Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Métrologie C4 1

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2 Cours o.4. Statistique descriptive. α 97.7% α 95% k k 3

3 Démarche scietifique Système réel (ature) Nous avos à étudier u esemble bie défii mais assez vaste d idividus ou d observatios. Epériece Das u premier temps, o mesure certaies caractéristiques de la populatio origiale. Doés epérimetales brutes Les mesures sot classées et orgaisées (e tableau ou e graphiques). Doés epérimetales simplifies La secode étape cosiste, e foctio du problème posé ou d ue décisio à predre, à simplifier cette iformatio à des diagrammes cocis ou des coefficiets simples et sigificatifs. 3

4 Statistiques et la démarche scietifique. Système réel (ature) Epériece pour iterpréter ue masse de doées il faut accepter de perdre de l iformatio au profit de la meilleure compréhesio. Doés epérimetales brutes Il est alors très importat de compredre commet la simplificatio s est opérée. statistique descriptive Doés epérimetales simplifies statistique iferetielle Modèle (théorique) du système réel 4

5 Vocabulaire gééral - rappels. Populatio u esemble d objets soumis à ue étude statistique: fiie ou o-fiie i déombrable réalité tagible ou hypothétique. Échatillo u ombre limité d idividus d ue populatio il doit être représetatif d ue populatio pour qu o puisse etrapoler les résultats de so étude vers la populatio dot il est issue. Idividu (ou uité statistique, uité d observatio) u élémet de la populatio. Caractère propriété (caractéristique): qualitatif (modalité) ou quatitatif (valeur); détermiiste ou aléatoire; cotiu ou discret. 5

6 Vocabulaire gééral - rappels. Populatio u esemble d objets soumis à ue étude statistique: Échatillo u ombre limité d idividus d ue populatio Idividu (ou uité statistique, uité d observatio) u élémet de la populatio.??? Recesemet ue iterrogatio ehaustive de tous les idividus d ue populatio. Sodage ue iterrogatio de l échatillo. Mesure 6

7 Série statistique. résultat d u sodage cocerat u caractère des idividus d ue populatio EXEMPLE : O a étudié, sur u échatillo de 000 persoes, les habitudes alimetaires des cliets de restauratio rapide. 00 ot préféré y predre leur petit déjeuer, 300 le déjeuer, 00 le dîer et 400 les sacks. O étudie u caractère X d ue populatio. Das u sodage d u échatillo de idividus, i a été observée i fois. i - effectif de i f i - fréquece de i : i fi 0 f i k f i i f distributio de fréqueces Aalyse de la fréquece facilite la comparaiso des échatillos de tailles différetes 7

8 Distributio de fréquece. diagramme e bâtos i petit déjeuer déjeuer sacks dîer 400 diagramme e barres petit déjeuer déjeuer dîer sacks diagramme à secteurs déjeuer petit déjeuer sacks dîer Aalyse de la fréquece facilite la comparaiso des échatillos de tailles différetes 8

9 Distributio de fréquece. EXEMPLE : O a étudié, sur u échatillo de 000 familles fraçaises, le ombre d efats à charge. Représeter d ue maière sythétique le résultat de cette étude. i i f i F i la modale F i - fréquece cumulée de i : ( i,... k) F f f i i j j j i j

10 Distributio de fréquece. Cas particulier : résultat d u GRAND sodage Si le ombre d observatios est fii, mais très grad, o répartit les valeurs de i e classes: a k- k k+ k+ ehaustives et disjoites ; au mois 5, pas plus de 5; effectif de chaque classe i 5 ; bores des classes : Bores des classes : aturelles (p.e. les otes délimitat les metios, traches d impôt sur reveus...) classes à amplitudes égales : amplitude de classe a classes à fréqueces égales : ma mi k f f f 3... f k 0

11 Distributio de fréquece. Cas particulier : résultat d u GRAND sodage Limites réelles d ue classe : LIMITE INFERIEURE LIMITE SUPERIEURE k- k k+ k+ BORNE INFERIEURE BORNE SUPERIEURE limite iférieure limite supérieure k + k + k+ k+

12 Distributio de fréquece. Cas particulier: résultat d u GRAND sodage cetre de classe : k k+ cetre de classe o e distigue pas des valeurs iscrites das la même classe ; à chaque valeur est attribuée ue valeur uique, appelée cetre de classe : cetre k + + k Autres paramètres : effectif de la classe c i i ; (effectif total: i ) c i f i fréquece de la classe f i : i fréquece cumulée de la classe F i : F f i j i i k

13 Distributio de fréquece. Cas particulier: résultat d u GRAND sodage EXEMPLE: Les doées ci-dessus représetet (e uités arbitraires) le iveau de pollutio à l ozoe à Marseille durat 50 jours cosécutifs. Représeter d ue maière sythétique le résultat de cette étude classe cetre i f i f histogramme polygoe de frequece 3

14 Distributios de fréquece. Les courbes de fréquece réelles (observées lors d ue étude) appartieet TOUJOURS à ue de 3 catégories: distributios e cloche cloche symétrique cloches asymétriques cloche multimodale distributio e U distributio e J 4

15 Descriptio des distributios de fréquece. Ue fois u ombre suffisat de résultats epérimetau récolté, ous pouvos facilemet les représeter sous forme de distributio de fréquece. f f Les représetatios graphiques sot peu commodes pour toute étude ultérieure. Par cotre, trois paramètres suffisset pour décrire totalemet l allure de la courbe de distributio, sas avoir recours au graphe: paramètres de positio (tedace cetrale); paramètres de dispersio (de variabilité); paramètres de forme. Aucue de ces gradeurs e défiit pas la distributio d ue maière ehaustive! 5

16 Paramètres de positio (tedace cetrale). modale médiae la fréquece de so apparitio est maimale peut e pas eister (valeurs équiprobables) peut e pas être uique (bi- ou plurimodalité) f f partage ue série ordoée e deu parties d effectifs égau. itervalle média si le ombre de mesures est impair, la médiae est la valeur ideée / si est pair, la médiae est la moyee de deu valeurs du milieu. si les mesures sot groupées e classes, la médiae est: emedia Me L + Fmedia f media 6

17 Paramètres de positio (tedace cetrale). moyee (arithmétique) variable idividuelle :.. variable discrète : si X peut predre k valeurs différetes (k ) et la fréquece de la valeur i est f i,.. variable groupée e k classes : variable cotiue : si X ]a, b[,. E( ) µ i f i i k f i ( cetre) i i b f ( ) d i i a où f() foctio de distributio de fréquece. k La moyee arithmétique est fortemet affectée par des valeurs etrêmes!!! EXEMPLE : Quatre cadres das ue etreprise gaget 500, 300, 3700 et euros par mois. Quel est le salaire moye d u cadre das cette etreprise? euro 7

18 Paramètres de positio. Il eiste ue relatio empirique etre les trois paramètres de positio: la moyee arithmétique, la médiae Me, la modale Mo: Mo 3( Me) cloche symétrique distributio e cloche asymétrique Me Mo Me Mo Mo Me 8

19 Paramètres de dispersio (variabilité). O a mesure la durée de vie (e heures) de deu séries de 9 ampoules : ere série : de série : Les deu séries ot même médiae, même modale, même moyee, et pourtat elles sot très différetes. étedue différece etre la plus grade et la plus petite valeur prise par le caractère: e ma mi e Pour des doées groupées e classes, étedue est égale à la différece etre la limite supérieure de la derière classe et la limite iférieure de la première. 9

20 Paramètres de dispersio (variabilité). quartile - valeur du caractère correspodat à : premier quartile Q - 5% des effectifs cumulés croissats; deuième quartile Q - 50% des effectifs cumulés croissats; troisième quartile Q 3-75% des effectifs cumulés croissats; distace iterquartile (IQR, iterquartile rage) étedue de valeurs etre premier et troisième quartile, coteat 50% des valeurs f() Q Q Q 3 IQR O défii aussi des déciles, cetiles (ou percetiles, milliles... ) 0

21 Paramètres de dispersio (variabilité). variace V( ) moyee des carrés des écarts des i de la valeur moyee : variable idividuelle :.. V ( ) i variable discrète : si X peut predre k valeurs différetes (k ) et la fréquece de la valeur i est f i,.. V ) ( i ( ) i f i ( ) i k variable groupée e k classes : V( ) fi ( ( cetre) i ) i erreur de regroupemet correctio d Ala Sheppard: V() vrai V() calcule a / a - amplitude des classes variable cotiue : si X ]a, b[,. V ( ) ( ) f ( ) d a où f() foctio de distributio de fréquece. b

22 Paramètres de dispersio (variabilité). Théorème de Koeig-Huyghes : V( ) écart type ( ) s ) V ( ) i ATTENTION! ( Calculatrices scietifiques possèdet ue touche «σ» ou «σ -» qui correspod à l estimatio de s das u échatillo de taille : i s i ( ) σ( ) s doc i Si ombre de mesures est grad, - et σ() s.

23 Paramètres de dispersio (variabilité). EXEMPLE : Supposos, que chaque pot de cofiture doit coteir 00g de produit. E preat u échatillo à la sortie de la chaîe de remplissage, le fabricat peut mesurer la dispersio de sa productio: il trouve S g. CONCLUSION : il décide de régler ses machies afi que la productio moyee soit cetrée sur 00 g. 50% 50% 00 CONCLUSION : il décide de régler ses machies afi que la productio moyee soit cetrée sur 04 g. 97.5%

24 Paramètres de forme. dissymétrie - coefficiet γ de Fischer : γ σ 3 γ 0 distributio symétrique ; γ < 0 distributio étalée vers la gauche ; γ > 0 distributio étalée vers la droite. aplatissemet - coefficiet γ de Fischer : γ σ 4 3 γ 0 distributio de forme gaussiee ; γ < 0 distributio plus aplatie que la courbe de Gauss. γ > 0 distributio mois aplatie 4

25 Aee. Autres types de moyee. moyee podérée O associe avec chaque valeur,,, u coefficiet w, w,, w. w i décrit l importace de la valeur i (so poids). La moyee podérée de i est : w + w w i w + w w i w i w i i EXEMPLE : U étudiat doit passer tests, partiel et eame fial e stats. Chaque épreuve est otée sur 00 poits. Le partiel compte 3 fois plus que le test, et l eam fial 5 fois plus. L étudiat obtiet : 70 et 80 poits e tests, 65 e partiel et 85 e eame fial. Quelle est sa ote (sur0)? (sur 0) (sur 00) 5

26 Aee. Autres types de moyee. moyee géométrique Soiet des valeurs,,. Leur moyee géométrique est: q... EXEMPLE : 000 euros déposés das ue baque sot deveus 5000 euros au bout de 3 as. Quel est le tau d itérêt t pratiqué par cette baque? somme déposée : 000 après a : τ ( + τ ). 000 après as : ( + τ ) ( + τ ) τ ( + τ ). 000 après 3 as : ( + τ ) ( + τ ) τ ( + τ ) ( + τ ) 3 5 τ % 6

27 Aee. Autres types de moyee. moyee harmoique Soiet des valeurs,,. Leur moyee harmoique est la valeur réciproque de la moyee des valeurs des / i : i i i i EXEMPLE : U cycliste a parcouru ue distace de 30 km. Les 0 premiers kilomètres il a roulé avec la vitesse 35 km/h, les 0 suivats avec la vitesse 48 km/h, et les 0 deriers avec 40km/h. Quelle a été sa vitesse moyee sur ce trajet? vitesse moyee v distace totale temps total t t s v s v h 0.08 h s t h v v 40.3 km/h

28 Aee. Autres types de moyee. moyee quadratique Soiet des valeurs,,. Leur moyee quadratique est la racie carréede la moyee des carrés de valeurs i : COMPAREZ: Quelle est la moyee de ombres, 3, 5 et 7? moyee arithmétique ( i ) i moyee géométrique moyee harmoique moyee quadratique

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