnce en préence de ruit et trè complee - Le ytème à non linérité indépendnte du temp, type y Ce ont le eul qui ont ordle de çon un peu générle et encore dn l c limitti d un ignl d entrée guien Propriété prticulière d un ignl Guien Conidéron un enemle de vrile létoire guienne de moyenne nulle E i i Le coeicient de corréltion entre deu de ce vrile et déini comme ij i j, il et nul on dir que le vrile ne ont p corrélée ttention non corréltion ne veut p dire indépendnce Pr eemple coωt et inωt pour Ω létoire ne ont évidemment p indépendnte mi cependnt leur produit et de moyenne nulle Pour troi vrile l moyenne du produit et toujour nul i k L C et une propriété eentielle de vrile guienne qui et utiliée proi pour le crctérier recherche de compont déectueu dont le ruit propre n et p guien pr tri corréltion Pour vrile on retrouve un réultt non nul, on peut montrer que pour une guienne et eulement dn ce c : L moyenne et cée en troi coeicient de corréltion pour lequel le indice prennent toute le poition poile Ce réultt e générlie pour un nomre pir quelconque de vrile : n n n Il y utnt de terme que de permuttion poile de indice oit [ n n n 5] C et à dire pour n 5 pour n6 5 pour n etc Pour un nomre impir de vrile l moyenne et nulle n n Le qudrteur C et l eemple le plu imple et le plu cournt Il git d un ytème à non linérité indépendnte du temp ytème mnéique déini pr : y v Pour que le réultt y it le dimenion d une tenion i et une tenion il ut que le coeicient multiplicti oit l invere d une tenion c et pourquoi nou l von noté provioirement /v Pour un ignl d entrée déterminite le clcul du ignl de ortie ne préente ucune diiculté, pr eemple pour un ignl d entrée inuoïdl ce circuit et douleur de tenion Mi pour un ignl létoire le eul recour et le théorème de Wiener Kintchine ytème non linéire et ignu Guien

2 J UV Tritement du ignl C d un ignl d entrée létoire guien L onction d utocorréltion de y et : y y t y t pour lléger l nottion nou poeron yt-y lor en vertu du théorème précédent, i et guien : y [ ] C et à dire en pont y [ ] Le théorème de Wiener Kintchine nou ournit lor pr trnormée de Fourier le pectre de puince : [ ] Pour viulier le réultt nou étudieron d ord le c d un ruit lnc iltré pe Dn ce c comme nou l von vu plu hut l ruit lnc iltré pe puince et C d ou C Le premier terme de l epreion précédente et un dirc à l origine, c et l tenion continue otenue pr redreement Pour le econd il ut clculer le produit de convolution u u du Le clcul peut être it grphiquement en int glier deu rectngle l un ur l utre D ou le pectre du ignl y : pectre de y pour guien y c -c Clcul du produit de convolution -c u c c² c U -c c i le ignl d entrée n et p guien ce réultt n et plu ect, c et en prticulier le c cournt d un ignl inuoïdl uperpoé à un ruit guien ignl inuoïdl plu ruit guien Le ignl inuoïdl coπt donne évidemment en ortie coπ t y c et à dire un Dirc à l origine d mplitude ²²/ et deu rie pour ± Mi le pectre complet n et p l omme de contriution individuelle de et du ruit guien cr le ytème n oéit p u principe de uperpoition, il ut eectuer le clcul complet y vec étnt le ruit létoire y [ ] [ ] vec l nottion précédente : ytème non linéire et ignu Guien

3 J UV Tritement du ignl ytème non linéire et ignu Guien oit 9 terme qu il et cile de clculer : précédent réultt indépendnt ruit et ignl nulle moyenne de et ruit le cr t t co co co co oit en regroupnt le terme : co co et pr trnormtion de Fourier : [ ] ] [ Le terme à l origine et l puince totle de omme de celle de et de, le econd le deu rie ttentue à ±c, le dernier le produit de convolution précédent, le troiiéme et du à l non linérité il correpond à l interrction ur cette non linérité de deu componte de Le pectre otenu à lor l orme inttendue ci deou C du i-qudrteur y pectre à l ortie d un qudrteur ttqué pr une inuoïde noyée dn un ruit lnc iltré guien -c c y o -o o -o -c c ²/ ² ² c c ²

4 J UV Tritement du ignl On ne peut p le conidérer comme l mie en érie de qudrteur cr le ignl e ortie du premier n et p guien Le clcul direct et trè lorieu cr le développement de it intervenir 5 terme en et Il eite heureuement un théorème qui permet de réoudre ce prolème Théorème de Price Ce théorème à l énoncé trè izrre et démontré en nnee Il pplique à toute non linérité indépendnte du temp du type y on énoncé et réumé pr l ormule uivnte : K K K E { [ t] [ t ]} K il it intervenir le dérivée de y pr rpport à celle de à tou le ordre Ce théorème et urtout commode lorque n, pour le qudrteur : ² donc [ ] lor u premier ordre le théorème de Price donne : d t t d qui intègre directement en : Cte L contnte et déterminée en int tendre ver l inini En eet pour un tel retrd t et t- ne ont plu corrélé c et à dire,lor Cte Mi l indépendnce permet de cer l moyenne : donc c et l vleur de l contnte précédente On retrouve ien le réultt précédent Pour un degré plu élevé de contnte pprient à chque étpe de l intégrtion mi on peut n en clculer que en int tendre ver l inini ou Une ttque directe n et donc p poile, Pr eemple pour le i-qudrteur il ut utilier le théorème à l ordre et non comme on pourrit le pener u vu de dérivée dy d y oit y d y d d d u econd ordre : d t t [ ] d prè le réultt précédent d qui intègre en étpe 7 C C i tend ver l inini et nul comme on l vu plu hut Mi lor vec pour un ignl guien : Il vient 9 Donc : 7 C C C et Mi pour En reportnt dn l epreion il vient inlement 7 9 On pourr triter de l même çon le c y ytème non linéire et ignu Guien

5 J UV Tritement du ignl Ecrêteur prit : propriété ondmentle de ignu guien L écrêteur prit et déini pr y ign Or nou von vu que l on pouvit déinir une dérivée : dign d Le théorème de Price donne lor u premier ordre : d [ t ] [ t ] d En pont t et t- ceci devient pour un ignl ergodique d E[ ] d que l on clcule en int intervenir le denité de proilité : E [ ] p dd p mi pour un proceu guien à dimenion : p π donc p, π En reportnt plu hut : d d ep π éqution diérentielle ien connue en terminle rcin Cte π L contnte et nulle cr pour tendnt ver l inini yt et yt- ont indépendnt Cette ormule et inutilile pour clculer le pectre cr cel erit intervenir l trnormée de Fourier d un rcin, mi elle et inverile On en tire en eet : π in Il et donc poile en théorie, à une contnte multiplictive prè, de clculer donc le pectre de puince du ignl d entrée, à prtir de y c et à dire le ignl de ortie D ou le réultt ondmentl : Le crctéritique pectrle d un ignl guien ont entièrement déterminée pr e pge pr zéro ytème non linéire et ignu Guien 5

Documents pareils

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (