1 ANALYSE. Exercice 1.1. Soit f une fonction de ]0, + [ dans R de classe C 2 vérifiant pour tout

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1 ANALYSE Eercice.. Soi f ue focio de ], + [ das R de classe C vérifia pour ou ], + [ : f( + = f( e f ( >.. O suppose qu il eise c > el que f(c =. Morer qu il eise u ]c, c + [ e v ]c +, c + [ els que f (u = f (v =. E déduire ue coradicio puis jusifier que f( es de sige cosa sur ], + [.. Morer que f es croissae e e s aule qu ue fois sur R +, e u poi α apparea à ], [. E déduire que f es oujours posiive. 3. a Doer ue relaio ere f( e f( pour N,. E déduire la limie de f e +. b Doer u équivale de f( quad ed vers par valeurs supérieures. E déduire la limie de f( lorsque ed vers par valeurs supérieures. c Doer le ableau des variaios de f. 4. O cosidère das cee quesio ue focio f de D = ], [ ], + [ das R de classe C vérifia, pour ou D : f( + = f(, e pour ou ], + [, f ( >. Doer le sige de f sur ], [ e les limies de f( lorsque ed vers par valeurs iférieures e lorsque ed vers par valeurs supérieures. Soluio :. Avec f(c =, o a f(c+ = cf(c =, puis f(c+ = (c+f(c+ =. Le héorème de Rolle ous assure alors de l eisece de u e v coveables.

2 6 ESCP-Europe - Oral Toujours par le héorème de Rolle appliqué maiea à f, il eise w > el que f (w =, ce qui coredi l hypohèse. O e dédui que f e s aule pas. Par le héorème des valeurs iermédiaires (e la coiuié de f, elle es doc de sige cosa.. Comme f ( >, o e dédui que f es sriceme croissae. Or f( = f( = f(, doc il eise α ], [ el que f (α =. O e dédui que f es décroissae sur ], α[ e croissae sur ]α, + [. Mais f(3 = f(, doc si f( <, o aurai f(3 < f( ce qui es coradicoire. Aisi f( >. Comme f es de sige cosa, f es oujours posiive. 3. a O obie par récurrece f( = f((!. O e dédui que f( f( = f( (!, (où. désige la focio parie eière doc f( ed vers + e +. b La relaio f( + = f( doe quad ed vers par valeurs supérieures : f( f( (car f( doc f( ed vers + e lorsque ed vers par valeurs supérieures. f( + 4. O a pour ], [, f( =. Or < doc f( <. E faisa edre vers par valeurs iférieures, o more, comme au 3. b, que f( f( doc f( ed vers lorsque ed ves par valeurs iférieures, car cee fois-ci, <. f( + Das la relaio f( =, o pose = + h ; elle devie f( + h = f(h h. O fai edre vers par valeurs supérieures doc h vers e o obie que f( ed vers lorsque ed vers par valeurs supérieures. Eercice.. O cosidère ue focio f défiie e coiue sur R +.. O suppose das cee quesio que f es décroissae, sriceme posiive sur R + e que l iégrale f( d es covergee. a Soi r u réel sriceme posiif. Morer que pour ou eier k, o a : (k+r kr f( d rf(kr b Morer que pour ou de N, o a : kr (k r f( d

3 Aalyse 7 r f(kr f(d. r k= E déduire que la série f(kr es covergee. O oe ϕ(r la somme de k cee série. c Doer u équivale de ϕ(r lorsque r ed vers par valeurs supérieures.. O suppose das cee quesio que l iégrale f( d coverge. a Soie (a, b u couple de réels els que < a < b e u réel sriceme posiif. Prouver que l o a : f(a f(b d = b a f( b Pour R +, o pose γ( = sup f(s f(. s [,] Morer que la focio γ es bie défiie, croissae, e ed vers lorsque ed vers. Prouver l iégalié suivae : b f( f( d γ(b l a b. a c E déduire que l iégrale calculer. f(a f(b d. d es covergee e la 3. Que peu-o dire de la série e kr e kr, où r >? Que peu-o dire k k de sa somme lorsque r ed vers? Soluio :. a Si r >, comme f es décroissae, o a : (k+r kr O a aussi, pour k : f(d kr (k r (k+r kr f(d f(krd = rf(kr. kr (k r f(krd = rf(kr. b E uilisa la quesio précédee, o obie par sommaio : rf(kr kr r f(d = f(d f(d. k= k= (k r Comme la série cosidérée es à ermes posiifs, o e dédui qu elle es covergee.

4 8 ESCP-Europe - Oral c E uilisa à ouveau la quesio a, o voi que (+r Fialeme, o obie : r f( d = k= r (k+r kr f( d f(d r ϕ(r k= rf(kr f( d Comme l iégrale de f es covergee e de valeur o ulle, o e dédui que : ϕ(r ( + f(d r. a Soie (a, b u couple de réels els que < a < b e u réel sriceme posiif. Compe eu de l hypohèse, il y a pas vraime de problème de covergece e + e o a avec des chagemes de variables évides : f(a f(b d = = a f(a d f(u u du b f(b f(u u d du = b a f(u u b Comme la focio s f(s f( es coiue sur le segme [, ], elle y es borée e par coséque la bore supérieure γ( es bie défiie. La croissace de γ es évidee puisque [, ] [, ] si. Le fai que γ coverge vers e + provie direceme du fai que f es coiue e +. Par ailleurs, o obie : b a f ( f( c O observe que d b a f ( f( d f (a f (b b a d f( l b a = b du γ (b d = γ (b l a b. a f ( f( d. Or l iégrale du membre de droie ed vers lorsque +. O e dédui à la fois la covergece e la valeur f( l (b/a de l iégrale cosidérée. { e e 3. O irodui la focio h( = si >. Cee focio es si = coiue sur R +, sriceme posiive e d iégrale covergee sur R +. Pour >, o a : h ( = ( + e + ( + e [ = ] e + ( + e Ue éude rapide la focio ψ( = + ( + e doe ψ ( = ( + e < e comme ψ( =, la focio ψ es égaive e h décroî. O peu doc uiliser les résulas précédes e o obie la covergece de la série e le fai que

5 Aalyse 9 + k= e kr e kr k ( + e e d = l e par coséque la somme coverge vers l lorsque r ed vers. Eercice.3. Soi F la focio de la variable réelle défiie par : F ( =. Morer que F es défiie sur R.. a Calculer F ( e F (. e l(+ d. b Morer que : ( + d = 4 + F (. E déduire ue relaio ere F ( e F (, puis calculer F (. c Plus gééraleme, éablir ue relaio de récurrece ere F ( e F ( +, pour N. d Eprimer, sous forme de somme, F ( pour eier aurel o ul. Doer les valeurs de F ( e F ( sous forme de fracios. 3. Morer que la focio F es décroissae sur R. 4. Pour <, éudier les variaios de ϕ : e l(+ sur [, ], e ( calculer ϕ. E déduire la limie de F e, aisi que la limie de F ( quad ed vers. 5. Morer que pour u [, ], l( + u u l ; e déduire lim + F (. Soluio :. Pour ou réel, l iégrale proposée eise (iégrale d ue focio coiue sur le segme d iégraio.. a F ( = d = e F ( = + d = Arc a = π 4. b O réalise ue iégraio par paries : u ( = ( + = u( = ( + ; v( = = v ( = Les focios u e v éa de classe C sur R, la maoeuvre es légiime e doe : [ ] ( + d = ( + + d + = 4 + F ( Or :

6 ESCP-Europe - Oral F ( = ce qui doe : e l(+ d = ( + d = + ( + d F ( = F ( ( 4 + F ( = π c Procédos de faço aalogue : F ( + = = F ( ( + + d = ( + + d + ( + + d ( + d ( + + d Noos J + = ( + + d e iégros par paries : u ( = ( + + = u( = ( + ; v( = = v ( = Les focios uilisées so de classe C e : [ ] J + = ( + + F ( Aisi : J + = + + F (. E repora, o obie la relaio cherchée : F ( + = ( F ( + + d Pour N : F ( = ( + d = ( k k d = E pariculier : F ( = 4 3 k= e F ( = 8 5. k= ( k k F es décroissae sur R, car si e so deu réels els que, l( + éa posiif pour ou réel, o a : e l(+ e l(+, puis e iégra F ( F ( 4. Pour <, ϕ : e l(+ es croissae sur [, ], e ϕ ( = ( 5 4. Alors : F ( /e l(+ d ( 54. O e dédui (limies classiques que +. lim F ( = + e lim F ( = 5. Par coveié u [, ] = l( + u u l (o ie la corde e doc pour > : F ( l e l d = e u du e u du l l

7 Aalyse Aisi, F éa à valeurs posiives : lim + F =. Eercice.4. Pour ou N, o pose : I = ( e d.. Calculer I e I. Éudier la moooie de la suie (I.. Morer que la suie (I coverge e déermier sa limie. 3. Trouver ue relaio ere I + e I. E déduire la limie de I quad ed vers Pour k [[, ]], déermier u polyôme P k de degré au plus k el que : I = P k ( + o ( k quad ed vers l ifii 5. a Pour ou polyôme Q de degré au plus q, morer l eisece d u polyôme R de degré au plus q el que : Q ( ( = R ( + o quad ed vers l ifii + q b E déduire que, pour ou k N, il eise u polyôme P k de degré au plus k el que : I = P k ( + o ( k quad ed vers l ifii Soluio :. U calcul immédia doe : I = I = ] [( e [ e ] = e e d = I = e Pour ou [, ], o a ( + (, doc la suie (I décroî.. La suie es décroissae e posiive doc elle coverge. Pour ou [, ] o a : e e, doc e iégra : + Doc (la majoraio suffisai 3. Par iégraio par paries : ] I + = [( + e Aisi I = I + + ( lim I =. + e + I ( + ( e d = ( + I. Doc : lim I =

8 ESCP-Europe - Oral 4. O a : I = + o(, doc P =, o vie de voir que I = + o(, doc I = + o( e P = X. Comme I = ( I + +, o a : (I = (( + I + = + + (+I ( + + = 3 Doc I = 3 + o( e P = X 3X 5. a Soi le polyôme Q = a +a X+ +a q X q. La focio es de + classe C doc elle adme u développeme limié à l ordre q. Alors, classe oblige, Q ( adme u développeme limié d ordre q e ; oos R( + sa parie pricipale (de degré au plus q ; o a : Q ( = R( + o( + q Si o pred =, alors + = +, doc : Q( ( = R ( + o. + q b Par récurrece sur k. Si P k eise, o a : I = + ( I + = + ( ( Pk ( + o + ( + k = + ( ( Pk ( + o ( = Q ( + o, + ( + k+ + ( + k+ avec Q = X( P k ( = P ( k+ + o ( + o, par 5.a, avec k+ ( + k+ Pk+ = R ( = P ( k+ + o k+ E alors P k+ es de degré au plus k + comme Q. Eercice.5. Soie a R e (u, f u couple de focios coiues sur l iervalle I = [a, + [ à valeurs réelles. O suppose que u es posiive e qu il eise ue cosae k elle que, pour de I, o a : f( k + a u(f( d. O cosidère la focio F défiie sur I par : F ( = a Morer que F es de classe C sur I. a u(f( d.. b Prouver que pour de I, o a : F ( ku( + u(f (,où F es la focio dérivée de F. c Vérifier que la focio défiie sur I par : ( F ( u(f ( ep ( a u( d

9 Aalyse 3 es la dérivée d ue focio que l o déermiera. d E déduire que pour de I, o a : F ( k + k ep ( u(d e Morer que pour ou I, o a : f( k ep ( u(d.. Soi f la focio coiue sur R +, dérivable sur R +, qui saisfai l équaio suivae : f ( + e f( = cos ( + e elle que f( = (o e cherchera pas à déermier cee focio i même à morer so eisece. a Morer que pour réel posiif, o a : f( + e f( d b Prouver que f es borée sur R +. a a Soluio :. a La focio u ( f ( es coiue sur I comme produi de focios coiues, doc F es coiue sur I, dérivable sur ]a, + [ e o a F ( = u(f(, doc F es coiue sur ]a, + [. Comme F ( adme ue limie égale à u(af(a, la focio F es de classe C sur I. b O sai que f( k + a u(f(d = k + F (. Comme u es ue focio posiive, o e dédui que F ( = u(f( ku( + u(f ( c La forme de la focio suggère que c es la dérivée de la focio G : F ( ep ( u(d O le jusifie e observa que les règles de dérivaio d u produi e d ue focio composée s applique. d Avec la quesio b, o voi que : où H( = k ep ( G ( ku( ep ( a u(d. D où : G( = G( G(a k k ep ( a a u(d = H ( a u(d

10 4 ESCP-Europe - Oral Ce qui eraîe que : F ( k ep ( u(d k. a e E combia l hypohèse e l iégalié de la quesio d, o obie pour I : f( k + F ( k ep ( u(d. a Comme f( =, il vie : f( = f (d cos ( + e f( d [ ( + d + ( + ] + + e f( d e f( d e f( d = a ( e f( d b Les hypohèses de la quesio so saisfaies, o a doc d après. e e pour ou de R + : f( ep ( e d = ep [ e ] e Eercice.6.. O cosidère ue suie réelle (a N de limie l R. a Écrire la défiiio mahémaique de la covergece de la suie (a vers l. b Morer que pour ou ε >, il eise N el que pour ou, o a : a k l (a k l + ε k= c E déduire la limie de la suie (v défiie pour ou N par : v = a k k= k=. Das cee quesio, o cosidère la suie (u défiie par : u = π 4 e pour, u + = si(u. a Morer que la suie (u coverge e doer sa limie. ( b Morer qu il eise u réel α el que lim + u α eise e es + u α u réel o ul. c Quelle es la aure de la série de erme gééral u?

11 Aalyse 5 Soluio :. a ε >, N, k, a k l ε/ b aya le ses précéde, pour, o peu casser la sommaio : a k l = (a k= k l (a k= k l + (a k= k l k= (a k l + a k l (a k= k= k l + ε k= c E :,, (a k l ε, doc pour N = ma(, k= o a : v l ε, ce qui prouve que la suie (v coverge vers l.. a O more par récurrece que pour ou N, u ], π/[, ce qui more que u >. La suie (u es décroissae puisque, pour ou réel >, o a si < (iégalié sadard. Aisi, la suie (u es covergee. E oa l sa limie, o a l = si l, ce qui doe l =. b Grâce au développeme limié de la focio sius au voisiage de, à l ordre 3, il vie : Doc e u α + = u α u + = si(u = u u3 6 + o(u 3 ( u + o(u 6 α = u α ( + αu 6 + o(u u α + u α αu α ( 6 Ceci es de limie fiie o ulle si e seuleme si α =, la limie vala alors O uilise le résula de la quesio. : la suie v défiie par v = u + u ed vers 3. Doc : lim + k= ( u = lim k+ u + k Aisi u 3, soi u 3 ( eraîe la divergece de la série u. Eercice.7. ( u = u 3 e par posiivié, u 3, ce qui ( Das ce eercice, e p so deu eiers aurels o uls els que > p. Soi (E l équaio d icoue apparea à R + e de paramère réel :

12 6 ESCP-Europe - Oral + p =.. Morer que pour ou réel, (E adme ue uique soluio sriceme posiive y. O pose y = f(.. a Morer que la focio f aisi défiie es décroissae sur R. b O adme que la focio f es de classe C sur R. Eprimer sa dérivée f à l aide de f. 3. Doer u développeme limié à l ordre de f e. 4. a Déermier lim f(. E déduire u équivale simple de f(, lorsque + ed vers +. b Déermier lim f(. 5. Soi α e β deu réels. Déermier e focio de α e β la aure de l iégrale Soluio : (f( α β d.. Soi réel fié. Posos ϕ : + p. La focio ϕ es polyomiale doc dérivable e : ϕ (y = y p ( y p + p. Si, ϕ es sriceme croissae sur R +, avec ϕ ( = < e ϕ ( = ou lim ϕ = +, o coclu à l eisece e l uicié de la + soluio de (E. p Si <, ϕ s aule e = ( p > e la focio ϕ décroî sriceme sur [, ], croî sriceme sur [, + [. O coclu par le même argume.. a Soi <. Posos y = f( e y = f(. Pour ou y : y + y p y + y p e : = y + y p y + y p ce qui more que ϕ (y. Comme ϕ es posiive que sur [y, + [, o coclu : y y. Aisi la focio f es décroissae (même e fai sriceme. b O sai que, pour ou réel, [f(] + [f(] p =. Comme f es supposée dérivable, il vie : f ([f(] +[f(] p +pf ([f(] p =, soi (oujours parceque la dérivabilié a éé admise : f [f(] ( = p [f(] + p[f(] p

13 Aalyse 7 Comme f( =, il vie f ( =. 3. O a supposé que f es de classe C. Aisi u développeme limié e à l ordre es doé par : f( = f( + f ( + f ( + o(. E redériva : f ([f(] +( [f (] [f(] +pf ([f(] p +pf ([f(] p +pf ([f(] p + p(p [f (] [f(] p = Avec f( = e f ( =, il vie f ( = p + e f( = (p o( 4. a La focio f es posiive e décroissae sur R +, doc adme ue limie λ e +. Supposos λ >. Alors lim f ( = λ, lim f p ( = λ p e + + lim f (+f p ( =, e coradicio avec f (+f p ( =. + Doc λ =. O a : [f(] p ( + [f(] p =, doc par le résula précéde lim + [f(]p = e f( /p. (+ b Si l o suppose que lim f( = µ R, alors : lim f ( = µ, lim f p ( = µ p e lim f ( + f p ( = e + coradicio avec f ( + f p ( =. Aisi µ eise pas e f( = +, par décroissace de f sur R. lim 5. La focio h : β [f(] α es coiue sur ], + [. au voisiage de, h( β e β >. au voisiage de +, h( β α/p e seuleme si α p β >. h(d coverge si e seuleme si h(d coverge si e Bref, l iégrale eise si e seuleme si β > e α > p( + β. Eercice.8. Soi A = R + R + e f défiie sur A par : y f(, y = e f(, = ( + ( + y( + y Pour (, y R, o oe (, y = + y.

14 8 ESCP-Europe - Oral. Morer que (, y A \ {(, }, f(, y (, y E déduire que f es coiue sur A.. Déermier le miimum de f sur A. 3. Morer que si > ou y >, alors f(, y. Jusifier que f es borée sur A e aei ses bores. 4. Déermier le maimum de f sur A. 5. Morer que pour (, y A, de orme assez grade, f(, y es aussi pei que l o veu. Soluio :. O a pour (, y A \ {(, } (ou es posiif : f(, y ( + ( + y + y y y + y Ceci eraîe que lim f(, y = e f es coiue e (,. (,y (,. Comme f(, = e f es posiive sur A, il vie mi f(, y =. (,y A 3. O a, pour >, y > : f(, y + y + y + y + y Soi K = [, ]. L esemble K es fermé boré, doc sup f eise e es aei. Comme sup f A\K f(, = 8 > ; doc sup A, la focio f es borée sur A. de plus f = sup f. K 4. Le maimum de f es pas aei e u poi du bord de K, e comme f es de classe C sur l iérieur de K, il es aei e u poi criique. Or f (, y = y(y f ( + e ( + y( + y y (, y = ( y ( + y ( + (y + Les pois criiques vérifie y = e = y, e comme, y so o uls, ceci es équivale à = y =. C es le poi où le maimum es aei. 5. Pour, y posiifs, o a + y + y, d où f(, y + y, ce qui doe le résula. Eercice.9.. Morer que, pour ou réel y, les iégrales e cos(y d, e si(y d e K e cos(y d

15 Aalyse 9 so covergees. O défii aisi ue focio F qui à ou réel y, associe le ombre : F (y = e cos(yd. Morer que F es borée sur R. O rappelle que : p, q R, cos p cos q = si p + q si p q 3. a Éablir, pour ou réel, l iégalié : si. b E déduire que F es coiue sur R. 4. a Morer que a, b R, cos(a + b cos a + b si a b. b E déduire que F es dérivable sur R e que pour ou réel y, la dérivée F de F es doée par : F (y = e si(yd c E déduire que pour ou réel y, F (y = yf (y. π d Morer que pour ou réel y : F (y =. e y Soluio :. Pour ou réel y, e cos(y e qui es ue focio iégrable sur R +. O coclu par le héorème de majoraio. De même e si(y e e e cos(y e e les focios majoraes so iégrables sur R +.. L iégalié ci-dessus more que pour ou y réel : F (y π. e d = 3. a C es l iégalié des accroisseme fiis pour la focio sius sur l iervalle [, ]. b Soi y réel fié. Grâce à la formule rappelée : F (y + h F (y h e cos((y + h cos(y d e si(y + h si(h d e d

16 ESCP-Europe - Oral Il rese à faire edre h vers pour morer la coiuié de F e y, doc sur R. 4. a Soi ϕ : cos. O a ϕ(a + b ϕ(a bϕ (a b sup ϕ b [a,a+b] Ce qui es eaceme le résula demadé. b Pour y réel e h o ul, o écri alors : = F (y + h F (y + e h si(y d = e h (cos(y + h cos(y + h si(y d h h + e cos(y + h cos(y + h si(y d e h d h e d Le majora es de limie ulle quad h ed vers, doc F es dérivable e y e F (y = e si(y d c Effecuos ue iégraio par paries sur [, A]. Toues les focios e jeu so de classe C. A ( e si(yd = [ e si(y ] A A y e cos(yd O fai edre A vers +. Il vie : F (y = yf (y d Cee équaio différeielle liéaire s iègre e F (y = Ke y. La π cosae K es déermiée par K = F ( = e d =. Eercice.. Soi h la focio défiie sur R par : h( = π, e g la focio défiie sur [, π] par : h( g( = si( si ], π] si =. Morer que la focio g es de classe C ([, π].. Déermier ue cosae C elle que pour ou eier, pour ou réel de ], π] : cos(k = si ( ( + k= si + C

17 Aalyse 3. Morer que pour oue focio f C ([, π] : π lim + f( si ( ( + d = Soi la focio ζ défiie par : ζ( = + k= k. 4. Déermier le domaie de défiiio de la focio ζ. 5. Pour k N, calculer I k = π h( cos(kd. 6.Déduire des quesios précédees que ζ( = π 6. Soluio :. Sur ], π] les héorèmes géérau permee de coclure, g es même de classe C, avec pour > : g ( = ( π si ( π cos 4 si = ( π ( π + o( π Comme h( ( e si u ( u, o a lim g( = = g( e g es coiue e. Le héorème des focios de classe C s applique e g es dérivable e avec g ( = π, doc g es de classe C sur le segme [, π].. Comme ], π], o a e i e par u calcul classique : Doc : S = k= e ik = ei(+ e i = e i si( + si( k= cos(k = cos( +. si( si( La forme demadée eige de rasformer le produi du uméraeur e somme : cos(. si( + = [si( + + si( + + ] = [si( + si( + ] O obie la formule voulue, avec C =. 3. E iégra par paries : π I = f( si ( (+ d = [f( cos(( + ] π ( + + Soi : π f ( cos(( + + d

18 ESCP-Europe - Oral Or : π π I = f( + f + ( cos(( + d f (. cos(( + π d f ( d, doc : lim π f( si ( ( + d = 4. Ce so des séries de Riema, la focio ζ es défiie sur ], + [. 5. Soi k N, O fai deu iégraios par paries (e dériva la parie polyomiale : k= I k = π h( cos(kd = k π h ( si(k d = = k O dédui de ( : cos(k = si(( + k= si, puis, e repora : k = π π h( cos(kd = h( cos(kd = k= π g( si ( ( + d π k= h( d. O fai edre vers l ifii, o applique le résula de 3. à la focio g de π h( la quesio. e comme o a : d = π, il rese : 6 Eercice.. ζ( = π 6 Soi p u eier de N. O oe S le C-espace vecoriel des suies complees. O cofod focio polyomiale e polyôme associé.. Soi f la focio polyomiale défiie par f( = p+ + p p. Éudier les variaios de f e jusifier que f( = a ue uique soluio das R. O la oe λ.. Soi a C. Soi u eier el que. Soi P (X u polyôme à coefficies complees de degré s écriva sous la forme P (X = k= α k X k. a O pose Q(X = k= ( k α k i= a k i X i. Éablir que P (X P (a = (X aq(x. E déduire que (X a divise (P (X P (a si e seuleme si kα k a k =. k= Doer ue codiio écessaire e suffisae pour que a soi racie au mois double de P.

19 Aalyse 3 b Morer que le polyôme X p+ +X p p adme (p+ racies simples das C, oues o ulles. O les oera z, z,, z p+ avec z p+ = λ. Morer que pour ou k de [[, p + ]], z k λ. (O pourra cosidérer f( z k. Morer que l égalié a lieu si e seuleme si k = p Eemple. Soi P (X = X 3 + X. a Morer que P adme ue uique racie réelle e deu racies complees cojuguées do o déermiera le module e u argume. b Soi E = {(u / N, u +3 = u + + u }. Morer que E es u sous-espace-vecoriel de S. c O pose, pour ou de N, v = e i 3π 4, w = i 3π e 4, =. Morer que la famille ((v, (w, ( es ue base de E. Soluio :. O a f ( = p ((p + + p, d où le ableau : α + f ( + + f Avec α = p ( p p ( p e f(α = p <, car le premier p + p + p + erme de cee epressio vau mois que. Ceci prouve que f s aule sur R e u uique poi λ, avec λ >.. a P (X P (a = α k X k α k a k = k= k= k= α k (X k a k e comme X k a k = (X a(x k + ax k + + a k, o a bie : P (X P (a = (X aq(x Aisi (X a P (X P (a X a Q(X Q(a = kα k a k = k Aisi a es racie muliple de P si e seuleme si P (a = P (a = (ce que l o sai pour le cas réel, mais es pas au programme pour les polyômes complees. b a es racie muliple de P = X p+ + X p p si e seulemem si P (a = e P (a =. La deuième codiio s écri (p+a p +pa p =, soi a = ou a = p e o sai depuis la quesio. que ces ombres p + e so pas racies de P. Aisi P adme p + racies das C e elles so oues simples. f( z k = z k p ( z k + p z k p ( z k + p = z p+ k +z p k p =

20 4 ESCP-Europe - Oral Doc, de par l éude des variaios de f : z k λ e il e peu y avoir égalié que si z k + = z k +, ce qui impose que z k soi u réel posiif (reveir au paries réelles e imagiaires..., doc que z k = λ, i.e. k = p a X 3 + X = (X (X + X + = (X ((X + +, doc les racies de P so :, + i = e 3iπ 4, i = e 3iπ 4 b E coie la suie ulle, es claireme sable par combiaiso liéaire e l applicaio de E das C 3 qui à u associe le riple (u, u, u es u isomorphisme, (la liéarié es baale e la bijecivié es juseme le fai de la relaio de récurrece. c La suie (r es éléme de E si e seuleme si : N, r +3 + r + r = e ceci a lieu pour ou si e seuleme si ceci a lieu pour =. Bref les suies géomériques (v, (w e ( appariee à E. Efi, soi (α, β, γ C 3 el que N, αu + βv + γ =. La suie (αu + βv es doc covergee (de limie γ, e ceci a lieu que pour α = β =, e il rese alors γ =. Doc la famille cosidérée es libre de cardial ad hoc e es ue base de E. Eercice.. O oe, pour ou eier p : u p = p p+. Morer que la série de erme gééral u p coverge. Soi γ sa somme. Morer que γ [, ].. O pose, pour ou eier : I = a Jusifier l eisece de I. p d. ( e ( d. b Morer que, pour ou N, pour ou réel [, ], o a : ( e ( e c Morer que la suie (I es covergee e déermier sa limie. 3. O pose, pour ou eier, J = ( ( d. a Jusifier l eisece de J. b Éablir, pour ou eier : ( kd ( = l( + + u p k= E déduire que, pour ou eier, o a : J = l( + + u p. p= p=

21 Aalyse 5 4. O pose : U = e d e V = a Jusifier l eisece de U e de V. b Démorer que U V = γ. e d. Soluio :. La méhode de comparaiso série-iégrale pour la focio more que u p p p +. Ceci more que la série de erme gééral u p coverge puisque les sommes parielles vérifie S = u k + k= La suie des sommes parielles es doc croissae majorée par : elle adme ue limie γ [, ].. a La focio f : ( e ( es coiue sur ], ]. Au voisiage de =, il vie : f( = ( + o( ( + o( = o( Aisi la focio f adme u prologeme par coiuié e =, avec f( =. L iégrale es fausseme impropre. b Par coveié de la focio epoeielle, pour ou réel : + e. Aisi e / e + e/ doc ( e e ( + e Il rese à muliplier la derière iégalié par le réel posiif ( e pour obeir l iégalié de gauche. c Les deu iégaliés ci-dessus more que e ( e ( e = e ( ( La focio ( es covee sur [, ] ; doc pour [, ], (. Ceci eraîe que : e ( ( e + = e Aisi I e d Γ( e lim + I =. 3. a La focio g : ( ( es coiue sur [, ]. Au voisiage de, u développeme limié à l ordre more que g( =. Aisi J es-elle fausseme impropre.

22 6 ESCP-Europe - Oral b Comme u p = p l(p + + l(p, il vie u p = p= p= l( +. p Or, le chageme de variable affie u = (ou l iégraio direce doe ( kd = u k du = k + = p = (l( + + u p k= Doc : l( + + k= p= u p = = k= k= p= ( kd = ( ( d = J ( / ( / d 4. a L iégrale U es fausseme impropre, puisque la focio à iégrer es coiue sur ], ] e prologeable par coiuié e par. La focio e es coiue sur [, + [, posiive e majorée par e, ce qui more que V es bie défiie. b Par la quesio 3. b, u p = J l( +, e J I = e d. p= Doc : S = u p = I + e + d d p= = I + e d + e d d = I + U e l ( + Il rese à faire edre vers + pour obeir γ = U V. Eercice a Morer que pour ou réel sriceme posiif, l(. b Soi N e,,...,, des réels sriceme posiifs. E appliqua l iégalié précédee à chacu des ombres a i = morer que : l( k l ( k= k k= Coaissez-vous ue aure fao de démorer ce résula? p= i, k. a Soi g la focio défiie pour ou sriceme posiif par : g( = l ( + +. Éudier les variaios de g e préciser les limies de g au bores de l iervalle d éude. k=

23 Aalyse 7 b E déduire le ableau de variaio de la focio f défiie pour ou sriceme posiif par : f( = ( + Das la suie de l eercice, o pose pour ou eier aurel o ul, u = ( +, v = u k 3. a Calculer la limie de la suie (u. b Morer que pour ou eier supérieur ou égal à, o a : v u e. k= c Morer que, pour ou eier supérieur ou égal à, o a : k l ( + l ( + k d k= d E uilisa les résulas de la quesio, morer que l ( + d l(v e E déduire que la suie (v coverge e préciser sa limie. Soluio :. a Iégalié classique qui se démore par cocavié de la focio l e posiio de la courbe par rappor à sa agee e (, ou par éude simple de la focio associée. b O pose a i = i, éléme de R + puisque les i le so. k k= O peu doc leur appliquer l iégalié de la première quesio, puis ajouer ces iégaliés. O obie : l(a i (a i ou ecore : l ( i i= ( k= k ( a i i= Or a i =. O a doc bie prouvé que l( i l ( i= ecore : i= i= l( i l ( i= k. k= i= k, ou Iégalié qui peu aussi se démorer par récurrece e par l iégalié de défiiio de la cocavié.. a g es dérivable e g ( = ( +. k=

24 8 ESCP-Europe - Oral La focio g es doc sriceme décroissae sur R +. Claireme : lim g( =, e lim g( = b f a même ses de variaio que h = l f. h( = l ( + = h ( = l ( + ( + + = g( Doc h e f so sriceme croissae sur R +. O a : lim + h( = e lim h( =, doc lim f = e e lim f = a la limie de la suie u es e (revu e. b b u es la resricio de f à N, e f es croissae sur R +. Doc, u es croissae e u k u. Par coséque v = u k u. k= k= D aure par, e es la limie de la suie croissae u. Fialeme o a bie N, v u e. c O a vu que h es ue focio croissae sur R + prologeable par coiuié e, doc pour ou k de N : k l ( + k k l( + d, k e par sommaio : k l ( + l ( + k d k= d Les réels u k so sriceme posiifs, ils peuve doc jouer le rôle des k de la première quesio. O obie alors : l(u k l(v. k= Or, l(u k = k l(+ k, e l o vie de miorer k l(+ k par l iégrale e : l( + d. O obie aisi, e se rappela que v es majorée par e E iégra par paries : I = = k= l( + d l(v l( + d = [ l( + ] + + d l( + + l( + O a lim I = + = e doc l v, i.e. lim v = e. Eercice.4. Ue focio f défiie sur [, ] à valeurs réelles es die sriceme covee si pour ou (, y [, ], avec < y, e pour ou ], [ : f( + ( y < f( + ( f(y.

25 Aalyse 9 Soi f ue focio défiie sur [, ] à valeurs das [, ], de classe C, sriceme covee elle que f( =. O oe f = f... f e o suppose }{{} fois que la suie (f ( es croissae.. a Morer que la suie (f ( N adme ue limie oée q. b Morer que f(q = q.. O suppose que f (. Morer que pour ou s [, [, o a f(s > s. Quelle es la valeur de q? 3. O suppose que f ( >. a Morer qu il eise s ], [ el que pour ou s [s, [, f(s < s. b O suppose qu il eise deu soluios disices q, q [, [ à l équaio f(s = s. Morer qu il eise deu réels disics ξ, ξ ], [ els que f (ξ = f (ξ =. c E déduire que q es l uique soluio das [, [ de l équaio f(s = s. Soluio :. a La suie (f ( es croissae borée par, doc covergee. b O remarque esuie e uilisa la défiiio que f + ( = f f (. Aisi, comme f es coiue, o obie f(q = q.. O suppose que f (. Soi g : s f(s s. O a pour ou s [, [, g (s = f (s < f (. Doc g (s < e g es sriceme décroissae. Doc, pour ou s [, [, f(s s > f(, soi f(s > s. L équaio f(s = s e possède pas de soluio das l iervalle [, [, doc q =. 3. O suppose que f ( >. Posos ecore g(s = f(s s, s [, ]. a O remarque que g ( >. Aisi, comme g es coiue, il eise u réel s el que pour ou s [s, ], g (s >. g es sriceme croissae sur [s, ] e pour ou s [s, [, g(s < g( =, soi f(s < s. b O remarque que que g(q = g(q = g( =. Comme g es coiue sur [q, q ] e dérivable sur ]q, q [ e coiue sur [q, ] e dérivable sur ]q, [, d après le héorème de Rolle, il eise ξ ]q, q [ e ξ ]q, [ els que g (ξ = g (ξ =. O obie aisi f (ξ = f (ξ = c Comme f es sriceme covee, f es sriceme croissae (si f es croissae sas êre sriceme croissae, il eise u iervalle sur lequel f es cosae e sur ce iervalle f es affie, doc es pas sriceme

26 3 ESCP-Europe - Oral covee. Aisi, s il eise deu soluios das ], [, d après la quesio précédee, o obie ue coradicio. Efi, si l équaio f(s = s avai pas de soluio das [, [, o aurai q =, e il eiserai u eier el que pour ou, f ( [s, ], soi f + ( = f(f ( < f (, ce qui es impossible. Fialeme, q [, [ e es bie l uique soluio de l équaio f(s = s das l iervalle [, [. Eercice.5. O cosidère la suie u défiie par ses deu premiers ermes u e u sriceme posiifs e la relaio de récurrece : N, u + = u + + u. Démorer que la suie (u es bie défiie e à valeurs sriceme posiives.. Morer qu il eise u eier aurel p el que : N, p = u > E déduire la seule limie fiie possible pour la suie (u. Das oue la suie, l eier p es fié, el que : N, p = u >. u 4. O pose pour ou eier aurel, w =, e o cosidère la suie ( p défiie par : p = w p, p+ = w p+, e pour ou p : + = Morer que la suie ( p coverge vers. 5. Morer, par récurrece que : N, p = w. E déduire que la suie (w es covergee. 6. E déduire que la suie (u es covergee. Soluio :. Clair, par récurrece.. A priori la suie u peu diverger vers +, e si elle coverge (das R +, alors sa limie l vérifie l = l + l, do les soluios so l = e l = 4. Coclusio : les limies possibles pour u so :, 4, +. Supposos que pour ou eier aurel, < u. La suie u serai alors croissae à parir de u car pour, u + u = u + ( u u serai posiif ou ul comme somme de deu posiifs, puisque das [, ],. Doc u serai croissae à parir de u e majorée par doc covergee vers l apparea à [u, ], ce qui es pas possible.

27 Aalyse 3 O peu doc e coclure que u e vérifie pas l hypohèse prise : il y a doc au mois u eier p el que u p > e la relaio de défiiio more que pour ou p, o a u >, car : Si p, u p+ = u p + u p u p >, e aisi de suie par ue récurrece immédiae. Si p =, alors u = u + u > e o peu doc remplacer p par e se rameer au cas précéde. O a bie prouvé ce qui éai demadé : il eise u eier aurel p el que : N, p = u > E fialeme, la seule limie fiie possible pour u es L équaio caracérisique associée à es 3r r =, do les deu racies so r = + 3 e r 6 = 3. La suie es doc de la forme : 6 p, = αr + βr, où les cosaes α e β so déermiées de faço uique par les codiios : p = w p, p+ = w p+ Comme 3 [3, 4], o a : < r <, < r <, e la suie ( coverge vers. 4. Pour p, soi la propriéé Q( suivae : Q(p + es baaleme vraie. du rag p au rag, o a : k w k Supposos la propriéé acquise à u cerai rag +, avec p, alors : + = ( w + w + = ( u + u+, 3 u + 3 u+ = 3 u + Aisi : + 6 u + 4 = 6 ( u + + u + u + (car u Aisi, o a ecore + w + e la propriéé es ecore vraie au rag +. O coclu par le pricipe de récurrece. O e dédui par le héorème d ecadreme que w coverge aussi vers. 5. Aisi w coverge vers, doc ( u coverge vers e fialeme u coverge vers 4 Eercice.6. Pour N, o oe d le ombre des ivoluios de [[, ]]. O rappelle qu ue applicaio σ : [[, ]] [[, ] es ue ivoluio si e seuleme si σ σ = id.

28 3 ESCP-Europe - Oral. O pose d =. a Calculer d, d e d 3. b Morer que : pour ou, d = d + ( d. c Écrire e Pascal ue focio do l e-êe es Fucio D( : ieger : ieger ; permea de calculer d. +. O pose pour ou réel : f( = e. a Prouver l eisece d u développeme limié pour f à ou ordre au voisiage de. O peu doc défiir ue suie (a N elle que a soi le coefficie de das le développeme limié, à u ordre au mois égal à, de f. O a aisi, pour ou de N, au voisiage de : f( = b Morer que : N, a = k= a k k + o( p,q N,p+q= p! q q!. c Morer que la dérivée f de f adme à ou ordre u développeme limié au voisiage de e le déermier à l aide des coefficies a k d Déermier ue relaio ere f ( e f(. E déduire que : N, d = a!. Soluio :. a Pour =, il y a qu ue applicaio de [[, ]] das [[, ]] : l ideié e elle es ivoluive : d =. Pour =, les deu applicaios id e la rasposiio τ, so ivoluives : d =. Pour = 3, id e les rois rasposiios so ivoluives : d 3 = 4. b Pour, les ivoluios de [[, ]] so de deu caégories qui s eclue : celles pour lesquelles f( =, qui so obeues e prologea les ivoluios de [[, ] : il y e a d ; celles pour lesquelles f( = p [[, ]], p peu alors se choisir de faos e à chaque fois, o a f(p = e f es alors obeue e prologea ue ivoluio d u esemble de cardial (rie à faire si =, e o e fai rie d ue seule fao! : il y e a ( d (le ombre d ivoluios d u esemble de cardial c e déped que de c. Bref : d = d + ( d c O peu oper pour u raieme récursif :

29 Aalyse 33 Fucio D( : ieger : ieger ; begi If = ou = he d := else D :=D(-+(-*D(- ; ed,. a La focio f es de classe C sur R (par composiio, doc adme u développeme limié à ou ordre e a = f ( (.! b O a e = k! k + o(, doc : k= e / = k= ( k + o( k! = / k= k k! k + o( E effecua le produi de ces développemes limiés, o a doc : f( = e e / = a k k + o(, avec : a k = p! q q! k= p+q=k c La focio f es aussi de classe C e f ( = b k k + o(, avec k= b k = (f (k ( = f (k+ ( = (k + a k+ k! k! f ( = k= (k + a k+ k + o( d O a f + ( = ( + e = ( + f(. Aisi f ( = ( + a k k + o( = a + (a k + a k k + o( k= Par uicié du développeme limié à ou ordre de f, il vie doc : k= a = a e pour k, (k + a k+ = a k + a k Posos c =! a, o a c = a = f( =, c = a = f ( = e comme pour k, (k +!a k+ = k!a k + k(k!a k, o a : c k+ = c k + kc k. Les suies c e d vérifie la même relaio de récurrece d ordre e o les mêmes deu premiers ermes : elles so égales, ce qui es le résula aedu. Eercice.7. O cosidère ue focio ϕ coiue sur R e o oe E l esemble des focios f de classe C sur R elles que, pour ou réel : f (+ϕ(f( =. Morer que E es u R-espace vecoriel. O suppose que E coie ue focio u qui e s aule e aucu poi de R, e o pose : v( = u( d (u(

30 34 ESCP-Europe - Oral. Morer que v E, puis que (u, v es ue famille libre de E. E déduire que la dimesio de E es supérieure ou égale à. O admera que E es de dimesio. 3. Pour f, g élémes de E, pour ou réel, o pose : θ f,g ( = f(g ( f (g(. a Morer que θ f,g es ue focio cosae. O pose alors W (f, g = θ f,g (. b Morer que W es ue forme biliéaire e que W (u, v es pas ul. c Morer que W (f, g = si e seuleme si f e g so liés. 4. a Morer qu u éléme de E qui e s aule pas sur R es de la forme : f( = εe h(, avec ε {, } e avec h de classe C qui vérifie : h ( + (h ( + ϕ( =, pour ou réel. b Déermier ous les élémes de E vérifia : R, f ( = ( + f( (o laissera le résula sous forme iégrale. Soluio : Soi f, g E e λ, µ R. Alors : (λf + µg ( = λf ( + µg ( = λϕ(f( µϕ(g( = ϕ((λf + µg( ce qui prouve que λf + µg E. Comme E coie la focio ulle, il es pas vide e c es u sous-espace vecoriel de l espace des focios de classe C de R das R.. O a v ( = u ( d où v ( = u ( d (u( + u( (u( d (u( + u ( (u( = u ( u ( (u( = u ( d (u( + u(, d (u(. E remplaça u ( par ϕ(u(, o obie doc v ( + ϕ(v( =, ce qui prouve que v E. O a v( = e u(, doc il e peu eiser de scalaire λ el que u = λv. D aure par la focio v es pas la focio ulle (par eemple parceque v (, doc u es pas coliéaire à la focio o ulle v e (u, v es libre. O e dédui que la dimesio de E es supérieure ou égale à deu. 3. a Posos h( = θ f,g ( = f(g ( f (g(. Alors h es dérivable e pour ou :

31 Aalyse 35 h ( = f(g ( f (g(. E écriva que f ( = ϕ(f( e g ( = ϕ(g(, o obie h ( =. O e dédui que h es cosae. b Claireme W (λf + µf, g = λw (f, g + µw (f, g ; de plus W (f, g = W (g, f doc o obie la liéarié par rappor au deuième argume, ce qui more le résula. O a : W (u, v = u(v ( u (v( = u( u( =. c Si g = λf (ou l iverse, il es clair que W (f, g =. Si (f, g es libre, c es ue base de E. O écri alors u, v e focio de f e g. Par biliéarié e aisymérie : doc W (f, g. = W (u, v = W (αf + βg, γf + δg = (αδ βγw (f, g, 4. a Ue soluio f qui e s aule pas es de sige cosa par le héorème des valeurs iermédiaires. O pose alors h( = l( f( e ε = ± selo le sige de f. O a bie f( = εe h(. O dérive deu fois f( = εe h( e o obie f ( = εh (e h( e f ( = ε(h ( + (h ( e h( = ϕ(εe h(, d où l égalié souhaiée. b O pese à chercher h elle que h ( = e (h ( =. La focio h( = / ous ed les bras. O vérifie alors que u( = e / es soluio e o pose v( = e / e d. Alors les soluios so les combiaisos liéaires de u e v. Eercice.8. O cosidère l espace vecoriel C(R + des focios réelles défiies e coiues sur R +. Si f C(R +, o défii la focio T (f e posa : f(d si > T (f( = f( si =. Soi f C(R + ; pour, o pose ϕ( = sup f(s f(. s [,] a Morer que ϕ es bie défiie e croissae sur R +. b Jusifier le fai que lim ϕ( =. + c Éablir l iégalié suivae :, T (f( f( ϕ(. E déduire que la focio T (f es coiue e. Morer que T es u edomorphisme de C(R +.

32 36 ESCP-Europe - Oral. Morer que T es ijecif. Es-il surjecif? Déermier l esemble des valeurs propres de T. 3. Soi f ue focio de C(R + elle que lim f( = l R. + a Morer que f es borée sur R +. O pose M = sup R + f(. b O défii ψ sur R + e posa ψ( = sup s [,+ ] f(s l. Morer que ψ es ue focio décroissae elle que ψ( =. lim + c Prouver que pour ou >, o a T (f( l M +ψ( (. E déduire que lim T (f( = l Soi f ue focio de C(R + do la représeaio graphique adme ue asympoe d équaio y = a + b. Morer que la représeaio de T (f adme ue asympoe que l o déermiera. Soluio : Noos F la primiive de f ulle e.. a La focio s f(s f( es coiue sur l iervalle [, ], elle y es doc borée e par suie ϕ es bie défiie. La croissace de ϕ sur R + es ue coséquece direce des propriéés des bores supérieures. b La défiiio de la coiuié de f au poi implique que lim ϕ( =. + c Pour >, o a T (f( f( = f( d f( = (f( f(d f( f( d ϕ(d = ϕ( Avec b, ceci implique que lim T (f( f( = e par coséque que + T (f es coiue e. Comme la coiuié e u poi > provie d ue applicaio direce du cours o a bie T (f C(R +. La liéarié éa évidee, il e résule que T es u edomorphisme de C(R +.. Soi f Ker T, alors pour >, F ( = e F es ulle sur R +. Par dérivaio f es ulle sur R + doc sur R +, par coiuié. T es bie ijecif. Il es pas surjecif. Pour le voir, il suffi de remarquer que T (f es dérivable sur R + e doc l applicaio, (qui es das C(R + es l image par T de persoe.

33 Aalyse 37 Si λ es ue valeur propre (o ulle puisque T es ijecif de T, il eise ue focio f C(R + \{}, elle que F ( = λf( pour ou >. D où par dérivaio >, f( = λ(f (+f( ou ecore f ( = λ λf(. Ceci s iègre e f( = C λ λ, avec C. Mais o doi avoir f C(R +, ce qui impose λ ], ] (sio f a ue limie ifiie e. E résumé : Spec(T = ], ] 3. a Il eise u réel a > elle que f( l dès que > a. Comme f es coiue sur l iervalle [, a], elle y es borée e il eise doc u réel sriceme posiif M elle que f( M pour [, a]. O voi doc que f es borée sur R + par la cosae M = l + + M. La bore supérieure M = sup R + f( es doc bie défiie. b Avec la quesio précédee, o voi que ψ es bie défiie sur R +. La décroissace de ψ es ue coséquece de la défiiio d ue bore supérieure e la covergece de ψ vers e + résule direceme de la covergece de f vers l e +. c Soi >, comme la majoraio demadée fai ierveir ψ(, il es judicieu e possible de couper les iégrales e, il vie alors : T (f( l = (f( ld f( l d + f( l d M + ψ( ( = M + ψ( ( Ue fois cee majoraio éablie, comme lim ψ( =, o e dédui que + T (f( coverge aussi vers l lorsque Si f es ue focio de C(R + qui adme ue asympoe d équaio y = a + b, o peu écrire par défiiio f( = a + b + g(, où g( =. lim + Claireme g C(R + e par liéarié de T : T (f( = (a/+b+t (g(. E appliqua 3. c à la focio g, o voi que T (g( = e par lim + suie la courbe représeaive de la focio T (f adme la droie d équaio y = (a/ + b comme asympoe. Eercice.9.. O rappelle les deu formules suivaes : pour ou (p, q R, si p + si q = si ( p + q ( p q cos si p si q = si ( p q ( p + q cos

34 38 ESCP-Europe - Oral Morer que si p si q = si(p + q si(p q.. Morer que les deu iégrales e qu elles so égales. 3. Soi u éléme de N. O pose : π/ I = si d, A = Morer que B I A. π/ si d e si si d, e B = si d coverge π/ si a d 4. a Calculer, pour ou de N, A + A + A + puis A B. b E déduire les valeurs de A e B e focio de. 5. Morer que : lim I = + derière iégrale. si d, e doer la valeur de cee Soluio :. Les deu premières formules doe : si p si q = (si p si q(si p + si q = 4 si ( p q ( p q ( p + q ( p + q cos si cos O coclu alors e appliqua deu fois la formule si( = si cos. si p si q = si(p + q si(p q. Les problèmes so dus uiqueme à la bore ifiie, car les focios à iégrer so coiues sur ], + [ e prologeables par coiuié e. O écri, pour : si d = cos cos cos d Lorque ed vers l ifii le deuième erme es de limie ulle e comme cos, la règle de Riema more que cos d a ue limie lorsque ed vers l ifii (l iégrale sur [, + [ es même absolume covergee. Pour la secode iégrale, la covergece absolue s obie direceme, e pour a, b > : b a si d = [ si = si a a = si a a ] b a + si b b si b b b a b + + si cos d a b a si( d si(u du u

35 Aalyse 39 Comme si a ( a, o peu passer à la limie lorsque a ed vers e b vers l ifii, pour obeir : si d = si 3. Ue éude rapide de focios doe à l écoomie : ], π/[, < si a Das les mêmes codiios : < a si, o muliplie alors par si ( e o iègre ce ecadreme (les bores so das l ordre croissa : B I A 4. a E cassa A + e deu, o écri : = A + A + A + = = = π/ π si (si ( si (( + + si (( + si (( + d ( si(( + + si(( + 3 d = si D aure par, pour (o a A = B = : A B = = π π d π si ( ( π si cos d = si si ( d ( cos( d = π 4 cos(( + d b O a A A + = A + A +, doc la suie (A es arihméique. Avec A = e A = π, il vie : A = π e pour, B ( π = 4 ( π 5. Fialeme, pour, I 4 π 4 Comme I = π si π ( d = Eercice.. si e lim I = π. si u u du, par passage à la limie : d = lim I = π Das ce eercice, o oe C (R, R l espace des focios coiues sur R à valeurs réelles, e C (R, R l espace des focios coiûme dérivables sur R. O cosidère l applicaio L défiie sur C (R, R par :

36 4 ESCP-Europe - Oral f C (R, R, R, L(f( = f( d. Morer que L(f es u éléme de C (R, R qui adme ue dérivée secode e.. L applicaio L es-elle liéaire? es-elle surjecive? es-elle ijecive? 3. Soi f C (R, R e a R. O cosidère l applicaio g défiie par g( = f(a. Déermier ue relaio ere L(f e L(g. Qu e dédui-o lorsque f es ue focio paire? lorsque f es ue focio impaire? 4. Soi h C (R, R doée. O souhaie résoudre l équaio (E : f L(f = h, d icoue f C (R, R a Morer que f es soluio de (E si e seuleme si R, f ( f( = h (, e f( = h(. b Pour oue focio f dérivable sur R, o pose K( = f(e /. Morer que f es soluio de f ( f( = h ( si e seuleme si K es soluio d ue équaio différeielle que l o résoudra. Coclure. Soluio :. L(f es dérivable sur R e L(f ( = f(, doc L(f es coiue sur R. Aisi L f es u éléme de C (R, R. L(f O a : lim ( L(f ( e.. La liéarié de L es claire. f( = lim = f(, doc L(f es dérivable O vie de voir que Im(L C (R, R C (R, R, doc L es pas surjecive. f Ker(L L(f = = R, L(f ( =.f( = = R, f( = e comme f es coiue e, f es la focio ulle. Doc L es ijecive. 3. L(g( = f(a d = a u a f(u du a = a L(f(a E pariculier pour a = : L(g( = L(f( Das le cas d ue focio f paire : g = f, doc L(f es paire. Das le cas d ue focio f impaire : g = f, doc L(f( = L(g( = L( f( = L(f(, doc L(f es impaire. 4.a Si f es soluio de (E, f es dérivable e, e dériva les membres de (E : f ( f( = h ( De plus, pour =, o obie bie, e remplaça das (E : f( = h(.

37 Aalyse 4 Réciproqueme : f ( f( = h ( prouve que les deu focios f L(f e h o même dérivée, elles diffère doc d ue cosae laquelle es ulle car f( = h(. Doc o a bie l équivalece : f es soluio de (E f ( f( = h (, avec f( = h( b Puisque f es dérivable, il e es de même de la focio K e comme f( = K(e /, o a : f ( = K (e / + K( e / = K (e / + f( E uilisa la quesio précédee e e remplaça, o a : f ( f( = h ( e.k ( = h ( K( = f( = e e f( = h( = C = h(, d où : Eercice.. f( = e Das ce eercice, o pose : e [ h( +.h (d + C, avec C R [ ].h (d + C e e ].h (d S = {f C (R, R / (p, q N, lim ± p f (q ( = } où f (q désige la dérivée qème de f.. E cosidéra la focio ϕ : e, morer que S es pas rédui à {}. (O morera que pour ou eier aurel q, ϕ (q ( = ( q H q (ϕ(, où H q es u polyôme do o doera le degré e le coefficie domia.. Morer les propriéés suivaes : a si f S, alors f S. b si f S, pour oue focio polyôme P, P f S c si f e g so das S, alors fg S d si f S, alors f(d es covergee. e l applicaio défiie sur S par : (f, g produi scalaire sur S oé,. 3. Pour ou k N, o pose ϕ k ( = ϕ( k. a Morer que ou k N, ϕ k S. f(g(d défii u

38 4 ESCP-Europe - Oral b E déduire que S es pas de dimesio fiie. 4. Pour ou eier aurel q, o pose ψ q ( = H q (e /. Calculer pour (p, q N els que p q, ψ p, ψ q. Soluio :. O more par récurrece que pour ou N, ϕ ( ( = ( H (e, où H es u polyôme de degré, de coefficie domia. pour =, H = e pour =, H ( =. supposos que pour u cerai rag, ϕ ( ( = ( H (e, où H es u polyôme de degré, de coefficie domia ; alors e dériva : ϕ (+ ( = e ( (H ( H (. O ermie aiséme la récurrece. O obie aisi que ϕ es u éléme de S, avec de plus H polyôme de degré e de coefficie domia.. a Quasime évide puisque f (+ = (f (. b Il suffi de remarquer, avec G. Leibiz, que (P f ( = c De la même faço (fg ( = peu écrire : k= k= ( k P ( k f (k. ( k f ( k g (k, e pour ou p N, o p f ( k g (k = p f ( k p g (k, e p+ f ( k g (k = p f ( k p+ g (k. Ce qui perme ous les passages à la limie eigés. d La focio f es coiue sur R, e lim ± f( = ; deu applicaios de la règle de Riema doe la coclusio. e O vérifie sas problème que l applicaio es bie défiie (car fg S, es biliéaire, symérique e défiie posiive. 3. a ϕ k es bie de classe C e pour ou eier p, o a : ϕ (p k = ϕ (p ( k. O écri alors pour ou : = ( k + k = ( i ( k i k i ce qui more que i= lim ± ϕ (p k ( = e ϕ k S. b Choisissos < k < < k p e supposos R, p λ i e ( k i =. O a alors, e posa u j = ( k j : e u ( λ +λ e u u + +λp e u p u =. Après simplificaio par e u, e e prea la limie lorsque ed vers l ifii, il vie λ =. O recommece esuie pour morer que λ = = λ p =. i=

39 Aalyse 43 Aisi, o peu rouver das S ue famille libre de cardial p aussi grad que l o veu e S es pas de dimesio fiie. 4. a O a moré das la première quesio que ϕ (q ( = ( q H q e, avec H q polyôme de degré q e de coefficie domia q. b O peu alors écrire, e supposa p < q e avec plusieurs iégraios par paries : ψ p ψ q = H p (H q (e d = H p ϕ (q = H pϕ (q = R R R R = ( k H p (k ϕ (q k = ( p p p! ϕ (q p = Eercice.. R O cosidère les suies (H N, (G N e (K N défiies pour ou eier aurel o ul par : H = k ; G = H l( e K = H l( + k= O adme que pour ou couple (s, r d eiers aurels o uls vérifia r < s, o a s / N. k k=r Pour ou eier aurel sriceme supérieur à 4, e pour ou r {,..., }, o oe : p,r = ( r r + +, e pour ou r {,..., }, o oe : δ,r = (p,r+ p,r.. Éudier la moooie des suies (G e (K. Morer qu elles coverge vers ue même limie que l o oe γ.. O cosidère la suie (S r r N défiie par : r N, S r = r k=r+ a Pour ou r N, morer que S r <, puis que S r + S r >. b Pour ou r {,..., }, morer que : δ,r = H H r. Morer que la suie fiie (δ,r r es sriceme moooe ; préciser sa moooie. c Morer qu il eise u uique q el que δ q < e δ q >. O le oe q = r(. Morer que le maimum de p,r pour r {,..., } e fié, vau p,r(. R k Soluio :

40 44 ESCP-Europe - Oral. Pour : G + G = + l(++l( = e de même K + K = + + d >. De plus lim (G K = lim l( + =. Les deu suies so adjacees, doc covergees de même limie.. a O a : = r r S r r r + <. D aure par l iégalié S r es ue égalié que pour r = e doc S r + S r > =. d <, b O a : δ,r = (p,r+ p,r = (r + ( r ( r r + +, soi : δ,r = r ( r ( + r ( r r r ( r = H H r. La suie (H r r es claireme sriceme croissae, doc la suie (δ,r r ( es fié es sriceme décroissae e il e es de même a foriori de la séquece éudiée. c Comme 5, o a : δ, = H H 4 = = >. De plus o a : δ, = <. O remarque que δ,r = H H r = / N. k k=r+ Doc la séquece (δ,r r décroî d ue valeur posiive à ue valeur égaive sas s auler, doc elle chage de sige ere deu eiers successifs q e q. D après ce qui précède δ,r < si r q e δ,r > si r < q. Comme p,r+ p,r es du sige de δ,r o voi que la séquece (p,r r es croissae sur {,..., q} e décroissae sur {q,..., }. Elle aei doc so maimum e q.