* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
|
|
- Marcel Doucet
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exo7 Courbes paramérées Exercices de Jean-Louis Rouge. Rerouver aussi cee fiche sur * rès facile ** facile *** difficulé moyenne **** difficile ***** rès difficile I : Inconournable T : pour ravailler e mémoriser le cours Exercice Quelques grands classiques. (** L asroïde. (a a es un réel sricemen posiif donné. Eudier e consruire la courbe de paramérisaion : { x acos 3 y asin 3 (b Pour 0, [, on noe A( e B( les poins d inersecion de la angene au poin couran M( avec respecivemen (Ox e (Oy. Calculer la longueur A(B(.. (** La cycloïde. (a Un cercle (C, de rayon R > 0, roule sans glisser sur l axe (Ox. On noe I le poin de conac enre (C e (Ox e on noe Ω le cenre de (C (Ω e I son mobiles. M es un poin donné de (C (M es mobile, mais solidaire de (C. On pose (( ΩM, ΩI. y M. Ω O Déerminer une paramérisaion de la courbe décrie par le poin M (on prendra pour paramère. { x R( sin (b Eudier e consruire l arc paraméré : où R es un réel sricemen posiif donné. y R( cos { x sin( 3. (** Une courbe de LISSAJOUS. Eudier e consruire l arc paraméré : y sin(3 { x + 4. (** La lemniscae de BERNOULLI. Eudier e consruire l arc paraméré : 4 y 5. (*** Les racrices. (a Trouver les rajecoires orhogonales à la famille des cercles de rayon R (R > 0 donné e cenrés sur (Ox. { x R(ln an (b Eudier e consruire l arc paraméré : + cos où R es un réel sricemen posiif y Rsin donné. I x Correcion [00553 Exercice Consruire les courbes de paramérisaions :
2 { x 3 (+ (. y { x ( + e /. y ( e / { x ( ln( 3. y ( + ln( { x 4. + y + 5. { x y + ( { x y ( 3 { x y 3 +3 { x y Correcion [00554 Exercice 3 La courbe orhopique d une courbe (C es le lieu des poins du plan d où l on peu mener (au moins deux angenes à (C, orhogonales. Déerminer l orhopique de (C dans chacun des cas suivans :. (C es un asroïde de paramérisaion. (C es l arc paraméré : { x y 3 3. { x acos 3 y asin 3 3. (C es l ellipse d équaion x a + y b, (a,b 0,+ [. Correcion, a > 0 donné. [00555 Exercice 4 { x 3 Trouver les droies à la fois angenes e normales à l arc paraméré : y 4 3 [00556 Exercice 5 Dans chacun des cas suivans, rouver une paramérisaion raionnelle de la courbe proposée puis consruire x(y x y x x 3 y 3 + xy x + y [00557 Exercice 6 Trouver une équaion carésienne des suppors des arcs suivans : { x. y { x. y 3
3 3. { x + 4 y [00558 Exercice 7 Soi T l inersecion de (Ox e de la angene en M e H le projeé orhogonal de M sur (Ox. Trouver les courbes elles que. MT a (a > 0 donné. HT a (sans rappor avec [00559 Rerouver cee fiche e d aures exercices de mahs sur exo7.emah.fr 3
4 Correcion de l exercice (les grands classiques. L asroïde. (a Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M(. Par suie, la courbe complèe es obenue quand décri un segmen de longueur comme par exemple [,. Pour ou réel, ( cos M( 3 ( sin 3 ( ( cos 3 sin 3 s (Ox (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Ox. Pour ou réel, ( cos M( + 3 ( + sin 3 ( + ( cos 3 sin 3 s O (M(. La porion de courbe obenue quand décri [,0 es donc aussi la symérique par rappor à O de la porion de courbe obenue quand décri [0,. Néanmoins, cee consaaion ne perme pas de réduire davanage le domaine d éude. Pour ou réel, ( cos M( 3 ( sin 3 ( ( cos 3 sin 3 s (Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy, puis par réflexion d axe (Ox. Pour ou réel, ( ( cos 3 ( M sin 3 ( ( sin 3 cos 3 s yx (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0, 4, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe la droie d équaion y x, puis d axe (Oy e enfin d axe (Ox. Variaions conjoines de x e y. La foncion x( es sricemen décroissane sur [ 0, 4 e la foncion y( es sricemen croissane sur [ 0, 4. Eude des poins singuliers. Pour R, Pour ou réel, le veceur ( dm 3acos d ( sin 3asin cos ( cos sin ( cos 3acos sin sin. es uniaire e n es donc pas nul. Par suie, dm d ( 0 3acos sin 0 cos 0 ou sin 0 Z. 4
5 Les poins singuliers son donc les M ( k, k Z. Pour / Z, M( es un poin régulier e la ( cos angene en M( es dirigée par le veceur. Eudions alors le poin singulier M(0. sin Pour [, \ {0}, y( y(0 x( x(0 asin3 acos 3 a sin 3 (cos (cos + cos + 8sin 3 cos3 sin (cos + cos + 4sin cos3 cos + cos +, y( y(0 sin e donc, lim 0 x( x(0 0. (Si on connaî déjà les équivalens, c es plus cour : 3 3 (cos (cos +cos La courbe adme en M(0 une angene dirigée par le veceur (,0. Par symérie, la courbe adme égalemen une angene en M ( (, M e M(, dirigée respecivemen par (0,, (0, e (,0. Toujours par symérie, ces quare poins son des poins de rebroussemen de première espèce. Il en résule aussi que On en dédui la courbe. pour ou réel, la angene en M( es dirigée par le veceur ( cos,sin. a x 0 a B( M( A( a a a (b Soi 0, [. On a vu que la angene (T en M( es dirigée par le veceur ( cos,sin. Une équaion carésienne de T es donc : sin(x acos 3 cos(y asin 3 0, ou encore xsin + ycos asin cos (T. On en dédui immédiaemen que A( a pour coordonnées (acos,0 e que B( a pour coordonnées(0,bsin puis que 0, [, A(B( a.. La cycloïde. (a La condiion de roulemen sans glissemen se radui par OI MI ou encore x Ω R. On en dédui que 5
6 e x M x Ω + x ΩM R + Rcos ( R Rsin R( sin y M y Ω + y ΩM R + Rsin ( R Rcos R( cos. (b Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M( + u où u (R,0. Par suie, on race la courbe quand décri [0, e la courbe complèe es obenue par ranslaions de veceurs k u, k Z. Pour ou réel, M( ( x(,y( s (Oy (M(. On race la courbe quand décri [0,, puis on complèe par réflexion d axe (Oy puis par ranslaions. Eude des poins singuliers. Pour [0,, x ( R( cos Rsin ( e y ( Rsin Rsin ( ( cos. Le poin M( es régulier si e seulemen si 0,. Dans ce cas, la angene en ( Rsin ( (/ sin(/ M( es dirigée par ou encore par. Eudions égalemen le R sin(/ cos(/ cos(/ poin singulier M(0. Pour 0,, y( y(0 R( cos / x( x(0 R( sin 0 3 /6 3. y( y(0 Ainsi, lim + e la angene en M(0 es dirigée par (0,. Ainsi, dans ous les cas, 0 x( x(0 >0 ( sin(/ la angene en M( es dirigée par le veceur. Par symérie, M(0 es un poin de cos(/ rebroussemen de première espèce. Sinon, x e y son des foncions croissanes sur [0,. R M R R 3. une courbe de LISSAJOUS Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M( e la courbe complèe es obenue quand décri [,. Pour ou réel, ( sin( M( sin( 3 ( sin( sin(3 s O (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [0,, puis on obien la courbe complèe par symérie cenrale de cenre O. Pour ou réel, ( sin( M( sin(3 3 ( sin( sin(3 s (Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy puis 6
7 par symérie cenrale de cenre O. On noe aussi que M( + s (Ox (M(, mais cee consaaion ne perme pas de réduire davanage le domaine d éude. Variaions conjoines de x e y. Pour [ 0,, x ( cos( e y ( 3cos(3. On en dédui immédiaemen le ableau suivan : puis on en dédui la courbe. 0 6 x ( + 0 x y 0 y ( /6 /4 0 /3 / Poins muliples. D abord, ou poin de l arc es muliple, puisque la courbe es parcourue une infinié de fois. Il y a esseniellemen deux «vrais poins» muliples à déerminer, les aures s en déduisen par symérie. L un des deux es le poin de (Ox d abscisse sricemen posiive obenu pour un cerain réel de 0, [. Soi 0, [. y( 0 sin(3 0 3 Z 3 Z 3. Le poin de la courbe qui es sur (Ox e qui a une abscisse sricemen posiive es le poin M ( 3 ( 3,0. Sinon, on cherche 0, 3 [ e 3, [ els que M( M(. M( M( x( x( + Z ou + Z + Z. Réciproquemen, si, alors x( x( e donc, 7
8 ( M( M( y ( ( y( sin 3 sin( Z ou Z Z Z Le poin M ( (, es le poin muliple d abscisse e d ordonnée sricemen posiives. 4. La lemniscae de BERNOULLI Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( s O (M(. On éudie e consrui la courbe quand décri R + e on obien la courbe complèe par symérie cenrale de cenre O. Pour > 0, M ( ( + 4, ( 3 + 4, + 4 s yx (M(. On éudie e consrui la courbe quand décri [0, e on obien la courbe complèe par réflexion d axe la droie d équaion y x puis par symérie cenrale de cenre O. Variaions conjoines de x e y. Les foncions x e y son dérivables sur [0, e pour [0,, x ( ( +4 (4 3 ( ( + 4 e y ( 3 ( (4 3 ( + 4 (3 4 ( + 4. On en dédui immédiaemen le ableau : x ( 0 ¹ x ( y 0 y ( 0 + La angene en M(0 es dirigée par le veceur (,0. Par symérie, la angene en «M(+» es dirigée par le veceur (0,. 8
9 5. Les racrices { x f ( + Rcos (a Cherchons les arcs soluions sous la forme où f es une foncon dérivable y Rsin ( f ( sur un cerain inervalle I (de sore que le poin M( es sur le cercle C ( de cenre 0 e de rayon R. La rajecoire cherchée es orhogonale à chaque cercle C ( si e seulemen si la angene à cee rajecoire en M( es orhogonale à la angene au cercle C ( en M( ou encore «si e seulemen si» les veceurs ( f ( Rsin,Rcos e ( sin,cos son orhogonaux. Cee dernière condiion s écri f (sin + R(sin + cos 0 ou encore f ( R sin ou enfin, f ( Rln ( ( an R ln an +C. Les arcs soluions son les arcs de la forme + cos +C, où Rsin C R. ( ( R ln an Les courbes soluions se déduisen de la courbe + cos par ranslaions de Rsin veceurs colinéaires à i. On peu monrer que la courbe obenue es la rajecoire de la roue arrière d une voiure quand celle-ci se gare en marche avan, la roue avan éan quan à elle collée au rooir. (b Domaine d éude. La foncion M( es -périodique e on l éudie donc sur [,. Pour [,, M( exise si e seulemen si,[\{0}. Pour,[\{0}, M( s (Ox (M( puis M( ( ( R ln an ( + cos( Rsin( ( R ( ln an cos Rsin( s Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe quand décri 0,, e on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy puis par réflexion d axe (Ox. Dérivée. Eude des poins singuliers. Pour 0,, ( ( dm R d ( sin sin Rcos ( R cos sin Rcos R cos ( cos sin sin Par suie, dm d ( 0 cos sin 0. Le poin M ( es un poin singulier. Quand end vers, y( y( ( ( R(sin R cos R (. D aure par, posons h ou encore h. Quand end vers, 9.
10 e donc par inégraion, x ( R cos R sin h ( sin cosh Rh R ( ( + o, x( x( R 3 ( ( 3 ( + o 3 R ( 3. 3 Comme d aure par, y( y ( R( sin R( cosh R h R (, on en dédui que y( y ( x( x ( R ( 3 ( R 3 3 (, y( y( e donc lim x( x( < +. Par symérie d axe (Oy, la angene en M ( es dirigée par j e M ( es un poin de rebroussemen de première espèce. Sinon, x e y son sricemen posiives sur 0, [. On en dédui que x e y son sricemen croissanes sur ce inervalle. Quand end vers 0 par valeurs supérieures, x( end vers e y( end vers 0. On en dédui que la droie d équaion x 0 es asympoe à la courbe. D aure par, x croi de à 0 pendan que y croi de 0 à. Courbe. R R Correcion de l exercice. Domaine d éude. M( exise si e seulemen si / {,}. Sinon, il n y a pas de symérie pariculière (la foncion y es effecivemen paire, mais x n es ni paire ni impaire. Dérivée. Pour,[\{0}, e x ( x((3ln ln + ln 3 ( + ( ( ( ( ( + ( 3 ( + ( ( + ( ( + 3 (, ce qui rese vrai par coninuié de x e y en 0. y ( ( ( ( (, Eude des poins singuliers. Pour,[, dm d ( 0 0. M(0 (0,0 es l unique poin singulier. Pour,[\{0}, y( y(0 x( x(0 ( + ( 3 +. Par suie, y( y(0 x( x(0 end vers + quand end vers 0 par valeurs supérieures e vers quand end vers 0 par valeurs inférieures. La angene en M(0 es dirigée par j e d aure par, M(0 es un poin de rebroussemen de première espèce. 0
11 Eude quand end vers ±. Quand end vers ±, M( end vers le poin (,. On prolonge la courbe en posan M(,. On a alors y( y( x( x( ( ( 3 ( + ( ( + ( Cee expression end donc vers 0 quand end vers ± e la angene en M( es dirigée par i. Eude quand end vers. Quand end vers, x( 4( e y( (. Donc, x e y enden vers l inifini e il y a branche infinie. De plus, y( x(. Puis, y( x( 3 ( + ( ( + 3 ( + ( ( +. Cee dernière expression end vers 4 e la droie ( d équaion y x 4 es asympoe à la courbe. Eude quand end vers -. Quand end vers, x( ( + e y( (+. Donc, x e y enden vers l inifini e il y a branche infinie. De plus, y( y( x( ( +. Par suie, x( end vers 0 quand end vers. La courbe adme une barnche parabolique de direcion (Ox. Variaions conjoines de x e y. On rappelle que pour R \ {,}, x ( (. On en dédui le ableau suivan : x ( x y 9 8 y ( ( 3 (+ 3 ( e y ( On peu noer que la angene en M(3 es dirigée par le veceur j. Voir graphique page suivane. 3 + ± Dans la suie de ce exercice, je ne déaillerai que rès peu ou pas du ou l éude de la courbe.
12 { x + y +
13
14 { x y ( 3 7. { x 3 +3 y { x + 3 y
15 5
16 Correcion de l exercice 3. On a vu dans l exercice, que la angene (T en M( es oujours dirigée par le veceur u( ( cos,sin. Une équaion de la angene en M( es donc sin(x acos 3 + cos(y asin 3 0 ou encore Soi (,u [,. xsin + ycos asin cos (T. (T (T u u( u(u 0 cos cosu + sin sinu 0 cos( u 0 u + + Z. Il es alors clair que l orhopique es l ensemble des poins d inersecion des angene (T e (T + quand décri R. { xsin + ycos asin cos M(x,y (T (T + xcos ysin asin cos x a sin cos cos asin cos sin e y sin cos asin cos a sin cos x asin cos( cos + sin e y asin cos(cos + sin ( asin cos( cos + sin L orhopique cherchée es la courbe asin cos(cos + sin. a a a a 6
Exemples de résolutions d équations différentielles
Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................
Plus en détailCHAPITRE I : Cinématique du point matériel
I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons
Plus en détailTD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)
TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel
Plus en détailCARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME
CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure
Plus en détailOscillations forcées en régime sinusoïdal.
Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -
Plus en détailCHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3
Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a)
Plus en détailTexte Ruine d une compagnie d assurance
Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose
Plus en détailLes circuits électriques en régime transitoire
Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc
Plus en détailMATHEMATIQUES FINANCIERES
MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial
Plus en détailFinance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET
Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple
Plus en détailFonction dont la variable est borne d intégration
[hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailRappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION
2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le
Plus en détailRecueil d'exercices de logique séquentielle
Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d
Plus en détailCaractéristiques des signaux électriques
Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme
Plus en détailLe mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites
CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailVA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1
Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)
Plus en détailSommaire de la séquence 12
Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................
Plus en détailCours d électrocinétique :
Universié de Franche-Comé UFR des Sciences e Techniques STARTER 005-006 Cours d élecrocinéique : Régimes coninu e ransioire Elecrocinéique en régimes coninu e ransioire 1. INTRODUCTION 5 1.1. DÉFINITIONS
Plus en détailLes solutions solides et les diagrammes d équilibre binaires. sssp1. sssp1 ssss1 ssss2 ssss3 sssp2
Les soluions solides e les diagrammes d équilibre binaires 1. Les soluions solides a. Descripion On peu mélanger des liquides par exemple l eau e l alcool en oue proporion, on peu solubiliser un solide
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détail2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.
1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%
Plus en détailIntégration de Net2 avec un système d alarme intrusion
Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera
Plus en détailMathématiques financières. Peter Tankov
Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailTHÈSE. Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Paris I Panthéon-Sorbonne Discipline : Sciences Économiques
Universié de Paris I Panhéon Sorbonne U.F.R. de Sciences Économiques Année 2011 Numéro aribué par la bibliohèque 2 0 1 1 P A 0 1 0 0 5 7 THÈSE Pour l obenion du grade de Doceur de l Universié de Paris
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailArticle. «Les effets à long terme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel et Bertrand Wigniolle
Aricle «Les effes à long erme des fonds de pension» Pascal Belan, Philippe Michel e Berrand Wigniolle L'Acualié économique, vol 79, n 4, 003, p 457-480 Pour cier ce aricle, uiliser l'informaion suivane
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailImpact du vieillissement démographique sur l impôt prélevé sur les retraits des régimes privés de retraite
DOCUMENT DE TRAVAIL 2003-12 Impac du vieillissemen démographique sur l impô prélevé sur les rerais des régimes privés de reraie Séphane Girard Direcion de l analyse e du suivi des finances publiques Ce
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailThème : Electricité Fiche 5 : Dipôle RC et dipôle RL
Fiche ors Thème : Elecricié Fiche 5 : Dipôle e dipôle Plan de la fiche Définiions ègles 3 Méhodologie I - Définiions oran élecriqe : déplacemen de charges élecriqes q a mesre d débi de charges donne l
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailF 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0
Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance
Plus en détailCalcul Stochastique 2 Annie Millet
M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détail3 POLITIQUE D'ÉPARGNE
3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs
Plus en détailTB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2
enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur
Plus en détailRelation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.
Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron
Plus en détailSciences Industrielles pour l Ingénieur
Sciences Indusrielles pour l Ingénieur Cenre d Inérê 6 : CONVERTIR l'énergie Compéences : MODELISER, RESOUDRE CONVERSION ELECTROMECANIQUE - Machine à couran coninu en régime dynamique Procédés de piloage
Plus en détailTRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A
UIMBERTEAU UIMBERTEAU TRAVAUX PRATIQUES 5 ISTALLATIO ELECTRIQUE DE LA CAE D'ESCALIER DU BATIMET A ELECTROTECHIQUE Seconde B.E.P. méiers de l'elecroechnique ELECTROTECHIQUE HABITAT Ver.. UIMBERTEAU TRAVAUX
Plus en détailChapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement
Chapire 2 L invesissemen. Les principales caracérisiques de l invesissemen.. Définiion de l invesissemen Définiion générale : ensemble des B&S acheés par les agens économiques au cours d une période donnée
Plus en détailAnnuités. I Définition : II Capitalisation : ( Valeur acquise par une suite d annuités constantes ) V n = a t
Annuiés I Définiion : On appelle annuiés des sommes payables à inervalles de emps déerminés e fixes. Les annuiés peuven servir à : - consiuer un capial ( annuiés de placemen ) - rembourser une dee ( annuiés
Plus en détailDocumentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1
Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailCopules et dépendances : application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d un assureur non vie
Copules e dépendances : applicaion praique à la déerminaion du besoin en fonds propres d un assureur non vie David Cadoux Insiu des Acuaires (IA) GE Insurance Soluions 07 rue Sain-Lazare, 75009 Paris FRANCE
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLa rentabilité des investissements
La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand
Plus en détailRisque associé au contrat d assurance-vie pour la compagnie d assurance. par Christophe BERTHELOT, Mireille BOSSY et Nathalie PISTRE
Ce aricle es disponible en ligne à l adresse : hp://www.cairn.info/aricle.php?id_revue=ecop&id_numpublie=ecop_149&id_article=ecop_149_0073 Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance
Plus en détailNed s Expat L assurance des Néerlandais en France
[ LA MOBILITÉ ] PARTICULIERS Ned s Expa L assurance des Néerlandais en France 2015 Découvrez en vidéo pourquoi les expariés en France choisissen APRIL Inernaional pour leur assurance sané : Suivez-nous
Plus en détailFiles d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.
Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailDE L'ÉVALUATION DU RISQUE DE CRÉDIT
DE L'ÉALUAION DU RISQUE DE CRÉDI François-Éric Racico * Déparemen des sciences adminisraives Universié du Québec, Ouaouais Raymond héore Déparemen Sraégie des Affaires Universié du Québec, Monréal RePAd
Plus en détailBILAN EN ELECTRICITE : RC, RL ET RLC
IN N TIIT :, T I. INTNSIT : = dq d en couran varable I = Q en couran connu Méhode générale d éablssemen des équaons dfférenelles : lo d addvé des ensons pus relaons dq caracérsques :, lo d Ohm u = aux
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailFiltrage optimal. par Mohamed NAJIM Professeur à l École nationale supérieure d électronique et de radioélectricité de Bordeaux (ENSERB)
Filrage opimal par Mohamed NAJIM Professeur à l École naionale supérieure d élecronique e de radioélecricié de Bordeaux (ENSERB) Filre adapé Définiions Filre adapé dans le cas de brui blanc 3 3 Cas d un
Plus en détailMémoire présenté et soutenu en vue de l obtention
République du Cameroun Paix - Travail - Parie Universié de Yaoundé I Faculé des sciences Déparemen de Mahémaiques Maser de saisique Appliquée Republic of Cameroon Peace Wor Faherland The Universiy of Yaoundé
Plus en détail2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE
009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, 1948-008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE DE LA FORME FAIBLE Thi Hong Van HOANG Efficience informaionnelle des marchés de l or
Plus en détailSéquence 2. Pourcentages. Sommaire
Séquence 2 Pourcenages Sommaire Pré-requis Évoluions e pourcenages Évoluions successives, évoluion réciproque Complémen sur calcularices e ableur Synhèse du cours Exercices d approfondissemen 1 1 Pré-requis
Plus en détailNo 1996 13 Décembre. La coordination interne et externe des politiques économiques : une analyse dynamique. Fabrice Capoën Pierre Villa
No 996 3 Décembre La coordinaion inerne e exerne des poliiques économiques : une analyse dynamique Fabrice Capoën Pierre Villa CEPII, documen de ravail n 96-3 SOMMAIRE Résumé...5 Summary...7. La problémaique...9
Plus en détailTD: Cadran solaire. 1 Position du problème
Position du problème On souhaite réaliser un cadran solaire à l aide d un stylet, de longueur a, perpendiculaire à un plan. (Le stylet n est donc pas orienté vers le pôle nord céleste). Ce cadran solaire
Plus en détailLe mécanisme du multiplicateur (dit "multiplicateur keynésien") revisité
Le mécanisme du muliplicaeur (di "muliplicaeur kenésien") revisié Gabriel Galand (Ocobre 202) Résumé Le muliplicaeur kenésien remone à Kenes lui-même mais il es encore uilisé de nos jours, au moins par
Plus en détailGESTION DU RÉSULTAT : MESURE ET DÉMESURE 1 2 ème version révisée, août 2003
GESTION DU RÉSULTAT : MESURE ET DÉMESURE 1 2 ème version révisée, aoû 2003 Thomas JEANJEAN 2 Cahier de recherche du CEREG n 2003-13 Résumé : Depuis une vingaine d années, la noion d accruals discréionnaires
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailAMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE
AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailMODÈLE BAYÉSIEN DE TARIFICATION DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHICULES
Cahier de recherche 03-06 Sepembre 003 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHCULES Jean-François Angers, Universié de Monréal Denise Desardins, Universié de Monréal Georges Dionne,
Plus en détailB34 - Modulation & Modems
G. Pinson - Physique Appliquée Modulaion - B34 / Caracérisiques d'un canal de communicaion B34 - Modulaion & Modems - Définiions * Half Duplex ou simplex : ransmission un sens à la fois ; exemple : alky-walky
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailSélection de portefeuilles et prédictibilité des rendements via la durée de l avantage concurrentiel 1
ASAC 008 Halifax, Nouvelle-Écosse Jacques Sain-Pierre (Professeur Tiulaire) Chawki Mouelhi (Éudian au Ph.D.) Faculé des sciences de l adminisraion Universié Laval Sélecion de porefeuilles e prédicibilié
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCHAPITRE 4 RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES?
CHAPITRE RÉPONSES AUX CHOCS D INFLATION : LES PAYS DU G7 DIFFÈRENT-ILS LES UNS DES AUTRES? Les réponses de la poliique monéaire aux chocs d inflaion mondiaux on varié d un pays à l aure Le degré d exposiion
Plus en détailNon-résonance entre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire
Non-résonance enre les deux premières valeurs propres d un problème quasi-linéaire AREl Amrouss MMoussaoui Absrac We consider he quasilinear Dirichle boundary value problem (φ p (u )) = f(u)+h(x),u(a)=u(b)=0,
Plus en détailMIDI F-35. Canal MIDI 1 Mélodie Canal MIDI 2 Basse Canal MIDI 10 Batterie MIDI IN. Réception du canal MIDI = 1 Reproduit la mélodie.
/ VARIATION/ ACCOMP PLAY/PAUSE REW TUNE/MIDI 3- LESSON 1 2 3 MIDI Qu es-ce que MIDI? MIDI es l acronyme de Musical Insrumen Digial Inerface, une norme inernaionale pour l échange de données musicales enre
Plus en détailCOURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE. François LONGIN www.longin.fr
COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE Obje de la séance 3 : dans la séance 2, nous avons monré commen le besoin de financemen éai couver par des
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détail