Espaces de modules en géométrie algébrique

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1 Espces de modules en géométrie lgébrique O. Sermn Thèse effectuée u JAD sous l direction d A. Beuville

2 1 Deux problèmes clssiques Triplets pythgoriciens : Trouver tous les tringles rectngles dont les trois rêtes sont de longueur entière. c b Autrement dit : trouver tous les triplets de nombres entiers (, b, c) N 3 vérifint 2 + b 2 = c 2. En posnt x = c et y = b c, cel devient x2 + y 2 = 1 : on reconnît l éqution du cercle de centre O et de ryon 1.

3 Il suffit donc de trouver les points du cercle unité donc les coordonnées pprtiennent à Q. Ce cercle est prmétré pr les fonctions trigonométriques : x(θ) = cos(θ) y(θ) = sin(θ) sin θ θ (x, y) cos θ Les formules clssiques cos(θ) = 1 tn2 (θ/2) 2 tn(θ/2) 1 + tn 2 et sin(θ) = (θ/2) 1 + tn 2 (θ/2) fournissent, en posnt t = tn(θ/2), une prmétristion rtionnelle du cercle :

4 (1,2tn(θ/2)) x(t) = 1 t2 1 + t 2 θ/2 y(t) θ y(t) = 2t 1 + t 2 x(t) L vntge de cette prmétristion est que t Q (x(t), y(t)) Q 2. Mis l reltion t = y 1 + x montre qu on mieux : t Q (x(t), y(t)) Q2. Tout point du cercle à coordonnées rtionnelles s écrit donc (x(t), y(t)) pour un certin t Q (à l exception de ( 1, ), qui correspond à t = ).

5 Conclusion : toute solution «non trivile» de l éqution 2 + b 2 = c 2 stisfit c = v2 u 2 v 2 + u 2 et b c = 2uv v 2 + u 2 pour un certin t = u Q ( ], 1[). v On montre lors fcilement que toute solution est de l forme = v2 u 2 δ k, b = 2uv δ k, c = v2 + u 2 k, δ où k, u et v sont trois entiers non nuls tels que u v, et δ désigne le pgcd de 2 et u 2 + v 2. On résolu un exemple d éqution diophntienne à l ide d une méthode géométrique. C est un problème en générl très dur, cr on ne dispose qu exceptionnellement d une prmétristion rtionnelle.

6 Longueur d rcs, pendule et intégrles elliptiques : A Trouver l longueur d un rc d ellipse compris entre les points A et B. b On utilise l prmétristion (non rtionnelle) de l ellipse d éqution x 2 + y2 = 1 donnée pr les fonctions trigonométriques : x(θ) = cosθ et 2 b2 y(θ) = b sinθ. L longueur de l rc est lors, vec k = 1 b 2 / 2, x (θ) 2 + y (θ) 2 dθ = 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ dθ = 1 k 2 sin 2 θ dθ = 1 k 2 u 2 (1 u2 )(1 k 2 u 2 ) du B

7 Trouver l période T d un pendule simple non morti (de msse m et de longueur l). θ θ l m Un biln énergétique mène à 1 2 ml2 θ2 = mgl(cos θ cosθ ), d où T 4 = T/4 dt = l 2g θ dθ = 1 l θ cosθ cosθ 2 g dθ. sin 2 θ /2 sin 2 θ/2 Le chngement de vrible sin(θ/2) = sin(θ /2)u donne l formule excte T 4 = l 1 du (k 2 = sin 2 θ g (1 u2 )(1 k 2 u 2 ) 2 ).

8 longueur d un rc d ellipse : L = période du pendule simple : T 4 = l g 1 k 2 u 2 (1 u2 )(1 k 2 u 2 ) du 1 1 (1 u2 )(1 k 2 u 2 ) du Ces intégrles sont deux exemples d intégrles elliptiques : on ppelle insi toute intégrle de l forme x R(t) dt, où est un polynôme de degré 3 ou 4, et R(t) une frction rtionnelle. Problème : on ne peut ps les exprimer à l ide de fonctions usuelles.

9 2 Des intégrles béliennes ux jcobiennes de courbes De mnière générle on ppelle intégrle hyperelliptique toute intégrle de l forme x R(t) dt, où est un polynôme de degré d et R(t) une frction rtionnelle. Si d = 2 : on sit très bien exprimer l intégrle en termes de fonctions x dt usuelles. On pr exemple = rcsint. Notons que l églité 1 t 2 sin( + b) = sincosb + cossinb entrîne l formule d ddition x dt y + 1 t 2 dt x 1 y2 +y 1 x 2 = 1 t 2 dt 1 t 2.

10 Si d = 3, 4 : on considère ici le cs des intégrles elliptiques. Fgnno et Euler ont étbli l formule d ddition suivnte x dt + y dt = F(x,y) dt ( ) 2 P(x) P(y) x y. vec F(x, y) = 1 4 x y Problème : cette formule n est ps générlisble telle quelle u cs d 5. L découverte du cdre déqut pour étendre cette identité est l objet de résultts fondteurs obtenus pr Abel, Jcobi, et bien sûr Riemnn.

11 Idée d Abel : on réécrit x R(t) dt sous l forme x R(t, y(t))dt, où R est mintennt une frction rtionnelle à deux vribles, et où y est l fonction implicite obtenue à prtir de l éqution : y 2 =. Remrque : une intégrle bélienne est une intégrle de l forme x R(t, y(t))dt, où y est définie implicitement pr une éqution polynomile quelconque : χ(t, y) =.

12 On est insi mené à étudier l ensemble C P des points (x, y) R 2 du pln vérifint l éqution y 2 = P(x). `y2 = (x + 8)(x + 6)(x + 4)(x + 2)(x 2)(x 4)(x 6)(x 8)

13 Il est nturel de chercher les solutions de l éqution y 2 = P(x) non ps seulement dns R 2 mis dns C 2, cr on ttrpe insi toutes les solutions. En générl toute éqution polynomile de l forme χ(x, y) = définit (dns le pln complexe) une «courbe lgébrique» C χ, ou «surfce de Riemnn». Un tel objet ressemble à un tore à g trous ; g est ppelé le genre de l courbe.

14 Pour l éqution y 2 = P(x), le lien entre le nombre de trous g et le degré d de P est connu : [ ] d + 1 g = 1. 2 ( y 2 = (x 8)(x 6)(x 4)(x 1)(x + 1) )

15 Vers une formule d ddition pour les intégrles hyperelliptiques. Abel considère lors non plus seulement des sommes de deux intégrles hyperelliptiques, mis des sommes de m d entre elles : x1 R(t) dt + x2 R(t) dt + + xm R(t) dt, où x 1,...,x m sont les (bscisses) points d intersection de C P vec une courbe vrible donnée pr une éqution F(x, y; 1,..., r ) =, dépendnt rtionnellement des i. Il montre que l somme des m intégrles béliennes est somme d une fonction rtionnelle en les i et du logrithme d une telle fonction. Abel ussi cherché les conditions sur R(t) entrînnt l indépendnce (en les i ) de l somme : il suffit que R soit un polynôme de degré g 1.

16 L description obtenue de l condition d indépendnce conduit à l énoncé fondmentl suivnt : pour tout m Z, pour tout polynôme R de degré g 1, l somme des intégrles hyperelliptiques P1 R(t) dt + P2 R(t) dt + + Pm R(t) dt où P 1,...,P m sont tous les points d intersection de C P et d une courbe vrible F(x, y; 1,..., r ) = est indépendnte des prmètres i. On peut lors ssocier à toute collection de points (P 1,...,P m ) les vleurs des g intégrles correspondnt à R(t) = t k, et ces intégrles prennent l même vleur en (P i ) i et en (Q i ) i dès que (P i ) i et (Q i ) i pprissent comme les points d intersection de C P et de deux courbes pprtennt à une même fmille de courbes (prmétrée comme plus hut).

17 On ppelle diviseur l donnée d une telle collection de points, deux collections étnt identifiées dès qu elles sont obtenues comme intersection de C P vec deux courbes d une même fmille (on dit qu elles sont linéirement indépendntes). L ensemble des diviseurs insi identifiés est noté Pic(C P ). Le résultt précédent ssure l existence d une ppliction bien définie Pic (C P ) C g / = Jc(C P ). Les trvux de Jcobi ont montré que les deux objets sont identiques. On explicité un objet géométrique, à svoir l jcobienne Jc(C P ) de l courbe C P, dont les points sont en bijection vec l ensemble des clsses de diviseurs sur C P.

18 3 Problèmes de modules Un problème de modules pprît nturellement lorsqu on étudie une certine clsse d objets : un espce de modules est un ensemble dont les points sont en bijection vec les objets étudiés (ceux-ci étnt u besoin identifiés suivnt une certine reltion d équivlence), l ensemble devnt être lui-même muni d une structure prticulière. Lorsque les objets sont ceux de l géométrie lgébrique, on cherche un espce de modules qui soit lui-même un espce lgébrique.

19 Modules des courbes On cherche à clsser les courbes lgébriques («lisses») de genre g : Mumford étbli l existence d un espce lgébrique M g dont les points correspondent exctement ux courbes de genre g. Si g 2, c est une vriété de dimension 3g 3. Si g = 1 c est tout simplement une droite. Jcobiennes de courbes Soit C une courbe lgébrique. On cherche un espce lgébrique dont les points correspondent exctement ux clsses de diviseurs sur l courbe. On vu que l jcobienne Jc(C) répond à ce problème.

20 Espces de modules de fibrés vectoriels sur une courbe Soit C une courbe lgébrique. Une clsse de diviseur sur C correspond à un fibré en droites L sur C. Un tel fibré est un espce u-dessus de C qui loclement est de l forme C C. On ppelle fibré vectoriel de rng r un espce E u-dessus de C qui est loclement de l forme C C r. On cherche lors un espce lgébrique dont les points correspondent ux fibrés vectoriels sur C de rng r donné. Si r = 1, l jcobienne convient. Pour r 2 Mumford et Seshdri ont construit des espces de modules M(r, d) pour les fibrés semi-stbles de rng r et de degré d.

21 Fibrés munis de structures supplémentires Soit C une courbe lgébrique. On peut considérer des fibrés vectoriels de rng r munis d une structure orthogonle, c est à dire que chque fibre est un espce vectoriel muni d une forme qudrtique. On prle lors de fibrés orthogonux de rng r (on d = ). Rmnthn construit un espce M orth (r) solution du problème de modules pour de tels fibrés. On peut ssocier nturellement à tout fibré orthogonl de rng r un fibré vectoriel de même rng en «oublint» l forme qudrtique. Cel donne une ppliction M orth (r) M(r, ) entre les espces de modules correspondnts : cette ppliction est l objet de m thèse.