Exercice 1 Torsion d une barre (Mécanique des corps déformables)

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1 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 N Eecice Tosion d une bae (Mécanique des cops défomables) ) Déplacement u, en coodonnées catésiennes, au point M de coodonnées (,, ) : ϕ θ δθ M u M(,,) en cood. catésiennes M(,θ,) en cood. clindiques En notant (, θ, ) les coodonnées clindiques de (,, ) angulaie en M : M et δ Θ la défomation u = usinθ u u = ucosθ, avec u = δ Θ, en assimilant la code à l ac de cecle (en faisant u = l hpothèse que la otation δ Θ est petite). a otation δ Θ est : nulle en = (section inféieue du baeau, encastée dans le plan ) égale à ϕ en = (section supéieue du baeau). En supposant que δ Θ vaie linéaiement avec : δ Θ= ϕ. C est pouquoi : u = δ Θ= ϕ - -

2 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 u = ϕ sinθ e champ de déplacements s écit donc : u u = ϕ cosθ u = En emaquant que cosθ = et sinθ =, on aboutit à : ϕ u = ϕ u u = u = ) e tenseu des déplacements se calcule à pati du champ de déplacement de la manièe suivante : u u u u u i u u Dij = = j u u u C est-à-die, dans note cas : ϕ D= Enfin, comme ε ij = ( Dij + Dji ), on aboutit au tenseu des défomations : ϕ ε = 3) oi de Hooke pou un solide isotope et élastique : σ = λδδ + µε avec : ij ij ij λ et µ coefficients de amé du baeau, δ t ε ε = =, ii i ij δ smbole de Konecke, ε ij coefficients du tenseu ε. Dans note cas la tace de ε est nulle, c est pouquoi σ = µε, c est-à-die : ij ij - -

3 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 ϕµ σ = 4) Reconstuction du couple Γ : On epime d abod le couple élémentaie dγ : dγ= df. Reste à epime la foce élémentaie df en utilisant le tenseu des containtes : df = daσ = danσ avec da suface élémentaie su la section ciculaie supéieue de la poute. a nomale à la suface da est donc poté pa n (,,). ϕµ ϕµ da df = danσ = da ( ) ( ) = On en déduit les coodonnées catésiennes de dγ : ϕµ da dγ= df = dγ = ϕµ da D où : dγ = ϕµ da ϕµ dγ = ( + ) da Etant donné qu il faut intége su un disque (la section supéieue du baeau), on va passe en coodonnées clindiques : a π d ϕµ da ϕµ cosθ ddθ ϕµ d cosθ dθ da = a π d ϕµ da ϕµ sinθ ddθ ϕµ d sinθ dθ da = a π 4 ϕµ ϕµ 3 ϕµπa ( ) A θ ϕµ θ + da Γ = Γ = = = = Γ = Γ = = = = Γ = dγ = + d = d d = d d = Γ= ϕµπ 4 a e Eecice oi du nivellement baométique (Hdostatique) ) Relation fondamentale de l hdodnamique (fome locale) : gad P = ρg () En pojetant su la veticale ascendante : dp = ρg d - 3 -

4 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 Epimons la masse volumique ρ de l ai en fonction de M, R et T. Elle est égale au appot d une masse d une mole d ai (M) pa le volume d une mole d ai (volume molaie V m ) : M ρ =, avec : PVmol = RT Vmol MP D où : ρ = RT et la elation () s écit dp = MP d RT g. En sépaant les vaiables : dp = M gd. P RT On intège la elation ci-dessus ente les altitudes = et : P( ) dp Mg = d P RT P ln P = Mg ( ) P RT = = 4 km statosphèe pession P() pession P = = km D où la loi de nivellement baométique ( ) dans un modèle isotheme, à champ de gavitation constante. Mg ( ) RT P = Pe : ) Hauteu d échelle h : D une pat P h P h+ = Pe = Pe e = P e = e D aute pat ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) P( ) Mg Mg Mg Mg Mg + h h h h RT RT RT RT RT ( + ) P( ) P h = e, pa définition de h. Mg RT On en conclut : h =, soit h =. RT Mg 8,3 7 Application numéique : h = = 6,37 km.,9 9,76-4 -

5 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 Eecice 3 Distibution des pessions dans une conduite (Hdodnamique) ) e théoème de enoulli appliqué ente le point A su la suface libe du lac et, l etémité aval de la conduite (le long d une ligne de couant) : PA = P + ρv + ρg( H) () en plaçant l oigine des en A. Comme PA = P = P (pession atmosphéique) : P = P + ρv ρgh v = gh - Application numéique : v = 56 m.s ) enoulli ente et C : P + ρv + ρg( H) = PC + ρvc + ρg( ) En considéant l eau comme incompessible, on peut écie la consevation du débit volumique : vd = vd c (le diamète de la conduite est constant). D où : v = vc. Ainsi () s écit : P ρgh = PC ρg. Avec P P = (pession atmosphéique) on en conclut : P ( ) P ρg( H ) C =. Eecice 4 Sphèes chagées concentiques (Electostatique) ) Calcul du champ en tout point de l espace : D apès la smétie du sstème : Champ adial : E suivant e le module E ne dépend que de : E( ) = E( ) e R 3 +Q -Q 4 3 R +Q R < R : pas de chages donc E( ) = Q R < < R : théoème de Gauss E nds = S ε Qint + Q Q =. On en conclut : E( ) = ε ε 4πε E nds et S int avec = 4 π E ( ) - 5 -

6 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 Qint + Q Q R < < R3 : = =, d où E( ) =. a sphèe etéieue possède en effet ε ε une chage totale nulle + Q su la face intene et Q su la face etene. + Q Q > R3 : On a à nouveau 4π E ( ) =, soit E( ) =. ε 4πε ) Enegie totale contenue dans le champ électique : W = ε E dυ, avec dυ = 4π d (on intège su tout l espace en emploant tout l'espace comme volume élémentaie des sphèes concentiques d épaisseu d ; en effet E( ) est constant). On n intège que su les égions et, le champ étant nul dans les ones et : R W= εe4πd+ εe4πd R R3 R Q W = + 8πε R R3 Q énegie totale est donc : W = + 8πε R R R3. Eecice 5 Conducteu non filifome : disque de Faada (Electomagnétisme) ) Foce de aplace d f agissant su un élément dl de conducteu : pacouu pa le couant di et soumis au champ magnétique. d f = didl ) Moment des foces électomagnétiques s eeçant su le disque : Γ élec = d f = ( didl ) = ( dl ) di avec ( dl ) = ( ) d l ( dl) = ( dl) = ca = en effet plan du disque d En coodonnées clindiques : dldθ et, d où dl = d d dl = d. On en conclut : ( ) Il este à intége su la suface du disque : a i Γ élec = ddi = d di - 6 -

7 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 ia Γ élec = Commentaies :. e signe indique que losque le couant est diigé de O ves A, le moment Γ est nomal au disque, dans le sens opposé de. élec + O i R A e E. Γ élec est indépendant de la épatition des lignes de couant dans le disque. ia epession este valable si l on fait l hpothèse que le couant i tavese le disque en suivant le aon OA. 3) Flu dϕ coupé pa le aon OA du disque los d une otation dθ (intevalle de temps dt ) : ds dθ dϕ = ds avec = (popotionnalité ente l aie du secteu et son angle). Ainsi : π a π ds = a dθ et dϕ = ds = a dθ. dϕ a dθ a On en conclut la f.é.m. induite : e = =, soit e =. dt dt + O ds R A dθ E 4) Equation mécanique : Jα = moments des foces s écit dans note cas de figue : d J = ( Γ élec ) (pojection suivant ) dt ia ia J = J = - 7 -

8 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 5) Equation électique de la maille femée pa le aon OA : + O i R A E e+ E Ri = Ri = E a 6) On élimine i des deu équations (électique et mécanique) : E a i = (électique) R R ia a E a d où : J = = (mécanique) R R On en conclut l équation difféentielle suivie pa (sachant que J = Ma ) : 4 Ma a E a = R 4R a E + = MR MR 7) Résolution de l équation difféentielle : a a t Equation sans second membe : MR + = ; solution : () t = e MR Solution en égime pemanent (vitesse angulaie constante) : = donc l équation difféentielle s écit a E + = MR MR E et sa solution est =. a Conclusion : la somme des deu est : a t E MR () t = e + a E Avec pou condition initiale ( t = ) = on obtient : = et la solution s écit : a a E t MR () t = e a

9 8) a vitesse en égime pemanent est : Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 = E a Elle est atteinte avec la constante de temps : MR τ = a Commentaies : A t = : = pas de f.é.m. induite. On feme le cicuit, un couant passe dans le conducteu (le disque métallique) soumis à. Su la oue s eece donc une foce de aplace (couple Γ élec ), qui va la faie toune. équation électique e+ E Ri = s écit donc E Ri =. A t > :, la oue accélèe du fait de la foce de aplace. Cette otation va entaîne une vaiation de flu à taves la oue, donc une f.é.m. induite e, qui gandit de plus en plus, jusqu à égale E. t, e et E se compensent : e+ E =. Comme En égime pemanent ( ) e+ E Ri =, le couant i s annule. Comme i =, il n a plus de foces de aplace, l accéléation angulaie de la oue est nulle, sa vitesse est constante. Eecice 6 Onde monochomatique (Ondes) ) En un point M(,,) et à l instant t : ( t, ) A ep i ( t ( Ψ = φ )) Suface d onde : pou un instant t donné, on va cheche la suface de niveau Ψ ( t, ) = constante, donc φ ( ) = constante. Comme φ () = = k, en k = 3 posant kk= 4, cela evient à cheche la suface de niveau : k = constante. a suface k = 5 d onde est donc un plan pependiculaie à k, le vecteu de popagation. Il s agit d une onde plane. ) Module du vecteu d onde : k = k = k + k + k = 7,7 m - π ongueu d onde : λ = =,889 m k Ψ Ψ Ψ ) Calcul du aplacien Ψ = + + : it ik. i t ik ( + k+ k ) Ψ= Ae e = Ae e, d où les déivées spatiales suivantes : i t ik. pemièe : Ae Ψ = ike = ik Ψ Ψ Ψ seconde : = = ( ikψ ) = ik ikψ = kψ - 9 -

10 De même on démonte Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 Ψ k = Ψ k = Ψ et Ψ. On conclut : Ψ = k + k + k Ψ = k Ψ. ( ) En ce qui concene la déivée tempoelle : seconde : ( ) Ψ = it ik. i Ae e = i Ψ t Ψ Ψ = = Ψ = Ψ = Ψ. Et la déivée i i i. t t t t Ψ k Ψ k Ψ e appot Ψ nous donne donc. On en conclut : Ψ =, soit Ψ t t Ψ Ψ = en posant v =. v t k π f π 5 - Application numéique : v = = = = 4, 44 m.s k k 7,7 ) On ecalcule le vecteu d onde de manièe à avoi le même module, mais une diection difféente : k θ - k = 3,53 m k sinθ - k avec k = 7,7 m et θ = 3. D où : k. k cosθ 3 - k = 6, m On en conclut l epession de l onde pésentant la nouvelle diection de popagation : it i(3,53+ 6, ) Ψ= Ae e iπ t i + Ψ t, = Ae e avec : t en s, et en m. ( ) (3,53 6, ) Eecice 7 Fanges d inteféences (Optique ondulatoie) ) Phénomène de diffaction : chaque point des ouvetues S et S se compote à son tou comme une souce secondaie. On dispose donc de deu souces cohéentes S et S, qui vont donne lieu à des inteféences. ) Difféence de chemin optique : = ( SS M) ( SS M) = Difféence de phase ésultant de cette difféence de chemin optique : - -

11 Phsique Généale IV mecedi 8 juin 3 π π φ = ( ) λ = λ ) En un point M du plan (P) d obsevation : a/ a/ a/ + a/ M S S, d où : SM SM a = SM = + + D En factoisant pa D : / / a a = et a = SM = D D et D D 4 D a a D D = D D 4 D D M est voisin de l ae optique, donc D. En oute D a. D où les développements limités suivants (au e ode en,, a) : a a a a D = D et D+ D D = D+. D D On en conclut une epession de la difféence de chemin optique : a a a = = D+ D = D D D 4) Epession de l intensité en M (inteféences ente les ondes issues de S et S : I = I + I + I I cosφ, avec : I = I = I intensité émise pa S et S ; φ difféence de phase, en M, ente les deu ondes qui intefèent. π a I = I + cos λd π a λ I = Ima = 4I losque : π n, n D =, c est à die : ma = n. λ D a I = I min = losque : π a = π n +, n, c est à die : λ D min = n+ / / λ D a. 5) Fome des fanges d inteféence : π a Une fange est une ligne de niveau I = constante, c est-à-die φ = = constante, ou λd encoe : = constante. es fanges sont donc des lignes paallèles à l ae ( O ). Valeu de l intefange : λd λ ma = n, donc deu fanges successives sont sépaées pa i = D. a a 3 3 ai 3.,. 6) λ = = = 6 nm D - -