EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures

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1 SESSION 1 MPP13 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Duée : 4 heues NB : Le candidat attachea la plus gande impotance à la claté, à la pécision et à la concision de la édaction Si un candidat est amené à epée ce qui peut lui semble ête une eeu d énoncé, il le signalea su sa copie et deva pousuive sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu il a été amené à pende Les calculatices sont autoisées Le sujet compote quate paties indépendantes Les paties 1 et potent su la mécanique (de la page à la page 8) Les paties 3 et 4 potent su la themodnamique (de la page 9 à la page 14) 1/14 Toune la page SVP

2 MÉCANIQUE La pemièe patie peut ête vue comme l étude du mouvement unidiectionnel d un point matéiel elativement à un epèe tounant La seconde patie concene le mouvement plan su plan d un solide simple, ce mouvement s effectuant pa oulement sans glissement dans une pemièe phase puis avec glissement dans une seconde phase PARTIE 1 Une centifugeuse est un appaeil destiné à sépae la phase solide d une suspension liquide-solide Cette sépaation a pou oigine la difféence des masses volumiques du liquide et des paticules solides en suspension dans le fluide La patie essentielle de cet appaeil est constituée d un oto lequel est entaîné en otation à vitesse élevée, autou de son axe de smétie, supposé ici vetical Ce oto suppote une séie de tubes à essais identiques dans lesquels se situe la suspension à taite Soit R un epèe lié au laboatoie et considéé comme galiléen Soit R un epèe mobile (elativement à R ) d axes Ox, O, O, les vecteus unitaies associés s écivant e, e, e Les axes veticaux des deux epèes coïncident, R est animé, elativement à x R, d un mouvement de otation unifome autou de la veticale Le vecteu vitesse otation de R elativement à R est noté Ω = Ωe (voi schéma n 1a) Soit (A) une doite, fixe elativement à R, située dans le plan O Cette doite est oientée pa le vecteu unitaie e, l angle situé ente les diections de e et e est noté α (voi schéma n 1b) On va considée un point P se déplaçant su la doite (A), la position de P étant epéée pa = (t) tel que OP = e On notea g = g e le vecteu accéléation due à la pesanteu g e O e e x x e O e e α P (A) Schéma n 1a Schéma n 1b Schémas n 1 /14

3 Questions péliminaies 11 Détemine les composantes suivant e x, e, e des vecteus a, ac, ae qui sont espectivement les vecteus accéléation elative de P pa appot à R, accéléation de Coiolis de P elativement à R et accéléation d entaînement de P elativement à R 1 Établi l expession du poduit scalaie e a où p a p désigne le vecteu accéléation de P d elativement à R Cette expession sea founie en fonction de,, Ω et α dt Modélisation du mouvement d une paticule On considèe maintenant une paticule solide de masse volumique ρ s et de volume V, cette paticule se situe au sein d un fluide de masse volumique ρ difféente de ρ s Le fluide est luimême contenu dans un tube clindique fixé su le oto de la centifugeuse Le epèe R est supposé lié au oto et le cente de masse de paticule sea le point P, défini pécédemment (voi schéma n ) (A) O e α P Tube Fluide 1 Schéma n 3/14 Toune la page SVP

4 Étant donné les dimensions du tube, on va considée dans la suite que le mouvement de P ne s effectue que selon l axe longitudinal du tube, axe coïncidant avec la doite (A) définie pécédemment La paticule est soumise aux tois foces qui sont espectivement : son poids pope, A la poussée d Achimède F et une foce F opposée au mouvement que l on peut intepéte A comme étant due à la viscosité du fluide La poussée d Achimède s écit : F = V gad ( p) où p désigne la pession en un point de coodonnées x,, du fluide On a : 1 ste p = p ( x,, ) = ρ Ω ( x + ) ρ g + c Remaques : ce fluide est à l équilibe elativement à R, équilibe supposé non petubé pa le mouvement de la paticule, l expession de p fait inteveni une constante qui ne nécessite pas d ête pécisée dans ce poblème La foce F est expimée sous la fome F = k v où v désigne la vitesse de P elativement à R, k étant une constante phsique supposée positive 13 Donne les expessions des pojections suivant e des tois foces indiquées pécédemment 14 D apès les ésultats obtenus aux questions 1 et 13, établi l équation difféentielle généale d du mouvement de la paticule, équation faisant inteveni ρ s, ρ, Ω, α, g, k/v,, et dt d dt 15 L équation difféentielle obtenue possède une solution notée e coespondant à une position d équilibe de la paticule Établi l expession de e en fonction de g, α et Ω 16 Pou α = 45, g = 1 ms - et Ω = 5 toumin -1, calcule la valeu de e 17 Dans un pemie temps, on cheche une solution simplifiée du mouvement et pou cela on va néglige l influence de la foce F La masse volumique de la paticule en suspension étant supposée supéieue à la masse volumique du fluide, on poua utilement pose ρ ω = 1 Ωcos α Donne la solution généale de l équation difféentielle du ρs mouvement, en supposant qu à l instant t = s, la paticule se situe en = sans vitesse elative Cette solution sea écite en fonction de, e, ω et t 18 Le temps mis pa la paticule pou passe de la position = (haut du tube) sans vitesse elative initiale à la position 1 (fond du tube) étant noté T, expime T en fonction de ω,, 1, e Application numéique pou = 1 cm et 1 = cm Constate que e est négligeable devant ou 1 Donne la valeu de T coespondant aux valeus numéiques de la question 16 et pou 4/14 ρ ρ s = 1 1,1 ρ s

5 19 Dans cetaines situations, la foce F peut joue un ôle non négligeable ; on va echeche maintenant une solution exacte de l équation difféentielle du mouvement On poua pose : k λ = et ρ s V ω = ω + λ Recheche les expessions des deux acines de l équation caactéistique en fonction de λ et ω Quels sont les signes de ces deux acines? 11 Dans des conditions initiales identiques à celles de la question 17, détemine l expession de (t) en fonction de, e, ω, λ et t 1 e 111 Établi l expession du appot passe de à 1 e en fonction de λ, ω et T, où T est le temps mis pou 1 e 11 À pati du gaphe n 1 epésentant les vaiations du appot e en fonction de T, donne la valeu de T (ce gaphe est tacé pou λ = 5 s -1 et les valeus numéiques pécédemment données) 3,5 5 (1 - e)/( - e) (1-e)/(-e) 1,5 15 1,5 5, ,5 5, ,5 4 4, Ten T en s Gaphe n 1 5/14 Toune la page SVP

6 PARTIE Soit R un epèe fixe lié au laboatoie d axes Ox, O, O, les vecteus unitaies associés étant notés e, x, e e ( e vetical ascendant) On notea g = g e le vecteu accéléation due à la pesanteu Un disque D homogène de masse m, de aon, de cente G, peut oule dans le plan O, su une suface clindique de aon R, d axe ( e x ) que e = OG ( R + ) O, (voi schéma n 3) Soient deux vecteus unitaies tels, e θ se déduisant de e pa une otation de π + ad autou de l axe ( e x ) O, On appelle θ l angle situé ente les vecteus e et e ; de même, on appelle ϕ l angle situé ente e et GA, A désignant un point du disque situé à la péiphéie de celui-ci (dans ces conditions, le vecteu d vitesse de otation instantanée du disque dans R s écit ϕ e x dt ) On appelle que le moment 1 d inetie du disque elativement à un axe ( G, e x ) s écit J = m Les inteactions du disque avec l ai ambiant seont toujous négligées Pou les questions allant de 1 à 9, on supposea que le disque oule sans glisse su la suface clindique ϕ Disque D A G θ e e O e e θ Schéma n 3 6/14

7 dθ dϕ 1 Établi la elation liant et encoe appelée elation de oulement sans glissement dt dt dθ Expime l énegie cinétique du disque dans R, en fonction de m,, R et dt 3 Détemine l expession de l énegie potentielle de pesanteu du disque en fonction de m, g,, R, et θ 4 Donne l expession de l énegie totale (ou énegie mécanique) du disque Apès avoi justifié que cette quantité est constante au cous du mouvement, en déduie une elation donnant dθ en fonction de θ, θ, g,, R, sachant que les conditions initiales du mouvement sont dt les suivantes : θ ( ) = θ >, dθ dt ( ) = d θ 5 À pati des ésultats qui pécèdent, établi l équation difféentielle du mouvement liant, dt θ, g,, R 6 Le disque est soumis à son poids m g ainsi qu à la éaction de la suface clindique, éaction notée R = Ne + T e θ D apès le théoème de la ésultante dnamique, établi les dθ d θ expessions donnant Τ et N en fonction de m, g,, R, θ,, dt dt 7 D apès 4 et 5, établi les expessions de Τ et N en fonction de m, g, θ et θ 8 Le coefficient de fottement disque/suface clindique a pou valeu µ =, ; pou quelle valeu de θ obseve-t-on la fin du mouvement de oulement sans glissement? (le gaphe n epésente les vaiations du appot T / N tacé pou θ = 1 ),5 5,45 45,4 4,35 35,3 3 -T/N -T/N,5 5,,15 15,1 1, θ en degés Gaphe n 7/14 Toune la page SVP

8 9 Véifie que, pou cette valeu, le disque ne s est pas encoe sépaé de la suface clindique 1 On donne =,1 m et R =,9 m Afin de simplifie les calculs, on poua pende g = 1 ms Détemine les valeus numéiques de θ, θ, ϕ et ϕ à l instant pécédant immédiatement la fin du oulement sans glissement 11 Suite à cette phase de oulement sans glissement, on suppose que le disque va oule et glisse su le clinde Au cous de cette seconde phase, on admetta que T est négatif Donne l expession de T en fonction de µ et de N (supposé positif) 1 En utilisant le théoème du moment appliqué en G, donne une équation liant ϕ, µ, N, et J 13 En utilisant le théoème de la ésultante dnamique appliqué au disque, donne deux équations liant θ, θ, µ, N, m, g,, R et θ Note que l une des équations obtenues est identique à celle établie à la question 6 14 Pa élimination ente ces deux denièes équations, établi l équation difféentielle pou la vaiable θ (cette équation va faie appaaîte θ, θ, θ, µ, g,, R ) 15 En supposant, los de la tansition du oulement sans glissement au oulement avec glissement, qu'il a continuité de θ et θ, calcule la valeu de θ à l instant suivant immédiatement le début de la phase de oulement avec glissement 8/14

9 THERMODYNAMIQUE Les centales nucléaies de la généation 6 pévues ves les années 3 devont ête sûes et pésente un endement impotant Une option étudiée pami 6 gands choix est le éacteu à tès haute tempéatue efoidi à l hélium Ce tpe de éacteu offiait l avantage d amélioe l efficacité de la convesion énegétique, compte tenu de la tempéatue élevée de la souce chaude et de pemette en sus la poduction d hdogène Dans ces installations de fote puissance, on utilise le ccle de Baton (ou ccle de Joule) pou extaie le tavail et, en fin de compte, poduie de l électicité Ce poblème compote deux paties indépendantes La pemièe patie concene le ccle moteu de Baton ainsi qu une amélioation possible pou augmente l efficacité La deuxième patie est elative aux tansfets themiques dans le cœu de la centale Le ga utilisé dans la centale est l hélium, dont les caactéistiques sont : C Vm = 3R/, C pm = 5R/ avec R = 8,314 JK -1 mol -1 M He = 4, 1-3 kgmol -1 Dans l ensemble du poblème, le ga est supposé pafait PARTIE 3 31 Ccle de Baton Figue n 1 : Ccle de Baton Un ga pafait cicule dans une installation Il échange du tavail avec l extéieu dans le compesseu et la tubine Le tavail founi pa le passage du ga dans la tubine set d une pat à faie fonctionne le compesseu (tubine et compesseu montés su le même axe) et d aute pat à fabique de l électicité Les tansfets themiques ont lieu dans des échangeus Le fluide, ici un ga d hélium, décit le ccle de Baton Ce ccle est constitué de deux isobaes et de deux isentopiques : - compession adiabatique évesible du point 1 avec une tempéatue T 1 = 3 K et une pession p 1 = 1 5 Pa ves le point à la pession p = Pa, - détente isobae du point ves le point 3 à la tempéatue T 3 = 13 K, - détente adiabatique évesible de 3 ves 4 (de p 3 = p à p 4 = p 1 ), - compession isobae de 4 ves 1 9/14 Toune la page SVP

10 311 Pou une tansfomation isentopique, justifie que la elation ente T et p peut se mette sous T la fome : = Constante p β C pm Expime β en fonction de γ (avec γ = ) C 31 Détemine les tempéatues T et T 4 Effectue l application numéique 313 Tace le ccle de Baton su un diagamme p = f (V m ) Vm 314 Calcule les tavaux W 1 et W 34 échangés avec l extéieu (tavaux utiles eçus) los des tansfomations isentopiques 1 et 34 Rappel : pou les sstèmes ouvets, on a : dhm = δwutile, m + δ Qm avec δ Wutile, m = Vmdp Effectue l application numéique pou une mole d hélium 315 Expime les tansfets themiques eçus Q 3 et Q 41 Effectue l application numéique pou une mole d hélium 316 Monte que l efficacité se met sous la fome : 1 p e = = 1 avec p β p1 ( p ) 317 Calcule numéiquement cette efficacité et compae à l efficacité de Canot obtenue en utilisant les deux tempéatues extêmes du ccle 318 Expime le tavail eçu au cous d un ccle à pati des tempéatues extêmes T 3 et T 1, de R (ou C p ), de β et du appot des pessions p 319 Monte que la valeu absolue du tavail passe pa une valeu maximale en fonction du appot des pessions pm pou : 1 T 3 β pm = T1 Calcule numéiquement pm et l efficacité dans ce cas 3 Ccle de Baton avec égénéateu L utilisation d un égénéateu (ou écupéateu de chaleu) pendant les deux tansfomations isobaes peut se évéle judicieux dans cetaines conditions que nous allons détemine Si la tempéatue à la sotie de la tubine est plus élevée que la tempéatue du ga compimé à la sotie du compesseu, une patie de l énegie du ga sotant de la tubine peut ête cédée (en ecouant à un égénéateu) au ga allant ves l échangeu chaud et ainsi amélioe l efficacité du ccle de Baton On suppose que les tansfets themiques associés au égénéateu sont intenes 1/14

11 Figue n : Ccle de Baton avec égénéateu Dans le ccle, nous ajoutons deux lettes x et afin d isole la patie échangée dans le égénéateu Le ccle est donc composé comme indiqué su la figue n : - compession adiabatique évesible du point 1 ves le point, - détente isobae du point ves le point x dans le égénéateu puis du point x au point 3 en contact avec le themostat chaud, - détente adiabatique évesible du point 3 ves le point 4, - compession isobae du point 4 ves le point dans le égénéateu puis du point au point 1 en contact avec le themostat foid En supposant un égénéateu pafait, on a : Tx = T4 et T = T 31 Calcule algébiquement les tansfets themiques molaies Q x3 et Q 1 povenant des themostats L application numéique n est pas demandée 3 En déduie l efficacité et la mette sous la fome : T β 1 e = 1 ( p ) T3 Effectue l application numéique avec p 1 = 1 5 Pa et p = Pa 33 Pou quelle valeu de pe l efficacité avec égénéateu est égale à l efficacité sans égénéateu? Véifie alos que T = T 4, ce qui veut die que le égénéateu ne joue plus aucun ôle 34 Calcule numéiquement pe dans ce cas et explique ves quelle valeu devait tende p pou atteinde l efficacité de Canot Pou paveni, on utilise un étagement de la compession et de la détente conduisant au ccle d Eicsson 11/14 Toune la page SVP

12 PARTIE 4 : Cœu et dimensionnement de la centale nucléaie 41 Les paticules de combustible nucléaie Le combustible est constitué de petites sphèes multicouches appelées paticules TRISO (voi figue n 3) Le cœu de matéiau fissile est entoué de plusieus couches successives aant pou ôles d assue la potection du noau et le confinement des poduits de fission Nous pendons comme matéiau pou le cœu et la couche de céamique non pas un oxde d uanium UO et un cabue de silicium SiC comme déjà utilisé dans des centales nucléaies mais un cabue d uanium UC et un cabue de iconium ZC pou leus popiétés phsiques plus intéessantes PC-dense ZC PC-dense C-poeux Coeu Matéiau fissile UC Figue n 3 : Vue et coupe d une paticule TRISO Dans cette patie, on considèea que les popiétés phsiques sont isotopes dans l espace Couche Position Raon extéieu (m) Conductivité themique λ (Wm -1 K -1 ) Cabue d uanium (UC) < 1 1 = Cabone poeux 1 < < = ,5 Cabone poltique (PC) dense < < 3 3 = Cabue de iconium (ZC) 3 < < 4 4 = Cabone poltique (PC) dense 4 < < 5 5 = Tableau n 1 : caactéistiques de couches composant la paticule TRISO La puissance pa unité de volume poduite sous fome d énegie themique dans le matéiau fissile UC sea notée σ Q La conductivité themique de la couche numéotée i sea notée λ i 411 Donne la loi de Fouie en indiquant les unités des difféentes gandeus 41 L équation de la chaleu pou le cœu en tenant compte du teme de poduction s écit du = div( jq ) +σ Q dt Justifie cette équation 1/14

13 413 En égime stationnaie, à quoi se éduit cette équation? 414 Sachant que le laplacien en coodonnées sphéiques d un champ scalaie ψ (, θ, φ ) vaut : 1 1 ψ ψ ψ ψ ( θ ) 1 ψ = = + sin + sin θ θ θ sin θ φ Détemine T() pou 1 On notea T la tempéatue en = m ( ) 415 Calcule numéiquement la vaiation de tempéatue ente les abscisses = et = 1 La puissance volumique σ Q vaut 5, 1 9 Wm -3 Afin de calcule la tempéatue dans les difféentes couches de la paticule TRISO, nous allons utilise le concept de ésistance themique 416 Donne la définition de la ésistance themique R th d un matéiau soumis à un écat de tempéatue T 1 T (T 1 > T ) impliquant un flux themique Φ th (Φ th > selon l axe décoissant des tempéatues) 417 Calcule le flux themique en coodonnées sphéiques et le mette sous la fome : dt Φ th = B, 1 d où la constante B est à expime en fonction des données du poblème On appelle que le ψ, θ, φ s écit en coodonnées sphéiques : gadient d un champ scalaie ( ) ψ 1 ψ 1 ψ ψ = e + eθ + eφ θ sin θ φ 418 Calcule la ésistance themique R th,1 d une coque compise ente un aon 1 et ( 1 < ) 419 Calcule numéiquement les ésistances themiques des 4 coques, R th,1, R th,3, R th,34 et R th, En déduie les tempéatues aux intefaces T 1, T, T 3 et T 4 si la tempéatue extéieue T 5 vaut 13 K ( ) ( ) 4 Dimensionnement de la centale La centale nucléaie a une puissance themique de P th = 6 MW et une puissance électique de P e = 3 MW 41 À pati de la puissance volumique σ Q = 5, 1 9 Wm -3 du combustible nucléaie, détemine le nombe de paticules TRISO nécessaies au fonctionnement du éacteu Quel volume en m 3 cela epésente-t-il (voi caactéistiques du cœu et de la paticule TRISO dans le tableau n 1, page 1)? On considèea un empilement cubique simple des paticules TRISO (paticules aux sommets du cube) 13/14 Toune la page SVP

14 4 Que vaut l efficacité du ccle themodnamique de la centale en considéant l absence de pete los de la convesion du tavail moteu en énegie électique? Pou estime le débit d hélium D, nécessaie au fonctionnement de l installation, on suppose une installation idéale fonctionnant su le ccle d Eicsson (fin question 34), avec des échanges extenes uniquement su les étagements coespondants à des pseudo-tansfomations isothemes 43 Détemine le tansfet themique Q C nécessaie pou faie passe une mole d hélium dans un sstème ouvet de la pession p = Pa à la pession p 1 = 1 5 Pa sachant que la tempéatue constante du ga est imposée pa le contact avec le themostat T C = 13 K (voi fin de la question 314) 44 En déduie le débit d hélium D, en kgs -1, pemettant le fonctionnement de l installation Fin de l'énoncé 14/14