la pulsation propre du système, on obtient l équation différentielle : ẍ + ω 2 0x = 0 Aux bornes de L : u = L di aux bornes de C : i = C du LC d 2 u

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1 VI Oscillaeurs oscillaeur haronique a Exeples Masse accrochée à un ressor essor de raideur k F e x Posiion d équilibre x On accroche une asse à un ressor de raideur k. a asse se déplace sans froeen sur un plan horizonal. On noe x l allongeen du ressor par rappor à la posiion d équilibre. a asse subi une force F = k x e x, en appliquan le principe fondaenal de la dynaique projeé sur l axe e x, on obien l équaion différenielle : ẍ = kx ẍ + k x = On pose = k la pulsaion propre du sysèe, on obien l équaion différenielle : ẍ + x = ircui i u Aux bornes de : u = di d aux bornes de : i = du d En cobinan les deux équaions, on obien u = d u d, soi en noan = d u d + u = évoluion de ces deux sysèes rès différens es gouvernée par la êe équaion différenielle, ce son deux exeples d oscillaeurs haroniques. équaion différenielle d un oscillaeur haronique es : es la pulsaion propre de l oscillaeur haronique. d x d + x = b Soluion a soluion de l équaion différenielle ẍ + x = es = A sin( + ϕ) où A (apliude) e ϕ (phase à l origine) son des consanes déerinées par les condiions iniiales. Masse accrochée à un ressor : à = on lâche la asse avec une viesse nulle e une élongaion x. a soluion de l équaion différenielle es = A sin( + ϕ) e on a ẋ() = A cos( + ϕ). a viesse nulle à l origine ipose donc = A sin( + π/) = A cos élongaion à l origine ipose : ẋ() = A cos ϕ = cos ϕ = ϕ = π/ + nπ n Z x() = x = A cos() = A donc A = x finaleen = x cos( ) TSI Physique-hiie /3

2 x : apliude ; : pulsaion ; : phase. ircui : à = es chargé à U e i =. a soluion de l équaion différenielle es u() = A cos( + ϕ) e on a i() = du d inensié nulle à = ipose : = A sin( + ϕ). i() = sin ϕ = ϕ = + nπ n Z donc u() = A cos( ) a charge à = ipose : finaleen u() = U = A cos() = A donc A = U u() = U cos( ) c Descripion du ouveen Masse accrochée à un ressor : = x cos( ) avec = d équilibre. k. a asse oscille auour de sa posiion x T x a période T des oscillaions es T = π = π k. énergie oale de la asse es : avec v = ẋ() = x sin( ) on obien : Donc finaleen : E = E c + E el = v + kx E c E el E = x sin ( ) + kx cos ( ) = ( kx sin ( ) + cos ( ) ) = kx k = E() = kx = E() énergie du sysèe rese consane au cours du eps. e porrai de phase du sysèe correspond au graphique représenan l enseble des poins (, ẋ()) parcourus par le sysèe au cours de son évoluion. Dans le cas de l oscillaeur haronique, le porrai de phase es une ellipse : ẋ() ircui : u() = U cos( ), i() = U sin( ) avec = énergie oale conenue dans le circui à l insan es : E = E + E = u() + i() = U cos ( ) + U sin( ) = U ( cos( ) + sin( ) ) = TSI Physique-hiie /3

3 Soi finaleen : E() = U = E() Il y a conservaion de l énergie conenue dans le circui au cours du eps. d Aure exeple, généralisaion On considère une asse suspendue à un ressor : Posiion d équilibre x F essor de raideur k P = g a posiion d équilibre es x e = g k. Auour de la posiion d équilibre, la asse oscille à la pulsaion =. es égaleen un oscillaeur haronique. On rerouve un oscillaeur haronique dans oues les siuaions où l on éudie le ouveen auour d une posiion d équilibre sable. es un coporeen universel. Oscillaeur haronique aori a Exeples Masse + ressor + froeen visqueux : k e x k e x On ajoue une force de froeen visqueux : f = γ v. e PFD F = a donne lorsqu on le projee sur l axe ex : e qui pere d obenir l équaion différenielle : ẍ + γ /Q ẋ + x kx γẋ = ẍ k x = soi ẍ + Q ẋ + x = où Q = k γ es appelé faceur de qualié de l oscillaeur. ircui série : TSI Physique-hiie 3/3

4 u u i u oi des ailles : u + u + u = donc d u oi d Oh : u = i donc d u = d i ; Bobine : u = d i donc d u = d i ; ondensaeur : d u = i. + d u On obien alors l équaion : d i + d i + i = soi : + d u = ; d i + /Q + = soi d i + d i Q + i = où Q = b Analyse qualiaive es le faceur de qualié de l oscillaeur. aorisseen correspond à une dissipaion d énergie. énergie du sysèe diinue donc au cours du eps, il end à reourner vers sa posiion d équilibre sable. ẋ() Évoluion eporelle Porrai de phase c Soluion exace équaion de l oscillaeur haronique aori es : ẍ + Q ẋ + x = équaion caracérisique associée r + Q r + = ( ) e discriinan es = Q 4 = Q 4. On disingue rois cas, selon la valeur de : Si > Q < /, l équaion caracérisique a soluions réelles r e r : r, = ( Q ± ) e on a = Ae r + Be r. es le régie apériodique, il n y a pas d oscillaions. TSI Physique-hiie 4/3

5 Q ẋ() Évoluion eporelle Porrai de phase orsque Q, on a A exp( /τ). e eps de reour à l équilibre es de l ordre de : τ = Q Si = Q =, l équaion caracérisique a une racine double : r = e on a = (A + B)e. es le régie criique. Il n y a pas d oscillaions. ẋ() Évoluion eporelle e eps de reour à l équilibre es de l ordre de : Porrai de phase τ es le régie pour lequel le reour à l équilibre se fai le plus rapideen. Si < Q >, l équaion caracérisique a deux soluions coplexes : ±i r, = ( ) Q ± i = Q τ on a alors = Ae /τ cos( + ϕ). es le régie pseudo-périodique. 4Q } {{ } ẋ() T Évoluion eporelle Porrai de phase a pseudo-période T du signal es : T = π = π /(4Q ) T T es la période propre de l oscillaeur (la période d oscillaion en l absence d aorisseen). Avec aorisseen, on a T > T. e eps de reour à l équilibre es de l ordre de : τ = Q TSI Physique-hiie 5/3 ()

6 En régie pseudo-périodique, on peu déeriner graphiqueen la valeur de Q en copan le nobre d oscillaions avan que l apliude ne passe sous une valeur liie que nous allons déeriner. apliude des oscillaions es A() = A exp( /Q) = A exp( π/q /T ) après n oscillaions, on a = nt e A() = exp( nπ/q). Si n = Q l apliude es A() = A exp( π) A/. Donc après Q oscillaions, l apliude des oscillaions es divisée par. On obien la règle suivane : Q =nobre d oscillaions avan que l apliude ne soi divisée par. 3 égie sinusoïdal forcé a Posiion du problèe Un sysèe dynaique (élecrique, ecanique,...) es souis à une exciaion sinusoïdale de pulsaion. exeples : e() = E cos() ircui souis à une ension sinusoïdale x () = A cos() Exréié du ressor qui oscille b égie ransioire e régie peranen orsqu un sysèe linéaire es souis à une exciaion sinusoïdale de pulsaion on disingue deux régies : e régie ransioire au cours duquel l apliude des oscillaions varie e régie peranen au cours duquel oues les grandeurs oscillen à la pulsaion avec une apliude consane. égie ransioire égie peranen a durée du régie ransioire es idenique à celle du régie ransioire de l oscillaeur libre (elle dépend de Q e de ). c Éude du régie peranen En régie peranen, oues les grandeurs oscillen à la pulsaion. On peu les représener par une apliude e une phase, c es à dire un nobre coplexe. = Xe j(+ϕ) avec j = () a grandeur réelle (celle qui a une significaion physique) es la parie réelle de la grandeur coplexe : = e(x) = X cos( + ϕ). a dérivaion devien une opéraion rès siple : Donc : d = d (Xej(+ϕ) ) = Xje j(+ϕ) = j d = j ela pere de ransforer oues les équaions différenielles en équaions algébriques. TSI Physique-hiie 6/3

7 Applicaion au circui en régie forcé dans le circui suivan : : On cherche à déeriner la ension u () en régie peranen u u e() = E cos() i u On replace les valeurs réelles par leur représenaion coplexe : i(), e(), u (), u () e u (). es différenes lois du circui s écriven : Mailles : e = u + u + u Oh : u = i ondensaeur : i = d u = ju Bobine : u = d i = ji On obien finaleen que l on peu écrire sous la fore : u = j + j ( )e jq u = ( + jq )e en faisan inervenir la pulsaion propre = e le faceur de qualié Q = apliude de la ension aux bornes de la bobine es donnée par le odule de u : Q u = ( + Q de l oscillaeur. ) e (3) On représene sur le graphique ci-dessous l apliude de la ension aux bornes de la bobine en foncion de la pulsaion pour plusieurs valeurs du faceur de qualié Q : u () Q = 3 e Q = Q =.5 On rearque que lorsque le faceur de qualié es grand (>), la ension aux bornes de la bobine peu êre supérieurs à la ension d alienaion du circui. On di qu il y a résonance. Plus le faceur de qualié es élevé, plus le pic de résonance es hau e éroi. Si es la largeur du pic de résonance, on peu onrer que l on a Q On peu égaleen s inéresser au déphasage ϕ enre la ension d alienaion e la ension aux bornes de la bobine. Pour cela on doi calculer l arguen de u, on rouve : arg(u ) = arg(e) + π ( (Q arcan )) e graphique ci-dessous représene arg(u ) arg(e) en foncion de, il s agi donc du déphasage enre les deux grandeurs. TSI Physique-hiie 7/3

8 arg(u ()) arg(e) π Q = 3 Q = π Q =.5 d À la résonance, il y a un déphasage de π Ipédances coplexes enre le signal e l exciaion. u i Dans un circui élecrique en régie sinusoïdal forcé, on peu définir l ipédance coplexe Z d un dipôle (équivalene à la résisance en régie coninu) elle que u = Zi Pour une résisance : u = i donc Z = ipédance es réelle. Pour une bobine : u = d i donc u = ji e : Z = j ipédance es iaginaire pure e dépend de. orsque =, Z =, à basses fréquences la bobine se copore coe un fil. orsque, Z, donc à haues fréquences, la bobine se copore coe un inerrupeur ouver. Pour un condensaeur : i = d u donc i = ju e : Z = j ipédance es iaginaire pure e dépend de. orsque, Z, à basses fréquences le condensaeur se copore coe un inerrupeur ouver. orsque, Z, donc à haues fréquences, le condensaeur se copore coe un fil. Associaions d ipédances : es règles son les êes que pour des associaions de résisances En série : Z Z Z Z eq Z eq = Z + Z En parallèle : Z Z eq Z eq = Z + Z 4 Filrage linéaire a Signaux périodiques Un signal périodique s() es coposé d un oif éléenaire de durée T qui se répèe indéfinien au cours du eps. TSI Physique-hiie 8/3

9 s() T T es la période du signal ; f = T es sa fréquence. On peu décoposer une foncion périodique en série de Fourier : s() = a + a n cos(n ) + b n sin(n ) n= avec a n = T a es la valeur oyenne de s() : haronique de rang n es : T s() cos(n ) d e b n = T a = T T s()d T s() sin(n ) d. H n = a n cos(n ) + b n sin(n ) = c n cos(n + ϕ n ) Un signal périodique se décopose en une soe d une coposane coninue e d haroniques sinusoïdales de fréquences uliples de la fréquence du signal. s() A Haroniques f f 3f 4f Fondaenale oposane coninue f eprésenaion eporelle Specre e specre du signal s() es coposé de l enseble des apliudes des haroniques (e de la coposane coninue). a valeur oyenne d un signal s() de période T es : < s() >= T T s() d a valeur efficace S d un signal s() de période T es : T S = s T () d par exeple pour un signal sinusoïdal s() = A sin() on a : < s() >= A T T sin() d = (4) e S = T A T sin () d = A T T ( cos ) d = A (5) TSI Physique-hiie 9/3

10 b Filres Un filre es un sysèe linéaire qui ranse ceraines fréquences e en aénue d aures. Un filre es caracérisé par sa foncion de ransfer haronique H() = s() e() don le odule es le gain du filre à la pulsaion. Filres les plus courans : H() Filre passe-bas : laisse passer les basses fréquences ( < c ) : idéal c réel H() Filre passe-hau : laisse passer les haues fréquences ( > c ) : réel c idéal Filre passe-bande : laisse passer les fréquences inerédiaires ( c < < c ) : H() On défini le gain à la pulsaion par G() = H() On défini le gain en décibel à la pulsaion par () = log( H() ). ors de la concepion d un filre, ses caracérisiques son résuées par le gabari du filre. Gabaris des filres les plus courans : Filre passe-bas : c c idéal réel On souhaie que : ( < c ) > G c ; ( > a ) < G a ; ( c < < a ) peu êre quelconque. G c c a log() G a filre réel Bande passane Bande aénuée a c Filre passe-hau : log() filre réel G c G a Filre passe-bande : log() G c a c c a G a filre réel TSI Physique-hiie /3

11 c Exeple d un filre passe-bas d ordre On éudie le filre suivan : i i = e() s() Analyse qualiaive : orsque le condensaeur se copore coe un fil e s(). orsque le condensaeur se copore coe un inerrupeur ouver e s() e(). e filre es donc un filre passe-bas. a ension de sorie es s() = /j + /j e() (pon diviseur de ension). Soi s() = e(). Donc la + j foncion de ransfer du filre es : H() = + j = + j. e gain du filre es : e gain en décibel es : G = H() = + (/ ) = log(g) = log + (/ ) On race en foncion de log(), c es le diagrae de Bode du filre. log( ) -3 db log() herchons les asypoes en ± (pour log()) : : = log + (/ ) log = log x + log y = ax + b b asypoe en + es donc une doie de pene -db/décade, c es à dire que lorsque l on uliplie par, diinue de db. : on a donc une asypoe horizonale lorsque (ou log ). On peu observer l effe d un el filre sur le specre d un signal : e() s() Specre du signal d enrée Specre du signal de sorie TSI Physique-hiie /3

12 d Aures filres passifs Filre passe-hau d ordre i i = e() s() orsque le condensaeur se copore coe un inerrupeur ouver e s() orsque le condensaeur se copore coe un fil e s() e(). On consrui donc bien un filre passe-hau de cee anière. a foncion de ransfer de ce filre es (pon diviseur de ension) : e gain du filre es G = H() = H() = s() e() = + /j = + (j) = + j avec = + ( ) e = log + ( ) log( ) -3 db log() db/décade Filre passe-bas d ordre i = e() s() orsque la bobine se copore coe un inerrupeur ouver e le condensaeur coe un fil. Donc s() ; orsque la bobine se copore coe un fil es le condensaeur coe un inerrupeur ouver. Donc Donc s() e(). a foncion de ransfer du filre es (pon diviseur de ension) : H() = Z /j = Z + Z + Z + j( /) = j + = + j e gain du filre es G = ( ( ) ) ( + ) Q ( (. E = log Q ) ) ( ) + Q. TSI Physique-hiie /3

13 Q = 5 Q =.5 log( ) log() pene = -4 db/décade Filre passe-bande d ordre i = e() s() orsque la bobine se copore coe un inerrupeur ouver e le condensaeur coe un fil. Donc s() ; orsque la bobine se copore coe un fil es le condensaeur coe un inerrupeur ouver. Donc Donc s(). On consrui donc ainsi un filre passe-bande. On rouve la foncion de ransfer du filre : H() = ( + jq ( e gain es G() = ( ), e = log ( + Q + Q ) avec = e Q =. ) ) log( ) log() Q =.3 Q = Q = 3 a courbe représenan (log()) présene une asypoe en de pene égale à db/décade e en + une asypoe de pene égale à db/décade. On peu rouver la bande passane à -3 db en rouvan les valeurs c e c de pour lesquelles () = 3 G() =. On rouve finaleen = c c = Q Mise en cascade de filres Pour ere en cascade des filres, il fau que la sorie du preier filre soi peu perurbée par l enrée du second. ipédance de sorie Z s du filre doi êre faible ; ipédance d enrée Z e du filre doi êre élevée. TSI Physique-hiie 3/3

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