MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS2:STRUCTURES COMPLEXES: LES ELEMENTS FINIS SIMPLIFIENT LES CALCULS
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- Christian Cantin
- il y a 6 ans
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1 MÉCANIQUE DES STRUCTURES MS:STRUCTURES COMPEXES: ES EEMENTS FINIS SIMPIFIENT ES CACUS
2 Programme Mécanque II - Mécanque des Structures 4-5 MS (/): es méthodes énergétques: Des méthodes «éclar» pour calculer des poutres à lasons multples TD (/):Pont-Stade de France MS(/) :Structures complexes: les éléments fns smplfent les calculs TD(/) :Arbre d alternateur MS3(6/) :Plaques :du 3D au D TD3(6/) :Etage cryogénque d'arane V: Plaque de révoluton en flexon MS4(6/) : le flambement :un mode de rune des structures nattendu TD4(6/) :Flambement par dlataton des rals de chemn de fer MS5 (3/):Vbratons des structure: les modes propres concentrent l nfo TD5(3/) :Réponse dynamque d un poteau de basket Etudedynamque d'un arbre d'alternateur
3 ntroducton au calcul des structures complexes PORTIQUES ET TREIIS CACU EN UTIISANT ES MÉTHODES DE A «RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX». Hyperstatsmes extéreur et ntéreur. Méthodologe générale.3 Exemple : portque.4 Généralsaton : Méthode des forces METHODE DES ÉÉMENTS FINIS. Introducton à la méthode des éléments fns (rappel). Élément Fn de barre en tracton compresson.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull).4 Calcul de la structure complète. Assemblage et calcul du second membre.5 Prse en compte des condtons aux lmtes (déplacement mposé)
4 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Structures de poutres ou portques «smples»: les méthodes de la RdM applcables jusqu à quel pont? Structure sostatque extéreurement: les réactons extéreures sont détermnées par l équlbre global de la structure
5 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Structures de poutres ou portques «smples»: les méthodes de la RdM applcables jusqu à quel pont? Structure hyperstatque extéreurement(he): he réactons extéreures ndétermnées «surabondantes» :...etc...
6 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Structures de poutres ou portques «smples»: les méthodes de la RdM applcables jusqu à quel pont? Structure hyperstatque extéreurement(he): he réactons extéreures ndétermnées «surabondantes» : on peut supprmer he lasons/ext jusqu à rendre la structure sostatque : he contrantes de déplacement mposé : u U/ F->F
7 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES. Méthodologe générale Repère global B 3 a F C Structure sostatque ntéreurement:les éléments de réducton sont calculables en foncton du chargement Y A D Y D A X A X D
8 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES. Méthodologe générale Structure hyperstatque ntéreurement(h ): h efforts nternes ndétermnés F (c'est à dre: on peut supprmer h lasons nternes jusqu à rendre sostatque) h contrantes de déplacement mposé: u U/ F ->F T, N,M
9 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES. Méthodologe générale Structure hyperstatque ntéreurement h: h nconnues supplémentares 3 encastrements N En plan He9(réactons) - 3(équatons eq) He6 3 N N3 3 H6:on peut lberer 6ddl nternes 3
10 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES.3 Exemple : portque Repère global B 3 a F C X Y A A + + Y X D af + Équatons d'équlbre: D F ly D, Y A F l l a, Y D a l F Y A A X A D Y D X D XD:nconnue hyperstatque
11 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES.3 Exemple : portque Repère global B Y A 3 a F D C Y D AB: M( x) -X BC : x A x > a, M( x) X x < CD : M ( x) Castglano: D X D x l + Y a, M ( x) -( X -X D ( l - x) X D l + a l F( l - x) Exprmer M en foncton de F et X D seulement! u D D A ( l - l -Y x) D A A x) M EI X D M X l + Fx( - D ds a ) l A X A X D X D 3Fa ( l l a)
12 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES.4 Généralsaton : Méthode des forces Structure hyperstatque ntéreurement(h): h efforts nternes ndétermnés F: 5*3réactons par nœud/3noeuds par cellule
13 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES.4 Généralsaton : Méthode des forces Cas d une structure hyperstatque ntéreurement h: h efforts nternes nconnus F: équlbre des noeuds +h «coupures vrtuelles à recoller» : on exprme l énerge élastque: UU(chargt,F) u U (chargt,f) / F->F(chargt) méthode des forces >>>>>>lmtée par h >>>>>>méthode des DEPACEMENTS
14 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Méthode des forces (RDM): nconnues: forces ntéreures poutres>nœuds: F équatons :équlbre des nœuds +déplacement nul aux coupures assocées aux nc. hyperst. (condton cnématque) donne F Méthode des déplacements (RDM/éléments fns): nconnues:déplacements des nœuds q Castglano:relatons forces/ déplacements Fq équlbre des nœuds SFFext : donne q (Passage dans un repère global nécessare)
15 ntroducton au calcul des structures complexes PORTIQUES ET TREIIS CACU EN UTIISANT ES MÉTHODES DE A «RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX». Hyperstatsmes extéreur et ntéreur. Méthodologe générale.3 Exemple : portque.4 Généralsaton : Méthode des forces METHODE DES ÉÉMENTS FINIS. Introducton à la méthode des éléments fns (rappel). Élément Fn de barre en tracton compresson.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull).4 Calcul de la structure complète. Assemblage et calcul du second membre.5 Prse en compte des condtons aux lmtes (déplacement mposé)
16 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES rncpe de la méthode (calcul statque d une structure lnéare élastque ).Détermnaton du système et du/des chargements symétres -révoluton-pérodcté....mallage: découpage en un pett/grand(ef) nombre d éléments poutres,,ef-> q :coordonnées généralsées.schématsaton du comportement de chaque élément: poutre,plaque,3d. Dscretsaton en N ddl---->:matrce de rgdté 3.Assemblage: écrture de l équlbre des nœuds,ptv calcul de l effet du chargement: F qf 4.Résoluton de qf, calcul:q->déplacements, forces sur les éléments, déformatons,contrantes
17 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES rncpe de la méthode calcul statque d une structure lnéare élastque.détermnaton du système et du/des chargements symétres -révoluton-pérodcté...
18 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Prncpe de la méthode calcul statque d une structure lnéare élastque.détermnaton du système et du/des chargements symétres -révoluton-pérodcté....mallage: découpage en un pett/grand(ef) nombre d éléments poutres,,ef-> q :coordonnées généralsées
19 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES rncpe de la méthode calcul statque d une structure lnéare élastque.détermnaton du système et du/des chargements symétres -révoluton-pérodcté....mallage: découpage en un pett/grand(ef) nombre d éléments poutres,,ef-> q :coordonnées généralsées.schématsaton du comportement de chaque élément: poutre,plaque,3d. Dscretsaton en N ddl---->:matrce de rgdté 3.Assemblage: écrture de l équlbre des nœuds,ptv calcul de l effet du chargement: F qf 4.Résoluton de qf, calcul:q->déplacements, forces sur les éléments, déformatons,contrantes
20 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements. Élément Fn de barre en tracton compresson
21 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements. Élément Fn de barre en tracton compresson
22 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements. Élément Fn de barre en tracton compresson
23 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns. Élément Fn de barre en tracton compresson u u p(x) A F A F u(x) q + (q q) x x Peut s'écrre: x x x (x) q ( ) + q qw (x) + qw (x), où w (x) ( ),et w (x) l l l u w, w, Fonctons de base de l approxmaton x l
24 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns. Élément Fn de barre en tracton compresson Théorème des pussances vrtuelles applqué à l'élément: W s (u)e (w)dvf w(a )+F w(a )+ p(x)wdx "w cnématquement admssble En explctant u, égalant w successvement à w et w : σ E (x) ε ES ε (w ) q q [ ] (w ) (w ) dx Fw pw dx,, ε ε +
25 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns. Élément Fn de barre en tracton compresson ES ε (w ) q q [ ] (w ) (w ) dx Fw pwdx,, ε ε + : atrce de rgdté de l'élément q q F F + F F ESε ε (w ) (w j) dx F forces aux noeuds F' forces répartes
26 ε ε j Sdx ) (w (w ) E ES dx ES ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns Calcul de : Calcul de :. Élément Fn de barre en tracton compresson
27 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns. Élément Fn de barre en tracton compresson Remarque : s'l n'y a pas de forces répartes, Castglano donne: F F q q ES q q Remarque : est la Matrce de rgdté d'un ressort de radeur kes/
28 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements q q ES q q F F Applcaton:. Élément Fn de barre en tracton compresson
29 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements. Élément Fn de barre en tracton compresson Calcul par l'énerge de déformaton E σ Eε (x) (q q) Énerge de déformaton dans la barre: x u ( x ) q + (q q ) ε ( x) (q q ), U U N (x) Sσ(x) ε(x)dx dx ES ES (q q ) ESε (x)dx
30 CACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des déplacements. Élément Fn de barre en tracton compresson U U N (x) Sσ(x) ε (x)dx dx ES ES (q q ) Castglano ou U / t qq: ESε (x)dx [ F ] [ ][ q ] U q j j F F q q ES q q
31 Exemple d'applcaton:poutre soumse à son pods propre Exemple d'applcaton:poutre soumse à son pods propre R F ρ ρ Sg Sgdx l x x F F F ρ + Sg F R u u ES élément fn: élément fn: ρ + Sg F ES (l) u RDM RDM ES Fx ) x ( E gx (x) u + ρ. Élément Fn de barre en tracton compresson
32 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) u A u(x) ω ω x On approxme la flèche u(x) par: [ w (x),w (x),w (x),w (x)] q [ W(x) ] u(x) A u 3 4 q, où q u ω u ω
33 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) On chost pour fonctons de base les solutons de: EI 4 d w 4 dx, tq q, q j, j w w w 3 w 4 x x x x w w w w 3 4 3ζ 3ζ ζ ζ + ζ ζ( ζ ) 3, ( ζ ), 3, ζ x
34 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) Théorème des pussances vrtuelles : l M(s)w (s)ds + R w() + C w () + R w(l) + C w (l) + p(s)w(s)ds, w - t qq+ t qf+ t qf, EI [ W (x )][ W (x )]dx t qf+f R C F R C F' p(x)w p(x)w p(x)w p(x)w 3 4 (x)dx (x)dx (x)dx (x)dx
35 .3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) [ W(x) ][ W(x) ]dx t EI j EI w (x)w j(x)dx u ω u ω EI 36EI 4 EI 3 [ w (x)] x dx dx EI 3 sym
36 .3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) nerge élastque de la poutre: Ou encore U M d u U dx, avec M EI EI dx dω EI dx dx,où ω(x) U EI du. dx d dx u dx [ w (x),w (x),w (x),w (x)] q [ W(x) ]q u(x) 3 4 d u dx t q t [ W (x) ][ W (x)]q U t q t EI EI t [ W (x)][ W (x)] [ W (x)][ W (x)]dx dxq,
37 .3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) Calcul de la matrce de rgdté par la RDM! V s V C C 3 A A T(s) V M(s)C +V (-s) U M M C + V ( s) u ds ( s) ds V EI V EI θ U M M C + V ( s) ds ds C EI C EI
38 .3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) Calcul de la matrce de rgdté par la RDM! V s V C C 3 A A σ s,u C + V σ C σdσ EI EI + (C + Vσ) C θ dσ + EI EI 3 V 3EI V EI u θ V C,avec 3 3 EI Matrce de flexblté! l
39 Mas ce n est pas la matrce de rgdté de la poutre complète! Matrce de flexblté 4EI 6EI 6EI EI 3 θ l 3 EI,avec C V u 3.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) Calcul de la matrce de rgdté par la RDM!
40 .3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull) On retrouve cependant la matrce dans! u ω u ω EI 3 sym
41 F t F F F t ertcale rotaton autour de A ranslaton I I u u lr 3 3 R Φ ω ω On retrouve! On retrouve! F I F R t : en parttonnant sot, Comment reconsttuer à partr de Comment reconsttuer à partr de? A partr des? A partr des modes de corps rgde! modes de corps rgde!.3 Elément fn poutre en flexon plane (Euler-Bernoull)
42 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns Matrces de rgdté:synthèse u ( x ) N [ W ] q w ( x )q [ w ] j j j j M q M j Barre TC Solde 3D ES [ ] Tr( σ(w ). ε(w ))dv V ε ε (w (w ) ) [ ε (w ) ε (w )] dx j q q outre flexon [ W (x) ][ W (x)]dx t EI
43 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.4 Calcul de la structure complète. Assemblage et calcul du second membre Assemblage étapes: Passage repère local au repère global pour chaque matrce élémentare assemblage de la matrce globale à partr des matrces élémentares
44 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns u u R R u U R R A A A ρ + 4 Sg R R u u ES ρ + 4 Sg R R u u ES Élément : Élément : ρ + 4 Sg R R u u u ES.4 Calcul de la structure complète. Assemblage et calcul du second membre
45 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.4 Calcul de la structure complète. Assemblage et calcul du econd membre F C EI sym 6 4 A 6 8 A 6 A 3 u ω 6 u ω 6u 4 ω 3 3 R C R C R C 3 3 3
46 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns Assemblage:Passage repère local au repère global pour chaque matrce élémentare Pour un élément e, dans les axes locaux * de l élément: U e P matrce de Passage du repère global au repère local : t q * e e e* q * e, q Pq, q t t e* t U e q e P Pq e * e * e t q t e Pq e e q e e P e* t P
47 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns Assemblage assemblage de la matrce globale à partr des matrces élémentares q βeq e Matrce de localsaton U e t e t t e U e q e q e q βe βe q e e t qq Qu on ne calcule JAMAIS comme ça!
48 INTRODUCTION AU CACU DE STRUCTURES COMPEXES Assemblage:Exemple j j l + j l q j l j jj j l jj jj ll lj ll+ll qj ql
49 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns alcul du second membre F: les forces extéreures sont applquées drectement sur les œuds, équlbre des nœuds: qf es forces sont répartes dans le volume ou à la frontère : théorème des travaux(pussances) vrtuelles: u ( x ) N [ W ] q Φ ( x )q [ w ]q j j j j O V Tr( σ(w j ). ε(w ))dv M q O M j V M (F, w )ds+ S M V (f, w )dv
50 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns les forces sont répartes dans le volume ou à la frontère : théorème des travaux(pussances) vrtuelles t qq t qf M F (F + S, w )ds (f, w )dv V V M équlbre est satsfat: en moyenne énergétque sur la «base» des fonctons choses pour la dscrétsaton
51 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns.5 Prse en compte des condtons aux lmtes(déplacement mposé q d ): d q q + + d dd q d q d F F d F F F d connu et nconnu d d dd q [ F q ] d d d d [ F ] d q d dd q d F + Dans le cas de déplacements mposés nuls: q F, et F d d F
52 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns Pour fnr,un exemple
53 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns
54 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns
55 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns
56 Merc de votre attenton!
57 ACU DE STRUCTURES COMPEXES:méthode des éléments fns R R C ω ω u A u(x) A C u x
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