CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

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1 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx / / fxv gx ) Soiet f, g E, d aprés la questio ci-dessus : V Vf, g Vf, Vg f, V Vg. V V est doc u edomorphisme symétrique de E. De plus V Vf, f Vf, Vf et si V Vf, f alors Vf et Vf f. V V est doc u edomorphisme symétrique défii positif de E. Si est alors ue valeur propre de V V et f u vecteur propre associé, alors : V Vf, f f doc. 3) V Vf f alors f est dérivable sur, et f f Vf et e dérivat ecore ue fois : f. D où f est solutio sur, de l équatio différetielle : y 1 y. f état cotiue sur, alors f l est aussi et doc f est de classe C sur,. V Vf f alors : f / et f Vf alors f. 4) Si, est ue valeur propre de V V, alors d aprés la questio prècèdete, il existe deux réels A et B tels que : x, ; f x Acos x Bsi x. f x A si x B cos x et puisuque f alors B. D où : x, ; f x Acos x et puisuque f / alors Il existe alors u etier aturel, tel que 1 1. Posos alors : ; x, ; g x cos 1x. Vg x x cos 1tdt si1x 1 et V Vg x x / si1t 1 E coclusio les valeurs propres de V V sot les 1 1 associé à chaque, est la droite vectorielle egedrée par g. B. Théorème d approximatio de Weirstrass 1 u etier aturel impair. dt cos1x. 1 avec, et l espace propre X 1, X,..., X VAR idépedates suivat ue même loi de Beroulli de paramètre x. C est à dire : PX j 1 x et PX j 1 x. S X 1 X... X ; Z S et B f x Ef Z. 5) S suit la loi biômiale de paramètres et x. Autremet dit : S est à valeurs das, et, ; PS x 1 x. ES 1 ES 1 ES x x 1 x 1 x x ES x 1x x 1 x x x 1 1 x x. 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x x 1x 1 x 1 x

2 VS ES ES x1 x. 6) x x 1 x ZEZ D aprés l iégalité de Bieaymé-Tchebychev : PZ P Z EZ x x 1 x VZ x1x. L étude de la foctio x x1 x sur, 1, doe que : x, 1 ; x1 x 1 4. Fialemet : ; x x 1 x ) 1 x 1 x B f x EfZ Alors : B f x fx x 1 x f PS et fx f x 1 x f fx. x 1 x x 1 x fx. f état cotiue sur le segmet, 1, doc uiformémet cotiue sur ce segmet. Soit, il existe, pour tous x, y, 1, x y fx fy. B f x fx x x 1 x f fx x x 1 x f fx x x 1 x f fx x 1 x. f état cotiue sur le segmet, 1, doc borée sur ce segmet. Soit M sup ft. t 1 Alors d aprés la questio précèdete : lim x M M, il existe u etier aturel N tel que : N ;. 4 4 D où : N ; x, 1 ; B fx fx. B f coverge alors vers f uiformémet sur, 1. C. Développemet de V Vf e série trigoométrique x 1 x f fx M 4. 8) Das cette questio, puisuque, F est ue suite croissate de sous espaces vectoriels de, il suffit de motrer que pour tout, h t cos t défiit u élèmet de F. cos t e it e it 1 e it 1 cos t.

3 puisque, ;,, o déduit que h F. 9) c, c m costcosmtdt 1 cos mt cos mtdt. Si m ; c, c m. Si m ; c, c. Si m ; c, c. O pose : 1 et 1 ;. La suite c est orthoormale. Soit f, et pour tout x 1, 1 ; gx farccosx. g est cotiue sur 1, 1, doc d aprés le théorème de Weirstrass, il, existe ue suite P de polyômes réels qui coverge vers g uiformémet sur 1, 1. Soit, il existe N u etier aturel tel que : N ; x 1, 1 ; gx P x. N ; y, ; gcosy P cosy fy P cosy. f est alors limite uiforme sur, d ue suite de vecth ; vectc ;. ( Questio 8 ) Fialemet : vectc ; est dese das, pour la orme de la covergece uiforme. D autre part : f ; f ft dt f. D où vectc ; est dese das pour la orme., alors la suite c est orthoormale totale. 1) Soit f, d aprés le théorème de Pythagore : f P F f f PF f f f, c La suite f P F f est doc décroissate. D autre part : Soit, daprés la questio 9, il existe vectc ; tel que : f. Il existe N et des réels,..., N tels que : c F N. Mais f P FN f f. D où il existe u etier aturel N, tel que : N ; La suite f P F f N est doc covergete vers. f P F f f P F N f. O suppose maiteat que la suite P F f coverge uiformémet sur, vers ue foctio g, puisque chaque P F f est cotiue sur,, g l est aussi, doc g. Doc ; P F f g P F f g la suite P F f coverge alors vers g pour la orme., alors par uicité de la limite : f g. 11) Pour tout x,, et tout t,, g xt maxx, t si t g x t si t. g x t maxx, t si t maxx, t si t. C est clair que g x est cotiue sur,, doc g x. P F g x g x, c c. / g x, c gx tcostdt gx tcostdt gx tcostdt. / / O pose : u t. gx tcostdt / gx ucos udu 1 / gx tcostdt.

4 g x, c 1 1 / gx tcostdt. Remarquos que : g x, c. / x gx tcos 1tdt xcos 1tdt / x tcos 1tdt / gx tcos 1tdt x si1t x 1 t si1t 1 / / si1t x 1 x dt cos1x 1. Fialemet : g x, c et g x, c 1 cos1x 1. P F g x 1 1 g x, c 1 c cos1x 1 c 1. La série cos1x c 1 1 t cos1x cos 1t coverge ormalemet et 1 uiformémet pour t,, alors d aprés la questio 1, la suite P F g x coverge vers g x uiformémet sur,. Pour tout t,, g xt lim P F g x t maxx, t 4 cos1x cos 1t. 1 1) Soiet f E et x,. Vf x x ftdt V Vf x x / Vf tdt / / tvf t x tftdt x / x ftdt x ftdt x tftdt V x Vf x xftdt / x tftdt / maxx, tftdt. Utilisos alors la questio précèdete : V Vf x / 4 cos1x cos 1tftdt 1 f état cotiue sur le segmet,, doc borée sur ce segmet, la série à l itérieur de l itégrale est alors ormalemet et uiformémet covergete pour t, : D où V Vf x 4 / cos1t ftdt cos 1x a 1 f cos 1x Avec : ; a f 4 / cos1t ftdt. 1 D. Équatios différetielles du tupe Stur-Liouville Soit h E,, et l équatio différetielle : S y y h y/ et y. Pour tout, E, défii par : t, ; t cos 1t. 13) Soiet et f E. D aprés la partie A, o a : V Vf, f, V V et V V 1 1 ; alors : V Vf, 1 1 f,. 14) Soit g E, par passsage à la primitive s aulat e et puis à la primitive s aulat e de cette primitive, o obtiet : g est solutio de S g g h g/ et g g Vg Vh g/ g est solutio de S g V Vg V Vh. Si alors g est ue solutio de S et ; g V Vg V Vh,.

5 E utilisat alors la questio précèdete : g, D où 1 1 g, 1 1 h,. 1 g, 1 1 h,. D autre part, e utilisat la questio 1 : g V Vg V Vh avec covergece ormale et uiforme de cette série de somme g. Pour tous, m ;, m 4 Alors : pour tout etier aturel m, / cos 1tcosm 1tdt si m a g a h 1 si o. g, m a g a h, m a mg a m h. Fialemet : g g,. 15) Pour tout t, ; 1 1 h, t 1 1 h où l o a utilisé l iégalité de cauchy Schwarz sur E mui de so produit scalaire. D où la série 1 1 h, coverge ormalemet sur,. U raisoemet comme celui appliqué à g das la questio 14, permet de dire que h h, avec covegece ormale et uiforme sur,. gx 1 1 h, x aisi que la série de ses dérivées terme à terme 1 1 h, si 1x et la série de ses dérivées secodes terme à terme 1 h, 1 x ; sot des séries de foctios de classe C aussi ormalemet covergetes sur,. Alors g est de classe C sur, et g g g 1 h, 1. h, h. de plus g et g. aisi g est ue solutio de S. 16) O suppose ici que p 1 pour u certai etier aturel p. S y y h y et y. L équatio homogèe associée à ce système a pour solutio géèrale : y H t cosp 1t sip 1t La solutio géérale de l équatio sas coditios iitiales est d aprés les coditios de Lagrage de la forme : zt tcosp 1t tsip 1t avec : tcosp 1t tsip 1t tsip 1t tcosp 1t ht p1 t htsip1t p1 t htcosp1t p1 ; t a t t b t hxsip1x p1 hxcosp1x p1

6 t hxsip1x t hxcosp1x zt a cosp 1t b p1 p1 sip 1t. z t p 1 a t htsip1t p1 z p 1b. zt a t hxsip1x p1 hxsip1x p1 cosp 1t htcosp1t p1 sip 1t p 1 b t hxcosp1x p1 sip 1t cosp 1t t hxcosp1x p1 sip 1t. cosp 1t z 1p1 hxcosp1x. p1 Si h, p, le système S a pas de solutio. Si h, p, le système S admet ue ifiité de solutios doées par : Z a a, avec : a ; t, ; Z at a t hxsip1x p1 cosp 1t t / hxcosp1x p1 sip 1t. Remarque : (i) U travail aalogue à celui de la questio 15), prouve que si h, p, alors la foctio gx 1 1 h, x p défiit ue solutio de S, et par coséquet pour tout réel a, la foctio g a x gx a cosp 1x est aussi ue solutio de S. L équatio S admet alors ue ifiité de solutios. (ii) Si g est ue solutio de S, alors d aprés la questio 14) 1 p1 g, p 1 p1 h, p doc écessairemet h, p. S admet doc pas de solutio lorsque h, p. Questio : Quel lie existe etre les foctios Z a et g a? O pourra utiliser le théorème de Cauchy Lipschitz.