Commande PID Adaptative des Systèmes non Linéaires Affines en la Commande

Transcription

1 CGE 06 EMP, ALGER, 3-4 Avrl, 009 Commane PID Aaave es Sysèmes non Lnéares Affnes en la Commane A. Bobakr, S. Labo, an.m. Gerra LAMEL, Faclé es Scences e l Inéner, Unversé e Jjel BP.98, Ole Assa, 8000, Jjel, Alére ah_bobakr@yahoo.fr, labo_salm@yahoo.fr LAMIH, UMR CNRS 8530, Unversé e Valencennes e Hana-Cambréss Le Mon Hoy 5933 Valencennes Ceex 9 France erra@nv-valencennes.fr Absrac Ce raval résene ne sraée e commane PID aaave or ne classe e sysèmes non lnéares ncerans affnes en la commane. Les aramères rélables conrôler PID son ajsés ar n alorhme aaaon e ye raen. Ce alorhme es séleconné or mnmser ne foncon e coû qaraqe e l errer enre ne lo e commane éale nconne e la lo e commane PID lsée. La sablé sysème lobal boclé es rovée analyqemen ar la méhoe rece e Lyanov. Une smlaon es effecée sr le moèle n enle nversé or monrer la fasablé e la sraée e commane roosée. eywors Alorhme raen, commane aaave, conrôler PID, sysèmes non lnéares. L I. INRODUCION a commane es sysèmes es l n es omanes les ls rches en erme alorhmes e ols e éveloemen. A cors es ex ernères écennes, n nombre rès moran e blcaons a éé consacré a roblème e l analyse e e la synhèse e los e commane or les sysèmes non lnéares. Ce roblème résene beaco e challenes arce qe les sysèmes non lnéares - conraremen a cas e sysèmes lnéares or lesqels l aomaqe forn ne anole e méhoes or la synhèse e la commane - ne sosen as ols e e méhoes énérales or réalser cee analyse e/o synhèse es los e commane. Cec es û a fa qe les sysèmes non lnéares even osséer es ynamqes comlexes e es srcres exrêmemen varées. La commane es sysèmes non lnéares a o abor «reosé» sr la héore e l'aomaqe lnéare []. L aroche rncale conssa à lnéarser la ynamqe non lnéare sysème aor n on e fonconnemen e elle sore qe les ols e la commane lnéare ssen êre exloés or la synhèse ne lo e commane assran les erformances recherchées. Ceenan, la nécessé e aranr es erformances sr ne lae morane e fonconnemen es sysèmes a mosé la rse en come e ler ynamqe non lnéare lobale ans la synhèse es los e commane. L nrocon formalsme e la éomére fférenelle e en arcler la echnqe e lnéarsaon enrée-sore a conn n sccès ceran. Elle enre ans le éveloemen e los e commane or ne classe e sysèmes non lnéares, affnes en la commane lnéarsables ar boclae [], []. Cee classe e sysèmes n a as nqemen n nérê mahémaqe mas éalemen ne rane morance raqe, car, beaco e sysèmes hysqes aarennen à cee classe, els qe les sysèmes mécanqes e les machnes élecrqes. L ée e base e la lnéarsaon ar boclae es la ransformaon n sysème non lnéare en n sysème lnéare, ermean l lsaon es ols e synhèse lnéare. Ceenan, cee echnqe ne e êre lsée qe or les sysèmes non lnéares on le moèle ynamqe es sffsammen ben conn. Por aller ce roblème, lsers aroches e commane aaave on éé roosées [], [3], [4]. Dans ces aroches, on sose qe le moèle sysème non lnéare e êre exrmé sos la forme n ro e foncons non lnéares connes à l ae e aramères nconns. Malheresemen, l es soven ffcle, vore mossble e écrre os les hénomènes ms en je ans n sysème à arr e foncons non lnéares connes, noammen or n sysème hysqe comlexe. Por ce ye e sysèmes, ares aroches aaaves lsan les sysèmes flos e/o les réseax e nerones on conn n ceran sccès [5]. Dans ces schémas aaafs, l ée e la sablé es fonée sr l aroche rece e Lyanov. Dex aroches e commane aaave on éé nveses [5], [6] : l aroche nrece e l aroche rece. Dans l aroche nrece, les sysèmes flos e/o les réseax e nerones son lsés or esmer la ynamqe sysème, e la lo e commane se calcle à arr e ces esmées [5]-[0]. Par conre, les aroches reces se basen sr l aroxmaon ar es sysèmes flos e/o es réseax e nerones e los e commane éales nconnes e les aramères e l aroxmaer lsé son ajsés ar ne lo aaaon sse ne foncon canae e Lyanov [5], [6], [8], []-[3]. Dans les alcaons nsrelles, la commane PID ar sa smlcé e conceon es la commane la ls

2 lsée. La synhèse ne commane PID consse à éermner ros aramères à savor : le an rooronnel, le an néraon e le an e érvaon. Por les sysèmes lnéares, la méhoe e Zeler-Nchols [4], es la méhoe la ls lsée or éermner les ans, e. En revanche, or les sysèmes non lnéares l n y a as e méhoes sysémaqes or rover ces ros ans. Por cee classe e sysèmes, la enance acelle es vers la commane PID aaave [5], [6], e la commane PID robse [7], sro or le cas e sysèmes non lnéares ncerans o errbés. Dans [5] e [6], les aers éveloen es aroches e commane PID aaave or es sysèmes non lnéares monovarables avec n an e commane sosé conn. Dans ce raval, ne aroche e commane PID aaave or ne classe e sysèmes non lnéares monovarables affnes en la commane es roosée. Un conrôler PID es lsé or arocher en lne ne lo e commane éale nconne. Conraremen ax ravax e [6], [5], [6], où la lo aaaon es séleconnée or assrer la écrossance ne foncon canae e Lyanov sr l errer e sore, la lo aaaon, ans ce raval, es séleconnée or mnmser ar la méhoe raen n crère qaraqe e l errer à l enrée sysème,.e. e l errer enre la commane éale nconne e la sore conrôler PID. Ce arcle es srcré e la manère svane : la classe concernée e sysèmes non lnéares monovarables e les objecfs e la commane son écrs ans la secon. L aroche e commane PID aaave roosée es nroe ans la secon 3 avec l ée e la sablé e la lo aaaon e sysème lobal boclé. Dans la secon 4, la novelle sraée e commane es lsée or la commane en orse n enle nversé. II. POSIION DU PROBLEME Nos consérons la classe es sysèmes non lnéares monovarables affnes en la commane écrs ar x = x, x = x3,, x n = xn x n = f ( x + ( x ( y = x o, encore ( n y = f x + x ( avec [ ] ( (,, n x = x x n es le vecer éa sosé mesrable, y es la sore sysème, es l enrée e commane, f ( x e ( x son es foncons non lnéares sosées nconnes. x es sosé non nl, borné Le an e commane ( e e sne conn. ( x es onc so srcemen osf, so srcemen néaf. Sans ere e énéralé, nos 0 < x <. Noons qe le résla e ce sosons ( aer e êre faclemen aaé a cas ( x < 0. Remarqe : Dans les aroches reces résenées ans [5], [6], le an e commane ( x es sosé conn. Par conre, la connassance e ( x n es ls nécessare c. Nore objecf es la synhèse ne lo e commane PID aaave e elle sore qe la sore y ( sve a mex ne rajecore e référence y ( bornée e érvable, o en aranssan la borne e os les snax e la bocle fermée. Por aenre l objecf e commane, on éfn l errer e orse ar e ( = y ( y ( (3 e ne errer flrée ar n s( = + λ e(, λ > 0 (4 s( = 0 es ne éqaon fférenelle q ossèe la solon e ( = 0. De ls, s s( Φ avec Φ ne consane osve, l errer e orse e ses érvées vérfen [], ( e ( λ n+ Φ, = 0,,, n (5 De ce fa, l objecf e commane even la éermnaon ne lo e commane avec sa lo aaaon aramérqe afn e aranr la converence snal s (. La érvée emorelle e l errer flrée (4 e êre écre sos la forme s = v f ( x ( x (6 avec ( n ( n v = y + kn e + + ke e j n j kj = Cn λ S les non lnéarés sysèmes son arfaemen connes,.e., s les foncons non lnéares f ( x e ( x son connes, or aenre les objecfs e commane, la lo e commane éale svane es ne solon ( f ( x + v+ α s+ β anh ( s ε = = (7 ( x avec α > 0, β > 0, e ε ne consane osve ee. Effecvemen, ar sbson e (7 ans (6, l ven s = α s β anh ( s ε (8 Chosssons la foncon canae svane V = s (9 la érvée emorelle e (9 le lon es rajecores e (8 se majore ar V α s (0 Ce q mlqe la converence vers zéro e s ( e, ar conséqen, la converence e l errer e orse e. Ben enen, la commane (7 es éale a sens où ( les foncons non lnéares f ( x e ( x son évemmen nconnes. Le b consse alors à essayer arocher cee lo e commane nconne.

3 Remarqe : La foncon conne anh ( es lsée ans (7 afn e oer la lo e commane aaave q sera roosée léreremen ne cerane robsesse. III. COMMANDE PID ADAPAIVE Dans cee secon, n conrôler PID aaaf sera lsé or arocher a mex la commane éale nconne (7. Les ros ans e ce conrôler PID,.e., le an, e seron consérés c comme les aramères rélables. Por ce fare, n mécansme aaaon sera éveloé or mnmser n crère qaraqe e l errer enre la commane éale nconne e la commane forne, sse conrôler PID. A. La lo e commane La lo e commane éale (7 es alors arochée ar ne commane PID e la forme e( = = e( + e( τ τ + 0 ( o ben =Π e θ ( ( e( avec Π ( e = e(, e( τ τ,, θ e le vecer 0 es aramères ajsés ran la commane, q es éfn ar θ =,, e e es l errer e orse. La lo e commane éan chose, l nos rese alors à éermner la lo e mse à jor es aramères rélables θ. B. La lo aaaon aramérqe Nos sosons qe les valers omales recherchées θ es aramères θ vérfen =Π ( e θ (3 On sose onc qe la commane éale (7 e êre reconsre avec ne récson arbraremen ee ar la commane PID (. A arr es éqaons (7, ( e (3, l éqaon (6 e êre écre sos la forme s = α s β anh s ε + x (4 ( ( ( o, encore s = α s β anh ( s ε + ( x Π ( e θ (5 avec θ = θ θ Psqe nore b es arocher la lo e commane éale (7 ar la commane PID (, la lo e mse à jor es aramères θ es à séleconner or mnmser l errer à l enrée sysème e éfne ar e = = =Π ( e θ (6 e or aranr éalemen la borne e l errer aramérqe θ. Ceenan, fa qe es nconne ans (6, l errer e ne e êre éermnée. Néanmons, à arr e (4 on e écrre x e = s + α s+ β anh s ε (7 ( ( cee éqaon monre ben qe même s l errer e n es as sonble, la qané ( x e es mesrable. Ce fa sera exloé or le chox e la lo aaaon aramérqe. Consérons la foncon e coû qaraqe J( θ = e ( ( = Π e θ (8 ne méhoe e ye raen es alors lsée or mnmser le crère (8. La lo e mse à jor roosée or les aramères θ es e la forme θ = η( x J( θ (9 avec η > 0. De (8, l ven J ( θ = Π ( ee (0 e ar conséqen, (9 even θ = ηπ( e ( x e ( a arr e (7, la lo aaaon es aramères θ es onnée ar θ = ηπ e s + α s+ β anh s ε ( ( { ( } Por moner qe cee lo aaaon aran la borne e l errer aramérqe θ, on consère la foncon svane V θ = θ θ (3 on la érvée emorelle es V θ = θ θ (4 en lsan le fa qe θ = θ, (4 even V = η x e (5 ( θ fa qe la foncon ( x es sosée osve, on e alors ére e (3 e (5 qe θ = s 0 θ ( <. θ L,.e. Remarqe 3 : Il es à noer qe ans la lo aaaon ( s n es as sonble à case es nceres sysème. Dans ce aer, s es arochée ar s( s( δ s ( δ où δ es n ems. C. Converence e l errer e orse Por éer la converence e l errer e orse ans qe la sablé e la bocle fermée, nos consérons la foncon canae svane V = s + θ θ (6 η ar érvaon e en sosan qe θ 0, on oben V = ss θ θ (7 η en lsan les éqaons (4 e (, l éqaon (7 s écr

4 anh ( ( x ( s s anh ( s V = αs βs s ε + s e Π + + θ α β ε ar sbson e (6 e (7 ans (8, on oben ( anh ( ( (8 V = αs + s x e βs s ε x e (9 en lsan l néalé ( se ( x x s + e (30 e comme sanh ( s ε 0, l éqaon (9 e êre bornée ar ( x V α s ( x e (3 S on sose qe α es chos el qe α, alors on en é la borne e θ e la converence vers zéros e s ( e ar conséqen la converence e l errer e orse e ( vers zéros qan. IV. RESULAS DE SIMULAION Por valer l aroche e commane PID aaave roosée, nos consérons le roblème e commane en orse n enle nversé (F.. Le moèle ynamqe e ce erner es onné ar [5], [8], []. x = x x = f ( x + ( x + (3 y = x avec x l La commane PID ( avec la lo aaaon ( son alqées a enle nversé. Les conons nales choses son : x ( 0 = 0, ; x ( 0 = 0 ; θ ( 0 = 0. Les aramères e synhèse son choss comme s : λ = 5 ; α = 3 ; β = 5 ; ε = 0,0 ; η = 0. Les réslas e smlaon e y = x e y = x son onnés resecvemen ans les fres e 3. Le snal e commane ( e l errer flrée s ( son monrés ans les fres 4 e 5. La fre. 6 monre l évolon e la norme es aramères ajsés θ (. Les ans e commane, e, son monrés resecvemen ans les fres 7, 8 e 9. On remarqe qe les rajecores réelles converen vers les rajecores ésrées, e qe le snal e commane e les aramères esmés son bornés. V. CONCLUSION Dans ce arcle, nos avons roosé n schéma e commane PID aaave or les sysèmes non lnéares monovarables affnes en la commane. Le schéma es comosé ne lo e commane PID avec sa lo aaaon. Dans ce schéma, n conrôler PID es lsé or arocher en lne ne commane éale nconne, e la lo e mse à jor es aramères rélables conrôler PID es séleconnée afn e mnmser l errer à l enrée sysème,.e. or mnmser ne foncon qaraqe e l errer enre la commane éale nconne e la sore conrôler PID q rerésene le snal e commane. Cee aroche n exe as la connassance moèle ynamqe sysème e aran la borne e os les snax e la bocle fermée e la converence vers zéro e l errer e orse. Les réslas e la smlaon effecée sr n enle nversé ermeen llsrer l analyse héorqe. y m c F.. Sysème enle nversé lsé en smlaon. f sn x mm x cos xsn x x = (33 ( ( 43 mm cos x ( avec m ( m mc mcos x x = (34 ( 43 mm cos x = +, x es la oson anlare enle e x sa vesse anlare. Dans ce exemle, les valers svanes son lsées : = 9,8ms, mc = k, m = 0,k, = 0,5 m, e es ne errbaon exerne 0, onnée ar = 0, 5sn ( e. Nore objecf es e forcer la sore sysème e svre la rajecore : y = 0.5sn. ( ( y F.. Sore sysème y, sore ésrée y. y y F. 3. Evolon emorelle e y e y

5 F. 4. Snal e commane alqée a sysème. F. 9. Gan e érvaon F. 5. Errer flrée s. F. 6. Norme θ (. F. 7. Gan rooronnel REFERENCES [] J. E. Slone an W. L, Ale nonlnear conrol. Prence Hall, Enlewoo Clffs, NJ, 99. [] A. Isor, Nonlnear conrol sysems. n E. Srner Verla, Berln, Germany, 989. [3] P. A. Ioanno an J. Sn, Robs aave conrol. Enlewoo Clffs, NJ: Prence-Hall, 995. [4] M. rsc, I. anellakoolos, an P. okoovc, Nonlnear an aave conrol esn. New York: Weley Inerscence, 995. [5] L. X. Wan, Aave Fzzy Sysems an Conrol: Desn an sably analyss. Prence-Hall, Enlewoo Clfs, NJ, 994. [6] J.. Sooner an. M. Passno, Sable aave conrol sn fzzy sysems an neral neworks, IEEE rans. Fzzy Sys., vol. 4, no. 3, , 996. [7] R. Bokezzola, S. Galche, an L. Folloy, Arenssae e los e commane floes or les sysèmes non lnéares (synhèse rece e nrece, n Conf. LFA 98, Rennes, 998, [8] Y. C. Chan, Aave fzzy-base rackn conrol for nonlnear SISO sysems va VSS an H aroaches, IEEE rans. Fzzy Sys., vol. 9, no.,. 78-9, Ar 00. [9] S. Labo, M. S. Bocher, an. M. Gerra, Commane aaave floe ne classe e sysèmes non lnéares monovarables, n Conf. LFA 03, ors, 003, [0] S. H. on, Q. L, an. Cha, Fzzy aave conrol of a class of nonlnear sysems, Fzzy ses an Sysems, vol.0, no.,. 3-39, 999. [] V. Gaz an. M. Passno, Drec aave conrol sn ynamc srcre fzzy sysems, n Proc. ACC, Illnos, Jne 000, [] S. Labo an M. S. Bocher, Drec sable fzzy aave conrol of a class of SISO nonlnear sysems, Archves of Conr. Sc., vol. 3, no.,. 95-0, 003. [3] Y. an, N. Zhan, an Y. L, Sable fzzy aave conrol for a class of nonlnear sysems, Fzzy ses an Sysems, vol. 04, no., , 999. [4].J. Asrom an B. Wenmark, Aave conrol. Ason- Wesley, New York, 995. [5] W.D. Chan, R.C. Hwan, an J.G. Hseh, A self-nn PID conrol for a class of nonlnear sysems base on he Lyanov aroach, J. of Process Conr., vol., no.,. 33-4, 00. [6] M. Fek, An aave feeback conrol of lnearzable chaoc sysems, Chaos, Solons an Fracals, vol. 5, no.5, , 003. [7] E.M. Jafarov, M.N.A. Parlakç, an Y. Isefanolos, A new varable srcre PID-conroller esn for robo manlaors, IEEE. rans. On Conr. Sys. ech., vol. 3, no.,. -30, 005. F. 8. Gan néraon