Série 4 Proposer par / Mantadher Ben Marzouk

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1 eme T Révso 0 Thèmes / Calcul tégrale Sutes réelles - Foctos epoetelles -Géométre das l espace Eercce N Cocher la répose eacte, avec justfcato. Sére Proposer par / Matadher Be Marzouk ) La forme epoetelle de Z ( --) est e e e ) Ue soluto de l équato z+ z + 0 est ) Sot Z + alors Z ) Sot, B, C tros pots mu d u repère (O, u, v ) d affes respectves Z, Z B, Z C. a) s Z C Z + Z B alors, B, C sot algés est le mleu de BC OCB est u parallèlogramme b) S (Z C - Z ) () (Z B - Z ) alors, B, C sot algés, B,C sot stués sur le cercle de dametre [BC] le tragle BC est rectagle e Eercce N Sot f la focto défe sur [, ] par : f + ) a- Dresser le tableau de varato de f sur [, ] b- Motrer que, o a : f () c- Motrer que, o a : f U 0 U + f(u ) a) Motrer par récurrece que IN o a : U b) Motrer que IN o a : U + U ) Sot la sute (U ) défe sur IN par c) E dédure que IN o a : U d) E dédure lm + U

2 Eercce N Sot f la focto défe sur IR par f e e + O désge par (C f ) sa courbe représetatve das u repère orthoormé O,, j (uté : cm) ) a) Vérfer que f e + b) Calculer lm + f() et lm f() ; terpréter les résultats obteus. ) a) Motrer que f e e + b) Dresser le tableau de varato de f c) Ecrre l équato de la tagete (T) à (C f ) au pot d abscsse 0 ) Tracer (T) et (C f ) e ) a) Motrer que : d l( +e ) 0 e + b) Calculer e cm l are du domae lmté par la courbe (Cf) et les drotes d équatos respectves : y ; 0 et Eercce N Bac 00.P- L espace est rapporte à u repère orthoormé drect (O,, j, k ) les pots (0,, ),B(,0,),C(-,0,0) et I(,,). ) a)motrer que les pots,b et C e sot pas algés. b) O désge par P le pla (BC );Motrer que l équato cartésee du pla P :+y-z+. ) Sot( S) la sphère S dot l équato cartésee : +y +z --y-z+0 a) Motrer que la sphère S a pour cetre I et détermer so rayo. b) Motrer que la sphère S est tagete à P au pot. c) Calculer le volume de tétraèdre BC. ) sot H le mleu du segmet I et Q le pla passat par H et parallèle à P. a) Motrer que le pla Q et la sphère S sot sécates e u cercle C. b) Détermer le cetre et le rayo du cercle C. Eercce N 5. Résoudre das l'esemble des ombres complees l'équato :Z - Z+0. O doera les solutos sous forme algébrque.. Soet et B les pots d'affes respectves a - et b +. a) Écrre a et b sous forme epoetelle. b) Fare ue fgure et placer les pots et B. c) Motrer que OB est u tragle équlatéral.

3 Sére Proposée par : Mr Matadher Be Marzouk Eercce N : - La forme epoetelle de Z ( ) est e. e effet : Z ( ) ( + ) + e Z e e e e - Ue soluto de l équato : z + z + 0 est : z + car : + 0 z + y ( + y) + ( y) ( y ) 0 et z + y y 0 - Sot Z + alors Z 8 car : - Sot, B, C tros pots mu d u repère ( O,u,v) Z + e Z e e 8 d affes respectves Z, Z B, Z C. a- S ZC Z + ZB alors OCB est u parallélogramme car : C B C B O C OB Z Z + Z Z Z Z Z Z Z C / / OB b- S ( Z Z ) ( Z Z ) C B alors le tragle BC est rectagle e car : ZC Z ZC Z Z B Z arg B, C B C Z Z Eercce N : Sot f la focto défe sur [, ] par : B f + - a- [, ]; f ' f ' + 0 f ( ) 5 Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech

4 b- o a [, ], f ' doc 0 f ' f ' c- Iégalté des accrossemets fs : o a f est cotue sur [, ] et dérvable sur ], [ et f ' alors - O cosdère la sute f U0 U N défe par : U + f ( U ); N a- Motros par récurrece que pour tout eter aturel 0 Pour 0 ; o a U [, ] 0. vra ; U [, ] Supposos que le résultat reste vra à l ordre motros le à l ordre +. 5 f U f, f U + O a f est crossate sur [, ] doc ( ) b- d après (-c) o a : f or : U + U U U0 U U0 c- U U0 U... U U0 d- Par théorème de comparaso : Eercce N : Sot f la focto défe sur IR par : f - a- O a : b- [ ] [ ] U, U + f U, doc : lm + U lm + 0 lm + U e e + ( e ) e e + + f e + e + e + e + Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech

5 lm + f lm + lm + e + e + e e + lm f lm ( lm e 0) La courbe ( C f ) admet la drote y comme asymptote horzotale au V ( + ) La courbe ( C f ) admet la drote y comme asymptote horzotale au V ( ) 0 - e ;f e + + a- R ' b- o a : ' ' ( e ) R ; f > 0 tableau des varatos est le suvat : + f ' + f ( ) c- L équato de la tagete (T) à ( C f ) au pot d abscsse 0 est de la forme : y f ' ( 0)( 0) + f ( 0) doc y + - Courbe y 8 y (Cf) y Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech

6 - a- b- e u' e + d d l ( e + ) l ( e + ) l l e + u e e e e e + + l d + d d d ( u.a ) e + e + e + e Eercce N : L espace est rapporte à u repère orthoormé drect ( O,, j,k ) b- Les pots (0,, ) ;B(,0,) ;C(-,0,0) et I(,,). - a- Motros que les pots, B et C e sot pas algés revet à prouver que les vecteurs B et C e sot pas coléares ; autremet dt l este pas u réel k tel que B kc B k Sot : et B kc k k ( mpossble ) C k Doc B et C e sot pas coléares et par coséquece les pots, B et C e sot pas algés d où P ( BC ) : + y z + d 0 B C + j k Or P + d 0 d. Par sute P : + y z Sot(S) la sphère S dot l équato cartésee : a- O a : y z y z y y z z y z y + z M, y,z S où I ; ; et r b- + + Calculos d ( I,P), e effet : d ( I,P) r + + Motros que S, e effet : ( 0 ) + ( ) + ( ) + + ( I IB ).IC c- Le volume de tétraèdre IBC est doé par : IBC I,r Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech

7 b- 0 I IB j + k 0 ( I IB ).IC + 5 IC ( I IB ).IC 5 D où IBC cm - Sot H le mleu du segmet I et Q le pla passat par H et parallèle à P. a- Les coordoées de H sot :,, Q / / P Q P L équato de Q est : Q : + y z 0 H Q + y z + d 0 d ( I,Q) + < r + + Cocluso : le pla Q et la sphère S sot sécates e u cercle C. 9 Le rayo de C est : R Le cetre de C : H le projeté orthogoale de I sur Q : l este α R tel que IH' α H ', y,z Q α 5 IH' α Q ( α + ) + ( α + ) ( α + ) 0 α y α z α Q s : H ' 7,, Eercce N 5 : - O cosdère das C l'équato (E) : Z a- ( ) ' z z + Z + 0 { } S + ; C Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech 5

8 - Le pla état rapporté à u repè C et D d'affes respectves Z a- r r a a ( ) cosθ θ arg ( a)[ ] θ sθ b a b e + b- Vor Fg. ère orthoormé drect ( O,u,v ) ; Z B - ; Z C - et Z D + o cosdère les pots, B, [ ] a e c- Motros que le tragle OB est équlatéral revet à motrer que BOOB et que ˆ Oˆ Bˆ. e effet : O zo z B zb z ( + ) ( ) O B OB OB zb zo + Correcto proposée par : Jem ma Wajd Nveau : é éme Sc. Tech

9 b a + Â ( O, B) arg arg arg arg ( a) + [ ] a ( + ) b + ˆB ( B,OB) arg arg arg ( b) arg [ ] b a ( + ) ( ) b + Ô ( O,OB) arg arg arg ( b) arg ( a) + [ ] a ( ) Par sute le tragle OB est équlatéral Nota : Pour toute remarque héstez pas à me réclamer sur [email protected] Correcto proposée par : Jema Wajd Nveau : éme Sc. Tech 7