Série d'exercices *** 4 ème Maths Lycée Secondaire Ali Zouaoui LES N. COMPLEXES " Hajeb Laayoun "

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1 Sére d'exercces *** 4 ème Maths Lycée Secodare Al ouaou LES N COMPLEXES " Hajeb Laayou " I / L esemble des ombres complexes : Défto : O appelle esemble des ombres complexes, et o ote C, l esemble des ombres = a + b avec( a, R et u ombre vérfat = a est appelé parte réelle de, otée Re( ) b est appelé parte magare de, oté Im ( ) pour tout C : est réel Im ( ) = ; est magare pur Re( ) = Opérato : les proprétés des opérato das C sot les même que celle das R avec = Théorème : Tout ombre complexe o ul = a + b ;( a, R admet u verse ( c'est-à-dre u ombre complexe vérfat : = ) o a : = + est oté TÇÇ x fvéät Üx a b a + b a + b Remarque : E pratque, pour le calcul de l verse et du quotet, o e tet pas la formule, mas o fat terver «à propos» l égalté : ( a + b )( a b ) = a + b II / Cojugué d u ombre complexe : Défto : sot = a + b ;( a, R u ombre complexe, o appelle cojugué de le ombre complexe = a b = Re( ) Im( ) Remarque : pour tout C : est réel = pour tout C : est magare pur = Théorème : Pour tous ombres complexes et, et tout eter aturel o a : + = + ; = ; = ; = ; ; ( ) = = C III / Module d u ombre complexe : Défto : Sot = a + b ;( a, R u ombre complexe ; o appelle module de le réel postf : = + = ( ) + ( ) = Proprétés des modules : Théorème : Pour tous ombres complexes et o a : = = a b Ré Im + + ( Iégalté tragulare ) = et = ;( C ) ;( ) = N ( λ ) λ = λ ; R ;

2 IV / Argumet d u ombre complexe o ul : Défto : Sot C et M l mage de das le pla complexe rapporté à u repère r r O, u, v ; o appelle argumet de et o ote Arg ( ) toute mesure de orthoormé drect ( ) r uuuur l agle ( u, OM ) Remarques : * S θ est u argumet de, tout autre argumet de est de la forme : θ kπ ; k Arg θ π +, ce que l o tradut par l écrture ( ) [ ] = = * car l égalté des modules déft (, ) Arg( ) Arg( )[ π] C l apparteace à u même cercle de cetre O et celle des argumets l apparteace à ue même dem-drote d orge O Argumet d ue dfférece : Théorème : Sot A et B deux ombres complexes dstcts, d mage respectves A et B alors : Arg ( B A ) ( u r, AB uuur )[ π ] Forme trgoométrque : Théorème : Sot C * s écrt = r ( cosθ + sθ ) avec r = et θ Arg ( )[ π ] * S = r ( cosθ + sθ ) avec r > alors r = et θ Arg ( )[ π ] Argumets et opératos : Théorème : Pour tous ombres complexes o uls et o a : Arg ( ) Arg ( ) + Arg ( )[ π ] Corollare : Pour tous ombres complexes o uls et o a : Arg Arg( ) Arg( )[ π] ; Arg( ) Arg( )[ π] ; N V / Notato expoetelle : La otato e θ : θ Défto : Pour tout θ R, o pose e cosθ sθ Proprétés : Pour tous ( θ, θ ) R o a : = + θ θ θ ( θ θ ) e ( θ θ ) θ θ e e = e + ; = e ; ( e ) = e ; N θ e Formules de Movre et d Euler : Théorème : * Formule de Movre : Pour tout θ R et pour tout N o a : ( cosθ + sθ ) = cos( θ ) + s ( θ ) et ( cosθ sθ ) cos ( θ ) s ( θ ) * Formule d Euler : Pour tout θ R o a : cosθ = θ θ θ θ e + e e e = et sθ = VI / Races èmes d u ombre complexe : * Sot N \{} et u C, o appelle race ème de u toute soluto das C de l équato : = u S u = alors l équato = admet l uque soluto TÇÇ x fvéät Üx

3 θ S u = r e ; r > alors l équato = admet solutos c'est-à-dre u admet θ + k π { } exactemet races èmes de la forme : k = r e avec k ;; ; L ; ( ) * Das le pla complexe les mages des races carrées d u ombre complexe o ul sot symétrques par rapport à O ( orge du repère ) * Pour N \{ ; } les mages das le pla complexes de races èmes de u = r e θ ; r > sot les sommets d u polygoe réguler de cotés scrt das le cercle de cetre O et de rayo r VII / Equatos du secod degré das C : Sot l équato a z + b z + c = ou a C et ( b ; c) C ; les solutos de cette équato das C sot : = b 4ac b δ z = et a z b + δ a = avec δ est ue race carrée du ombre complexe VIII / Léarsato : Il s agt de trasformer u produt de type : cos x, s x ou cos de termes de type : a cos( α x ) ou b s ( β x ) IX / Nombres complexes et géométre : x s x e ue somme r r Das cette parte le pla complexe c est mu d u repère orthoormée drect ( O ; u ; v ) * Coléarté et orthogoalté : Théorème : Sot u r et v r deux vecteurs o uls du pla c, d affxes respectves et, o a : u r et v r sot coléares u r et v r sot orthogoaux R R * Cocyclcté : Théorème : Sot a ; b ; c et d quatre ombres complexes dstcts d mages respectves A ; B ; C et D o a : Les pots A ; B ; C et D sot cocyclques ou algés : a c a d b c b d R Théorème : Trasformato Ecrture complexe Au pot M ( ), la trasformato assoce le pot M ( ) Traslato de vecteur u r = + b ; b affxe de u r Homothéte de cetre Ω et de rapport k ω = k ( ω ) ; ω : affxe de Ω ; k R Rotato de cetre Ω et d agle θ θ ω = e ( ω ) ; ω : affxe de Ω ; θ R Pot méthode : * Somme et dfférece de deux termes : Pour trasformer ue telle expresso, o peut essayer x x e + e ou x e x e pour ue factorsato de fare apparaître u cosus ou u sus ( ) approprée TÇÇ x fvéät Üx

4 x x x x x cos x Exemples : e + = e e + e = e 5 + x x 5x ( x) x 3x = ( ) = s( ) ( ) e e e e e e x * Module et argumet : Ue expresso du type r e θ e dot pas ous abuser ; l est dspesable de coaître le sge de r pour coclure : S = r et Arg θ π = r e θ S r > : ( ) [ ] r < : = r et Arg ( ) θ+ π [ π ] * Expresso de cos ( x ) et s ( x ) e focto de cos x et s x : x x Le calcul débute par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos x = Re e = Re e = Re cos x + s x =LL Le scéaro se poursut par le développemet de ( cos x + s x ) ; la parte magare du résultat est s ( x ) * Trasformato de a cos x+ b s x ;( a, R : La méthode cosste à écrre a cos x + b s x = Re ( cos x + s x )( a b ) pus à utlser les formes expoetelles pour aboutr à : a cos x + b s x = r cos( x θ ) avec a + b = re θ Ue autre méthode ( sûremet mos savate ) cosste à factorser par a b que : a b a cosx + b sx = a + b cos x + s x a + b a + b a b cosθ = et sθ = a + b a + b Ue formule d addto doe alors : a cos x b s x a b cos( x θ ) EXERCICE N : Cocher la répose juste * Sot u ombre complexe o ul + = + + et à recoaître u réel θ tel = = = Re( ) C, C / + = + R + * Soet : a = + 3, b = 3, c = + 3 et soet A,B,C les pots d affxes respectves a,b,c TÇÇ x fvéät Üx

5 uuur uuuur a c ( CA, CB ) arg π b c a c = 3 b c ( CA) ( CB) uuur uuuur π ( CA, CB ) π ABC est rectagle e C car AB = AC + BC k π z = e où k est u eter quelcoque postf ou * Sot la sute de complexes ( z k ) où ul et est u eter postf fxé supéreur à Ef k >, ( z ) = k k >, z k = z + z + z + + z = k, k zk = z k π M km k+ = s EXERCICE N : a + b a b * * Soet z = et z = avec ( a, R R a b a + b Motrer que z + z R et z z R EXERCICE N 3: z = z Soet z et z deux ombres complexes tels que et + z z z + z Motrer que R + z z EXERCICE N 4: Soet z et z deux ombres complexes z = Motrer que z z = z z et z = EXERCICE N 5: αβ, R, Motrer que : Sot ( ) α β α β ) e + e = cos e α + β k M k est l mage de z k TÇÇ x fvéät Üx

6 ) α β α β e e = s e α + β EXERCICE N 6: Sot = + + ) Exprmer sous forme algébrque ) Exprmer sous forme expoetelle 3 ) E dédure sous forme expoetelle EXERCICE N 7: Le pla P est rapporté à u repère orthoormé drect ( O, u, v ) A ( ) et 3 B Pour chaque pot M ( z ) du pla o désge par ( ) π rotato de cetre O et d'agle, pus par M ( z ) 3 r r, o doe les- pots M z,l'mage de M par la- l'mage de M par la- traslato de vecteur u r O ote par T la trasformato qu à chaque pot M assoce le pot M π 3 ) a- Motrer que z = e z b- Détermer T ( B ) c- Motrer que T admet u uque pot varat dot o précsera l'affxe ) O pose z x y x, y R = + avec ( ) z a- O pred z, calculer Ré e focto de x et de y z Γ des pots M du pla pour que le tragle b- Détermer l'esemble ( ) OMM sot rectagle e O 3 ) Das cette questo, o pose z = + M Γ et placer M et M sur ue fgure a- Vérfer que ( ) b- Calculer z et l'are du tragle OMM EXERCICE N 8: π O cosdère le ombre complexe a = e 5 O ote I, A, B, C et D les pot du pla complexe 3 4 d'affxes respectves, a, a, a et a 5 ) Vérfer que a = ) Motrer que IA = AB = BC = CD = DI z = z + z + z + z + z 3 ) Vérfer que pour tout z C, o a : 5 ( )( 3 4 ) TÇÇ x fvéät Üx

7 4 ) E dédure que 5 ) Motrer que 3 a a + a + a + a = = a et que 4 a = a 6 ) E dédure que ( a + a) + a + a = 7 ) Résoudre das R l'équato x x 4 + = π 8 ) Calculer a + a et e dédure la valeur exacte de cos 5 9 ) Placer les pots I, A, B, C et D das le pla complexe ( uté 4 cm ) EXERCICE N 9: O cosdère u cercle de cetre O et tros pots A, B et C de ce cercle O désge par A, B et C les mages respectves des pots A, B et C par la rotato de cetre O et d'agle 3 π Soet D = A B, E = B C et F = C A, motrer que ces pots sot les sommet d'u tragle équlatéral EXERCICE N : cos 5x s 3x Léarser ( ) ( ) EXERCICE N : π Sot ( E ) :( cos θ ) z ( cos θ ) z + = ; θ, ) Résoudre das C l'équato ( E ) O otera z la soluto dot la parte magare est postve et z l'autre soluto ) a- Calculer z + z b- Exprmer e focto de θ le module de chaque soluto c- E dédure z z pus + e focto de θ z z 3 ) a- Calculer S = z + z b- Pour quelle(s)valeur(s) deθ a-t-o S =? EXERCICE N : Sot P ( z ) = z 3 z + z 3 z + P + ) Calculer ( ) P z et ( ) ) Comparer ( ) P z 3 ) Motrer que s α est ue race de P, alors α est ue race de P TÇÇ x fvéät Üx

8 4 ) Motrer que s α est ue race de P, alors est ue race de P α 5 ) Détermer toutes les races de P EXERCICE N 3: E : z α z+ + α = ; α C Sot l'équato ( ) ( ) ) Motrer qu'l exste ue et ue seule valeur de α pour la qu'elle l'équato ( E ) admet deux solutos complexes cojuguées ) Résoudre l'équato ( E ) e utlsat la valeur de α trouvée EXERCICE N 4: ) a- α R ; Résoudre l équato ( σ α ) : z C z z cosα+ =, b-e dédure la forme trgoométrque des solutos de l équato : ( σ α ) : z C z z cosα+ =, avec u eter aturel o ul doé ) Pour tout N, pour tout α R et pour tout z C, o pose : α ( ) ( α ) O admet que pour tous z, α et o a : P ( z ) = z z α + L z z α k π + + L z z α ( ) π + + α P z = z cos z + cos cos cos α k π Pα z = z z cos + + k = α s α k π s + = k = 4 α, π et pour tout * α k π N \{ }, o pose : H ( α ) = s + k = α s α R o a : ( ) H α = α s lm H α et o ote ( ) a- Calculer P α ( ) et e dédure que : b- Pour tout [ [ Motrer que pour tout * a- Calculer ( ) α b- E dédure que pour tout N * \{ } : ( ) π π 3π π s s s L s = TÇÇ x fvéät Üx