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1 Exo7 Courbes paramérées Exercices de Jean-Louis Rouge. Rerouver aussi cee fiche sur * rès facile ** facile *** difficulé moyenne **** difficile ***** rès difficile I : Inconournable T : pour ravailler e mémoriser le cours Exercice Quelques grands classiques. (** L asroïde. (a a es un réel sricemen posiif donné. Eudier e consruire la courbe de paramérisaion : { x acos 3 y asin 3 (b Pour 0, [, on noe A( e B( les poins d inersecion de la angene au poin couran M( avec respecivemen (Ox e (Oy. Calculer la longueur A(B(.. (** La cycloïde. (a Un cercle (C, de rayon R > 0, roule sans glisser sur l axe (Ox. On noe I le poin de conac enre (C e (Ox e on noe Ω le cenre de (C (Ω e I son mobiles. M es un poin donné de (C (M es mobile, mais solidaire de (C. On pose (( ΩM, ΩI. y M. Ω O Déerminer une paramérisaion de la courbe décrie par le poin M (on prendra pour paramère. { x R( sin (b Eudier e consruire l arc paraméré : où R es un réel sricemen posiif donné. y R( cos { x sin( 3. (** Une courbe de LISSAJOUS. Eudier e consruire l arc paraméré : y sin(3 { x + 4. (** La lemniscae de BERNOULLI. Eudier e consruire l arc paraméré : 4 y 5. (*** Les racrices. (a Trouver les rajecoires orhogonales à la famille des cercles de rayon R (R > 0 donné e cenrés sur (Ox. { x R(ln an (b Eudier e consruire l arc paraméré : + cos où R es un réel sricemen posiif y Rsin donné. I x Correcion [00553 Exercice Consruire les courbes de paramérisaions :

2 { x 3 (+ (. y { x ( + e /. y ( e / { x ( ln( 3. y ( + ln( { x 4. + y + 5. { x y + ( { x y ( 3 { x y 3 +3 { x y Correcion [00554 Exercice 3 La courbe orhopique d une courbe (C es le lieu des poins du plan d où l on peu mener (au moins deux angenes à (C, orhogonales. Déerminer l orhopique de (C dans chacun des cas suivans :. (C es un asroïde de paramérisaion. (C es l arc paraméré : { x y 3 3. { x acos 3 y asin 3 3. (C es l ellipse d équaion x a + y b, (a,b 0,+ [. Correcion, a > 0 donné. [00555 Exercice 4 { x 3 Trouver les droies à la fois angenes e normales à l arc paraméré : y 4 3 [00556 Exercice 5 Dans chacun des cas suivans, rouver une paramérisaion raionnelle de la courbe proposée puis consruire x(y x y x x 3 y 3 + xy x + y [00557 Exercice 6 Trouver une équaion carésienne des suppors des arcs suivans : { x. y { x. y 3

3 3. { x + 4 y [00558 Exercice 7 Soi T l inersecion de (Ox e de la angene en M e H le projeé orhogonal de M sur (Ox. Trouver les courbes elles que. MT a (a > 0 donné. HT a (sans rappor avec [00559 Rerouver cee fiche e d aures exercices de mahs sur exo7.emah.fr 3

4 Correcion de l exercice (les grands classiques. L asroïde. (a Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M(. Par suie, la courbe complèe es obenue quand décri un segmen de longueur comme par exemple [,. Pour ou réel, ( cos M( 3 ( sin 3 ( ( cos 3 sin 3 s (Ox (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Ox. Pour ou réel, ( cos M( + 3 ( + sin 3 ( + ( cos 3 sin 3 s O (M(. La porion de courbe obenue quand décri [,0 es donc aussi la symérique par rappor à O de la porion de courbe obenue quand décri [0,. Néanmoins, cee consaaion ne perme pas de réduire davanage le domaine d éude. Pour ou réel, ( cos M( 3 ( sin 3 ( ( cos 3 sin 3 s (Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy, puis par réflexion d axe (Ox. Pour ou réel, ( ( cos 3 ( M sin 3 ( ( sin 3 cos 3 s yx (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0, 4, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe la droie d équaion y x, puis d axe (Oy e enfin d axe (Ox. Variaions conjoines de x e y. La foncion x( es sricemen décroissane sur [ 0, 4 e la foncion y( es sricemen croissane sur [ 0, 4. Eude des poins singuliers. Pour R, Pour ou réel, le veceur ( dm 3acos d ( sin 3asin cos ( cos sin ( cos 3acos sin sin. es uniaire e n es donc pas nul. Par suie, dm d ( 0 3acos sin 0 cos 0 ou sin 0 Z. 4

5 Les poins singuliers son donc les M ( k, k Z. Pour / Z, M( es un poin régulier e la ( cos angene en M( es dirigée par le veceur. Eudions alors le poin singulier M(0. sin Pour [, \ {0}, y( y(0 x( x(0 asin3 acos 3 a sin 3 (cos (cos + cos + 8sin 3 cos3 sin (cos + cos + 4sin cos3 cos + cos +, y( y(0 sin e donc, lim 0 x( x(0 0. (Si on connaî déjà les équivalens, c es plus cour : 3 3 (cos (cos +cos La courbe adme en M(0 une angene dirigée par le veceur (,0. Par symérie, la courbe adme égalemen une angene en M ( (, M e M(, dirigée respecivemen par (0,, (0, e (,0. Toujours par symérie, ces quare poins son des poins de rebroussemen de première espèce. Il en résule aussi que On en dédui la courbe. pour ou réel, la angene en M( es dirigée par le veceur ( cos,sin. a x 0 a B( M( A( a a a (b Soi 0, [. On a vu que la angene (T en M( es dirigée par le veceur ( cos,sin. Une équaion carésienne de T es donc : sin(x acos 3 cos(y asin 3 0, ou encore xsin + ycos asin cos (T. On en dédui immédiaemen que A( a pour coordonnées (acos,0 e que B( a pour coordonnées(0,bsin puis que 0, [, A(B( a.. La cycloïde. (a La condiion de roulemen sans glissemen se radui par OI MI ou encore x Ω R. On en dédui que 5

6 e x M x Ω + x ΩM R + Rcos ( R Rsin R( sin y M y Ω + y ΩM R + Rsin ( R Rcos R( cos. (b Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M( + u où u (R,0. Par suie, on race la courbe quand décri [0, e la courbe complèe es obenue par ranslaions de veceurs k u, k Z. Pour ou réel, M( ( x(,y( s (Oy (M(. On race la courbe quand décri [0,, puis on complèe par réflexion d axe (Oy puis par ranslaions. Eude des poins singuliers. Pour [0,, x ( R( cos Rsin ( e y ( Rsin Rsin ( ( cos. Le poin M( es régulier si e seulemen si 0,. Dans ce cas, la angene en ( Rsin ( (/ sin(/ M( es dirigée par ou encore par. Eudions égalemen le R sin(/ cos(/ cos(/ poin singulier M(0. Pour 0,, y( y(0 R( cos / x( x(0 R( sin 0 3 /6 3. y( y(0 Ainsi, lim + e la angene en M(0 es dirigée par (0,. Ainsi, dans ous les cas, 0 x( x(0 >0 ( sin(/ la angene en M( es dirigée par le veceur. Par symérie, M(0 es un poin de cos(/ rebroussemen de première espèce. Sinon, x e y son des foncions croissanes sur [0,. R M R R 3. une courbe de LISSAJOUS Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( + M( e la courbe complèe es obenue quand décri [,. Pour ou réel, ( sin( M( sin( 3 ( sin( sin(3 s O (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [0,, puis on obien la courbe complèe par symérie cenrale de cenre O. Pour ou réel, ( sin( M( sin(3 3 ( sin( sin(3 s (Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe pour [ 0,, puis on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy puis 6

7 par symérie cenrale de cenre O. On noe aussi que M( + s (Ox (M(, mais cee consaaion ne perme pas de réduire davanage le domaine d éude. Variaions conjoines de x e y. Pour [ 0,, x ( cos( e y ( 3cos(3. On en dédui immédiaemen le ableau suivan : puis on en dédui la courbe. 0 6 x ( + 0 x y 0 y ( /6 /4 0 /3 / Poins muliples. D abord, ou poin de l arc es muliple, puisque la courbe es parcourue une infinié de fois. Il y a esseniellemen deux «vrais poins» muliples à déerminer, les aures s en déduisen par symérie. L un des deux es le poin de (Ox d abscisse sricemen posiive obenu pour un cerain réel de 0, [. Soi 0, [. y( 0 sin(3 0 3 Z 3 Z 3. Le poin de la courbe qui es sur (Ox e qui a une abscisse sricemen posiive es le poin M ( 3 ( 3,0. Sinon, on cherche 0, 3 [ e 3, [ els que M( M(. M( M( x( x( + Z ou + Z + Z. Réciproquemen, si, alors x( x( e donc, 7

8 ( M( M( y ( ( y( sin 3 sin( Z ou Z Z Z Le poin M ( (, es le poin muliple d abscisse e d ordonnée sricemen posiives. 4. La lemniscae de BERNOULLI Domaine d éude. Pour ou réel, M( exise. Pour ou réel, M( s O (M(. On éudie e consrui la courbe quand décri R + e on obien la courbe complèe par symérie cenrale de cenre O. Pour > 0, M ( ( + 4, ( 3 + 4, + 4 s yx (M(. On éudie e consrui la courbe quand décri [0, e on obien la courbe complèe par réflexion d axe la droie d équaion y x puis par symérie cenrale de cenre O. Variaions conjoines de x e y. Les foncions x e y son dérivables sur [0, e pour [0,, x ( ( +4 (4 3 ( ( + 4 e y ( 3 ( (4 3 ( + 4 (3 4 ( + 4. On en dédui immédiaemen le ableau : x ( 0 ¹ x ( y 0 y ( 0 + La angene en M(0 es dirigée par le veceur (,0. Par symérie, la angene en «M(+» es dirigée par le veceur (0,. 8

9 5. Les racrices { x f ( + Rcos (a Cherchons les arcs soluions sous la forme où f es une foncon dérivable y Rsin ( f ( sur un cerain inervalle I (de sore que le poin M( es sur le cercle C ( de cenre 0 e de rayon R. La rajecoire cherchée es orhogonale à chaque cercle C ( si e seulemen si la angene à cee rajecoire en M( es orhogonale à la angene au cercle C ( en M( ou encore «si e seulemen si» les veceurs ( f ( Rsin,Rcos e ( sin,cos son orhogonaux. Cee dernière condiion s écri f (sin + R(sin + cos 0 ou encore f ( R sin ou enfin, f ( Rln ( ( an R ln an +C. Les arcs soluions son les arcs de la forme + cos +C, où Rsin C R. ( ( R ln an Les courbes soluions se déduisen de la courbe + cos par ranslaions de Rsin veceurs colinéaires à i. On peu monrer que la courbe obenue es la rajecoire de la roue arrière d une voiure quand celle-ci se gare en marche avan, la roue avan éan quan à elle collée au rooir. (b Domaine d éude. La foncion M( es -périodique e on l éudie donc sur [,. Pour [,, M( exise si e seulemen si,[\{0}. Pour,[\{0}, M( s (Ox (M( puis M( ( ( R ln an ( + cos( Rsin( ( R ( ln an cos Rsin( s Oy (M(. On éudie e on consrui la courbe quand décri 0,, e on obien la courbe complèe par réflexion d axe (Oy puis par réflexion d axe (Ox. Dérivée. Eude des poins singuliers. Pour 0,, ( ( dm R d ( sin sin Rcos ( R cos sin Rcos R cos ( cos sin sin Par suie, dm d ( 0 cos sin 0. Le poin M ( es un poin singulier. Quand end vers, y( y( ( ( R(sin R cos R (. D aure par, posons h ou encore h. Quand end vers, 9.

10 e donc par inégraion, x ( R cos R sin h ( sin cosh Rh R ( ( + o, x( x( R 3 ( ( 3 ( + o 3 R ( 3. 3 Comme d aure par, y( y ( R( sin R( cosh R h R (, on en dédui que y( y ( x( x ( R ( 3 ( R 3 3 (, y( y( e donc lim x( x( < +. Par symérie d axe (Oy, la angene en M ( es dirigée par j e M ( es un poin de rebroussemen de première espèce. Sinon, x e y son sricemen posiives sur 0, [. On en dédui que x e y son sricemen croissanes sur ce inervalle. Quand end vers 0 par valeurs supérieures, x( end vers e y( end vers 0. On en dédui que la droie d équaion x 0 es asympoe à la courbe. D aure par, x croi de à 0 pendan que y croi de 0 à. Courbe. R R Correcion de l exercice. Domaine d éude. M( exise si e seulemen si / {,}. Sinon, il n y a pas de symérie pariculière (la foncion y es effecivemen paire, mais x n es ni paire ni impaire. Dérivée. Pour,[\{0}, e x ( x((3ln ln + ln 3 ( + ( ( ( ( ( + ( 3 ( + ( ( + ( ( + 3 (, ce qui rese vrai par coninuié de x e y en 0. y ( ( ( ( (, Eude des poins singuliers. Pour,[, dm d ( 0 0. M(0 (0,0 es l unique poin singulier. Pour,[\{0}, y( y(0 x( x(0 ( + ( 3 +. Par suie, y( y(0 x( x(0 end vers + quand end vers 0 par valeurs supérieures e vers quand end vers 0 par valeurs inférieures. La angene en M(0 es dirigée par j e d aure par, M(0 es un poin de rebroussemen de première espèce. 0

11 Eude quand end vers ±. Quand end vers ±, M( end vers le poin (,. On prolonge la courbe en posan M(,. On a alors y( y( x( x( ( ( 3 ( + ( ( + ( Cee expression end donc vers 0 quand end vers ± e la angene en M( es dirigée par i. Eude quand end vers. Quand end vers, x( 4( e y( (. Donc, x e y enden vers l inifini e il y a branche infinie. De plus, y( x(. Puis, y( x( 3 ( + ( ( + 3 ( + ( ( +. Cee dernière expression end vers 4 e la droie ( d équaion y x 4 es asympoe à la courbe. Eude quand end vers -. Quand end vers, x( ( + e y( (+. Donc, x e y enden vers l inifini e il y a branche infinie. De plus, y( y( x( ( +. Par suie, x( end vers 0 quand end vers. La courbe adme une barnche parabolique de direcion (Ox. Variaions conjoines de x e y. On rappelle que pour R \ {,}, x ( (. On en dédui le ableau suivan : x ( x y 9 8 y ( ( 3 (+ 3 ( e y ( On peu noer que la angene en M(3 es dirigée par le veceur j. Voir graphique page suivane. 3 + ± Dans la suie de ce exercice, je ne déaillerai que rès peu ou pas du ou l éude de la courbe.

12 { x + y +

13

14 { x y ( 3 7. { x 3 +3 y { x + 3 y

15 5

16 Correcion de l exercice 3. On a vu dans l exercice, que la angene (T en M( es oujours dirigée par le veceur u( ( cos,sin. Une équaion de la angene en M( es donc sin(x acos 3 + cos(y asin 3 0 ou encore Soi (,u [,. xsin + ycos asin cos (T. (T (T u u( u(u 0 cos cosu + sin sinu 0 cos( u 0 u + + Z. Il es alors clair que l orhopique es l ensemble des poins d inersecion des angene (T e (T + quand décri R. { xsin + ycos asin cos M(x,y (T (T + xcos ysin asin cos x a sin cos cos asin cos sin e y sin cos asin cos a sin cos x asin cos( cos + sin e y asin cos(cos + sin ( asin cos( cos + sin L orhopique cherchée es la courbe asin cos(cos + sin. a a a a 6

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