INTEGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE 1

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1 -- 3 J.F.C. IG p. INTEGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE P menionne des résuls priculièremen uiles e souven oubliés dns l priques des inégrles sur un inervlle quelconque... menionne des erreurs à ne ps fire où des hypohèses impornes ou des mises en grde. SF menionne des svoirs fire. S repère un eercice simple. PC repère un eercice où il fu chercher. SF Uiliser les crières de comprison pour les foncions posiives. SF Uiliser l condiion nécessire e suffisne de convergence d une inégrle impropre de foncion posiive. SF 3 SF 4 SF 5 Monrer l convergence d une inégrle impropre simple. Clculer des inégrles impropre simples. PAR CŒUR Convergence de : n e e n e vec n N P ) e e P ) e vec P R[X] n e vec n N P ) e vec P R[X] sin sin cos e vec ], + [ n pprien à N e es un réel sricemen posiif. Eisence e clcul de : n e ln e β son deu réels. Nure de : n ln e sin e cos ln ) β ln ) β ) β ln ) ) β + β + β ln ) y e Uiliser l inégrion pr pries pour obenir l nure ou l vleur d une inégrle im- SF 6 propre. SF 7 impropre. Uiliser un chngemen de vrible pour obenir l nure ou l vleur d une inégrle SF 8 Uiliser les densiés de probbilié du progrmme pour obenir l nure ou l vleur d une impropre.

2 J.F.C. IG p. Complémen : Inégrles de Berrnd. Complémen : Inégrle de Dirichle. Quelques rppels. Les références.. e son deu réels. On suppose que es sricemen posiif. converge si e seulemen si >. b e son deu réels. On suppose que b es sricemen négif. converge si e seulemen si >. b e son deu réels. On suppose que b es sricemen posiif. converge si e seulemen si <. b e son deu réels. On suppose que b es sricemen négif. b converge si e seulemen si <, h e son rois réels. On suppose que h es sricemen posiif. +h h converge si e seulemen si < ) converge si e seulemen si < ) Si es dns R, Si n N e converge si e seulemen si >. n e converge e vu n!. Si λ es un réel sricemen posiif, e λ converge e vu λ Si n es un élémen de N e si es un réel sricemen posiif, Si b e ν son deu réels sricemen posiifs : n e converge e vu ν e b converge e vu b ν Γν). n! n+

3 J.F.C. IG p. 3 e e e convergen e vlen π. Le cs des foncions posiives. Le héorème fondmenl SD < < b +. Soi f une pplicion de [, b[ dns R posiive ) e coninue sur [, b[. f) es convergene si e seulemen si Si Si f) converge : [, b[, f) diverge lors : lim b f) f) = +. f) es mjorée sur [, b[. f). Th. < b < +. Soi f une pplicion de ], b] dns R posiive ) e coninue sur ], b]. f) es convergene si e seulemen si Si Si f) converge : ], b], f) diverge lors : lim + Comprison : mjorion ou minorion. f) f) = + f) es mjorée sur ], b] f) < < b +. f e g son deu pplicions de [, b[ dns R coninues sur [, b[. On suppose qu il eise un élémen c de [, b[ el que : [c, b[, f) g) ) Si g) converge lors f) converge. Si f) diverge lors < b < +. f e g son deu pplicions de ], b] dns R coninues. On suppose qu il eise un réel c el que : ], c], f) g) ) Si g) converge lors f) converge. Si f) diverge lors g) diverge. g) diverge. Le principe des deu héorèmes précédens es l comprison des foncions ps des inégrles. Il ne fu donc ps les confondre vec le héorème fondmenl. Comprison : les équivlens.

4 J.F.C. IG p. 4 < < b +. f e g son deu pplicions de [, b[ dns R coninues sur [, b[. On suppose que :. Il eise un réel c el que l une des deu foncions soi posiive sur [c, b[. f) b g). Alors les inégrles f) e On un résul nlogue sur ], b]. Comprison 3 : l négligebilié. g) son de même nure. < < b +. f e g son deu pplicions de [, b[ dns R coninues sur [, b[. On suppose que : Si. il eise un réel c el que : [c, b[, f) e g) ). f = og) u voisinge de b. g) converge lors On un résul nlogue sur ], b]. f) converge. Si f) diverge lors g) diverge. Il es bsolumen indispensble de menionner cliremen l hypohèse de posivié en uilisn ces crières de comprison. Toue omission à ce niveu rendr nulle vore soluion. L convergence bsolue. < < b +. f es une pplicion de [, b[ dns R coninue sur [, b[. L inégrle f) es bsolumen convergene si l inégrle < < b +. f es une pplicion de [, b[ dns R coninue sur [, b[. f) es convergene. On suppose que ALORS : f) es bsolumen convergene. f) es convergene e f) f) ) On un résul nlogue sur ], b]. Remrque L réciproque es fusse ; une inégrle peu êre convergene sns êre bsolumen convergene ; elle es lors semi-convergene. sin es semi-convergene e il convien de svoir le démonrer. Remrque < b < +. f es une pplicion de [, b[ dns R coninue sur [, b[. Il impore de se convincre que l inéglié f) f) ne peu êre écrie que si bsolumen convergene. Qu on se le dise e que l on se le vérifie. f) es

5 J.F.C. IG p. 5 Remrque PP < b < +. f es une pplicion de [, b[ dns R coninue sur [, b[. Si f grde un signe consn sur [, b[ ou sur un voisinge de b, Inégrion pr pries. f) e < < b +. u e v son deu pplicions de [, b[ dns R de clsse C sur [, b[. ) On suppose que uv dme une limie finie à guche en b. Alors u )v) e En cs de convergence : u)v ) son de même nure. u )v) = lim b [u)v)] u)v) u)v ) f) son de même nure. On des résuls nlogues sur ], b] e sur ], b[. Le progrmme di : on effecuer une inégrion pr pries sur un segmen e on fer un pssge à l limie on s bsiendr donc de fire des inégrions pr pries sur des inégrles impropres. PP Non seulemen il fu êre cpble d uiliser une inégrion pr pries pour clculer une inégrle impropre mis il fu êre cpble de jusifier l convergence d une inégrle impropre en uilisn une inégrion pr pries. Chngemen de vrible. Le résul du progrmme < b + e < β +. f es une pplicion coninue de ], b[ dns R. ϕ es une bijecion sricemen croissne de ], β[ sur ], b[, de clsse C. Alors les inégrles En cs de convergence : fu) du e β fu) du = β ϕ ) f ϕ) ) son de même nure. ϕ ) f ϕ) ). Énoncé nlogue lorsque ϕ es décroissne. Remrque Ce héorème n que peu d inérê dns l mesure où il ne recouvre ps direcemen oues les siuions usuelles. PP Ne ps fire de chngemen de vrible sur une inégrle impropre. Toujours revenir à des inégrles sur un segmen. PP Non seulemen il fu êre cpble d uiliser un chngemen de vrible pour clculer une inégrle impropre mis il fu êre cpble de jusifier l convergence d une inégrle en uilisn un chngemen de vrible.

6 J.F.C. IG p. 6 Eercice S Des clculs simples. Monrer l eisence e donner l vleur de : ) e) ln ; b) ; c) + e > ) ; d) e e + )y e > e y > ) orl ESCP.5. + ) Eercice S Nure d une inégrle impropre. e + > ) ; Éudier l nure des inégrles suivnes : ) 4 ; b) ln 3 ; c) ; d) ) e e sin ; e). Eercice 3 S Nure d une inégrle impropre. Éudier l nure des inégrles suivnes : ) + ) sin 3 ; b) sin sin ) ; c) + ; d) ln Eercice 4 S Nure d une inégrle impropre. Déjà Berrnd. Éudier l nure des inégrles suivnes : ) e) ln ; b) ln ; f) ln ; c) ln ; g) ln ; d) ln ; h) Eercice 5 S Nure d une inégrle impropre. Éudier l nure des inégrles suivnes : ) lnsin ) ; b) sin ln + ; c) ) ln ; ln Eercice 6 S Nure d une inégrle impropre à prmères. es un réels Éudier l nure de : ) sin ; b) + + ; c) ln + ) ; e) + rcn ) ln ) ln ) ; d) ; + ) + ) ; d) e ; e) Eercice 7 S Nure d une inégrle impropre à prmères. Orl ESCP. e β son deu réels. Éudier l nure de e de + β + β. Représener dns R l ensemble des poins de coordonnées, β) els que l inégrle Eercice 8 S Nure d une inégrle impropre à prmères. e β son deu réels sricemen posiifs. Éudier l nure de ln + β ). Eercice 9 S Nure d une inégrle impropre à prmères. Foncion bê. Inconournble. 4 ln ). sin ) n ) converge. + β.

7 J.F.C. IG p. 7 e β son deu réels. Éudier l nure de ) β. Eercice PC Nure d une inégrle impropre à prmères. e β son deu réels. Éudier l nure de ln ) ) β. Voir orl ESCP.9 ou le suje 6. Eercice En vue des produis sclires usuels. Inconournble. Q. Soi f une pplicion coninue de [, ] dns R. Monrer que Q. R pprien à R[X]. Monrer que R) e e Eercice S En vue des produis sclires usuels gin. E es l ensemble des pplicions coninues f de [, b[ dns R elles que Q. Monrer que si f e g son deu élémens de E, f) converge. R) e convergen. f ) converge < < b + ). f) g) es bsolumen convergene. Q. Monrer que E es un espce vecoriel sur R pour les opérions usuelles sur les foncions numériques...) Eercice 3 PC QSP HEC 5. Inégrles impropres e séries. Uilision du héorème fondmenl sur l convergence des inégrles impropres de foncions posiives e sur l convergence des séries à ermes posiifs. X es une vrible léoire de densié f nulle sur ], [ e coninue sur [, + [. On pose Y = En X) prie enière...) Monrer que X possède une espérnce si e seulemen si Y possède une espérnce. Eercice 4 PC Inégrle de Berrnd Apprendre le résul e l prique. Éudier l nure de ln ) β e ln ) β Eercice 5 S Nure d une inégrle impropre à prmères. Berrnd oujours. p es dns N e es dns R. Nure de ln ) p e. Sns doue uile pour prler des dérivées de l foncion Γ. Eercice 6 S Inégrion pr pries Q. Eisence e vleur de Q. Eisence e vleur de Q3. Eisence e vleur de ln e + ) rcn ln ).. ln + ).

8 J.F.C. IG p. 8 Eercice 7 S Inégrion pr pries es un réel sricemen posiif e β es un réel. Monrer l eisence e donner l vleur de Eercice 8 S Inégrion pr pries e sinβ ) e de es un réel. Éudier l eisence de ln e là clculer le cs échén. e cosβ ). Eercice 9 S Inégrion pr pries. Vers les momens d une vrible léoire qui sui l loi normle cenrée réduie. Clssique, sns doue à fire. On pose, pour ou n élémen de N, I n = Q. Monrer que I n eise pour ou élémen n de N. Q. Monrer que si n es impir, I n es nulle. n e /. Q3 ) p es élémen de N. Eprimer I p+ en foncion de I p. b) En déduire l vleur de I p pour ou élemen p de N on rppelle que I = π). Eercice PC Inégrion pr pries. Endomorphisme de polynômes. Soi u l pplicion qui à un polynôme P de R[X] ssocie up ) défini pr : R, up )) = e e P ). Monrer que u es un endomorphisme de E. ] Conenu dns orl ESCP.4. Dns LYON 99 Pb on rie de P [e e P ). Eercice PC Inégrion pr pries. Inégrle de Dirichle. Très clssique. À svoir fire., β, e γ son rois réels. On suppose que es non nul. Q. ) Monrer que si γ >, b) Monrer que si < γ, remrquer que sin u cosu) c) Conclure cee première quesion. Q. Monrer que sin sin + β) γ sin + β) γ ). es bsolumen convergene. es convergene mis n es ps bsolumen convergene on pourr es convergene mis n es ps bsolumen convergene. Q3. γ es un réel sricemen négif. Monrer, en risonnn pr l bsurde, que divergen considérer E si γ =? 3 +k π sin e... ). π 6 +k π γ sin γ cos e γ

9 Q4. Fire le poin sur l nure de sin γ cos e γ. J.F.C. IG p. 9 On rouve l inégrle de Dirichle, pr eemple dns LYON 984, LYON 4 PB, orl ESCP -6, ESCP -, ESCP.9 Eercice PC Inégrion pr pries. f es une pplicion coninue de [, + [ sur R. Monrer que si f) converge lors f) Eercice 3 PC Inégrion pr pries. converge. f es une pplicion de [, + [ dns R de clsse C. On suppose que Monrer que En déduire que f) f ) es bsolumen convergene. f ) converge on pourr risonner pr l bsurde). f ) e f ) convergen. Eercice 4 PC Inégrion pr pries. Condiion nécessire e suffisne de convergence d une inégrle impropre de foncion posiive. f es une pplicion de R + dns R de clsse C sur R +. On suppose que f) = e que Q. Monrer que Q. Monrer que f ) f ) inégrion pr pries e...). converge. f ) ) converge. converge on pourr monrer que A Eercice 5 S Chngemen de vrible. Q. Eisence e clcul de Q. Eisence e clcul de Q3. Eisence e clcul de Q4. Clcul de Q5. ], [. Clcul de u = ). ln u = ). 3 ln + 4 ) 3 u = 4 ). A u = n ) conenu dns orl ESCP cos ) En plus Eisence e clcul de : ) c) f ) u = ) conenu dns orl ESCP.8. ) u =, R. : ln ) b) = n θ), R. : π/4) d) + ) u = /, R. : ) cos lnn ) u = sin, R. : ln ) es mjorée en uilisn une

10 J.F.C. IG p. Eercice 6 S Chngemen de vrible. Dns ESCP.. Trouver le domine de définiion de F : e de symérie u = ). Eercice 7 S Chngemen de vrible. n es un élémen de N e es un réel sricemen posiif. Monrer que n e eise e vu n! n+ Eercice 8 S Chngemen de vrible. Q. Clculer I = +. e monrer que l courbe représenive de F dme un + Q. es un réel. Éudier l nure de J = + ) + fire rès simple). ) Q3. es un réel el que J converge. Monrer K = En déduire l vleur de J clculer J!!). Eercice 9 S Chngemen de vrible. Q. Monrer que I = Q. Monrer que J = Q3. Monrer I = J = K = π ln lnsin ) converge. lncos ) e K = u + u ) + u du eise e vu J. ) lnsin )) convergen e son égles à I. on pourr fire inervenir I + J) On rouve cel dns ESCP MI 995. Dns orl ESCP 4 on éudie Eercice 3 S Chngemen de vrible. n [, + [. Monrer que Figure dns l orl ESCP Eercice 3 S Chngemen de vrible. Q. Monrer que ln sin ). + ) converge e vu n n u = +...) ln eise e vu. + Q. es un réel sricemen posiif. Monrer que Eercice 3 S Chngemen de vrible. Q. Monrer que I = ln converge. Q. es un élémen de ], [. Monrer que ln ln π ln eise e vu + eise e vu ln ln.

11 J.F.C. IG p. Monrer que lim = ln. En déduire I. ln Thème bordé dns EDHEC 996 e. Eercice 33 PC Chngemen de vrible. Q. es un réel. Monrer que ln Q ], + [ e ], [. Monrer que Clculer + converge si e seulemen si >. ln ln e en déduire que I = ln + ) = + ln. Eercice 34 S Chngemen de vrible évenuel. Uilision des densiés usuelles. Technique à dominer., b e c son rois réels. On suppose que es sricemen posiif. π Monrer que e +b+c) converge e vu e b 4c 4. Figure dns HEC MII 4 Eercice 35 S Chngemen de vrible. Inégrion pr pries. e β son deu réels sricemen posiifs. Q Éudier l convergence de I = ln + ) β. Q. Clculer I lorsque β = + )... π + ). Eercice 36 S Inégrion pr pries. Chngemen de vrible.. p e q son deu élémens de N. Q. Monrer l eisence de Ip, q) = p ln ) q. Q. Clculer Ip, q) en uilisn l inégrion pr pries. Q3. Rerouver le résul de Q en uilisn le chngemen de vrible u = p + ) ln. Eercice 37 S Inégrion pr pries. Chngemen de vrible. Foncion bê gin. Très clssique. À svoir fire. Q. e β son deu réels. Monrer que B, β) = Q. e β son deu réels sricemen posiifs. ) Monrer que B, β) = Bβ, ). b) Eprimer B, β + ) en foncion de B +, β). c) Monrer que B +, β) + B, β + ) = B, β). ) β eise si e seulemen si > e β >.

12 d) Monrer lors que B +, β) = B, β). + β) Q3. p e q son deu élémens de N. Monrer que Bp +, q + ) = Q4. Clculer B, n + ) pour dns ], + [ e n dns N. p! q! p + q + )! J.F.C. IG p. Q5. Soi n un enier supérieur ou égl à. ) Pour ou réel u el que u <, monrer que ln u) u. < ok?) En déduire, pour ou réel de l inervlle [, n], l inéglié : n) n e. b) Éudier les vriions de l foncion ϕ définie sur [, n[ qui, à ou réel de [, n[ ssocie : ) ϕ) = ln n ln ). n n Éblir, pour ou réel de [, n], l inéglié : ) e n. n n) Monrer, en deu lignes, que ceci vu encore pour dns [, n]. c) Jusifier, pour ou réel de [, n], les inégliés : e n e n) n e. En déduire propremen e simplemen que, pour ou réel sricemen posiif : Γ) = lim n + n n) n. n n! Q6. Monrer que : Γ) = lim n + + ) + n) On rouve le résul de Q5 dns HEC 984, orl ESCP.4. On rouve le résul de Q6 dns HEC 5 MI, orl ESCP.4, dns le problème d ECRICOME 998. Dns ESSEC 994 MI on rouve Q, Q e B, β) = Γ) Γβ) Γ + β) Eercice 38 PC Inégrion pr pries. Chngemen de vrible. Orl ESCP Clssique. Bon enrînemen Q. Monrer que e ln converge. On noe l s vleur. Q. Soi un réel sricemen posiif. Monrer que : jusifier l eisence des inégrles). e ) En déduire lim + ln. e Q3 ) Soien e b deu réels sricemen posiifs. Monrer que enre e + e en uilisn Q). e = ln + l + on commencer pr e e b eise e l clculer en inégrn

13 J.F.C. IG p. 3 Q4. Monrer l eisence e donner l vleur de ln. Thème bordé dns LYON 9 Pb, orl ESCP., 5.3,. Eercice 39 PC Chngemen de vrible. e b son deu réels sricemen posiifs. f es coninue sur ], + [, dme une limie finie l en e Monrer que f) fb) converge e vu l ln b Applicion. Monrer l eisence e rouver l vleur de Thème bordé dns orl ESCP.,. f) converge. rcn) rcn) enion piège à c.). Eercice 4 S Inégrion pr pries. Chngemen de vrible. Clcul de l inégrle de Dirichle. Bon enrînemen. Q. Monrer que si f une foncion de clsse C sur [, b] : lim + Q. Monrer que I = sin converge. Q3. Monrer que pour ou n élémen de N, I n = générl I n es consne. Q4. Monrer que pour ou n élémen de N, J n = En déduire que sinn + )) sin sinn + )) sin = π f) sin) =. converge. Monrer que l suie de erme converge. Monrer que lim I n J n ) =. n + On clcule l inégrle de Dirichle dns LYON 984, LYON 4 PB, orl ESCP -6, ESCP -, ESCP.9. Eercice 4 PC Chngemen de vrible. Inégrion pr pries. Un conre-eemple imporn. Q. Monrer que I = Q. Monrer que J = Q3. Monrer l convergence de K, J e I. sin ) es de même nure que J = sinu) u du. sinu) + cosu) du es de même nure que K = u u u du. Q4. Monrer que sin ) n ps de limie en + consruire deu suies qui enden vers + don les imges pr f n on ps l même limie). Q5. Monrer que I = En plus n [, + [. Monrer que sin ) n es ps bsolumen convergene. sin n ) es semi-convergene. Conenu dns orl ESCP