Un exemple de non-dérivabilité en géométrie du triangle

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1 Un exemple de non-dérivabilié en géomérie du riangle Jacques Dixmier, Jean-Pierre Kahane e Jean-Louis Nicolas 5 juin 007 Absrac. Le T be a riangle in a Euclidean plane. If ft denoes he riangle whose verices are he midpoins of he edges of T, and if we ierae he funcion f, he siuaion is simple : all riangles f n T are homoheic and end o he cenroid of T. Bu, if gt denoes he riangle whose verices are he fee of he aliudes of T, he problem is no so easy. We shall see ha g n T ends o a poin LT, a new poin geomerically linked o T and ha LT is a coninuous funcion, in fac hölderian, bu is everywhere non-differeniable, hence he ile of his paper. In par, he exisence of LT is proved and is coordinaes are calculaed in a simple sysem of axes ied o T. If he circle ΓT circumscribed o T is fixed, T depends on hree angles α,β,γ. By roaion, we may require ha α + β + γ = 0 so ha LT becomes a funcion Lα,β of wo variables, and he coordinaes of LT become rigonomeric series of lacunary ype. In par, some properies of regulariy and irregulariy of more general series lacunary series of imaginary exponenials in R d are given; from hem, he behaviour of LT as described above follows. In par 4, he exreme values of he disance beween he poin LT and he cener OT of ΓT are sudied. We show ha LT = OT if and only if T is equilaeral, ha LTOT 4 RT for all riangles T, where RT is he radius of ΓT, and ha LTOT = 4 RT if and only if he angles of T are π 7, π 7, 4π 7 In par 5, we shall see ha he image of he applicaion α,β Lα,β is he adherence of is inerior. When T is an isosceles riangle, LT belongs o he symmery axis of T, and is abscissa on his axis is given, afer normalizaion, by he following Weiersrass Hardy funcion : x = sin sin + 4 sin 4 8 sin = cos + 4 cos 4 cos In par, we give deailed informaions concerning his funcion : is minimum, is maximum, is local behaviour around = 0 which is of fracal ype, ec. Recherche financée par le CNRS, Insiu Camille Jordan, UMR 508.

2 Inroducion Soi T un riangle dans un plan euclidien. Si l on noe ft le riangle formé par les milieux des côés, e si l on ière, la siuaion es simple : les riangles f n T son ous homohéiques e enden vers le cenre de gravié de T. Mais si l on noe gt le riangle formé par les pieds des haueurs, l iéraion pose des problèmes plus difficiles. Les g n T enden, on le verra, vers un poin LT, un nouveau poin aaché géomériquemen à T e LT es une foncion coninue, en fai höldérienne, mais parou non différeniable; cela jusifie le ire de ce aricle. La parie prouve l exisence de LT e calcule ses coordonnées dans un repère lié simplemen à T. Si le cercle ΓT circonscri à T es fixé, T dépend de rois angles α, β, γ. Par roaion, imposons α + β + γ = 0 de sore que LT devien une foncion de deux angles α e β : 0. LT = Lα, β = n n e niα + e niβ + e n iα+β. n=0 La parie démonre des propriéés de régularié e d irrégularié de séries plus générales séries d exponenielles imaginaires lacunaires dans R d ; d où, en pariculier le comporemen annoncé de LT. Dans la parie 4, on éudie les valeurs exrêmes de la disance du poin LT au cenre OT de ΓT. On monre que LT = OT si e seulemen si T es équilaéral, que LTOT 4 RT RT, rayon de ΓT pour ou riangle T, e que LTOT = 4 RT si e seulemen si les angles de T son π, π, 4π Dans la parie 5, on monre que l image de l applicaion α, β Lα, β es l adhérence de son inérieur. Quand T es isocèle, LT apparien à l axe de symérie de T e son abscisse sur ce axe es donnée, après normalisaion, par la foncion de Weiersrass Hardy suivane : x = sin sin + 4 sin 4 8 sin = cos + 4 cos 4 cos Dans la parie, nous donnons des informaions déaillées sur cee foncion : son minimum, son maximum, son comporemen local auour de = 0 qui es de ype fracal, ec. Nous avons plaisir à remercier X. Roblo e M. Deléglise pour l aide apporée à l élaboraion des figures ainsi que J. A. Bondy pour la raducion en anglais du résumé.

3 Exisence e calcul de LT.. Pour ou riangle T, on noera ΓT le cercle circonscri à T, OT e RT le cenre e le rayon de ΓT, ωt le cenre du cercle d Euler, GT le cenre de gravié. Rappelons que le cercle d Euler ou cercle des neuf poins d un riangle T passe par les pieds des haueurs, par les pieds des médianes e par les milieux des segmens joignan l orhocenre HT aux rois sommes. De plus, les poins O, G, ω e H son alignés, ω es le milieu de OH e Gω = GO... On par d un cercle Γ de cenre O e de rayon R. Soi A, B, C Γ e T = A, B, C. Idenifian le plan à C, on peu écrire A = O + Re iα B = O + Re iβ C = O + Re iγ où α, β, γ son des angles modulo π la figure a éé racée avec α = 70 o, β = 98 o e γ = 4 o. On a G = GT = A + B + C. Soi H l homohéie de cenre G e de rappor. On a HΓ = Γ, cercle d Euler de T, HO = O = ωt. Les poins à = HA, B = HB, C = HC son les milieux de BC, CA, AB. On a O = G O G = O + G = A + B + C O = O + Re iα + Re iβ + Re iγ. = O + R e iα + e iβ + e iγ. D aure par, à O = A O = Reiα, donc. à = O Reiα B = O Reiβ C = O Reiγ. Soien A, B, C les pieds des haueurs de T. On dira que T = A, B, C es le riangle descendan de T. On a Ã, B, C, A, B, C Γ ÃA resp. BB, CC parallèle à B C resp. CÃ, à B.

4 Donc, si l on écri A = O Reiδ, on a α + δ β + γ mod π d après.. Par suie. A = O Reiβ+γ α B = O Reiγ+α β C = O Reiα+β γ... En pariculier, si α+β +γ 0 mod π, les formules. deviennen.4 A = O Re iα B = O Re iβ C = O Re iγ. A Γ C Γ C H B B ω O G B Ã A C Le cercle d Euler du riangle A, B, C Figure.4. On noera que le cercle d Euler n es défini, en principe, que si A, B, C son disincs. Mais les formules pour O, A, B, C garden un sens dans ous les cas. Si par exemple, A = B, on a α = β, donc A = O Reiγ = O + R e iα + e iα + e iγ Reiγ = O + Re iα = A 4

5 e de même B = B = A..5. Passons à l iéraion. T, A, B, C, O seron noés T 0, A 0, B 0, C 0, O 0, e T, A, B, C, O seron noés T, A, B, C, O. Désignons par D = DR, α, β, γ la ransformaion de O, A 0, B 0, C 0 en O, A, B, C définie par les formules. e.4. Ces formules garden un sens lorsque R es négaif; on peu donc poser R = R e iérer D n O, A, B, C = O n, A n, B n, C n. On posera T n = A n, B n, C n, n-ième descendan de T = T 0 = A 0, B 0, C Lemme. On suppose α + β + γ 0 mod π e R =. Alors O n, A n, B n, C n on une limie commune LT quand n e l on a LT = O + n n e niα + e niβ + e n iγ. n=0 On a O 0 = O, R 0 =, A 0 = e iα, B 0 = e iβ, C 0 = e iγ, puis, uilisan. e.4, avec A n = O n + R ne iαn B n = O n + R ne iβn C n = O n + R ne iγn α n = α n, β n = β n, γ n = γ n, R n = n n O n+ = O n + n n e n iα + e n iβ + e n iγ d où O n+ = O + e iα + e iβ + e iγ e iα + e iβ + e iγ n n e niα + e niβ + e n iγ donc O n a une limie LT. Comme R n 0, on voi que A n, B n, C n LT..7. Soi T = A, B, C un riangle, O = OT. Soi un axe passan par O. La condiion, OA +, OB +, OC 0 mod π défini axes,, faisan enre eux des angles de ± π. On les appellera les axes ernaires de T. Nous pouvons alors reformuler le lemme.6 de la manière suivane :.8. Proposiion. Soien T un riangle el que RT =, e O = OT. On prend O pour origine, e les axes Ox, Oy els que Ox soi l un des axes 5

6 ernaires de T, d où une idenificaion du plan à C. Posons A = e iα, B = e iβ, C = e iγ. Alors LT = Lα, β, γ = n n e niα + e niβ + e n iγ. n=0 Comme α + β + γ 0 mod π, la foncion Lα, β, γ sera souven considérée comme une foncion de α, β seulemen e noée Lα, β..9. On a Lα + π, β = Lα, β + π = Lα, β Lβ, α = Lα, β L α, β = Lα, β Lα + π, β + π = eiπ Lα, β Lα, β = Lα, α β = Lβ, α β. Dans le plan des α, β, considérons le carré [0, π] [0, π], réunion de 4 riangles fermés, suivan la figure. β π T 4 T T O T Figure π α Tou poin du plan es congru modulo πz πz à un poin du carré. Comme Lβ, α = Lα, β, ou poin Lα, β es obenu en faisan varier α, β dans T T 4. Comme.5 Lπ β, π α = L β, α = L α, β = Lα, β il suffi d éudier Lα, β pour α, β parcouran T. Nous verrons en 4.4 e en 4. une pariion du riangle T relaivemen aux valeurs prises par L. 6

7 Voyons ce qui se passe sur les droies qui borden T. Pour α = 0, on a β γ mod π, A =. Pour α + β = π, on a γ 0 mod π, C =. Dans les deux cas, A, B, C es isocèle avec Ox pour axe de symérie. On reviendra sur ce cas au n o.5. Pour α = β, on a A = B, le riangle A, B, C es dégénéré, LT = A = B d après le n o.4, donc LT parcour Γ..0. La proposiion.8 enraîne l équaion foncionnelle suivane : Lα, β = e iα + e iβ + e iα+β L α, β... Remarque. Si T es équilaéral, le riangle descendan a pour sommes les milieux des côés, donc LT = OT. Nous verrons au n o 4. que la réciproque es vraie... Remarque. Soi H l orhocenre de A, B, C, de sore que {A, B, C, H} es une configuraion orhocenrique. Les riangles A, B, C, H, B, C, H, C, A, H, A, B on même descendan, donc LA, B, C = LH, B, C = LH, C, A = LH, A, B. Cela, combiné avec le n o., prouve que si  = π, B = Ĉ = π 6, on a LA, B, C = A... La foncion α, β Lα, β es une applicaion coninue de R/πZ dans le plan. L image de R/πZ par L es une parie compace K du plan, connexe par arcs, symérique par rappor à Ox, invariane par la roaion de cenre O e d angle π. On a Γ K cf. no.9. Problème : La fronière de K es elle une courbe de Jordan fermée? Problème : K es-il simplemen connexe? En pariculier, le disque de bord Γ es-il conenu dans K? On prouvera en 5.0 que K es l adhérence d un ensemble ouver, auremen di, que l inérieur de K es dense dans K..4. Il es inéressan de savoir à quel poin LT peu êre éloigné de O. Il s agi donc de calculer le nombre suivan : µ = sup OTLT/RT la borne éan prise sur ous les riangles. On a µ = sup Lα, β la borne éan prise sur ous les couples α, β. On verra au n o 4.9 que µ = 4/. 7

8 Si un riangle T a ous ses angles aigus, l orhocenre H es à l inérieur de T, donc OTH RT. Or O T = ωt es le milieu de OTH, donc OTO T RT. On a LT = LT, donc O TLT = OT LT µrt = µrt. Ainsi, OTLT + µrt = 7 RT Cas pariculier. Supposons T isocèle, e plus précisémen AB = AC. L un des axes ernaires de T es son axe de symérie oriené de O vers A. Alors, α = 0, β = γ. Le poin LT apparien à Ox e son abscisse es L0, β = n n + cos n β n=0 = + cos β cos β + 4 cos 4β cos 8β Nous définissons la foncion x par.6 x = sin sin + 4 sin 4 8 sin Alors.7 LT = L0, β = xβ/. Voir la parie pour des déails concernan la foncion x. Son maximum es , son minimum es Donc l ensemble K du n o. conien le segmen [.0465,.847] de Ox..6. Remarque. On suppose que α, β Qπ. Alors LT es un nombre algébrique e même cycloomique. Soi q un enier, q >. Il exise des eniers j 0, r > 0 els que la suie j mod q j j0 admee la période r. En effe, il exise j 0, r > 0 els que j 0 j0+r mod q e alors j0+ j0++r mod q, j0+ j0++r mod q,... Si α, β Qπ, il exise un enier q > 0 el que α, β π/qz. D après ce qui précède, la suie e n iα + e n iβ + e n iα+β adme la période r à parir d un cerain rang. Alors Lα, β es somme d un nombre fini de ermes cycloomiques le débu de la série Lα, β e de r sommes infinies don chacune es de la forme n e niα + e niβ + e n iα+β + r + r +... n r r 8

9 donc es cycloomique. Soien T, T,... les riangles descendans de T. D après ce qui précède e les formules de.6, pour n assez grand, T n+r se dédui de T n par une homohéie H n. Soi Ω son cenre. Comme H n U r = H n U r pour ou riangle U, on a H n T n+r = H n T n r = T n+r r = T n+r, donc H n T n+r = T n+r, ec... Donc Ω = LT. Régulariés e irrégulariés locales de LT..0. La proposiion.8 nous perme d écrire. LT = Lα, β = n n e niα + e niβ + e n iα+β n=0 avec α e β réels modulo π, e, si on le désire, par.9, on peu resreindre l éude de Lα, β au domaine 0 α π, α β π α inersecion du riangle T de la figure e de la bande vericale 0 α π. Nous préférons nous en enir à α, β πt e α + β + γ 0 mod π. Le specre de Lα, β, que nous désignerons par S = Sp Lα, β, es consiué des poins de Z de la forme cf. figure n, 0, 0, n, n, n n N. Il es lacunaire à la Hadamard, ce qui signifie que, pour un q > 0, la disance de ou poin s S à S \ {s} es minorée par q s ; ici q = convien. L ensemble S dans Z Figure Voici les résulas que nous éablirons. 9

10 .. Proposiion.. La foncion Lα, β, définie sur πt, es höldérienne d ordre η pour ou η <. Plus précisémen, il exise une consane absolue C elle que, quels que soien α, β, h, k avec h + k, on ai. Lα + h, β + k Lα, β C h + k log h + k. La foncion Lα, β apparien à la classe Λ de Zygmund. Cela signifie qu il exise une consane C elle que, quels que soien α, β, h, k, on ai. Lα + h, β + k + Lα h, β k Lα, β C h + k.. Éan donné un angle ϕ πt, posons lα, β = R e iϕ Lα, β. Quel que soi ϕ, il exise un ensemble dense de poins α, β πt els que.4 lα + h, β + k lα, β = O h + k h + k La foncion lα, β n es différeniable nulle par, c es-à-dire que pour aucun choix de α, β e des réels a e b on n a.5 lα + h, β + k lα, β ah bk = o h + k h + k Sauf les excepions signalées ci-dessous, la foncion lα, β n es différeniable nulle par dans aucune direcion, c es-à-dire que pour aucun choix de α, β e des réels θ e a on n a.6 lα + h cosθ, β + h sin θ lα, β ah = o h h 0. Les excepions son, avec γ = α β : a ϕ = π e n N : n α 0 ou n β 0 ou n γ 0 mod π b n N : n α β 0 ou n β γ 0 ou n γ α 0 mod π ϕ quelconque... Remarques.. Les résulas d irrégularié pour lα, β poins 4 e 5 son évidemmen valables pour Lα, β. Par conre, le résula du poin, concernan lα, β, es neemen plus faible que sa ranscripion à Lα, β que nous ne savons pas éablir.. Les cas d excepion du poin 5 son consiués de six familles de droies. Sur une droie d une des rois premières familles cas a, α, β défini un 0

11 riangle T don un descendan T n = D n T a un somme au poin, e à parir de là T m m n es un riangle isocèle de somme ; Lα, β es somme d un polynôme rigonomérique e d une foncion à valeurs réelles don l éude fera l obje de la parie. Sur une droie de l une des rois dernières familles cas b, le riangle T n a deux sommes confondus pour un cerain n, e à parir de là les T m son dégénérés; Lα, β se rédui à un polynôme rigonomérique.. Dans le cas d excepion b, il peu arriver que les poins O n soien confondus avec LT à parir d un cerain rang si n α β n β γ n γ α 0 mod π. Il en es de même quand T es un riangle équilaéral ou l ancêre d un riangle équilaéral, c es-à-dire quand chacune des différences α β, β γ e γ α es de la forme kπ, k. Mais en un n el T la foncion l es non différeniable, sauf si T apparien au cas a e si ϕ = π... La proposiion. découlera de propriéés générales de foncions presque-périodiques dans R d d =,,... don les fréquences son assez dispersées dans R d e don les coefficiens son comparables dans un sens que l on précisera aux inverses des disances des fréquences à l origine. Nous allons désigner par J un sysème d indices, par Λ J les fréquences Λ J R d e par c J les coefficiens c J C, par X la variable dans R d e par Λ X le produi scalaire. La foncion considérée sera.7 fx = c J expiλ J X J J e l on supposera oujours c J <. On noera la norme euclidienne dans R d. On fera oujours l hypohèse.8 Λ J Λ K q Λ J J J, K J, K J avec q = qf > 0. Dans le cas d =, c es la condiion de lacunarié d Hadamard. La condiion.8 enraîne que le nombre de poins Λ J els que r Λ J < r es majoré par une consane ne dépendan que de q e d e non de r d où résule.9 # {J : Λ J r} C 0 log r C 0 ne dépendan que de q, d e de la borne inférieure des Λ J 0. Observons que l hypohèse.8 enraîne égalemen.0 Λ J C r Λ J r

12 . Λ J C r Λ J r avec C = C q, d. Nous allons énoncer en.4 e.8 les propriéés de fx don nous ferons usage pour éablir la proposiion...4. Proposiion. On suppose.8 e. sup J c J Λ J <. On a alors. fx + H fx C H log H pour ou X R d e ou H R d el que H, e.4 fx + H + fx H fx C H pour ou X R d e ou H R d, C dépendan de f seulemen. Pour la preuve, supposons sup J c J Λ J. Écrivons d abord fx + H fx = c J exp iλ J X exp iλ J H e parageons la somme en deux, e, suivan que Λ J somme H ou Λ J > somme. On a H cj Λ J H H # C 0 H log H { J : Λ J } H en veru de.9, e cj Λ J C H d après.. Cela éabli.. Écrivons mainenan fx + H + fx H fx = c J exp iλ J X exp iλ J H + exp iλ J H

13 e parageons la somme comme précédemmen. On a cj Λ J H ΛJ H C H d après.0, e 4 cj 4C H d après., ce qui éabli Le specre S de Lα, β es conenu dans Z \ {0}, e si on écri ses élémens comme Λ J, il vérifie la condiion.8 avec q =. Posons X = α, β. En nous référan à.0 e en désignan le coefficien de exp iλ J X par c J, on a c J Λ J. Donc, pour la foncion fx = Lα, β, les condiions.8 e. son vérifiées. La proposiion.4 s applique,. se radui en. e.4 en.. Cela éabli les poins e de la proposiion.. Pour le poin, nous avons besoin d une proposiion auxiliaire..6. Proposiion. Si f es à valeurs réelles f : R d R e vérifie.4 pour ou X e ou H, il exise un ensemble dense de poins X dans R d el que.5 fx + H fx = O H H 0. En effe,.5 a lieu si X es un minimum relaif, parce qu alors fx +H+fX H fx = fx +H fx+fx H fx, ce qui, pour H assez pei, es la somme de deux quaniés posiives; chacune es donc C H. Si G es un ouver de R d, il exise un polynôme rigonomérique P : R d R el que f + P ai un minimum relaif dans G. En appliquan à f + P le résula précéden, on voi que.5 a lieu pour un X G. Donc.5 a lieu sur un ensemble dense dans R d..7. L inégalié., que nous avons éablie en.4 e.5, es valable en remplaçan Lα, β par lα, β. En appliquan la proposiion.6, on a le poin de la proposiion.. Les poins 4 e 5 nécessien un nouvel ouil..8. Proposiion. On suppose.8 e.6 lim sup c J Λ J > 0. J

14 Alors la foncion f écrie en.7 n es différeniable en aucun poin, c esà-dire que pour aucun choix de X R d e de A R d on n a fx + H fx A H = o H H 0. Fixons X e A. Quie à remplacer c J par c J exp iλ J X, nous nous ramenons au cas X = 0. Quie à ajouer un polynôme rigonomérique convenable, nous nous ramenons à f0 = 0 e A = 0. Il s agi donc simplemen de monrer que l hypohèse fx = o X X 0 ici X remplace H mène à une conradicion. Soi Φ : R d R une foncion indéfinimen différeniable de suppor conenu dans la boule unié {u : u < }, elle que Φ0 =, e soi ϕx sa coransformée de Fourier : Φu = expiu X ϕx dx. Donnons-nous K J. Soi r = q Λ K, e I = r d ϕrx exp iλ K X fx dx. En développan fx, on obien I = J = c K ΛJ Λ K c J Φ r en veru de.8. D aure par, en posan fx = X εx = o X X 0, on a I r d ϕrx X ε X dx = Y ϕy Y ε dy, r r ce qui, d après le héorème de convergence dominée de Lebesgue, es o r quand n. D où c K = o, ce qui conredi.6. Λ K.9. Pour appliquer la proposiion.8 à lα, β, il convien de préciser les fréquences e les coefficiens. À parir de.0, on peu écrire.7 lα, β = n n cos n α ± ϕ + cos n β ± ϕ + cos n γ ± ϕ n=0 4

15 avec α + β + γ 0 mod π e ± = n. Les fréquences son de la forme ε n, 0, ε0, n, ε n, n n N, ε {, }, e les coefficiens on pour valeur absolue 4 n. Les condiions.8 e.6 son bien réalisées, e le poin 4 de la proposiion. résule immédiaemen de la proposiion Un peu plus de ravail es nécessaire pour le poin 5. On es mainenan amené à considérer la foncion.8 fh = lα + h cosθ, β + h sin θ. Convenons d écrire.7 sous la forme lα, β = a λ, µ e iλα+µβ, les fréquences éan de la forme indiquée en.9, e les coefficiens correspondans éan a n,0 = a 0, n = a n, n a n,0 = a 0, n = a n, n = 4 n n exp n iϕ, = 4 n n exp n iϕ. On peu alors écrire.8 sous la forme.9 fh = a λ, µ e iλα+µβ e ihλ cos θ+µsinθ. Le specre de lα, β es Sl = S S cf. figure 4, e le specre de f s obien en projean Sl sur l axe Oz el que Ox, Oz = θ ; il es bien lacunaire au sens de.8. Rese à examiner si la condiion.6 es réalisée. Lorsque g θ es irraionnel, la projecion es bijecive, le produi des modules des coefficiens de f par les valeurs absolues des fréquences es minoré par un nombre sricemen posiif, donc.6 a lieu, la proposiion.8 s applique, e il en résule que fh es non dérivable en 0 quels que soien α e β. C es dire que, pour aucun choix de α, β, a, e g θ irraionnel,.6 n a lieu. Lorsque g θ es raionnel, il correspond à la fréquence ν de f le coefficien.0 c ν = a λ, µ e iλα+µβ λ cosθ + µ sin θ = ν. Le nombre de ermes figuran dans la somme.0 peu êre,, ou infini. La condiion.6 es réalisée quand, pour une infinié de valeurs de ν, la somme se rédui à un erme, ou qu elle es comparable au erme dominan au sens que le rappor des valeurs absolues es compris enre deux 5

16 nombres posiifs fixes. Lorsqu il en es ainsi, on a la même propriéé de nondifféreniabilié de la foncion l en α, β dans la direcion θ que lorsque g θ es irraionnel. Quand la somme compore deux ermes e qu elle n es pas comparable au erme dominan, c es en dehors des peies valeurs λ = ±, µ = ± que les λ, µ concernés son de la forme 0, n e n, n, ou n, 0 e n, n, ou 0, n e n, n, ou n, 0 e n, n, ou 0, n e n, 0, ou 0, n e n, 0. Les poins de S son représenés par, ceux de S par Figure 4 L examen des valeurs correspondanes des a λ, µ monre o que si la somme n es pas comparable au erme dominan, c es qu elle es nulle o que la condiion de nullié s exprime par ϕ π mod π, e, suivan le cas, par n α 0 mod π ou n β 0 mod π ou n α + β 0 mod π. Ce son les cas d excepion a. Quand la somme compore rois ermes, ils corresponden à des valeurs de n différenes, e la condiion que la somme ne soi pas comparable au erme dominan impose que, le erme dominan éan d ordre n, les aures soien d ordre n +. On vérifie alors que les λ, µ concernés appariennen 6

17 ous rois à S ou ous rois à S. De nouveau, la somme doi êre nulle si elle n es pas comparable au erme dominan. On disingue rois cas voir figure 4 g θ =, exp n+ iα exp n iα + β + exp n+ iβ = 0, g θ =, exp n+ iα + β exp n iβ + exp n+ iα = 0, g θ =, expn+ iα + β exp n iα + exp n+ iβ = 0. Dans chacun de ces cas, les rois exponenielles écries doiven êre égales. Cela donne respecivemen n α β 0 mod π, n α+β 0 mod π e n α + β 0 mod π. Ce son les cas d excepion b. Les valeurs excepionnelles de g θ 0,, dans le cas a,,, dans le cas b apparaissen dans la démonsraion. Elles son égalemen en évidence dans les conclusions, lorsqu on les écri, comme nous venons de le faire, sans faire inervenir γ. Éude déaillée de la foncion x... Rappelons que cf. n os.5 e. x = sin sin + 4 sin 4 8 sin = cos + 4 cos 4 cos L0, l0, = = en choisissan ϕ = 0 dans... La foncion x es paire de période π e vérifie xπ = x. D après la proposiion., x + h x = O h log h x + h + x h x = O h x es parou non dérivable. La non-dérivabilié en ou poin es connue depuis Hardy [], mais la preuve de Hardy es moins facile que celle donnée ici cf. proposiion.8 e elle a dissuadé Zygmund d inclure ce résula dans son raié Trigonomerical Series [7]. Précisons encore ce poin. On di qu une foncion f de variable réelle es lisse au poin si f + h + f h f = oh h 0 7

18 définiion de Zygmund. Toue foncion dérivable es lisse. Monrons que En effe, x + h + x h x = x n es lisse nulle par. n= n n cos n cos n h e, pour fixé, c es une série lacunaire en h, avec des fréquences n e des coefficiens qui ne son pas o ; la proposiion.8 monre que c es une n foncion de h qui n es dérivable en aucun poin, e en pariculier qu elle n es pas o h quand h 0. On connai aujourd hui beaucoup de propriéés des foncions de Hardy- Weiersrass, uilisan des méhodes de héorie ergodique. Un aricle récen de Ai-hua Fan e Jörg Schmeling fai le poin sur leur analyse mulifracale, qui donne la dimension de Hausdorff de l ensemble des poins où l accroissemen de la foncion ici x+h x a un comporemen fixé, par exemple Oh poins lens ou αh log +oh poins α-rapides parie 7 de []. Nore h éude n aborde pas ce aspec. Dans cee parie, nous aurons besoin d éudier les variaions de polynômes rigonomériques. Nous les merons sous formes polynomiales de la variable ξ = cos. À l aide des suies de Surm cf., par exemple, [6] ou [5], on sai que l on peu localiser les racines d un polynôme avec la précision souhaiée. Les calculs on éé fais avec le logiciel de calcul formel MAPLE cf. [4]... Nous poserons, pour j =,,... P j = sin sin j j sin j. Par exemple, P 0 = sin, P = sin sin. On a P j = sin sin 4 + sin j sin j+ x = P j + j j P j j + j j P j j +... x = P j + j+ j x j+ x = cos + x. 8

19 .. On aura besoin de quelques valeurs de x. Il es clair que x0 = 0, x =. Uilisan., il vien x = sin 4 π 4 x = = 0, x = sin π π x = 4 x d où x π = x 6 x 5 = sin π 6 x = 4 4 = 0, = sin π 5 π sin 5 + 4π 4 x 5 = cos π cos 4π x 5 d où, puisque cos π 5 = e cos π 5 = + 5 4, x x 5 x 0 x 40 9π 40 = cos π 5 cos π 5 = 5 5 = , = sin π 0 x = = 4 4 6, = sin π 40 π sin x 0 = cos π cos π = 7 4 cos π cos π = , 0 = cos π 0 + x = cos π cos π 0 = Lemme. On a x 8 Observons que pour ou. P = sin sin = sin cos donc P sin min, 9

20 e que x = P + 4 P P donc x l + 4 l+ + 4 l l l+ pour ou l enier posiif. Si, choisissons l de façon que 4 l < 4 l. On a alors x = 8. D aure par, x = 4 pour ou Lemme. On a 0.4 < lim sup 0 lim inf 0 x x = lim sup 0 Cee dernière asserion résule de l égalié x = sin 8 x x Comme x es paire, on peu désormais supposer > 0. L inégalié de droie résule du lemme.4. Celle de gauche équivau à lim inf 0 x < 0.4. Pour l éablir, on choisi 0 = π, on vérifie que x uilise le fai que, si 0, π, = e on x/4 /4 = P /4 /4 + x = sin /4 cos /4 /4 + x < x x Nous prouverons en. que lim inf 0 = Ainsi, au voisinage de = 0, x/ oscille enre deux valeurs opposées à la manière de sin π log, mais avec un comporemen local rès irrégulier. log.7. Dans la suie nous merons en évidence des valeurs de remarquables, enre aures celles où son aeins le maximum e le minimum de x. Nous disinguerons les exrema locaux, c es-à-dire les poins els que x + h x ai un signe consan quand 0 < h < h, les poins de raverse pour 0

21 lesquels x + h x a un signe consan quand h es assez pei e h non nul 0 < h < h, les poins lens pour lesquels x + h x = O h h 0 nous savons qu en aucun poin on n a x + h x = o h h 0, les poins rapides pour lesquels x + h x > c h log h pour un c = c > 0 e ou h assez pei e différen de 0 nous savons qu on a parou x + h x C h log. h Remarquons, comme nous l avons déjà fai dans la parie voir.6 qu un exremum local es un poin len. Moyennan l addiion d une foncion affine de pene assez grande, un poin len devien un poin de raverse. Un poin de raverse rapide rese un poin de raverse rapide lorsqu on modifie x en lui ajouan une foncion de classe C. Commençons par un cas simple..8. Proposiion. Soi = kπ/ n, avec k Z, n = 0,,,... Alors, es un poin len : x + h x = O h h 0. De plus e lim sup h 0 x + h x h + lim inf h 0 x + h x h P n x + h x < lim sup h 0 h = P n P n + 8 On convien que P 0 = 0. On noera que P n n. Pour u Zπ/, on a sin u = sin u = 0, e P 0u = 0. Pour n = 0 ou, la proposiion résule donc du lemme.5. Soi = kπ/ n avec k Z, n >. On a xu = P n u + n n x n u donc x + h x h = P n + h P n h + nx kπ + n h x kπ n h

22 e la proposiion résule du lemme Limions nous aux valeurs de commensurables à π e comprises enre 0 e π : Qπ 0, π. La suie n mod prend un nombre fini de valeurs, π donc j+p π j mod pour un couple j, p π N. Excluons le cas j π 0 mod qui vien d êre considéré. Choisissons p minimum, p = p π la période e j minimum, j = j π le débu. Le développemen dyadique de es de la forme π Posons π = 0. d 0d...d }{{ j a } 0 a...a p a }{{} 0 a...a }{{ p } a 0a... a }{{ p }... débu période 0 π = 0.a 0a...a p a 0 a...a p... π = 0.a a...a p a 0 a...a p a 0... e. p = 0.a p a 0...a p a p a 0 a...a p... π p π = 0.a 0a...a p a 0 a...a p... = 0 π H = sin 0 sin p sin p. Proposiion. Si p es pair e H 0, es un poin de raverse rapide. Si p es pair e H = 0, es un poin len. Si p es impair, es un poin len e n es pas un exremum local si j π = 0. Ainsi, lorsque j π = 0, es soi un poin de raverse rapide soi un poin len, e ne peu êre un exremum local que si p es pair e H = 0. Exemples : = π, π p =, H 0 = π 5, π 5, π 5, 4π 5 p = 4, H = 0 = π 7, π 7, π 7, 4π 7, 5π 7, 6π 7 p =, H 0. On sai que j π = 0 signifie que, lorsque es écri sous forme de π fracion irréducible, le dénominaeur es impair si q es premier impair, q mod q.

23 Disinguons les différens cas pour la démonsraion.. p pair, H 0, j = 0. Rappelons que, pour ou enier l, e ou réel θ, xθ = P l θ + l+ l+ x l+ θ. Choisissons l = kp e θ = + h. On a x + h x = P l + h P l + R, P l + h P l = hp l h + P l + h, R l+ P l = sin sin l sin l+ = sin sin +... sin p + sin sin +... sin p +... = ksin sin +... sin p = kh, En prenan k = P l θ l+ < l+., on a log plog h x + h x = donc es un poin de raverse rapide. H p log h log + O h h 0 h. p pair, H 0, j > 0. On se ramène au cas précéden en sousrayan de xθ le débu de son développemen. e. p pair, H = 0, j = 0. Choisissons encore l = kp. Alors, P l = 0 P l + h P l = h P l h + 6 P l + h. On a P l θ l+ < 4 l+. En choisissan k comme en, on a l p h < l, e l on obien x + h x K h K = K donc es un poin len. 4. p pair, H = 0, j > 0. On se ramène au cas précéden en sousrayan de xθ le débu de son développemen. 5. p impair. En choisissan l = kp, on a P l = 0 parce que P l = sin sin +... sin p sin sin +... sin p + ec...

24 e l on conclu comme en. e 4. que es un poin len. Rese à monrer que, lorsque j π = 0, c es-à-dire π = 0.a 0a...a p a 0 a...a p..., p mod, n es pas un exremum relaif. Supposons pour fixer les idées que es un minimum relaif. Comme ce n es pas un poin lisse au sens de Zygmund voir n o., on a Mais on a aussi donc lim sup h 0 + x + h + x h x h xθ = P p θ pxp θ > 0. P p + h + P p h P = x + h + x h x + p x + p h + x p h x e il s ensui que P p n es pas lisse. La conradicion éabli bien que n es pas un exremum relaif..0. Dans la suie n os.0.0, nous éudierons les cas = π e = 5 9π. Pour obenir des résulas globaux, il nous fau préciser numériquemen 40 cerains résulas de.9. Jusqu au n o., on pose f = P = sin sin + 4 sin 4 8 sin 8 On a cf. n o. = 5 6 cos + 4 cos 4 8 cos 8 + cos 6 6 = ξ 8 8ξ 6 + 8ξ 4 4ξ 8ξ ξ = cos. x = f + 6 f6 + 6 f Lemme.. f = = f =

25 . Il exise des nombres σ = , σ = , σ = els que f soi [ sricemen décroissane sur [0, σ ], σ, π ] [ ] π e 5 5, σ [ π sricemen croissane sur [σ, σ ], 5, π ] [ e σ, π ] 5 4. f f pour ou, f > f pour ou [0, 5 5 π], π 5 5. f f = pour ou. On a f 5 = sin π 5 sin π sin 4π 5 8 sin 8π 5 = sin π 5 π sin 5 + π 4 sin 5 π 8 sin 5 = 5 cos π 5 + cos π d où. On rouve de même π f = = Ensuie, e de même, f = sin π 5 5 sin 4π 5 + sin 8π 5 f π 5 = 0. sin 6π 5 = 0 On a f = sin ξ 7 6 ξ ξ ξ = sin ξ + ξ ξ 5 ξ 4 4 ξ + ξ + ξ + Le premier faceur a pour racines + 5 = cos π e + 5 = cos π ; le 5 5 second a rois racines réelles = cos σ, = cos σ, = cos σ. 5

26 D où les variaions de f 0 σ σ π 5 π π σ 5 f f ց ր ց ր ց ր Plus précisémen rois des exréma son fσ = , fσ = , fσ = Le ableau de variaion ci-dessus implique les poins, 4 e 5... De la même façon, on déermine les variaions de f e f. On a f = cos 4 cos cos 8 6 cos 6 = 8 ξ ξ 6 56 ξ ξ + ξ 4 f = 4 sin + 6 sin 4 64 sin sin 6 = 4 sin 64 ξ ξ 5 64 ξ + 0 ξ +. Les exrema de f e f son donnés dans les ableaux suivans où les valeurs numériques son données par défau π f π f Proposiion. Sur l inervalle [0, π ], la foncion x aein son minimum au seul poin π/5. Rappelons que xπ/5 = 5 5 = Posons encore f j = f 6 j. On a 6 j f j 6 f j 5 = 6 6 f j π j 5 = f j 5 6 lemme.0.4 car 6j π 5 π 5 Zπ

27 Donc x = f 0 + f + f +... f 0 5 avec inégalié srice si [0, π], π lemme Proposiion. Pour π h 0, on a 0 x 5 + h x 0.0 h. 5 + f + f +... = x Supposons π h 0. Alors π = π +h π = , donc, d après., f min f, f = min 7, = pour π + h π. Comme f π = 0 lemme.0., on a. f 5 + h f 5 7 h. Définissons l enier n par. 6 n h π 0 < 6n+ h. Noons que. 6 n h > 6 Pour ou enier j 0, on a f j 5 + h f j 5.4 π 0 = 480 π = f 6 j 6 j 5 + h 5 = 6 j f 5 + 6j h f f 6 j π 5 car 6 j π 5 π 5 Zπ. Si j n, on a 6 j h π d après., donc, d après.4 e., 0 f j 5 + h f j 7 6 j h = j 6j h. 7

28 Il s ensui que x 5 + h x 5 = f j 5 + h f j 5 j=0 7 h n 7 h 6 n 7 h π h..4. Lemme. Pour 0 h π 0, on a 4π 4π x 5 + h x 0.0 h. 5 d après. Cela résule de la proposiion. puisque xπ = x e en pariculier x 4π 5 = x π Lemme. Soi P = sin sin cf... Si [ π, π + π 5 5 0], on a P 0.6 On a P = sin sin 4. Sur l inervalle [ π, π 8 4], la foncion sin es croissane, la foncion sin 4 es décroissane e la foncion P es croissane. Ainsi, pour π π + π < π, on a P P π Proposiion. Pour 0 h π, on a 0 x 5 + h x 0.85 h. 5 Par., on a x = P + x4. Comme 0 4 h π, on a, d après 4 0 le lemme.4, 4 x 4π h x 4π 0.0 4h 5 4 = 0.0 h. Par ailleurs, P 5 + h P 5 = h P 5 + h où 0 h h 0.6 h d après le lemme.5. 8

29 Donc x 5 + h x 5 = P 5 + h P 5 + 4π 4π x h x h h = 0.85 h.7. Lemme. Soi P = sin sin + 4 sin 4 cf... Si [ 4π, π 9 ], on a 0. P 0. On procède comme en.0 e.. On a, avec ξ = cos P = sin sin 4 + sin 8 = sin ξ + ξ P = cos 4 cos cos 8 = 4ξ 4 8ξ + ξ +. La dérivée P s annule pour { π, π, 4π } andis que la dérivée seconde a quare zéros dans l inervalle [ 0, ] π : , , ,.47...; le lemme résulera du ableau de variaion : 4π = π = P P ց ր Lemme. Sur l inervalle [ 9π, ] [ π 9 = 9π π, π ], la foncion x aein son maximum au seul poin 9π/40 = On uilise la formule de. 9π 9π x 40 + h x = 40.5 [ P 9π 40 + h { 8 x ] 9π P 40 } 9π 9π h x 5 Si l on a π h < 0, par le lemme.7, le croche ci-dessus es majoré 960 par 0. h e, en appliquan la relaion x4π = xπ = x e la proposiion.6, l accolade de.5 vau x h x h = 0.85 h. 8 Il s en sui que 9π 9π x 40 + h x 0. h 0.85 h = 0.55 h <

30 Si l on a 0 < h π 40, l éude des variaions de P donnée en.7 monre que, dans.5, le croche es sricemen négaif, andis que, par le lemme.0.4, l accolade vau e l on a encore x h x 0 5 9π 9π x 40 + h x < Lemme. Soi 0 = pπ n avec p Z e n N. Pour ou R, on a x x 0 x x 0 n 0 + n Par., il vien x x 0 = + P nxn n P n 0 + n 0 n car P n n pour ou e x n 0 = xpπ = x0 = Proposiion. Sur l inervalle [0, π ], la foncion x aein son maximum au seul poin 9π/40. Par le lemme.8, il suffi de monrer que le maximum de x sur l inervalle [ 0, 9 π] es sricemen inférieur à x 9 π. Or 9 π < 7766 π < 9π On applique le lemme.9 avec n = 4, n = 684 e p =,, 5,..., On obien pπ max x max x + 4 π π p {,,...,7765} Pour p =,, 5,..., 7765, on calcule x pπ ; la plus grande valeur es obenue pour p = On a 4 ainsi 7765π max x x π 4 + 7π + < =.004 < x 9 40 π. On peu réduire considérablemen les calculs à l aide de l algorihme de dichoomie suivan. 0

31 .. Soi f une foncion réelle coninue sur un inervalle [a, b] e D une parie fermée de [a, b]. On veu déerminer une valeur par défau de max D f e une valeur par excès. L inervalle [a, b] a deux enfans [a, a+b ] e [a+b, b], quare peis-enfans [a, a+b ],...,[ a+b, b], ec..., n descendans de degré n 4 4 e de longueur b a. n Lorsque l inervalle [c, d] es un descendan de [a, b], on suppose que l on sai déerminer une foncion Mc, d elle que max f Mc, d. c d Si la foncion f es de classe C, on peu prendre c + d d c Mc, d = f + M où M es un majoran de f sur [a, b]. Si f = ±x e [a, b] = [0, π], lorsque [c, d] es un descendan de degré n de [a, b], on peu écrire c+d = pπ n+ avec p Z, e, par le lemme.9, Mc, d = x c+d +n+ d c + es un n choix convenable. Nous désignerons par m une variable qui prendra des valeurs croissanes au cours de l exécuion, mais vérifiera oujours m max D f. On iniialise m à. A chaque fois que l on considère un inervalle [c, d], si c+d D e si f c+d > m on pose m = f c+d. Pour chaque valeur de n = 0,,,..., N, l algorihme consise à déerminer un majoran m n de max D f e un ensemble E n = {[c, d ], [c, d ],...,[c l, d l ]} d inervalles descendans de [a, b] de degré n els que max f = max f. D l i= [c i,d i ] Au dépar, on pose m 0 = Ma, b e E 0 = {[a, b]}. Supposons m n e E n déerminés. Pour chacun des l inervalles [c, d] qui son enfans d un élémen de E n, on fai les opéraions suivanes : si c+d D, on pose m = max m, f c+d. si [c, d] D = ou si Mc, d < m, l inervalle [c, d] es éliminé; sinon, il es placé dans E n+. On pose enfin m n+ = max Mc, d [c,d] E n+ e l on a m max D f m n+. On arrêe l algorihme lorsque la différence m n+ m es suffisammen peie... Nous donnons ci-dessous la courbe représenaive de x dessinée par MAPLE sur l inervalle [0, π/] e deux grossissemens au voisinage de l origine.

32 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4 Figure 5 : x, 0 π. 0,0004 0, ,0005 0,00 0,005 0,00 0, ,0000 0,0000 0,0000 0, , ,0004-0,0000-0,0008-0,00005 Figure 6 mπ x, m = 0,,,..., 0. 7 Figure 7 mπ x, m = 0,,,..., 0.

33 .. Proposiion. i Soi R, 0. Alors x/4 n //4 n a une limie finie ϕ quand l enier n end vers +. La foncion ϕ n es dérivable en aucun poin. ii ϕ = ϕ, ϕ4 = ϕ. iii Quand 0, x = ϕ + O. On rouvera ci-dessous cf. figure 8 la courbe représenaive de ϕ sur l inervalle [π/0, π/5] dessinée par le sysème de calcul formel MAPLE, [4]. Prouvons i. En paran de la définiion de x, on voi que x + x = sin ; il en résule.6 x/ n + x/n = sin / n / n / n / n d où, par changemens de signe e addiion,.7 x = sin / / sin /4 /4 + sin /8 /8... sin /4 n /4 n + x/4n /4 n Posons.8 g = sin 4 sin sin 8... La série g es absolumen convergene e.7 enraîne x/4 n.9 ϕ = lim = x g. n /4 n Or g es la primiive nulle en 0 de la foncion coninue g = sin sin + sin 4... Comme x es non-dérivable parou sur R \ {0}, il en es de même pour ϕ. D après.6, on a x/ n + x/n / n / n = sin / n / n n. Remplaçons par / n :

34 0,4 0, 0 0,4 0,6 0,8, -0, -0,4 Figure 8 ϕ, π 0 π 5.,8,6,8,4,6,,4, 0,8 0,6 0,5,5,5 - -,5 - -,5 - -0,5 h h Figure 9 Figure 0 ψh, π 6 h π ψh, π h π/6 4

35 x/4 n + x/4n /4 n /4 n 4 n Quand n, on obien ϕ + ϕ = 0, d où ii. À parir de la définiion.8 de g, il vien g = n+ n sin n= e iii découle de.9. n n= n sin n n= n =.4. La foncion x a des propriéés d auosimilarié au voisinage d aures poins que = 0. Donnons seulemen un exemple. Proposiion. i Soi h R, h 0. Alors u n = x 5 + h 6 n x 5 a une limie finie ψh quand n. La foncion ψ n es dérivable en aucun poin. ii ψ6h = ψh. iii Quand h 0, x + h x 5 5 = hψh + Oh. On peu voir ci-dessus les courbes représenaives de ψh sur l inervalle [π/6, π] cf. figure 9 e de ψh sur l inervalle [ π, π/6] cf. figure 0 dessinées par MAPLE, [4]. Comme en.0, inroduisons la foncion h 6 n On a f = sin sin + 4 sin 4 8 sin 8 = 5 6 cos + 4 cos 4 8 cos 8 + cos 6. 6 x 5 + h 6 = f 5 + h x h 6 = f 5 + h x + h. En pariculier, x = f x 5 5

36 e, par différence.0 xπ/5 + h/6 xπ/5 = h/6 fπ/5 + h/6 fπ/5 h/6 + 6 xπ/5 + h xπ/5 h/6 Posons v n = fπ/5+h/6n fπ/5 h/6 n. En remplaçan dans l équaion.0 h par h/6 n, on obien u n = v n + u n, ce qui enraîne par addiion u n = u 0 + n v i. i= Comme f 5 = 0 cf..0 e que pour ou R, f = cos 4 cos4 + 8 cos 8 6 cos6 0, la formule de Taylor donne fπ/5 + fπ/5 5. Il s ensui que v n 5 h e la série 6 n n= v n es convergene. On a donc lim u n = ψh avec ψh = u 0 + v n = x + h x π f h 5 6 f π n 5 h n= Posons Gh = n= f m 5 = O6 m, il vien Gh = = 6 n n= m= n= h 6 n f 5 + h 6 n f 5 h/6 n Comme f es analyique e que l on a h m= f m π 5 m! f m π 5 h m m! h m 6 mn n= 6 = nm m= f m π 5 h m m!6 m Il en résule que Gh es analyique e, comme pour la foncion ϕ de la proposiion., la non-dérivabilié de x + h enraîne la non-dérivabilié 5 de ψh pour h R \ {0}, ce qui prouve i. On a π x + h/6 x π 5 6 n 5 h ψ h/6 6 6 n donc ψ h 6 = ψh, ce qui prouve ii. 6

37 La preuve de iii es analogue à celle de. iii..5. la méhode ne s applique pas au voisinage de = π rappelons que, d après.9, x a pour dérivée + en π. Touefois, on a un résula concernan les différences secondes : Proposiion. Soi h R, h 0. Lorsque n, le rappor x + h 4 + x π h n 4 x π n end vers ϕh, où ϕ es la foncion de la proposiion.. h 4 n On a x = cos + cos 4 cos D aure par, 4 8 n n mod, donc, pour n, { nπ } { } { }, nπ = n π π, n π, π mod π exp n i + exp n i + π + exp n i π = 0, cos n + cos n + π + cos n π = 0, x + x + π Comme x es paire e que x x + h + x 4 n + x π =, on en dédui h 4 n = + + =. π h x = x. 4 n L applicaion de la proposiion. ermine alors la démonsraion..6. Lemme. Soi P = sin cos = sin sin. i La foncion P es décroissane pour ii On a d P pour 0 π d 4 Posons f = P On a P = sin sin 4, f = f f = P P e avec f = P = cos 4 cos 4 = ξ + ξ + 4 7

38 en posan ξ = cos. Le rinôme ci-dessus s annule pour ξ = ± 4 e l on a les variaions : π ξ ց ց ց 0 4 f π π 0 4 f ց ր 0 ր ce qui prouve le poin i. Posons f = f + = f +. On a f = f + = P + = ξ ξ + 0 pour 0 π e comme f 4 0 = 0, on a f 0 pour 0 π, ce qui 4 prouve le poin ii..7. La proposiion suivane améliore la proposiion.6, mais la preuve es plus difficile : Proposiion. Soi vérifian π 5 π 5. On a x x π. 5 Dans un premier emps, on recherche, à l aide de l algorihme., le minimum de la foncion f = x x π π [ 5 sur l inervalle 9π, ] π Par le lemme.9, lorsque c e d vérifien c < d e c+d = pπ avec n p Z, on a c + d Mc, d = f + n d c + max f n. c d En choisissan n = 0, l exécuion de ce algorihme monre que le minimum de f sur l inervalle [ 9π, ] π 40 5 es compris enre 0.77 π+ f = e f = , avec = 4907 π ; il es donc posiif 0 e la proposiion es vraie pour 9π π Soi mainenan compris enre π 9π e. On pose h = π e on déermine n el que π 40 = 9π 40 π 5 6n h < π 5 π 5 = π 5 8

39 On pose, comme en.0, f = sin sin + 4 sin 4 8 sin 8; f e x son des foncions périodiques de période π ; de plus, f es minimale en π cf..0. En noan que 5 6j π π mod π, il vien 5 5 x = f + f n f6n 6 nx6n π = f 5 + h n f 5 + 6n h + 6 nx 5 + 6n h f n f + x n h n π = x h 5 car, par définiion de n, π + 5 6n h [ 9π, ] π La proposiion suivane améliore la proposiion., mais la preuve es plus difficile : Proposiion. Soi vérifian π π. On a 0 5 x x La démonsraion es rès voisine de celle de la proposiion.7. A l aide de l algorihme., on monre que le minimum de la foncion f = x x π π sur l inervalle [ π, 6π 5 0 0] es compris enre f π+ = e f 0 = avec = π e 0 donc es posiif. Puis, pour 6π π, on applique le même raisonnemen 0 5 qu en Lemme. Soi n = π 5 4 n. Pour n 0 e 4 n n, on a x x n n Pour n = 0 e 4 0 = π 0 0 = π, on pose = π h, e l on a en 5 5 uilisan la valeur x π 5 = 5 5 = calculée en., x 0 π = x 5h 0 5 π x = x h π = x h x 5 par la proposiion.8. 9

40 Puis, par récurrence, supposons n e le lemme vrai pour n. On écri = n h, 0 h n. On a 4 = 4 n 4h [ ] 4 n, n e, en posan P = sin sin comme en.6, il vien x = P P + x4 4 + x4 n 4 n par l hypohèse de récurrence P n n + x4 n 4 n par le lemme.6 i car n < 0.6 = x n n.0. Lemme. Soi, comme en.9, n = π 5 4 n. Pour n 0 e n = n + h n, on a x x n n + n = x n n + h x n n Raisonnons par récurrence sur n. Pour n = 0, on a = 0 + h = π 5 + h, 0 h π 5 e x = x 0 + h x h 0 + h x h + π 5 h = x h x 5 par la proposiion.7. Supposons le lemme vrai pour n e n. On a x = P + x4 4 P n h + x4 par le lemme.6 ii car n < π n 4 4 P n h + x4 n + 4 h par l hypohèse de récurrence n 4 n = x n + n h 40

41 .. Proposiion. Soi S la somme de la série convergene S = 5 π x + 5 j sin π 5 π 5 j j= = i sin π π 5 4 π i sin 5 4 i i= e, comme en.9 e.0, n = π 5 4 n. On a lim sup 0 x = lim inf 0 x = lim n x n n = S = Pour ou n, posons P n = n k=0 k x n = P n n + 4 nx 5 sin k. On a k d où x n 5 n π x 5 = P n n n = 5 4n π = 5 π = 5 π n j= n j= = 5 4n π n k=0 n j sin n j π n j 5 4 n j sin n i= π 5 j i sin k k sin k π 5 4 n π 5 4 π i sin. 5 4 i Noons que sin sin = sin cos es posiif pour 0 π 4. La suie xn n es donc décroissane e l on a pour ou n. x n x n S e lim = S. n n n Soi mainenan vérifian 0 < π. On défini n par 0 n < n. Par les lemmes.9 e.0 e par., il vien x xn min, x n = x n S n n n 4

42 x x donc lim inf 0, >0 S e comme lim n x n n = S, lim inf 0, >0 = S. La proposiion s en dédui, car la foncion x es paire e, par le lemme.5, lim sup 0 x = lim inf 0 x.. Remarques. Les nombres e ciés en.7 e.8 vérifien e Posons π = = = π = = = l + = lim inf π 5, > π 5 x xπ/5 π/5 e l = lim inf π 5, < π 5 x xπ/5 π/5 Il es possible que l on ai l + x π = lim + π x π n 5 n π/5 6 n e l x π = lim π x π n 5, n π/0 6 n ce qui es éayé par les courbes des figures 9 e 0 où les minima semblen aeins en π π e Naurellemen, une relaion exise enre 5 0 l+ e l par la formule x = P + x4. Par ailleurs, la proposiion. donne le maximum de la foncion ϕ de., e les poins où ses exrémaux son aeins cf. figure 8. 4 Propriéés globales de LT. 4.. Dans cee parie, nous éudions la foncion Lα, β. 4.. Lemme. Soi N un enier posiif e h, k, α, β quare nombres réels els que 0 h, k π, α = pπ e β = qπ avec p, q Z. Alors la foncion L N N N définie en.8 vérifie Lα + h, β + k Lα, β Nπ + 6 N Posons n, α, h = e n iα+h e n iα. On a comme en.4 n, α, h = e n iα e n ih max n h, 4

43 e Lα + h,β + k Lα, β n = n, α, h + n, β, k + n, α β, h k n+ n=0 N n=0 h + k + h + k + n=n 6 n+ N π N + 6 N 4.. Désignons par Qa, b; r le carré fermé de R de cenre a, b, de demicôé r e de sommes a±r, b±r e par D un fermé de Qa, b; r. L algorihme. peu s éendre pour calculer le maximum d une foncion réelle f définie sur D. Le carré Qa, b; r a quare enfans : Qa ± r/, b ± r/; r/, 6 peisenfans, ec..., 4 n descendans de degré n e de demi-côé r n Lorsque Qc, d; ρ es un descendan de Qa, b; r, il fau connaîre une foncion Mc, d; ρ elle que max f, Mc, d; ρ., Qc,d;ρ Lorsque f = ± L e Qa, b; r = Qπ, π; π = [0, π] [0, π] un descendan de degré n de Qa, b; r es de la forme Q pπ, qπ ; π n n avec p, q N. Par le n lemme 4., on peu prendre pπ 4. M, qπ n ; π pπ = f n n, qπ + nπ + 6 n n n Soi g une foncion de classe C de Qa, b; r dans C e deux consanes M e M elles que pour, Qa, b; r on ai g, M, g, M. Alors, pour f = ± g, on peu prendre 4. Mc, d; r = fc, d + M + M r. Une fois la foncion M connue, l algorihme foncionne comme en. en remplaçan inervalle par carré Lemme. Soi T 5 le riangle du plan α, β défini par 4. 0 α β π α + β. 4

44 β π T T π π T 7 T 6 T 5 0 π π π α Pariion du riangle T de la figure Figure Soi T un riangle don le rayon du cercle circonscri es égal à. Alors il exise α, β T 5 el que le riangle A, B, C A = e iα, B = e iβ, C = e iπ α β soi égal au riangle T. Soi α, β T 5 e γ = π α β. On a 0 α β γ π. Dans le riangle A, B, C cf. figure, on a 4.4 Ĉ = β α, Â = γ β, B = α + π γ = α + β. Appelons A T, B T, C T les sommes du riangle T de façon que ses rois angles vérifien ĈT ÂT B T π. Posons α = B T ĈT e β = ĈT + B T ; la relaion 4.5 implique 4., c es-à-dire α, β T 5 e, par 4.4, les angles du riangle A, B, C son égaux à ceux du riangle T = ÂT, B T, ĈT. Ces deux riangles son donc semblables e, comme ils on même rayon de cercle circonscri, ils son égaux Lemme. Soi ah +bhk +ck une forme quadraique à coefficiens réels e rois nombres a, b, c vérifian a a, b b, c c. Alors, si la forme 44

45 quadraique a h +b hk +c k es définie posiive, la forme iniiale l es aussi e ah + bhk + ck 4a c b 4 maxa, c max h, k. Les hypohèses enraînen b 4ac b 4a c < 0. Il vien ensuie ah + bhk + ck a h b hk + c k = a h b a k + 4a c b k 4a 4a c b 4a k 4a c b 4 maxa, c k. Par symérie, on obien de même ah + bhk + ck 4a c b 4maxa,c h, d où le lemme Lemme. Posons 4.6 Φα, β = 5 n=0 n n+ e n iα + e n iβ + e n i α β. Soi deux nombres réels h e k vérifian h, k on a π Φ 7 + h, 4π 7 + k < π Φ 7, 4π 7 00 e h, k 0, 0. Alors = 6 Les calculs son un peu echniques; ils on éé fais à la main e conrôlés par MAPLE. Nous ne donnons que les résulas principaux. Nous exprimerons les résulas en foncion de iπ z = exp. 7 Rappelons que z 6 z 5 + z 4 z + z z + = 0 e noons que la foncion Φα, β es périodique de période π en α e β. On calcule successivemen π 4.7 S = Φ 7, 4π 7 Φ α π 7, 4π 7 = 64 z + z + z 4, S = 6, = Φ β π 7, 4π 7 = 0, 45

46 Φ π α 7, 4π 7 Φ π α β Φ β = 5z 5 0z 4 + z 57 z + 45 z 0, 7, 4π = z 5 6z 4 z z z 4, = z 5 5 z4 5z 5z + 7 z 5. π 7, 4π 7 Quels que soien h e k, posons H = Φ π α 7, 4π 7 h + Φ α β π 7, 4π 7 hk + Φ π β 7, 4π 7 k. On a H S = 6 7 z5 4 7 z z z z 5 h z5 5 7 z z 6 7 z + 7 z 8 hk z5 7 z4 6 7 z + 7 z 7 z 05 = 9....h hk k +i h hk k. k On doi ensuie majorer les modules des dérivées roisièmes. Il vien Φ 5 α α, β = n i e niα e n i α β n=0 d où Φ 5 α, β α n = = 65. n=0 On rouve de même Φ α β 65, Φ α β 65, Φ β 65. Il es commode de poser λ = max h, k. Par la formule de Taylor, pour ou α, β R, on a Φα, β = S + H + R 46

47 avec 4.8 R λ = 75 λ e 4.9 Φα, β S + H S + R S S + H S + R S. Mainenan, on applique le lemme 4.5 à la forme quadraique R H S en choisissan a = 9., b = 6. e c = 4.. Il vien R H S λ 9 4. λ. On a aussi H R λ 40 λ, S H I λ 0 λ S d où On en dédui + H S H S = + R λ 4 = 000 λ 4. H + S H S 9λ λ 4 e, en uilisan l inégalié + + / valable pour ou, on obien + H S 9 λ λ 4. En enan compe de 4.9, 4.8 e 4.7, on a Φα, β 6 9 λ λ λ e la parenhèse es inférieure à pour 0 < λ < = Lemme. Soi Φ défini par 4.6; quels que soien α, β R, on a Φα, β. De plus, si α, β π, 4π e α, β T5 cf. 4.4, on a Φα, β < 6. 47

48 Avec les noaions de 4.4, posons { D = α, β T 5 ; max α π 7, β 4π 7 A parir du lemme 4.6, il nous suffi de monrer que M D = max Φα, β < α,β D 6 =.5. π }. 60 Cela se vérifie à parir de l algorihme 4. : on majore Mc, d; r par 4. avec M = M = 6 e l on obien pour n = 0, = 5069 Φ π, 999 π M 9 9 D 057 Φ π, 5987 π + π = Proposiion. Soi Lα, β défini par.8. Pour ou α, β R, on a 4.0 Lα, β 4 En oure, si α, β T 5 défini en 4.4 e α, β π es srice. A l aide de 4.6, on a Lα, β = j=0 64 j Φ64j α, 64 j β. 7, 4π 7 l inégalié 4.0 On a 64 j π 7 π = π 64j πz car 64 mod 7. De même, 64 j 4π π 7 πz. Donc, Φ 64 j π, 7 64j 4π 7 = Φ π, 4π 7 7 e π L 7, 4π π = Φ 7 64 j 7, 4π = 64 π 7 6 Φ 7, 4π. 7 j 0 Il s en sui, par la formule 4.7, que π L 7, 4π 7 D aure par, par le lemme 4.7, 4. Lα, β Φα, β + j= = = 4 Φ64 j α, 64 j β 64 j 6 j=0 48 = 64 4 j