9. Orthogonalité dans l espace

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1 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., Orthogonlité ns l espce xpliciter les svoirs et les procéures 1. omien rêtes?. Quelle que soit l rête choisie, il y 4 rêtes prllèles à celle-ci (y compris l rête choisie, prllèle à elle-même).. Quelle que soit l rête choisie, il y 4 rêtes perpeniculires à celle-ci. c. Quelle que soit l rête choisie, il y 4 rêtes orthogonles et non perpeniculires à celleci ; il y onc 8 rêtes orthogonles à l rête choisie.. Quelle que soit l rête choisie, il y 4 rêtes guches vec celle-ci. 2. émonstrtions rrtum (tirge 201) : l émonstrtion e l énoncé se se sur l énoncé ; on permute onc les eux énoncés.. r un point onné, on ne peut mener qu un seul pln perpeniculire à une roite onnée. ypothèse roite ; point : et ; est unique. émonstrtion 1 er cs : Soient et eux plns istincts contennt l roite. r, ns, on mène et pr, ns, on mène (figure cicontre). Soit π = (, ) π. Le pln π est perpeniculire à l roite cr cette roite est perpeniculire à eux roites prticulières pssnt pr son pie ns le pln. e pln est unique ; supposons qu un utre pln γ, pssnt pr, soit ussi perpeniculire à l roite. Un utre pln, soit µ, mené pr l roite, couperit lors les plns et éfinis ci-essus suivnt eux roites Q et R perpeniculires à l roite et situées ns un même pln µ, ce qui est impossile. onc π est le seul pln perpeniculire à l roite u point. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 1

2 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., e cs : Soit (, ) =. ns, pr, on mène. ns un pln quelconque comprennt l roite, on mène pr l roite q perpeniculire à. Soit (, q) π = ; ce pln π est perpeniculire à, cr est perpeniculire à eux roites pssnt pr son pie ns ce pln. Le pln π est unique ; supposons qu un utre pln mené pr soit ussi perpeniculire à l roite et soit le point e percée e l roite ns ce pln. ès lors l roite serit perpeniculire à et à et on pourrit ns le pln (, ) = mener eux perpeniculires à pr le point ce qui est impossile. onc π est le seul pln perpeniculire à l roite mené pr le point.. r un point onné, on ne peut mener qu une seule roite perpeniculire à un pln onné. ypothèse pln ; point : et ; est unique. émonstrtion 1 er cs : Il suffit e construire une roite perpeniculire à eux roites u pln pssnt pr. Soit une roite quelconque u pln : pssnt pr. r le théorème émontré ci-essus, on sit que, pr, on peut mener un et un seul pln perpeniculire à l roite. e pln coupe le pln suivnt. ns le pln, on mène perpeniculire à en ; est l perpeniculire cherchée cr pr construction et cr et. L roite est unique ; supposons qu il y it en eux perpeniculires et u pln. Le pln (, ) couperit le pln suivnt une roite q ; on urit q et q, ce qui est impossile. onc l roite est l seule roite perpeniculire u pln en. Β q π hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 2

3 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., e cs : Soit une roite quelconque u pln ; pr, on mène un pln. Soit le point e percée e ns et l roite intersection es plns et. On et ns le pln, on mène pr l roite ; il fut vérifier que l roite est l perpeniculire cherchée. Soit R le point e percée e ns le pln. Soit un point quelconque u pln. Il fut émontrer que R, ce qui revient à émontrer que le tringle R est rectngle en R, c est-à-ire que = R + R (théorème e ythgore). R Le tringle est rectngle, onc = + (1). Les tringles R et R sont rectngles, onc = R R et = R + R. n remplçnt ns (1), on otient : = R + R R R ; on onc étli que le tringle R est rectngle en R, ce qui prouve que R. L roite est onc perpeniculire u pln, cr elle est perpeniculire à eux roites pssnt pr son pie ns le pln. L roite est unique ; supposons qu on puisse mener eux roites et perpeniculires u pln. Le pln (, ) couperit lors le pln suivnt une roite qui serit perpeniculire ux roites et, issues e, ce qui est impossile si. r le point, on ne peut onc mener qu une seule roite perpeniculire à un pln onné. c. Si une roite est perpeniculire à eux plns, ces eux plns sont prllèles. ypothèses - plns et ; - roite : et // émonstrtion Si =, le théorème est imméit. Soit (voir figure). émonstrtion pr l sure : si et ont un point commun, on pourrit mener pr eux plns istincts perpeniculires à une même roite, ce qui est impossile (énoncé e l exercice 2 ). onc //. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce

4 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., Si eux plns sont prllèles, toute roite perpeniculire à l un est perpeniculire à l utre. ypothèses - plns et ; // - roite : en émonstrtion L roite perce le pln en un point (théorème 8.7). ns, pr le point, on mène une roite quelconque. Le pln (, ) coupe le pln suivnt une roite prllèle à (théorème 8.6) pssnt pr. uisque, est perpeniculire à toute roite e et onc et onc puisque //. L roite, perpeniculire à une roite quelconque u pln, et pssnt pr son pie ns ce pln, est perpeniculire à toute roite pssnt pr son pie ns ce pln et est onc perpeniculire à ce pln. e. Si eux roites sont prllèles, tout pln perpeniculire à l une est perpeniculire à l utre. ypothèses - roites et : // - pln : en émonstrtion L roite perce le pln en un point. our émontrer que, il suffit e émontrer que est perpeniculire à eux roites sécntes pssnt pr son pie ns le pln. omme, on sit que est perpeniculire à toute roite pssnt pr son pie ns le pln onc ; comme //, on en éuit que. ns le pln, on trce pr l roite e ; cette roite est perpeniculire u pln (, ) (théorème es trois perpeniculires, à émontrer en exercice 10), qui est en fit le pln (, ). ès lors, e. L roite est onc perpeniculire ux eux roites et e, qui pssent pr son pie ns le pln, elle est onc perpeniculire à ce pln. e hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 4

5 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 f. Si eux plns sont perpeniculires, tout pln prllèle à l un est perpeniculire à l utre. ypothèses - plns et π : π - pln : // π émonstrtion Si =, le théorème est imméit. Soit. π π : (éfinition 9.). ette roite est onc orthogonle à toute roite incluse ns le pln. Soient c l roite intersection es plns π et, et le point e percée e ns le pln. r, on mène ns, l roite perpeniculire à c. On π cr est perpeniculire à eux roites sécntes e π ; en effet, ( π ) et c pr construction. π Soit un point quelconque e ; pr, on peut mener une et seule roite prllèle à l roite. ette roite est tout entière ns, sinon elle urit un point commun vec le pln et les plns et ne serient ps prllèles. r l propriété e l exercice 2 e, on π ; le pln est onc perpeniculire u pln π cr il contient onc une roite perpeniculire à ce pln. g. Si eux plns sont perpeniculires, toute roite perpeniculire à l un est prllèle à l utre. ypothèses - plns et π : π - roite : // π émonstrtion (pr l sure) Supposons que l roite ne soit ps prllèle u pln π, c est-à-ire que l roite perce le pln π en un point. omme les plns et π sont perpeniculires, on peut mener pr une roite perpeniculire à. u point, on urit onc eux perpeniculires (les roites et ) u pln, ce qui est impossile. onc // π. Α π hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 5

6 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 h. Si eux plns sécnts sont perpeniculires à un même troisième, leur intersection est perpeniculire à ce troisième. ypothèses - plns et : = - pln π : π et π émonstrtion π π : et π π : et π Les roites et sont prllèles (on le vérifie pr l sure, voir propriété e l exercice 2 k). π Soit un point e l intersection es eux plns. ; pr, on mène une roite p π. On p// et p//. Les plns (, ) et ( p, ) sont confonus vec le pln ; il en est e même pour les plns (, ) et ( p, ), confonus vec le pln. L roite p est commune ux eux plns ; elle est onc confonue vec leur intersection. omme p π et = p, on π. i. eux plns sont prllèles si et seulement si l un eux est perpeniculire à une roite perpeniculire à l utre. onition nécessire ypothèses onition suffisnte ypothèses - plns et : // - plns et - roite : - roite : et // émonstrtion Voir exercice 2. émonstrtion Voir exercice 2 c. j. Si une roite et un pln sont orthogonux à une même roite, lors ils sont prllèles entre eux. ypothèses - pln et roite - roite : et // émonstrtion Soit le point e percée e ns et le point commun es roites et. Le pln (, ) coupe le pln suivnt l roite. uisque est perpeniculire à, elle est Β perpeniculire à toute roite e pssnt pr son pie ns le pln, onc Les roites et sont coplnires et perpeniculires à une même roite ; elles sont onc prllèles. t l roite, étnt prllèle à une roite u pln, est prllèle à ce pln (théorème 8.10). hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 6

7 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 k. Si eux roites sont perpeniculires à un même pln, lors elles sont prllèles entre elles. ypothèses - roites et - pln : et // émonstrtion (pr l sure) Soient et les points e percée es roites et ns le pln. Supposons que les roites et ne soient ps prllèles. On mène pr l prllèle à. ès lors serit perpeniculire u pln (exercice 2 e) et pr, on pourrit mener eux perpeniculires et u pln, ce qui est impossile (exercice 2 ). Les roites et sont onc prllèles. ppliquer une procéure. lns perpeniculires et prllélépipèe rectngle. - lns perpeniculires u pln : les plns,, et qui sont les fces u prllélépipèe rectngle ynt une rête commune vec le pln. - lns perpeniculires u pln : les plns,, et qui sont les fces u prllélépipèe rectngle ynt une rête commune vec le pln. - ln perpeniculire u pln : le pln. n effet, l roite est perpeniculire à l roite (les fces et sont es crrés et leurs igonles sont perpeniculires) et à l roite (cr et // ). - ln perpeniculire u pln : le pln. ême justifiction que ci-essus cr les plns et sont ientiques.. 1) On, cr (l rête u prllélépipèe rectngle onné est perpeniculire à l fce ). 2) On (l rête est perpeniculire à l fce ). ) Soit I le point e percée e l roite ns le pln ; I est le point intersection es roites et. r I, on mène une perpeniculire u pln (cette perpeniculire existe et est unique ; voir exercice 2 ). Le pln cherché est le pln ( ; ) ; il est ien perpeniculire u pln puisqu il contient une roite qui est perpeniculire à ce pln. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 7

8 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., erpeniculire commune. Les rêtes et sont prllèles, et onc toute perpeniculire à l une ns le pln est perpeniculire à l utre. Il y une infinité e perpeniculires communes : toutes les prllèles à.. Les roites et sont guches, mis situées ns es plns prllèles. L roite est l perpeniculire commune recherchée, en effet : - et onc à toute roite e ce pln, en prticulier, - et onc. c. Les roites et sont prllèles, et onc toute perpeniculire à l une ns le pln est perpeniculire à l utre. Il y une infinité e perpeniculires communes : toutes les prllèles à.. Les roites et sont guches, il n y onc qu une seule perpeniculire commune. Le pln est prllèle à l rête ; les plns et sont perpeniculires entre eux cr ce sont es plns igonux u cue. Le point e percée e l roite ns le pln est le point, milieu e l igonle ; l perpeniculire commune est l roite, où est le milieu e l rête. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 8

9 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 e. Les roites et sont guches ; il n y onc qu une seule perpeniculire commune. onsiérons le pln. On - (igonles un crré), - (fce et rête un cue) onc (une roite perpeniculire à un pln est orthogonle à toutes les roites e ce pln). ès lors, l roite est orthogonle à eux roites sécntes u pln ; onc. Le point e percée e ns ce pln est le point, intersection es eux igonles e l fce u cue. est le point milieu e l igonle. Soit p l perpeniculire à, menée pr le point ; p est l perpeniculire cherchée. Il fut éterminer son point intersection vec le roite. ette perpeniculire est située ns le pln ; le quriltère est un rectngle e côtés e longueurs (côté u cue) et 2 (igonle un crré e côté ) (voir figure ci-contre). L longueur e l igonle e ce rectngle est. Les tringles rectngles et sont semlles cr leurs ngles sont égux eux à eux (un ngle roit et les ngles et lternes internes). Les côtés homologues sont onc proportionnels : 2 2 x =, ou 2 x =. Le point est situé u tiers u segment [ ], à prtir u point. f. Les roites et sont guches ; il n y onc qu une seule perpeniculire commune. tpes e l construction - prllélépipèe rectngle constitué e eux cues ientiques (voir figure) ; - pln : // ; - pr, roite I // ; on vérifie que I. our le vérifier, on clcule les longueurs e côtés es tringles I et I et on montre que ce sont les côtés e tringles rectngles en. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 9

10 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 K I J L I est une igonle u secon cue ; ns le tringle rectngle LI, on ( ) I = L + IL = 2 + =, onc I =. I est une igonle e l fce ltérle u prllélépipèe rectngle ; ns le tringle rectngle IL, on ( ) 2 I = L + IL = 2 + = 5, onc I = 5. ns le tringle I, on I =, I = 5 et = 2 ; le tringle I est onc rectngle en, c est-à-ire I. r une émrche similire, on montre que I ; I étnt perpeniculire à eux roites sécntes u pln, est perpeniculire à ce pln. On onc I, puisque l un eux contient une roite perpeniculire à l utre. - Soit J le point intersection e I et. Les roites J et sont coplnires et se coupent en, point e percée e ns le pln I. - r, trcer // I ; est l perpeniculire cherchée. - On peut montrer que est situé u tiers e à prtir e et que est situé u tiers e à prtir e. Remrque Les eux erniers cs peuvent être résolus plus fcilement, en utilisnt les propriétés u prouit sclire e vecteurs orthogonux. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 10

11 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., lns méiteurs ns un cue. ln méiteur e l igonle Soit le point intersection es igonles e l fce. est le milieu e l igonle. Le pln compren le point et est perpeniculire à l fce. L igonle est perpeniculire à ce pln, cr - (igonles un crré) et cr (rête et fce un cue) et qu une roite perpeniculire à un pln est orthogonle à toutes les roites e ce pln. Le pln est le pln méiteur e l igonle.. ln méiteur e l igonle Le point, milieu e l igonle est le point intersection es igonles et. On consière eux plns istincts contennt l igonle et ns chcun e ces plns on trce pr une perpeniculire à ; le pln éfini pr ces eux perpeniculires est le pln méiteur e. onstruction - Soit le rectngle, e côtés et 2 ; on =. r, on mène KL Les tringles K et sont semlles cr ce sont es tringles rectngles ynt un ngle igu e même mplitue. Les côtés corresponnts sont onc proportionnels K =, L K 1 2 K = = On onc K = et L = r une émrche similire ns le rectngle, on otient = et Q = Les points K, L et éfinissent le pln méiteur cherché. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 11

12 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., our le essiner, il fut chercher l trce u pln sur les fces u cue (recherche e section plne) K Q L Résoure un prolème 6. Un prolème e cue ypothèses ue émonstrtion 1) n effet puisque. ( est une roite u pln, pln une fce u cue) perpeniculire à (roite contennt une rête u cue) et que (les igonles un crré sont perpeniculires). 2) (nlogue). ) uisque est orthogonle à eux roites sécntes u pln, elle est orthogonle à ce pln. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 12

13 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., Tétrère et tringles isocèles ypothèses - Tétrère NQ - = N et Q = QN N Q émonstrtion Q Soit le pie e l huteur issue e ns le tringle Q. e point est ussi le pie e l huteur issue e N ns le tringle NQ, cr ces eux tringles sont égux, cr ils ont leurs trois côtés égux eux à eux. N On onc Q et Q N ; l roite Q perpeniculire à eux roites sécntes u pln N, est perpeniculire à ce pln et onc orthogonle à toute roite e ce pln, en prticulier à l roite N. On onc N Q. 8. lns sécnts, plns perpeniculires ns un cue. essin u cue en perspective cvlière (figure ci-contre).. Le pln est le pln igonl u cue. O O ; onc O O O ; onc O L roite O est commune ux eux plns qui sont istincts ; c est onc leur intersection. c. Les imensions, en cm, u rectngle sont = = 4 et = = 4 2 (longueur es igonles un crré ont l longueur u côté est 4 cm) Le point O est u milieu u segment [ ], onc O = 2 2 (cm). Soit le point commun e O et. Les tringles O et sont semlles cr ils ont leurs trois ngles égux eux à eux (ngles opposés pr le sommet et ngles lternes- O O hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 1

14 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., 2014 internes). Les longueurs es côtés homologues sont onc proportionnelles : O O = = = = On en éuit O = O et = ns le tringle rectngle O, on ( ) ns le tringle rectngle, on ( ) O = = 24 ; on en éuit = = 48 ; on en éuit 2 6 O =. 4 =. 2 On + O = = 8 et O = ( 2 2 ) 2 = 8. Les côtés u tringle O vérifient l reltion e ythgore ; le tringle est rectngle en. onc O.. our émontrer que est orthogonle u pln, il fut encore vérifier que est perpeniculire à une secone roite u pln, pssnt pr son pie ns le pln. On vérifie que est perpeniculire à l roite. Le tringle est un tringle équiltérl ont les côtés mesurent 4 2 cm et O est l huteur issue e e ce tringle. uisque est situé sur O, le tringle O est rectngle en O ; on onc (théorème e ythgore) : O O ( 2 2 ) Il reste à vérifier que ( ) 2 = + = + = =. On 2 = 4 2 = = + = = 2 onc =. On peut onc conclure que le tringle est rectngle en, et onc. L igonle est perpeniculire à eux roites sécntes pssnt pr son pie ns le pln ; elle est onc perpeniculire à ce pln. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 14

15 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., yrmie et orthogonlité S ypothèses - pyrmie régulière S à se crrée -, point milieu e l rête [ ] émonstrtion est perpeniculire u pln SO L pyrmie S est régulière, onc SO est l huteur e cette pyrmie. L se est crrée, onc l roite O est l méitrice u segment [ ], ce qui entrine O. uisque l pyrmie est régulière, le tringle S est isocèle en S et S en est onc l méine et l huteur, ce qui entrîne S. L rête est onc perpeniculire en ux roites O et S u pln SO, ce qui permet e conclure que l rête est perpeniculire à ce pln. 10. Théorème es trois perpeniculires. Le point est ns le pln π ypothèses p - pln ; roite, ; point π - et (, ) émonstrtion r hypothèse, on ; il fut émontrer que. π On pren sur, e prt et utre u point et à égle istnce e celui-ci, eux points et que l on joint ux points et. r hypothèse et, pr construction, est le milieu u segment [ ], onc est, ns le pln, méitrice u segment [ ], ce qui entrine =. On en éuit que les oliques et qui s écrtent églement u pie e l perpeniculire sont égles : =. onc est, ns le pln, l méitrice u segment [ ], puisque et sont équiistnts e et e. On en conclut que. L roite est onc perpeniculire u pln (, ) puisqu elle est perpeniculire ux eux roites et pssnt pr son pie ns le pln. O hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 15

16 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., Le point est extérieur u pln π ypothèses p - pln ; roite ; point π - et (, ) π émonstrtion r hypothèse, on ; il fut émontrer que. On pren sur, e prt et utre u point et à égle istnce e celui-ci, eux points et que l on joint ux points et. r hypothèse et, pr construction, est le milieu u segment [ ], onc est, ns le pln, méitrice u segment [ ], ce qui entrine =. Les oliques et étnt égles, s écrtent églement u pie e l perpeniculire p, c est-à-ire =. On en conclut que est, ns le pln π, l méitrice u segment [ ], puisque et sont équiistnts e et e ; on en éuit que. L roite est onc perpeniculire u pln (, ) puisqu elle est perpeniculire ux eux roites et pssnt pr son pie ns le pln. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 16

17 Q 5 e : corrigé (6/S) e oeck uction s.., L tomium On peut moéliser l tomium pr un cue, le centre e l oule centrle corresponnt u centre e celui-ci. Les centres e l oule supérieure et e l oule inférieure sont les points et.. Il fut montrer que les points, et sont ns un même pln horizontl, c est-à-ire ns un même pln perpeniculire à l xe verticl. el revient à ppliquer l propriété émontrée ns le cre e l exercice 6 (s y référer, ou si, l exercice n ps été fit, refire ici une émonstrtion nlogue).. ypothèse ue Les milieux es rêtes,,,, et sont coplnires. émonstrtion (on moifié l ngle sous lequel on voit le cue pour mieux visuliser l sitution) Soient le milieu e [ '], le milieu e [ ' '], le milieu e [ ' '] e [ '], I le milieu e [ ] et J le milieu e [ ]., le milieu On consière le pln. L roite est, pr construction, prllèle à l roite ; en effet, elle est prllèle à qui est elle-même prllèle à. L roite est onc située ns le pln (théorème 8.1 c). On émontre e mnière nlogue que I //, ce qui entrîne que le roite I est située ns le pln, et que J //, ce qui entrîne que l roite J est située ns le pln. Les six points,,,, I et J sont onc coplnires. On pourrit ussi émontrer que ce sont les six sommets un hexgone régulier. ppliquée à l tomium, l thèse, à présent émontrée, revient à ire que les milieux es tues ont il est question ns l énoncé se trouvent ns un même pln. hpitre 9 Orthogonlité ns l espce 17