J AUVRAY Traitement du Signal SIGNAUX ET SYSTEMES

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1 J AUVRAY Tritmnt du ignl IGNAU ET YTEME Dns l mjorité ds ouvrgs on dmt toujours implicitmnt qu l bruit b(t s jout u signl util s(t, l signl rçu étnt lors x(ts(t+b(t. st l plus souvnt vri mis il xist ds cs plus complxs, i l bruit modul l gin du systèm il fut écrir x(ts(t.b(t srit pr xmpl l cs d un ntnn gité pr l vnt ou du fdding rpid d un signl rdio du à l gittion d l ionosphèr. i l bruit modifi l fonction d trnsfrt d un systèm, nous vrrons plus loin l cs ds nrgistrmnts ffctués u début du siècl sur roulux d cir, l mélng st convolutif. x(ts(t b(t Dns cs dux cs ls méthods clssiqus d méliortion du rpport signl bruit sont pu fficcs. Il xist cpndnt un méthod pour s rmnr u cs d un simpl ddition, ll fit ppl à c qu l on ppll ds systèms homomorphiqus. YTEME HMMRPHIQUE Un systèm homorphiqu st l générlistion d un systèm linéir. Un systèm st dit linéir s il obéit u princip d suprposition qui s énonc insi : i à un signl d ntré i corrspond un signl d sorti s i, lors u signl d ntré ( t +. ( corrspond l signl d sorti s ( t +. s (. t (t s (t (t s (t. t tt rltion fit ppl à dux opérturs un multipliction pr un sclir t un ddition. Un systèm homomorphiqu st défini d l mêm fçon mis vc d utrs opérturs Dux opérturs qui combinnt un fonction du tmps t un sclir, nous ls notrons t t dux opérturs qui combinnt dux fonctions du tmps t Alors si s (t st l répons u signl d ntré (t à corrspond systèm st rprésnté pr l grphism ci contr. Ainsi un filtr linéir n st qu un cs prticulir d systèm homorphiqu vc comm opérturs l multipliction t l ddition. Théorèm fondmntl n put montrr qu tout systèm homorphiqu dont ls opérturs d ntré sont t t ls opérturs d sorti t put êtr décomposé n dux systèms homorphiqus d ntré t d sorti, l prmir ynt comm opérturs d ntré t t d sorti x t +, l scond à comm opérturs d sorti t t d ntré x t +, ils sont séprés pr un filtr linéir. + H(p + Tous ls systèms homorphiqus crctérisés pr un doubl coupl d opérturs donnés n s différntint qu pr l filtr linéir intrmédiir. ignux t systèms linéirs

2 J AUVRAY Tritmnt du ignl ystèms homorphiqus multiplictifs L opértur d combinison d dux fonctions d t st un multipliction, l opértur d ssocition ntr fonction t sclir st donc un élévtion à un puissnc. Dns c cs prticulir (t (t dvint (t. (t Et n sorti.s (t+.s (t D mêm n sorti s (t s (t donn : s (t.s (t Il fut définir ls systèms d ntré t d sorti. Il st ssz évidnt qu il suffit d fir ppl ux logrithms : En fft : Log(.. Log( +. Log( n voit tout d suit l difficulté cr log( - t il fut définir ls logs d nombrs négtifs! L problèm st résolu pour un img cr l signl st toujours positif. Pour l systèm d sorti il fut évidmmnt utilisr l fonction invrs c st à dir l xponntill. L systèm complt st lors l suivnt : ystèm homomorphiqu multiplictif : (t Log H(p Exp s(t Exmpl d ppliction :Tritmnt d img : oit un img comprnnt dux grnds zons éclirés d fçon très différnts. Pr xmpl un grng dns lqull sont rngés à l ombr ds ngins gricols, situé u miliu d un pysg bigné d solil. L contrst ntr ls dux zons st considérbl t un photogrphi st difficil à prndr, si l on pos pour l prti écliré pr l solil,l intériur d l grng st complètmnt noir, bouché disnt ls photogrphs, si u contrir l on pos pour l ombr l pysg st crmé. L brillnc (x,y d un point d l img put êtr considéré comm l produit d l éclirmnt E(x,y pr l réflctnc d l objt R(x,y. (x,y E(x,y.R(x,y Mis R(x,y qui décrit ls détils fins d l objt st un fonction hut fréqunc (fréquncs sptils, lors qu l éclirmnt st bss fréqunc puisqu il st constnt dns chcun ds dux prtis d l img. L tchniqu st lors l suivnt : L circuit d ntré prnd l logrithm c qui pour résultt d séprr ls dux composnts : Log(E.RLog(E+Log(R Mis l prmir trm st d bss fréquncs lors qu l scond surtout ds composnts H (ls détils fins d l img.n ffctu lors un filtrg pss hut qui fvoris R u détrimnt d E.A l sorti du filtr l signl st dvnu : L systèm d sorti délivr lors : Log (E+ A.Log(R vc A> Exp[Log(E+A.Log(R]E.R A ignux t systèms linéirs

3 J AUVRAY Tritmnt du ignl l corrspond à un bissmnt du contrst, mis l fft st bin plus stisfisnt qu un modifiction clssiqu, n utilisnt du ppir photo doux pr xmpl, cr dns c cs l contrst st réduit ussi dns l prti à l ombr, c qui n st ps souhitbl. ystèms homorphiqus convolutifs tt fois ls composnts du signl d ntré sont mélngés pr convolution. (t (t b(t L cssur d ctt convolution st plus difficil qu dns l cs précédnt. L démrch st l suivnt : n prnd l trnsformé d ourir du signl d ntré c qui comm résultt d trnsformr l produit d convolution n produit norml dont il suffit nsuit d prndr l logrithm pour obtnir un combinison dditiv. tt fois ls difficultés mthémtiqus sont grnds cr on prnd l logrithm d un nombr complx. L fonction log dns l pln complx st multiform t d grnds précutions sont nécssirs. L systèm d sorti ffctur l opértion invrs, xponntition t trnsformé d ourir invrs. ystèm homorphiqu convolutif : (t Log ( H(p Exp( - s(t Un tl tritmnt n put bin sûr êtr ffctué qu d fçon numériqu. n trouv ds opértions d c typ n tritmnt d l prol, l spctr d un voix présnt l long d l x ds fréquncs un crtin périodicité qui s trduit pr ds ris si l on ffctu un nouvll trnsformtion d ourir. L trnsformé d ourir invrs du logrithm d l trnsformé d ourir d un signl st son cpstr, c st un fonction du tmps : [ x( t] I [ Log ( I( x( t ] tt fonction st bin sûr complx. Pour évitr ls difficultés dus u crctér multiform du logrithm complx on utilis prfois l trnsformé invrs d ourir du logrithm du spctr d puissnc, c drnir étnt toujours positif. U x( t I log ( f st l cpstrum : [ ] [ ] Exmpl : Rstitution d l voix d ruso à prtir d nrgistrmnts sur roulu d cir L écout dirct d l nrgistrmnt délivr un son nsillrd crctéristiqu dns lqul l voix du ténor st complètmnt déformé. Un filtrg hrmoniqu st dns c cs totlmnt infficc, l son dvint plus sourd mis l voix st toujours ussi déformé, sinon plus. L problèm vint d l nrgistrmnt. A l époqu on prtiquit un nrgistrmnt dirct, l ténor chntit dvnt un grnd pvillon solidir d un mmbrn portnt un stylt qui grvit l cir du roulu. r l fonction d trnsfrt d un tl nsmbl st xtrêmmnt irrégulièr, l gin put vrir d fois pour dux fréquncs distnts d sulmnt qulqus hrtz. st ctt irrégulrité d l bnd pssnt qui constitu l bruit. Il s git donc bin d un mélng pr convolution. L signl lu sur l roulu à pour trnsformé d ourir : (jπfe(jπf H(jπf dns lqul H st inconnu t très irrégulièr. L systèm homomorphiqu convolutif fit corrspondr u signl d ntré x(t un signl : [ E( f ] Log[ H ( f ] Log + ignux t systèms linéirs 3

4 J AUVRAY Tritmnt du ignl A l différnc du cs précédnt cs dux trms ont ds trnsformés invrss dns l mêm bnd, il n st donc ps possibl d ffctur un filtrg simpl.n ffctu un filtrg dpté près voir détrminé un vlur pproché d H(f n ffctunt ds intrcorréltions ntr plusiurs courts séquncs du signl dont l contnu st différnt mis l filtrg pr H(f idntiqu. Touts cs opértions complxs nécssitnt un tmps d clcul importnt mis ls résultts obtnus sont spctculirs. L voix rstitué smbl nturll,mlhurusmnt prsonn n st là pour l comprr à l originl. IGNAU ET YTEME LINEAIRE Nous supposrons qu l signl t l bruit sont simplmnt joutés. Rpport signl bruit L mplitud d un signl n st ps un grndur importnt, il st toujours possibl d l mplifir, c qui import c st l rpport ntr ctt mplitud t cll du bruit qui lui st jouté. L grndur ssntill st donc l rpport signl sur bruit, qu l on défini comm un rpport d puissncs : Puissnc du signl util Puissnc du bruit Dns l cs l plus générl c rpport put s xprimr à l id ds dnsitès spctrls ds dux intrvnnts : s (f pour l signl b (f pour l bruit. + + ( f ( f i l signl st fibl pr rpport u bruit l dnsité spctrl du bruit st snsiblmnt idntiqu à cll du signl d ntré complt : + + ( f ( f Pour méliorr c rpport on utilisr un filtr linéir d fonction d trnsfrt H(jπf.A l sorti d c filtr l rpport précédnt dvint : + + ( f H ( jπf ( f H ( jπf L problèm st lors d détrminr l vlur d l fonction d trnsfrt du filtr qui rnd c nouvu rpport mximum., ou plus xctmnt l méliortion d c rpport noté : η iltrg d un signl sinusoïdl noyé dns un bruit blnc L signl util st un sinusoïd : ignux t systèms linéirs 4

5 J AUVRAY Tritmnt du ignl s( t.cos( π f t d puissnc P E Il st noyé dns un bruit d puissnc totl P, comm il st d usg n tritmnt d signl ctt puissnc st l moynn du crré P σ ²,c qui rvint à fir l msur sur Ω.. Nous supposrons qu l bruit st un bruit blnc filtré pss bs vc un fréqunc d coupur fc, c st à dir qu s DP st null pour f >fc t constnt illurs.( igur ci contr. L fréqunc du signl util st situé dns l bnd f<fc. Alors : ignl sinusoïdl t bruit blnc filtré pss bs. (f -c -o +o +c σ ( f f d' ou f σ t l rpport signl bruit : E σ Effctuons sur l signl un filtrg pss ps pr un simpl R intégrtur : d fonction d trnsfrt R H ( jπf + jπrf A l sorti d c filtr l signl sinusoïdl un puissnc : P H ( jπf fc t l bruit : P ( f. + R f. 4π 4π R f fc + iltrg fort. tt intégrl st fcilmnt clculbl mis très souvnt l fréqunc d coupur du filtr st très infériur à l fréqunc d coupur du bruit. Alors l fonction d trnsfrt st négligbl pour f >fc on put rmplcr ls limits d intégrtion pr ±. Alors n posnt απrf il vint : dα σ P dα + α πr πr + α R 4Rf Résultt importnt qu l on rtrouvr souvnt. i l bruit n st ps blnc mis l fréqunc d coupur du filtr très fibl, l formul rst vlbl n rmplçnt pr l vlur à fréqunc null d l DP du bruit. i l fréqunc fo du signl sinusoïdl st ll mêm ptit dvnt fc, il st possibl d choisir un constnt d tmps ssz court pour n ps trop tténur l signl tout n consrvnt un filtrg fort. L rpport signl sur bruit n sorti du filtr st lors :. H ( f.4 ( E Rf H f σ 4Rf n posnt f /πr fréqunc d coupur du filtr R, l méliortion du rpport / s écrit : f f f η H ( f. E πf π f + f f Il st fcil d vérifir qu ctt xprssion st mximl pour fof lors η mx π f Lorsqu l signl util n st ps un sinusoïd l solution st moins intuitiv. 5 ignux t systèms linéirs

6 J AUVRAY Tritmnt du ignl iltrg optiml t filtrg dpté L signl util qu nous désignrons pr x(t st défini pr son spctr d puissnc, s il s git d un signl crtin il possèd ussi un trnsformé d ourir : puissnc st : P E E ( f Il st isé d comprndr qu il n st ps possibl d trouvr un vlur d H qui mximis l rpport signl /bruit pour tout vlur du tmps, n fft un signl impulsionnl pr xmpl st prsqu nul n dhors d un zon tmporll étroit utour d son mximum. Loin d c mximum l signl étnt nul l rpport / l st ussi t l rst qulqu soit H. Nous chrchrons donc à rndr l rpport / mximl à un instnt choisi to, l mximum pr xmpl. r pour tto l puissnc d c signl st : P E qui donn à l sorti du filtr : P jπ x( t ( j f ft π ( t. jπ ( jπ f. H ( jπf. ft ( t A ct instnt l rpport / s écrit lors : ( t ( jπf. H ( jπf. ( f. H ( jπf L détrmintion d l xprssion d H qui rnd c rpport mximl st obtnu grâc à un form prticulièr d l inéglité d chwrtz. i t b sont ds fonctions d u b à dir : du du b du vc églité (. b du pour ignux t systèms linéirs jπft kb b du du xprssion ynt l mêm form qu l xprssion d.alors n posnt jπft b H H jφ soit : H φ qulconqu jφ j πft lors H b H jπft d ou b jφ L mximum à liu pour l églité qui s produit lorsqu : j jφ K H πft jφ k indépndnt d u c st 6

7 J AUVRAY Tritmnt du ignl D ou l on tir l vlur optiml d H : jπft ( jπf. H ( jπf K. ( f l ngl φ dispru.l vlur mximl du rpport signl bruit st lors ( jπf mx b du ( f filtr insi défini pr s fonction d trnsfrt st pplé filtr optiml. i l bruit st blnc (f st un constnt t l filtr dvint un filtr dpté H dpté ( jπf K. ( jπf. jπft Rmrquz qu l instnt pour lqul l rpport / st mximl n pprît qu comm trm d phs. Rélistion du filtr dpté Pour détrminr c qu st xctmnt l filtr dpté clculons s répons impulsionnll : j jπf ( t t πft jπft j ft h t H j f K j f π ( ( π ( π. K ( jπf n posnt f -f il vint : ( j ( '. πf '( t t h t K j π f K. x( t t st l signl lui mêm mis qui subit un rnvrsmnt tmporl. filtr n st donc n générl ps rélisbl cr non cusl. iltr dpté à un signl h(t pndnt un tl filtr put êtr construit s il st ppliqué à un signl nrgistré, ou pour un tritmnt d img pour lqul l tmps n intrvint ps, dns c drnir cs l filtrg pour un point d l img fit intrvnir ls points situés ds dux côtés. L tchniqu l plus simpl pour rélisr un filtr dpté st l filtrg numériqu trnsvrsl. n sit n fft qu dns c cs ls cofficints du filtr sont ls échntillons d l répons impulsionnll. Dns l cs présnt cs échntillons ont donc x(to-nt ou T st l périod d échntillonng choisi n fonction d l fréqunc d coupur du signl rchrché. L filtr lors comm lgorithm : k + H ' k H (t t y ( nt x( kt. x[( n k T ] l horizon H-H st choisi pour s cdrr sur l signl invrsé. s prticulir d un signl sinusoïdl Pour un signl sinusoïdl pur symétriqu pr rpport à l origin l filtr dpté prnd un form simpl t d illurs évidnt : x(t cos(πf o t donn h(tk cos[πf (t-t ] qui corrspond à un filtr d fonction d jπft trnsfrt H ( jπf [ δ ( f f + δ ( f + f ]. st u déphsg près un pss bnd idél d lrgur null cntré sur f. Un tl filtr n st ps rélisbl mis on put s n rpprochr, c st l tchniqu dit d détction synchron qui sr dévloppé dns l chpitr suivnt. ignux t systèms linéirs 7