Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DU 2 ÈME ORDRE CAS GÉNÉRAL.

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1 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 1/10 Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DU ÈME ORDRE CS GÉNÉR Quesion 1 : Déerminer l ordonnée en + s(+) Conclure sur l influence des aramères caracérisiques, z e 0 sur le régime ermanen enrée es définie ar e( ) E u( ), soi dans le domaine de alace E ( ) c 0 E a sorie a donc our exression dans le domaine de alace : S ( ) c ( z0 0 ) Ordonnée en : s( ) lim s( ) lim s( ) lim S( ) Ec 0 0 e régime éabli ne déend que du gain saique e régime ransioire déend du faceur d amorissemen z e de la ulsaion rore 0 E c Quesion : Calculer l erreur saique er ( ) e( ) s( ) Que faudrai-il faire our que ce sysème soi récis? er ( ) e( ) s( ) er ( ) Ec Ec er ( ) Ec(1 ) récis si = 1 z > 1 z = 1 z < 1 Quesion 3 : Déerminer le discriminan du dénominaeur de la foncion de ransfer Sur quoi agi le coefficien z? Discriminan : > 0 = 0 < 0 4z ( z 1) Trois cas seron à envisager racines réelles simles (a1 e a) 1 racine réelle double (b) racines comlexes conjuguées ( = c j d) 0 1 S ( ) a1 a 0 B C S() b ( b) 0 D E S() ( c) d a a s( ) e e u( ) b b 0 s( ) B e C e u( ) Réonse non oscillaoire c D c E c s( ) 0 D e cos( d ) e sin Réonse d oscillaoire z agi sur la sabilié

2 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page /10 Corrigé Exercice : MXPID Quesion 1 : Déerminer les aramères caracérisiques de la foncion de ransfer de ce sysème ( ) ,98 c ( ) ,06 0, ,98 1 0, 0035 z 0, ,06 z 0 0, 0035 N : 0 0,98 16,9 rad / s z 0,51 Quesion : En déduire le ye de sa réonse à un échelon (non oscillaoire, oscillaoire amorie ) Si nécessaire, indiquer la valeur de la seudo-ériode noée T a z<1 donc réonse oscillaoire Ta 0,43 s a 0 1z Quesion 3 : Calculer le ems de réonse à 5 % de ce sysème soumis à une enrée de ye échelon Selon l abaque du cours z 0,51 r5% 0 5, r5% 5, 0,31 s 0 Quesion 4 : Donner, dans ce cas, le nombre de déassemen de la réonse () Indiquer, our chacun d enre eux, leur valeur relaive e leur valeur absolue Selon l abaque du cours z 0,51 déassemens visibles 15 D1% 0,15 15% 100 D% 0,0 % 100 Or ( ) c ( ) 0,980 19,6 donc D1 D1% ( ) 15%19,6,9 D D% ( ) %19,6 0,4

3 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 3/10 Quesion 5 : Ce sysème es-il récis? Sinon, donner l erreur saique Non car 1 er( ) c( ) ( ) er ( ) 0 19, 6 0, 4 Quesion 6 : Tracer l allure de la réonse () en récisan les oins caracérisiques NB : il n es as demandé de calculer () Il fau TOUJOURS lacer les oins au niveau des déassemens e du ems de réonse, avan de racer la courbe!!! () en 19,6 D1 D Bande des +/- 5% Tangene à l origine de ene nulle 0 Ta/=0,1 Ta=0,43 Tr5%=0,31 en s

4 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 4/10 Corrigé Exercice 3 : BNDEROEUSE À PTEU TOURNNT (Selon le concours TS 1999) Modélisaion Quesion 1 : Donner la foncion de ransfer T() de l inerface homme-machine qui assure que () soi l image de l erreur ( ) E( ) Emes( ) T( ) c( ) S ( ) Pour que ( ) soi l image de l erreur Er ( ) c( ) ( ) à un coefficien rès, il fau que T( ) insi ( ) S c( ) ( ) S Première éude : Sysème asservi sans correcion C() = 1 Quesion : Déerminer l exression de la foncion de ransfer de ce sysème ainsi que ses aramères caracérisiques Faire l alicaion numérique 1 S S S 1 H( ) S 1 S 1 S 1 S 1 S S S 1 1 S 1 1 S N : 1 0,5 1 0,1 s Quesion 3 : Calculer le ems de réonse à 5 % de ce sysème à une enrée en échelon Conclure ar raor au sysème iniial (= sans êre asservi) r5% 3 1 0,3 s 0, 6 s 3 r 5% sys asservi sys iniial Conrairemen à ce que l on aurai u enser, le sysème bouclé es lus raide que le sysème non bouclé Quesion 4 : Donner la valeur de l'accéléraion en régime ermanen Ce sysème es-il récis? Sinon, donner l erreur saique Conclure ( ) 1 c 0,50 g 10g e sysème n es as récis On désirai 0g e on a 10g On le savai car 1 1 erreur vau er ( ) c( ) ( ) erreur saique qui es la valeur de l erreur en régime ermanen vau er ( ) c( ) ( ) 10g Conrairemen à ce que l on aurai u enser, le sysème bouclé n es as récis an que l on ne me as un correceur adéqua Quesion 5 : Donner l allure de la réonse () de ce sysème en récisan les oins caracérisiques

5 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 5/10 Deuxième éude : Sysème asservi avec un correceur inégral C() = 1/ Quesion 6 : Déerminer l exression de la foncion de ransfer de ce sysème ainsi que ses aramères caracérisiques Faire l alicaion numérique 1 1 S 1 H( ) S 1 (1 ) S 1 1 S 1 1 S S 1 S 0 1 S 1 1 z S S N : 0 1,4 rad / s z 1,1 Quesion 7 : Calculer le ems de réonse à 5 % de ce sysème à une enrée en échelon Conclure en le comaran au sysème asservi sans correcion Selon l abaque du cours z 1,1 r5% r5%, 68 s 0 Rajouer dans la chaîne direce un inégraeur 1 a dégradé la raidié du sysème Quesion 8 : Donner la valeur de l'accéléraion en régime ermanen Ce sysème es-il récis? Sinon, donner l erreur saique Conclure ( ) c 10g 0g e sysème es récis On désirai 0g e on a 0g On le savai car 1 erreur saique qui es la valeur de l erreur en régime ermanen vau e ( ) c( ) ( ) 0 r Rajouer dans la chaîne direce un inégraeur 1 a rendu le sysème récis Quesion 9 : Donner l allure de la réonse () de ce sysème en récisan les oins caracérisiques c =0g enrée : e()=c() sorie (ou réonse) :() 0 Bilan Quesion 10 : Conclure sur les 3 cas (sysèmes iniial, asservi sans correcion, asservi avec correcion) Un sysème asservi n es as nécessairemen mieux qu un sysème non asservi En effe ou déend du correceur choisi Dans nore cas, celui-ci a amélioré la récision mais dégradé la raidié En choisissan un aure ye de correceur, nous aurions u obenir l effe inverse C es l éernel roblème en asservissemen enre récision-raidié-sabilié

6 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 6/10 Corrigé Exercice 4 : SYSTÈME DE CORRECTION DE PORTÉE D UN PHRE UTOMOBIE (Selon le concours CCP 003 filière PSI) Présenaion du sysème Quesion 1 : Déerminer, B, C, D, E, F e G (sur feuille de coie) : Caeur d assiee B : Calculaeur C : Réglage manuel D : xe oique du faisceau correc E : Moo-réduceur F : Disosiif Vis / Ecrou G : Bloc d orienaion Éude du comoremen du sysème de correcion de orée non asservi Quesion : Comléer le diagramme foncionnel de la chaîne d acion ci-dessous, en récisan le nom des consiuans dans les blocs, les informaions véhiculées enre les blocs ainsi que leur symbole e leur unié (les foncions de ransfer ne seron as déerminées) Quesion 3 : Comléer le diagramme foncionnel de la chaîne d acion ci-dessous, mais cee fois-ci en récisan les foncions de ransfer des consiuans à l inérieur des blocs Réduceur : ( ) 490 ( ) m r m( ) 490 r( ) r ( ) 1 Hred ( ) ( sans unié) ( ) 490 m Inégraeur : dr () r () d r ( ) 1 r( ) r( ) Hin ( ) s r ( ) Vis-écrou : 1our rad as 6 mm r () x () x () ( )610 r 3 X ( ) r ( )610 3 X ( ) 610 Hvis écrou ( ) m / rad r ( ) NB : Si le sysème de ransformaion de mouvemen avai éé un ignon-crémaillère, on aurai eu : 1our rad R mm r ( )R X ( ) x () X( ) r( ) R R r () x () r ( ) 3

7 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 7/10 Bloc d orienaion : rad 0 () 15 mm x () ( )1510 x () 0 3 blocd ' orienaion 3 ( )1510 X ( ) 0 ( ) H ( ) rad / m X ( ) Quesion 4 : En déduire le ye de sysème auquel le moeur eu êre idenifié Jusifier e donner la foncion de ransfer corresondane a réonse du moeur à un échelon uniaire de ension ressemble à la réonse à un échelon uniaire d un sysème du ème ordre aériodique (ene de la angene à l origine nulle (Zoom) e aucun déassemen) e moeur eu donc êre modélisé ar : (1 a )(1 b ) Quesion 5 : Prooser une hyohèse ermean de modéliser le moeur ar un sysème du 1 er ordre Pour modéliser un sysème du ème ordre aériodique, ar un sysème du 1 er ordre (1 a )(1 b ), il fau qu une des consanes soi négligeable devan l aure 1 b Quesion 6 : Démonrer ce résula en déerminan l exression de sa sorie Uiliser our cela l exression de la foncion de ransfer obenue à la quesion 4 e une enrée indicielle m Um D où (1 )(1 ) a b avec Um ( ) 1 1 B C m ( ) (1 a )(1 b ) a b ( )( ) a b a b b a a b a b a b a a b b m e e u a b b a a réonse emorelle a donc our exression : ( ) (1 ) ( ) a réonse emorelle a donc our exression : ( ) (1 b m e ) u ( ) 0 1 si b a Par conséquen, si b a, la réonse emorelle à un échelon d un sysème modélisé ar es équivalene à la réonse emorelle d un sysème modélisé ar (1 a )(1 b ) (1 b ) Ici, en regardan la courbe globale, la angene à l origine (de ene nulle) es comlèemen invisible, alors que le rese de la courbe «ressemble» à la réonse à un échelon d un sysème du 1 er ordre Ceci signifie que le sysème aériodique a deux consanes de ems a e b rès différenes

8 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 8/10 Quesion 7 : Idenifier M ( ) à un 1 er ordre en déerminan ses aramères caracérisiques sur la courbe On relève : la valeur de l'enrée en régime ermanen um ( ) 1V la valeur de la sorie en régime ermanen m ( ) 300 rad / s l insan 0,05s où la réonse aein 0,63 m ( ) On en dédui : le gain saique du sysème ar la valeur finale ( ) u ( ) la consane de ems du sysème ar l insan relevé récédemmen Donc 0,05 s 300 On eu donc modéliser le moeur ar la foncion de ransfer : M ( ) 1 0,05 m m rad s V 1 m ( ) Quesion 8 : En déduire la foncion de ransfer M'( ) du moeur équié du reour Uc ( ) achymérique Indiquer les avanages e les inconvéniens de cee boucle de reour sur le comoremen du moeur 300 m ( ) M( ) 1 0, M'( ) Uc ( ) 1 achy M( ) 300 (1 0,05 ) ,05 1 achy achy achy 1 10, vanage : e moeur es en boucle fermée insi il eu conrer ses erurbaions inernes (Cr : coule résisan ) a consane de ems du moeur bouclé es lus faible (car achy 0), il sera donc lus raide Inconvénien : e gain saique du moeur bouclé es lus faible (car moins imorane 0), sa viesse en régime ermanen sera achy achy

9 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 9/10 Quesion 9 : Indiquer si cee foncion de ransfer eu-êre mise sous une forme canonique «classique» d un sysème du ème ordre En déduire s il es ossible de racer simlemen la réonse du sysème à une enrée de ye échelon ( ) 0,003 c ne eu as se mere sous la forme classique d un sysème du ème B( ) (1 0,05 ) z insi, il n es as ossible de racer direcemen sa réonse ordre Quesion 10 : Déerminer l exression de ( ) e racer, sans déerminer (), l allure de l enrée e l allure de la réonse sur le même grahique () 0 B ( ) 0 0,003 0 Donc ( ) c (1 0,05 ) insi () es la réonse à un échelon d un sysème quelconque (qui n es ni un 1 er ou ni un ème ordre)!!!! Nous ne savons donc as déduire sans calcul l allure de sa réonse Mais avec du recul, ( ) eu s écrire 0,003 0 ( ) c (1 0,05 ) insi () es la réonse à une rame d un sysème du 1 er ordre!!!! Nous savons donc déduire sans calcul l allure de sa réonse Sorie ou réonse () Enrée ()= 0 0 0,05 symoe de ene 0 c 0,003 Quesion 11 : Es-ce saisfaisan? Ce n es as saisfaisan, l angle de correcion ne end as vers une valeur consane alors que l enrée es consane : le sysème diverge!!!

10 TD 06 corrigé - Comoremen emorel des SCI du ème ordre Page 10/10 Éude du comoremen du sysème de correcion de orée asservi ( ) Quesion 1 : Déerminer la nouvelle foncion de ransfer ainsi que ses aramères caracérisiques B ( ) 0,003 ( ) (1 0,05 ) c 0,003 c 1 c B( ) 0,003 (1 0,05 ) 0, ,05 1 os os os 1 (1 0,05 ) 0,003 0,003 c donc G os os 0, ,35 os 0, ,3 z 0,35 os 0,003 os os os os Quesion 13 : Exliquer en deux lignes ourquoi le roblème a éé remédié a foncion de ransfer en boucle fermée ne ossède lus d inégraeur 1 en faceur 0 Par conséquen ( ) es de la forme ( ) z insi () es la réonse à un échelon d un sysème du ème ordre a sorie ne divergera donc lus, elle endra vers une consane Quesion 14 : arir de la courbe ci-conre, déerminer la valeur le lus raide En déduire le ems de réonse à 5 % dans ce cas os ermean d obenir le sysème Dans un sysème du second ordre, un réglage, classiquemen admis, du faceur d amorissemen vis à vis des crières : déassemen (as ro grand) e ems de réonse à 5 % (faible) es obenu lorsque z 0,69 Comme ici 58,3 z os (cf quesion 1) on a donc os 7000 V / rad On a alors r5% 0,86 donc r5%,86 5% 0,35 os r 0,099 s