Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

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1 Mathématiques Méthodes et eercices ECS e aée Cécile Lardo Professeur e classe préparatoire au lycée du Parc à Lyo Jea-Marie Moier Professeur e classe préparatoire au lycée La Martiière-Moplaisir à Lyo

2 Duod, Paris, ISBN

3 Table des matières Duod Toute reproductio o autorisée est u délit Remerciemets VI Réductio des edomorphismes et des matrices carrées Les méthodes à reteir Éocés des eercices 4 Du mal à démarrer? Corrigés des eercices 5 Algèbre biliéaire 38 Les méthodes à reteir 39 Éocés des eercices 4 Du mal à démarrer? 47 Corrigés des eercices 5 3 Itégrales sur u itervalle quelcoque 66 Les méthodes à reteir 66 Éocés des eercices 7 Du mal à démarrer? 79 Corrigés des eercices 84 4 Foctios umériques de plusieurs variables réelles 6 Les méthodes à reteir 7 Éocés des eercices Du mal à démarrer? 6 Corrigés des eercices 9 5 Variables aléatoires discrètes, vecteurs aléatoires discrets 5 Les méthodes à reteir 5 Éocés des eercices 54 Du mal à démarrer? 6 Corrigés des eercices 63 6 Variables aléatoires à desité 8 Les méthodes à reteir 8 Éocés des eercices 83 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices 93 7 Covergeces et approimatios 7 Les méthodes à reteir 7 Éocés des eercices 8 Du mal à démarrer? 4 Corrigés des eercices 7 8 Estimatio, statistique 43 Les méthodes à reteir 44 Éocés des eercices 45 Du mal à démarrer? 54 Corrigés des eercices 57 9 Algorithmique 76 Les méthodes à reteir 76 Éocés des eercices 8 Du mal à démarrer? 9 Corrigés des eercices 93 Problèmes de révisio 3 Éocés des eercices 33 Du mal à démarrer? 33 Corrigés des eercices 338 Ide 378 III

4 Pour bie utiliser cet ouvrage La page d etrée de chapitre Elle propose u pla du chapitre, les thèmes abordés das les eercices, aisi qu u rappel des poits essetiels du cours pour la résolutio des eercices Les méthodes à reteir Cette rubrique costitue ue sythèse des pricipales méthodes à coaître, détaillées étape par étape, et idique les eercices auquels elles se rapportet IV

5 Pour bie utiliser cet ouvrage Éocés des eercices De ombreu eercices de difficulté croissate sot proposés pour s etraîer La difficulté de chaque eercice est idiquée sur ue échelle deà4 Du mal à démarrer? Des coseils méthodologiques sot proposés pour bie aborder la résolutio des eercices Duod Toute reproductio o autorisée est u délit Corrigés des eercices Tous les eercices sot corrigés de faço détaillée V

6 Remerciemets Nous teos ici à eprimer otre gratitude au ombreu collègues qui ot accepté de réviser des parties du mauscrit : Pascal Alessadri, Jea-Philippe Bere, Gérard Bourgi, Frédérique Christi, Jea-Paul Christi, Sophie Cohéléach, Carie Courat, Sylvai Delpech, Hermi Durad, Viviae Gaggioli, Marguerite Gauthier, Adré Laffot, Tewfik Lahcèe, Hadrie Larome, Ibrahim Rihaoui, Reé Roy, Marie-Domiique Siéfert, Marie-Pascale Tho, Audrey Verdier VI

7 Réductio des edomorphismes et des matrices carrées CHAPITRE Pla Les méthodes à reteir Éocés des eercices 4 Du mal à démarrer? Corrigés des eercices 5 Thèmes abordés das les eercices Détermiatio des valeurs propres et des sous-espaces propres d u edomorphisme ou d ue matrice carrée Étude de la diagoalisabilité d u edomorphisme ou d ue matrice carrée, obtetio d ue diagoalisatio Calcul des puissaces d ue matrice carrée Résolutio d équatios matricielles Duod Toute reproductio o autorisée est u délit K désige R ou C Par commodité, o utilise les abréviatios suivates : ev pour : espace vectoriel sev pour : sous-espace vectoriel vp pour : valeur propre SEP pour : sous-espace propre Poits essetiels du cours pour la résolutio des eercices Défiitio de : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre Matrices de passage, formules de chagemet de base, matrices carrées semblables Défiitio de la diagoalisabilité, d ue diagoalisatio CNS de diagoalisabilité faisat iterveir la somme des sous-espaces propres CNS de diagoalisabilité faisat iterveir la somme des dimesios des sousespaces propres Coditio suffisate de diagoalisabilité : valeurs propres deu à deu distictes e dimesio Polyômes d edomorphisme, polyômes de matrice carrée, polyômes aulateurs d u edomorphisme, polyômes aulateurs d ue matrice carrée Toute matrice symétrique réelle est diagoalisable

8 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées Les méthodes à reteir Pour détermier les valeurs propres d u edomorphisme f d u espace vectoriel E ou d ue matrice carrée A de M (K) Essayer l ue des trois méthodes suivates : calculer, pour tout λ K, le rag de la matrice A λi e foctio de λ ; λ est valeur propre si et seulemet si rg (A λi ) < Eercices a), b), c), e), f), 4 b), 6 b)), a), a), 35 b) reveir à la défiitio, c est-à-dire résoudre l équatio f () λ, d icoue λ K, où E\{}, ou l équatio AX λx, d icoue λ K, où X M, (K) \{} Eercices 6 b), 34 faire iterveir la otio de polyôme aulateur, si f ou A satisfait ue équatio assez simple Eercices b), 5 a), 6 d), 8 a), 9, 3, 33 b) Se rappeler que les valeurs propres d ue matrice triagulaire se liset sur sa diagoale Eercices d), 8 c), 3 c), 5 a), a), 5 d)), 33 a) Appliquer la défiitio : Pour détermier le sous-espace propre associé à ue valeur propre λ d u edomorphisme f ou d ue matrice carrée A de M (K) SEP ( f,λ ) Ker ( f λ Id E ) { E ; f () λ }, SEP (A,λ ) { X M, (K); AX λ X }, c est-à-dire résoudre l équatio f () λ, d icoue E ou l équatio AX λ X, d icoue X M, (K) Eercices, 5 b), b), a), 5 d)), 33 a) Pour détermier les valeurs propres et les vecteurs propres d u edomorphisme f d u espace vectoriel E ou d ue matrice carrée A de M (K) Essayer de : détermier d abord les valeurs propres de f ou de A, par ue méthode vue plus haut, puis, pour chaque valeur propre, détermier le sous-espace propre associé par la méthode vue plus haut Eercice résoudre l équatio f () λ, d icoues λ K, E \{} ou l équatio AX λx, d icoues λ K, X M, (K) Eercices 3 b), 6 b)), 4 b), 7, 8 b) Pour étudier la diagoalisabilité d ue matrice carrée A de M (K)et évetuellemet pour diagoaliser A Détermier les valeurs propres de A : si A admet valeurs propres deu à deu distictes, alors, d après le cours, A est diagoalisable Eercices a), b), 6 c), 9, a), 7 d)

9 Les méthodes à reteir (suite) si A admet qu ue seule valeur propre α et si A α I, alors A est pas diagoalisable, comme o le motre e raisoat par l absurde Eercices d), 8 c), 9, 3 c) sio, détermier les sous-espaces propres de A puis les dimesios des sous-espaces propres de A ; d après le cours, A est diagoalisable si et seulemet si la somme des dimesios des sous-espaces propres de A est égale à Eercices c), e), c), 5 c), 8 c), b), 7, 5 d)), 6 c) si A est diagoalisable, e otat D la matrice diagoale formée (sur la diagoale) par les valeurs propres de A (présetes autat de fois que la dimesio du sous-espace propre associé), et e otat P la matrice de passage de la base caoique de M, (K) à ue base de vecteurs propres de A (associés au valeurs propres de A, das l ordre), o obtiet ue diagoalisatio A PDP de A Eercices a), b), c) se rappeler que toute matrice symétrique réelle est diagoalisable Eercices b), c), 3 a), 4 a), 7 b), e), 4 a), 8 a), 35 a) Duod Toute reproductio o autorisée est u délit Pour étudier la diagoalisabilité d u edomorphisme f d u espace vectoriel E de dimesio fiie Pour calculer les puissaces d ue matrice carrée Détermier les valeurs propres de f : si f admet valeurs propres deu à deu distictes, alors f est diagoalisable Eercice 6 sio, détermier les sous-espaces propres de f, puis évetuellemet les dimesios des sous-espaces propres de f f est diagoalisable si et seulemet si la somme des sous-espaces propres de f est égale à E Eercice 6 f est diagoalisable si et seulemet si la somme des dimesios des sous-espaces propres de f est égale à Eercices 6, 5 o peut essayer de se rameer à l étude de la diagoalisabilité d ue matrice carrée, e cosidérat la matrice de f das ue certaie base de E Eercices 7, 8,, 9 Essayer d utiliser, si possible, ue diagoalisatio A PDP de A, où D est diagoale et P est iversible O a alors : N, A PD P De plus, A estiversiblesietseulemetsid est iversible, et, das ce cas, o a alors : Z, A PD P Eercice 3 c) 3

10 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées Éocés des eercices Eemples d étude de diagoalisabilité et de diagoalisatio évetuelle de matrices carrées d ordre 3 Pour chacue des matrices suivates, est-elle diagoalisable et, si oui, la diagoaliser : a) A d) E b) B 3 e) F c) C 4 3 f) G Eemple de diagoalisatio d ue matrice carrée d ordre 4, d après HEC 9 O cosidère la matrice A de M 4 (R) et o ote f l edomorphisme de R 4 représeté par A das la base caoique B (e, e, e 3, e 4 )der 4 a) O ote v (,,, ), v (,,, ), v 3 (,,, ) Calculer f (v i ) pour tout i ; 3 b) Calculer A Qu e déduit-o pour les valeurs propres de A? c) Motrer que A est diagoalisable das M 4 (R) et détermier ue matrice de passage P de la base B à ue base de vecteurs propres pour f 3 Eemple de détermiatio des valeurs propres et des sous-espaces propres d ue matrice carrée d ordre 5, d après HEC 6 O cosidère la matrice A M 5 (R) a) Est-ce que A est diagoalisable? b) Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de A 4 Eemple de calcul des puissaces d ue matrice carrée d ordre 3 à l aide d ue diagoalisatio O ote A M 3(R) / a) Motrer que A est diagoalisable et que A est iversible b) Diagoaliser A c) E déduire l epressio de A pour tout Z 4

11 Éocés des eercices 5 Eemple d étude de diagoalisabilité pour u edomorphisme de M (R) ( ) ab O ote E M (R)et: f : E E, ( ) a + db+ c cd b + ca+ d a) Vérifier : f L (E) etf f b) Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f c) Est-ce que f est diagoalisable? 6 Élémets propres d u edomorphisme d u ev de polyômes O cosidère l applicatio f défiie das C [X] par : P C [X], f (P) (X + )P (X )P a) Motrer que f est u edomorphisme de C [X] b) Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f, de deu faços différetes, e utilisat : ) la défiitio des élémets propres de f ) la matrice de f das la base (, X, X )dec [X] c) L edomorphisme f est-il diagoalisable? 7 Eemple de détermiatio des élémets propres d u edomorphisme de M (R) ( ) ( ) ab d b O cosidère l applicatio f : M (R) M (R), cd c a a) Vérifier que f est u edomorphisme de l espace vectoriel M (R) et écrire la matrice de f das la base caoique de M (R) b) Motrer que f est diagoalisable 8 Étude de diagoalisabilité pour u edomorphisme d u ev de polyômes Soit (a, b) R O ote a) Vérifier : f L ( R [X] ) f : R [X] R [X], P P(X + a) + P(X + b) (a + b)p (X) Duod Toute reproductio o autorisée est u délit b) Former la matrice de f das la base caoique B (, X, X )der [X] c) Détermier ue CNS sur (a, b) pour que f soit diagoalisable 9 Étude de diagoalisabilité pour ue matrice carrée d ordre à paramètres, d après EDHEC 8 ( ) Détermier ue coditio écessaire et suffisate sur (,y) R pour que la matrice A y soit diagoalisable das M (R) Eemple d étude de diagoalisabilité d ue matrice carrée d ordre 3 à paramètre, d après EDHEC 8 3 a 5 + a a O ote, pour tout a R, M(a) a a a M 3(R) 5 5 5

12 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées a) Détermier les valeurs propres de M(a), pour tout a R b) Trouver l esemble des a R tels que M(a) soit diagoalisable Étude de diagoalisabilité pour ue matrice carrée d ordre 3 à paramètre a) O ote J Motrer que J est diagoalisable das M 3(C) a c b b) O ote, pour tout (a, b, c) C 3, M(a, b, c) ba+ cb+ c c b a+ c Motrer que, pour tout (a, b, c) C 3, M(a, b, c) est diagoalisable das M 3 (C) Eemple d étude de diagoalisabilité pour u edomorphisme de M (R) ( ) O ote A M (R) etf : M (R) M (R), M AM a) Vérifier : f L ( M (R) ) b) Détermier Ker ( f ) et e doer ue base et la dimesio c) Détermier Im ( f ) et e doer ue base et la dimesio d) Écrire la matrice de f das la base caoique B (E, E, E 3, E 4 )dem (R), où : ( ) ( ) ( ) ( ) E, E, E 3, E 4 e) Est-ce que f est diagoalisable? 3 Eemple d edomorphisme d u espace de foctios, d après HEC O ote, pour tout k ; 3 : f k : R R, k e et o ote B ( f, f, f, f 3 ), E Vect (B) a) Motrer que B est ue base de E et détermier dim (E) b) Motrer que l applicatio φ : f f f est u edomorphisme du R-espace vectoriel E O ote M la matrice de f das B c) La matrice M est-elle iversible? diagoalisable? 4 Eemple de détermiatio des valeurs propres d ue matrice carrée d ordre si i + j est pair Soiet p N, p +, A (a ij ) ij M (R), où : a ij sio a) Est-ce que A est diagoalisable? b) Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de A 5 Eemple d étude de diagoalisabilité pour ue matrice carrée d ordre si (i ou j ) Soiet N \{, }, A (a ij ) ij M (R)où: a ij sio 6

13 Éocés des eercices a) Détermier les valeurs propres de A b) Calculer A Est-ce que A A? c) Motrer que A est pas diagoalisable 6 Edomorphismes f tels que ( f ae) ( f be), d après EDHEC 6 Soiet E u K-ev de dimesio fiie, dim (E) N, e Id E, (a, b) K tel que a b, f L (E) tel que ( f ae) ( f be) a) Motrer : Im ( f be) Ker ( f ae) et Im(f ae) Ker ( f be) b) Établir : a b ( f be) + ( f ae) e b a c) Démotrer que les sev Ker ( f ae) etker(f be) dee sot supplémetaires das E d) Coclure que f est diagoalisable 7 Matrices A M (R) telles que A I, d après EDHEC 6 Soit N Le but de l eercice est d étudier l eistece de matrices A M (R) telles que A I a) O suppose ici pair ( ) E utilisat la matrice, motrer qu il eiste A M (R) telle que A I b) O suppose ici impair, et o suppose qu il eiste A M (R) telle que A I ) E utilisat l eercice 6, motrer que A est diagoalisable das M (C) et que ses valeurs propres sot i et i O ote E i et E i les sous-espaces propres de A respectivemet associés à i et i Pour toute matrice carrée M (m ij ) ij M (C), o ote M (m ij ) ij M (C), et, pour toute matrice coloe X ( i ) i M, (C), o ote X ( i ) i M, (C) ) Motrer, pour toute X M, (C): X E i X E i 3) E déduire que, si (u,, u d ) est ue base de E i,alors(u,, u d ) est ue base de E i et coclure : dim (E i ) dim (E i ) 4) Ameer ue cotradictio et coclure Duod Toute reproductio o autorisée est u délit 8 Étude d u edomorphisme ilpotet Soiet E u K-ev de dimesio fiie et f L (E) ilpotet (c est-à-dire qu il eiste p N tel que f p ) a) Motrer que est ue valeur propre de f, et que c est la seule b) L edomorphisme f est-il diagoalisable? 9 Polyômes d edomorphismes, d après HEC Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie, e Id E, f L (E) tel que : ( f e) 3 ( f e) et (f e) 3 ( f e) Étudier la diagoalisabilité de f Eemple de recherche des sev stables par u edomorphisme, d après HEC 9 Soiet E u K-espace vectoriel de dimesio 3, B (e, e, e 3 ) ue base de E 7

14 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées O cosidère la matrice A de M 3(K) et o ote f l edomorphisme représeté par A das la base B de E O se propose de trouver tous les sev F de E stables par f, c est-à-dire les sev F de E tels que f (F) F a) Détermier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f b) Soit F u sev de E stable par f ) Motrer que, si dim (F), alors F Vect (e ) ) Motrer que, si dim (F), alors F Vect (e, e ) c) Coclure Noyau et image de f lorsque f est diagoalisable Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie, f L (E) diagoalisable Motrer : Ker ( f ) Ker ( f ) et Im(f ) Im ( f ) Racies carrées d ue matrice carrée de M (C) ayat valeurs propres Soiet N, A M (C) admettat valeurs propres deu à deu distictes, otées λ,, λ O ote D diag(λ i )etp GL (C) telle que A PDP i O se propose de résoudre l équatio M A, d icoue M M (C) a) Soit M M (C) O ote N P MP Motrer : M A N D b) Motrer que, pour toute N M (C), si N D, alors N commute avec D c) Détermier toutes les matrices de M (C) qui commutet avec D d) E déduire l esemble { M M (C); M A } Cet esemble est-il fii? Si oui, combie a-t-il d élémets? 3 Lie etre les diagoalisabilités de AB et de BA Soiet N, A, B M (R) telles que AB soit diagoalisable a) Motrer que, si A ou B est iversible, alors BA est diagoalisable b) Le résultat précédet est-il valable sas l hypothèse d iversibilité? (O pourra se limiter au cas ) 4 f g et g f ot les mêmes valeurs propres Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie, f,g L (E) Motrer que f g et g f ot les mêmes valeurs propres 5 Eemple d edomorphisme d u espace de polyômes, d après HEC O ote f : R[X] R[X], P 3XP + (X X)P (X 3 X )P a) Motrer que f est u edomorphisme du R-espace vectoriel R[X] b) Calculer f (X ) pour tout N c) L applicatio f est-elle ijective? surjective? 8

15 Éocés des eercices d) ) Motrer qu il eiste N uique tel que R [X] soit stable par f et détermier cet etier ) O ote g l edomorphisme de R [X] (où a la valeur obteue ci-dessus) iduit par f Est-ce que g est diagoalisable? 6 Eemple d étude de diagoalisabilité pour ue matrice carrée d ordre Soit N tel que 3 O ote A () M (R) a) Quel est le rag de A? E déduire que est valeur propre de A et détermier la dimesio du sous-espace propre associé b) Détermier les valeurs propres de A c) Motrer que A est diagoalisable 7 Étude de diagoalisabilité pour ue matrice carrée d ordre Soiet N, a,, a R tels que < a < < a O ote : a a 3 a a a 3 a a) Soit λ R, X a a A M (R) a a a a M,(R) \{}, S a i i Motrer : i AX λx ( S (λ + a ),, S (λ + a ) ) Duod Toute reproductio o autorisée est u délit b) E déduire que, pour tout λ R, λ est valeur propre de A si et seulemet si : ( k ;, λ+ ak ) a k et λ + a k c) Dresser le tableau des variatios de la foctio f : λ + d) Coclure quat à la diagoalisabilité de A das M (R) k k a k λ + a k 8 Étude des valeurs propres d ue matrice carrée d ordre tridiagoale, par utilisatio d ue suite récurrete liéaire () Soiet N, A M (R) () 9

16 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées a) Motrer que A est diagoalisable das M (R) b) Soiet λ R ue valeur propre de A, X M,(R) \{} tel que AX λx O ote de plus et + ) Motrer : i ;, i+ λ i+ + i ) Établir que l équatio r λr +, d icoue r C, admet deu solutios distictes, otées r, r 3) E déduire : λ [ ; ] 9 Somme de projecteurs Soiet E u K-ev de dimesio fiie otée, e Id E, k N, (u,, u k ) ( L (E) )k tel que : k u i e et (i, j) ; k (, i j ui u j ) i a) Motrer : i ; k, u i u i b) Établir que les sev Im (u i ), i ; k, sot e somme directe et que E c) Démotrer que tout élémet de Vect (u,, u k ) est diagoalisable k Im (u i ) 3 Trois edomorphismes vérifiat des égalités Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie, e Id E, f, g,h L (E) tels que : i f g h, g h f, h f g a) Motrer : f g h puis f 5 f O suppose doréavat que f est bijectif et diagoalisable b) Établir : f e c) Motrer que f, g,h commutet deu à deu 3 CNS pour que α soit valeur propre de f Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie, α R, f L (E) Motrer : α est valeur propre de f si et seulemet si α ou α est valeur propre de f 3 Eemple des puissaces d ue matrice carrée o diagoalisable Soiet N, A M (R) telle que : A(A I ), (A I ), A(A I ) a) Motrer que les valeurs propres de A sot et b) Établir que A est pas diagoalisable c) Eprimer, pour tout k N, A k comme combiaiso liéaire de A et A d) Doer u eemple de telle matrice A pour 3

17 Éocés des eercices 33 Étude de projecteur, d après HEC a) La matrice A est-elle diagoalisable das M 3(R)? b) Soiet E u R-ev de dimesio 3 et f L (E) tel que f soit u projecteur et que rg ( f ) ) Motrer que l esemble des valeurs propres de f est {} ou {, } ou {, } ) O suppose, de plus, que f admet pour valeur propre et que f est pas u projecteur Motrer qu il eiste ue base B de E das laquelle f est représeté par A 34 Disques de Gershgori Soiet N, A (a ij ) ij M (C) Motrer que, pour toute valeur propre λ de A das C, il eiste i ; tel que : λ a ii a ij j, j i 35 Comportemet asymptotique des valeurs propres d ue matrice carrée d ordre O ote, pour tout N tel que 4: A M (R) () a) Motrer que A est diagoalisable das M (R) b) Motrer que est valeur propre de A et détermier la dimesio du sous-espace propre associé c) Établir que A admet eactemet quatre valeurs propres, qui sot et trois autres réelles deu à deu distictes, otées a, b, c, qui sot les racies du polyôme P X 3 X ( )X + ( ), et que : a < < b < < c d) Démotrer successivemet : c >, c, c, b, a Duod Toute reproductio o autorisée est u délit 36 Égalités de polyômes de matrices carrées Soiet P K[X], A, B M (K) diagoalisables O suppose que l applicatio polyomiale P : K K, P() est ijective et que P(A) P(B) Motrer : A B

18 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées Du mal à démarrer? a) Pour détermier les vp de A, étudier le rag de la matrice A λi 3 selo les valeurs du réel λ Détermier les SEP e utilisat la défiitio b) Remarquer que B est symétrique réelle Pour détermier les vp de B, étudier le rag de la matrice B λi 3 selo les valeurs du réel λ Détermier les SEP e utilisat la défiitio c) Pour détermier les vp de C, étudier le rag de la matrice C λi 3 selo les valeurs du réel λ Détermier les SEP e utilisat la défiitio d) Pour les vp, remarquer que E est triagulaire Motrer que E est pas diagoalisable e raisoat par l absurde e) Pour détermier les vp de F, étudier le rag de la matrice F λi 3 selo les valeurs du réel λ Détermier les SEP e utilisat la défiitio f) Pour détermier les vp de G, étudier le rag de la matrice G λi 3 selo les valeurs du réel λ À cet effet, étudier les variatios de la foctio λ λ 3 + λ 4 Motrer que G est pas diagoalisable e raisoat par l absurde a), b) Immédiats c) Remarquer que A est symétrique réelle Détermier SEP (f, ) et, d autre part, utiliser a) pour déduire Vect (v,v,v 3 ) SEP (f, ) 3 a) Remarquer que A est symétrique b) Résoudre l équatio AX λx, d icoues λ R, X 5 M 5, (R) \{}, e eprimat, par eemple,, 3, 4, 5 e foctio de 4 a) Remarquer que A est symétrique réelle Calculer le rag de A, par eemple b) Pour détermier les vp de A, étudier le rag de la matrice A λi 3 selo les valeurs du réel λ Détermier les SEP de A par la défiitio c) Utiliser la diagoalisatio A PDP obteue e b) pour calculer (PDP ) PD P 5 a) Immédiat b) Pour détermier les vp, utiliser a) Détermier les SEP e utilisat la défiitio c) Calculer la somme des dimesios des SEP 6 a) Immédiat b) ) Résoudre l équatio f(p) λp, d icoues λ C, P C [X] \{}, e otat P ax + bx+c, (a, b, c) C b) ) Calculer f(), f(x), f(x ), e déduire la matrice de f das la base caoique (, X, X )dec [X] et détermier les vp et les SEP de cette matrice carrée d ordre 3 par la méthode habituelle c) L edomorphisme f de C [X] admet trois vp deu à deu distictes 7 a) La liéarité de f est immédiate Calculer les images par f des vecteurs de la base caoique B (E,E,E 3,E 4 )dem (R) b) Remarquer que la matrice de f das B estsymétrique réelle 8 a) Immédiat b) Calculer f(), f(x), f(x ) c) Le cas a + b est d étude immédiate Si a + b, raisoer par l absurde pour motrer qu alors f est pas diagoalisable 9 Étudier les valeurs propres de A et séparer e cas selo le sige de y a) Calculer, pour λ R, le rag de M(a) λi 3 selo les valeurs de λ b) Détermier les SEP de M(a) e utilisat la défiitio Étudier la somme des dimesios des SEP de M(a) a) Détermier les vp de J par la méthode habituelle Motrer que le polyôme X 3 X dec[x] admet trois zéros deu à deu disticts b) Remarquer que M(a, b, c) se décompose liéairemet sur I 3,J,J a) Immédiat ( ) y b) Résoudre f(m), d icoue M M z t (R) ( ) y c) Calculer f(m) pour toute M M z t (R) d) Calculer f(e ),, f(e 4 ) e foctio de E,, E 4 e) Remarquer que la matrice obteue e d) est symétrique réelle 3 a) Motrer que B est libre e reveat à la défiitio et e faisat iterveir u polyôme b) Calculer φ(f i ) pour tout i ; 3 c) Motrer que M admet ue valeur propre et ue seule, puis raisoer par l absurde

19 Du mal à démarrer? Duod Toute reproductio o autorisée est u délit 4 a) Remarquer que A est symétrique réelle b) Résoudre l équatio AX λx, d icoues λ R, X p+ M p+, (R) \{} 5 a) Remarquer que A est triagulaire b) Immédiat c) Pour motrer que A est pas diagoalisable, raisoer par l absurde et remarquer que, si D est ue matrice diagoale semblable à A, alors D D 6 a) Passer par les élémets b) Immédiat c) Motrer que Ker (f ae) Ker (f be) {} e passat par les élémets Motrer E Ker (f)+im(f) e passat par les élémets et e utilisat a) d) Motrer que les vp de f sot parmi a et b et utiliser c) 7 a)cosidérer la matrice, diagoale par blocs, formée par la répétitio de la matrice d ordre proposée b) ) Appliquer l eercice 6, versio matricielle, au couple (a, b) (i, i) Ne pas oublier de motrer que i et i sot vp de A, e raisoat par l absurde b) ) Partir de AX i X et cojuguer b) 3) Motrer que u,, u d sot das E iù et que la famille (u,, u d ) est libre et géératrice de E i b) 4) Déduire dim(e i ), puis ue cotradictio 8 a) Remarquer que le polyôme X p est aulateur de f Motrer que f est pas bijectif b) Motrer que, si f est diagoalisable, alors f Réciproque immédiate 9 Remarquer que le polyôme (X ) 3 (X ) est aulateur de f et raisoer par l absurde pour motrer que f est pas diagoalisable a) Immédiat b) ) Immédiat b) ) Supposer qu il eiste v F tel que v Vect (e,e ), oter v a e + a e + a 3 e 3 où (a,a,a 3 ) R 3 et a 3, et cosidérer f(v) etf (v) c) Immédiat Faire iterveir ue base B (e,, e )dee das laquelle f est représeté par ue matrice diagoale Eprimer Ker (f) etim(f) à l aide de e,, e Utiliser : λ λ a) Remplacer M par PNP b) Immédiat c) Noter N ( ij ) ij et traduire ND DN d) Utiliser a), b), c) Pour détermier le ombre d élémets de l esemble étudié, distiguer e deu cas selo que est valeur propre de A ou o 3 a) Supposer A iversible et diagoaliser ABsous la forme AB PDP Étudier le cas où B est iversible b) Trouver u cotreemple, par eemple das lequel AB et BA 4 Soit λ ue valeur propre de f g, E \{} tel que (f g)() λ Calculer(g f) ( g() ) et séparer e deu cas : g(), g() Appliquer le résultat de ) à(g, f) àlaplacede(f, g) 5 a) b) Immédiats c) Cosidérer f(x )etf(x 3 ) Remarquer : f(p)() d) ) Utiliser b) d) ) Écrire la matrice de g das la base caoique de R 3 [X], e déduire les valeurs propres de g, puis détermier les sousespaces propres de g 6 a) Remarquer que, e otat C,, C les coloes de A, o a C C et C C Appliquer le théorème du rag b) Détermier les vp de A par l étude de l équatio A X λx, d icoue λ R et où X M, (R) \{} c) Étudier les dimesios des SEP de A 7 a) Immédiat b) Supposer, par eemple, λ + a, et déduire X, cotradictio Déduire S c) Calculer f (λ) pour λ R \{a,, a d } et détermier les limites de f d) Déduire de c) que A admet vp deu à deu distictes 8 a) Remarquer que A est symétrique réelle b) ) Poser le système d équatios correspodat à AX λx b) ) Raisoer par l absurde : supposer que l équatio r λr +, d icoue r C, admet ue solutio double, et ameer ue cotradictio b) 3) Remarquer : r + r λ, r r 3

20 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées 9 a) Pour i ; k, calculeru i par u i e u i b) Soit (,, k ) Im (u ) Im (u k ) tel que k i Itroduire t i E tel que i u i (t i ), déduire i u i ( i ), puis, pour ( k ) j ; k, calculer u j i i Motrer que, pour tout E, se décompose sur les Im (u i ), i k, e partat de e() c) Utiliser ue base de E formée par la réuio de bases des Im (u i ) 3 a) Calculer f e remplaçat (ue fois) f par g h et e utilisat les hypothèses Calculer f 5 par f f f (par eemple) b) Remarquer f (f 4 e) et utiliser la bijectivité de f Motrer que f +e est bijectif, par eemple e passat à l aspect matriciel das ue base de diagoalisabilité de f c) Calculer g f, e utilisat les hypothèses et g e (par eemple) 3 ) Supposer que α est valeur propre de f Faire iterveir u vecteur propre de f associé à α, etcalculerf () De même si α est valeur propre de f ) Pour la réciproque, raisoer par cotrapositio Supposer que α est pas valeur propre de f et que α est pas valeur propre de f Traduire ceci par des bijectivités 3 a) ) Remarquer que le polyôme X(X ) est aulateur de A ) Supposer que est pas valeur propre de A et, e utilisat A, déduire ue cotradictio Supposer que est pas valeur propre de A et, e utilisat (A I ), déduire ue cotradictio b) Raisoer par l absurde : supposer A diagoalisable Écrire alors A PDP avec D diag (,,,,, ) et P iversible Calculer D puis A et coclure c) Obteir A 3 A A Motrer, par récurrece, que, pour tout k N, il eiste (a k,b k ) R tel que : A k a k A + b k A, et obteir des relatios eprimat a k+ et b k+ e foctio de a k et b k Eprimer a k+ e foctio de a k et a k+ Résoudre cette récurrece liéaire du secod ordre à coefficiets costats i d) Evisager, par eemple, ue matrice triagulaire dot les termes diagoau sot,, 33 a) Détermier les vp et les SEP de A b) ) Remarquer que le polyôme X 4 X est aulateur de f Motrer que est valeur propre de f, e raisoat par l absurde Motrer que,, e peuvet pas être tous trois valeurs propres de f, e raisoat par l absurde b) ) Motrer que f est pas diagoalisable, e raisoat par l absurde Établir : Ker (f) Ker (f ) Utiliser u vecteur v 3 tel que v 3 Ker (f )etv 3 Ker (f) 34 Soit λ ue vp de A das C Itroduire X M, (C) \{} tel que AX λx, et pas- ser au élémets Cosidérer u idice i ; tel que i Ma k Faire passer a ii i das l autre membre et utiliser k l iégalité triagulaire 35 a) Remarquer que A est symétrique réelle b) Motrer rg (A ) 3 et déduire dim ( SEP (A, ) ) 3 c) Étudier, pour λ R, le rag de A λ I et séparer e cas : λ, λ, λ et λ Motrer que P admet trois zéros réels, deu à deu disticts d) Calculer P () Motrer c 3 Motrer c 3 ( )c Motrer b b3 b Remarquer a b c ( ) 36 Itroduire D diag(d i ),E diag(e i ),Q,R GL (K) telles i i que : A QDQ et B RER Déduire : (R Q)P(D) P(E)(R Q) Noter U R Q et passer au élémets 4

21 Corrigés des eercices a) Détermios les valeurs propres de ASoitλ ROa: 4 λ 6 3 rg (A λi 3 ) rg 3 λ λ 3 λ rg 4 λ 6 3 L L λ 3 λ rg 6 (4 + λ)(3 λ) 3 + (4 + λ) 4 + 4(3 λ) λ L L (4 + λ)l L 3 L 3 + 4L 3 λ rg 8 4λ λ L L λ + λ + λ 3 λ rg λ 8 4λ C C 3 + λ 6 + λ + λ 3 λ rg λ 8 4λ L 3 L 3 + L λ 3λ + 3 si λ etλ etλ sio Ceci motre que les valeurs propres de A sot :,, Comme A est carrée d ordre 3 et que A admet trois valeurs propres deu à deu distictes, d après le cours, A est diagoalisable Détermios les sous-espaces propres de A Soit X y M 3,(R) z X SEP (A, ) AX X 4 + 6y 3z 3 + 6y 3z + 3y z y + 4y z 4 4y + 3z z 4 4y + 4z ( + z) + y + z ( + z) + 4y y ( + z) y Aisi : SEP (A, ) { ; R} Vect ( ) X SEP (A, ) AX X 4 + 6y 3z 5 + 6y 3z + 3y z y + y z 4 4y + 3z z 4 4y + z y z z y 5(y z) + 6y 3z 4(y z) 4y + z Aisi : SEP (A, ) { y ; y R} Vect ( ) y X SEP (A, ) AX X 4 + 6y 3z 6 + 6y 3z + 3y z y + y z 4 4y + 3z z 4 4y + z ( y) z y ( y) z z 4( y) + z Aisi : SEP (A, ) { ; R} Vect ( ) O coclut A PDP, où, par eemple : P, D b) La matrice B est symétrique réelle, doc, d après le cours, B est diagoalisable Détermios les valeurs propres de B Soit λ ROa: λ rg (B λi 3 ) rg λ λ λ L L 3 rg λ λ 5

22 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées λ rg λ λ + λ λ L3 L 3 + λl λ rg λ α L3 L 3 + L où α + λ λ ( + λ)( λ) 3 si λ et λ etλ sio Ceci motre que les valeurs propres de B sot :,, Puisque B est carrée d ordre 3 et admet trois valeurs propres deu à deu distictes, d après le cours, B est diagoalisable, ce que l o a vu autremet plus haut Détermios les sous-espaces propres de B Soit X y M 3,(R) z X SEP (B, ) BX z + y + z doc : SEP (B, ) ; R Vect X SEP (B, ) BX X z z y + y + z z doc : SEP (B, ) ; R Vect z y, y z, X SEP (B, ) BX X z y z y z, + y + z z doc : SEP (B, ) ; R Vect O coclut B PDP, où, par eemple : P, D c) Détermios les valeurs propres de CSoitλ ROa: 3 λ 6 rg (C λi 3 ) rg λ 4 3 λ 4 3 λ L L 3 rg λ 3 λ λ rg λ ( λ) λ L3 4L 3 + (λ 3)L 4 3 λ rg ( λ) λ L L 3 λ 4 3 λ rg ( λ) λ ( λ)( + λ) L3 L 3 L 3 si λ etλ si λ si λ Ceci motre que les valeurs propres de C sot : et Détermios les sous-espaces propres de C Soit X y M 3,(R) z X SEP (C, ) CX X 3 6y z y y y z 4 y 3z z doc : SEP (C, ) ; R Vect X SEP (C, ) CX X 3 6y z y y 3y + z, 4 y 3z z 3y + z doc : SEP (C, ) y (y, z) R z 3 3 y + z ;(y, z) R Vect, La matrice C est carrée d ordre 3 et la somme des dimesios des sous-espaces propres de C est égale à + 3, doc, d après le cours, C est diagoalisable 6

23 Duod Toute reproductio o autorisée est u délit O coclut C PDP, où, par eemple : 3 P, D d) La matrice E est triagulaire (supérieure) doc les valeurs propres de E se liset sur sa diagoale : E admet ue valeur propre et ue seule, qui est Si E était diagoalisable, il eisterait P M 3 (R) iversible telle que E PI 3 P PP I 3, cotradictio O coclut que E est pas diagoalisable e) Détermios les valeurs propres de F Soitλ ROa: 3 λ rg (F λi 3 ) rg λ 3 λ 3 λ L rg λ L 3 3 λ 3 λ rg λ λλ 6λ + L3 L 3 + (3 λ)l 3 λ rg λ α L3 L 3 L où α λ 6λ + 8 (λ )(λ 4) 3 si λ et λ 4 si λ ou λ 4 Ceci motre que les valeurs propres de F sot : et 4 Détermios les sous-espaces propres de F Soit X y M 3,(R) z X SEP (F, ) FX X 3 y + z y + z y + y + 3z z doc : SEP (F, ) ; R Vect z y, X SEP (F, 4) FX 4X 3 y + z 4 y + z 4y y z, + y + 3z 4z Corrigés des eercices doc : SEP (F, 4) y ; y R y Vect Puisque F est carrée d ordre 3 et que la somme des dimesios des sous-espaces propres de F est +, o coclut que F est pas diagoalisable f) Détermios les valeurs propres de G Soitλ ROa: λ rg (G λi 3 ) rg λ λ λ L L 3 rg λ λ λ rg λ ( + λ) λ L3 L 3 + ( + λ)l λ rg λ C C 3 λ λ λ rg λ α L3 L 3 ( λ )L où α λ ( λ )( λ) λ 3 + λ 4 3 si α si α Les valeurs propres de G sot doc les λ tels que α Étudios les variatios de l applicatio P : R R, λ λ 3 + λ 4 L applicatio P est dérivable (doc cotiue) sur R et : λ R, P (λ) 3λ + λ λ( 3λ + ) O forme le tableau des variatios de P : λ /3 P (λ) + < P(λ) 4 O a : P ( ) < Ceci motre que P e s aule e aucu poit de [ ; [ D après le théorème de la bijectio mootoe, P admet u zéro et u seul, oté μ et o a : μ< Aisi, G admet ue valeur propre et ue seule, et c est μ Si G était diagoalisable, il eisterait P M 3 (R) iversible telle que G P(μI 3 )P μi 3, cotradictio O coclut que G est pas diagoalisable 7

24 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées a) O a :,,, d où : i ; 3, f (v i ) v i b) O calcule le produit de A par elle-même et o obtiet : A 4I 4 Aisi, le polyôme X 4 est aulateur de A D aprèsle cours, les valeurs propres de A sot parmi les zéros de ce polyôme, doc les valeurs propres de A sot parmi et Comme f est représeté par A, o coclut que les valeurs propres de f sot parmi et c) La matrice A est symétrique réelle, doc, d après le cours, A est diagoalisable das M 4 (R) y O a, pour tout V M z 4, (R) : t + y + z + t + y z t y AV V y + z t z y z + t t 3 + y + z + t 4 + 4y + 3y z t y + z + t y + 3z t y + z + t y z + 3t 4z 4t y z t, doc : SEP ( f, ) Vect ( (,,, ) ) D après a), est valeur propre de f et v,v,v 3 sot des vecteurs propres pour f associés à la valeur propre, doc : Vect (v,v,v 3 ) SEP ( f, ) Motros que (v,v,v 3 ) est libre O a, pour tout (a, a, a 3 ) R 3 : a v + a v + a 3 v 3 a + a + a 3 a a a + a 3 a a a a 3, doc (v,v,v 3 ) est libre Il e résulte : dim SEP( f, ) 3 Si dim ( SEP ( f, ) ) 4, alors SEP ( f, ) R 4, et e serait pas valeur propre de f, cotradictio O a doc dim ( SEP ( f, ) ) 3, et o obtiet : SEP ( f, ) Vect (v,v,v 3 ) O coclut qu ue matrice de passage P de la base caoique B de R 4 à ue base de vecteurs propres pour f est : 3 P a) La matrice A est symétrique, doc, d après le cours, A est diagoalisable b) Soiet λ R, X M 5,(R) \{} O a : 5 λ λ 4 4 λ 5 λ λ + 3 λ 3 λ AX λx + 4 λ 3 4 λ 3 3 (λ ) (S) 4 (λ 3 λ) 5 λ λ 5 5 (λ 4 3λ + ) (λ 3 λ) (λ 5 3λ 3 + λ) Si, alors,, 3, 4, 5 sot tous uls, doc X, eclu O a doc Et : λ 3 λ λ 5 3λ 3 + λ λ 5 4λ 3 + 3λ λ(λ 4 4λ + 3) λ(λ )(λ 3) 8

25 Corrigés des eercices Duod Toute reproductio o autorisée est u délit Si λ, alors : λ(λ )(λ + )(λ 3)(λ + 3) (S) ( ), 3, 4, 5, doc est vp de A et SEP (A, ) Vect Si λ, alors : (S) ( ), 3, 4, 5, doc est vp de A et SEP (A, ) Vect Si λ, alors : (S) ( ), 3, 4, 5, doc est vp de A et SEP (A, ) Vect Si λ 3, alors : (S) ( 3, 3, 4 ) 3, 5, doc 3 est vp de A et SEP (A, 3 3) Vect 3 Si λ 3, alors : (S) ( 3, 3, 4 ) 3, 5, doc 3 est vp de A et SEP (A, 3 3) Vect 3 O coclut que les valeurs propres de A sot,,, 3, 3 et que les sous-espaces propres de A sot les droites vectorielles egedrées respectivemet par les ciq vecteurs : 3 3,,,, 3 3 Remarque : Puisque A est carrée d ordre 5 et que que A admet ciq valeurs propres deu à deu distictes, d après le cours, A est diagoalisable, ce que l o avait obteu e a) par ue autre méthode 4 a) La matrice carrée A est symétrique réelle, doc, d après le cours, A est diagoalisable O a, par L L 3 : / rg (A) rg rg 3, / doc A est iversible b) Détermios les valeurs propres de ASoitλ R O a : λ rg (A λi 3 ) rg λ / λ / λ rg λ λ L L 3 / λ rg λ λ + λ λ L3 L 3 + λl Si λ, alors, par L 3 ( λ)l 3 λl : où : / λ rg (A λ I 3 ) rg λ α α ( λ) ( + λ ) λ λ 3 λ 3 λ + λ 3 ( + λ) ( 5 ) ( ) λ + λ ( + λ)( λ) λ O coclut que les valeurs propres de A sot :,, Remarque : Puisque A est carrée d ordre 3 et que A admet trois valeurs propres deu à deu distictes, A est diagoalisable, résultat obteu e a) par ue autre méthode Détermios les sous-espaces propres de A Soit X y M 3,(R) O a : z 9

26 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées X SEP (A, ) AX X z y + z y + y + z z doc : SEP (A, ) Vect X SEP (A, ) AX X z y + z y + y + z z doc : SEP (A, ) Vect X SEP ( A, ) AX X z y + z y + y + z z z y, z y, z y z, doc : SEP ( A, ) Vect O e déduit ue diagoalisatio de A, A PDP, où, par eemple : P, D / O calcule P et o obtiet : P 9 c) Remarquos d abord que, pour tout Z, A et D eistet, car A et D sot iversibles O a, pour tout Z : A (PDP ) PD P et o obtiet e faisat le produit de ces trois matrices, la matrice A : 4( ) ( ) + + 4( ) ( ) + + ( ) ( ) + + 4( ) ( ) + + 4( ) a) ( O) a, pour( tout) α R et pour toutes matrices ab a M, M b cd c d M (R) : (( )) αa + a f (αm + M αb + b ) f αc + c αd + d ( ) (αa + a ) + (αd + d )(αb + b ) + (αc + c ) (αb + b ) + (αc + c )(αa + a ) + (αd + d ) α ( ) a + db+ c + ( ) a + d b + c b + ca+ d b + c a + d doc f est liéaire O a, pour toute M α f (M) + f (M ), ( ) ab M cd (R): f (M) f ( f (M) ) f ( ( ) a + db+ c ) b + ca+ d ( ) (a + d) + (a + d) (b + c) + (b + c) (b + c) + (b + c) (a + d) + (a + d) ( ) a + db+ c f (M), b + ca+ d doc : f f b) Puisque f f, le polyôme X X est aulateur de f D après le cours, les valeurs propres de f sot parmi les zéros de ce polyôme aulateur de f, doc les valeurs propres de f sot parmi et ( ) ab O a, pour toute M M cd (R): f (M) M ( ) ( ) a + db+ c b + ca+ d a + d d a b + c c b doc est valeur propre de f et : {( ) } a b SEP ( f, ) ;(a, b) R b a O a, pour toute M Vect (( ), ( ) ab M cd (R): ( )) f (M) M ( ) ( ) a + db+ c ab b + ca+ d cd a + d a d b + c b c d a c b

27 Corrigés des eercices Duod Toute reproductio o autorisée est u délit doc est valeur propre de f et : SEP ( f, ) { ( ) ab ;(a, b) R } Vect ( ( ), ba ( ) ) Fialemet, les valeurs propres de f sot et et les sousespaces propres associés ot été détermiés ci-dessus c) Chacu des deu sous-espaces propres de f est de dimesio, doc la somme des dimesios des sous-espaces propres de f est égale à 4, doc égale à la dim (E) D après le cours, o coclut que f est diagoalisable 6 a) O a, pour tout P ax + bx + c C (X] : f (P) (X + )(ax + b) (X )(ax + bx + c) (a b)x + (a + b c)x + (b + c) C [X] O a, pour tout α C et tous P, Q C [X] : f (αp + Q) (X + )(αp + Q) (X )(αp + Q) (X + )(αp + Q ) (X )(αp + Q) α ( (X + )P (X )P ) + ( (X + )Q (X )Q ) α f (P) + f (Q), doc f est liéaire O coclut que f est u edomorphisme du C-ev C [X] b) ) Soiet λ C, P ax + bx + c C [X] \{} O a, e réutilisat le calcul de f (p)effectué e a) : f (P) λp (a b)x + (a + b c)x + (b + c) λ(ax + bx + c) a b λa b ( λ)a a + b c λb a + ( λ)b c b + c λc b (λ )c λ c a b ou b ( λ)a a c a + ( λ) a + a λ ( λ) + 4 b ou c a a c b ( λ)a, car, das le secod système, si a, alors c, b, doc P, eclu Et : ( λ) + 4 (λ ) 4 ( λ i ou λ i ) ( λ + i ou λ i ) Doc : λ b a c f (P) λp λ + i λ i ou c a ou c a b ia b ia Aisi, les valeurs propres de f sot, + i, i, et les sous-espaces propres de f sot : SEP ( f, ) Vect ( + X ), SEP ( f, + i) Vect ( + ix X ), SEP ( f, i) Vect ( ix X ) b) ) O calcule les images par f des vecteurs de la base caoique de C [X] : f () (X ) X f (X) (X + ) (X )X + X X f (X ) (X + )X (X )X X + X, d où la matrice A de f das B (, X, X ): A Détermios les valeurs propres de ASoitλ ROa: λ rg (A λi 3 ) rg λ λ λ rg λ L L λ λ rg + ( λ) ( λ) λ où : L L + ( λ)l λ rg λ + ( λ) ( λ) L L 3 λ rg λ α L 3 L 3 + ( + ( λ) ) L α ( λ) + ( + ( λ) ) ( λ) ( λ) ( 4 + ( λ) ),

28 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées et : α λ ou λ + i ou λ i Aisi, les valeurs propres de A sot :, + i, i Détermios les sous-espaces propres de A X y SEP (A, ) AX X z y y z z + y y + y + z y z, y + z z doc : SEP (A, ) Vect X y SEP (A, + i) AX ( + i)x z y ( + i) y z z + y ( + i) + y + z ( + i)y y + z ( + i)z i + y y i iy + z z, y iz doc : SEP (A, + i) Vect i De même : SEP (A, i) Vect i L edomorphisme f a les mêmes valeurs propres que A, doc les valeurs propres de f sot, + i, i Les vecteurs propres de A ous doet les coordoées des vecteurs propres de f das la base (, X, X )dec [X] : SEP ( f, ) Vect ( + X ), SEP ( f, + i) Vect ( + ix X ), SEP ( f, i) Vect ( ix X ) Remarque : O retrouve bie les mêmes résultats que das ) c) L edomorphisme f admet trois valeurs propres deu à deu distictes et dim ( C [X] ) 3, doc, d après le cours, f est diagoalisable 7 a) ( O) a, pour( tout) α R et pour toutes matrices ab a M, M b cd c d M (R) : ( ) αa + a f (αm + M αb + b ) f ( αc + c αd + d ) ( ) αd + d (αb + b ) (αc + c ) αa + a ( ) ( ) d b d b α + c a c a α f (M) + f (M ), ce qui motre que f est liéaire O coclut que f est u edomorphisme de l espace vectoriel M (R) Cosidéros la base caoique B (E, E, E 3, E 4 )de M (R), défiie par : ( ) ( ) ( ) ( ) E, E, E 3, E 4 O a : f (E ) E 4, f (E ) E, f (E 3 ) E 3, f (E 4 ) E O e déduit la matrice A de f das B : A b) La matrice A est symétrique réelle, doc, d après le cours, A est diagoalisable, puis, comme A représete f das ue base de E, o coclut que f est diagoalisable 8 a) Pour tout P R [X], o a : P(X + a) R [X], P(X + b) R [X], (a + b)p (X) R [X] R [X], doc : f (P) P(X + a) + P(X + b) (a + b)p [X] R [X] O a, pour tous α R, P, Q R [X] : f (αp + Q) (αp + Q)(X+a)+(αP + Q)(X+b) (a + b) ( (αp + Q) (X) ) αp(x + a) + Q(X + a) + αp(x + b) + Q(X + b) α(a + b)p (X) (a + b)q (X) α ( P(X + a) + P(X + b) (a + b)p (X) ) + ( Q(X + a) + Q(X + b) (a + b)q (X) ) α f (P) + f (Q), doc f est liéaire O coclut : f L ( R [X] ) b) O a : f () +,

29 Corrigés des eercices Duod Toute reproductio o autorisée est u délit f (X) (X + a) + (X + b) (a + b) X, f (X ) (X + a) + (X + b) (a + b)x X + (a + b ) O e déduit la matrice M de f das la base caoique B (, X, X )der [X] : a + b M c) O remarque que M est triagulaire (supérieure), doc les valeurs propres de M se liset sur sa diagoale, d où Sp (M) {} Aisi, M est diagoalisable si et seulemet s il eiste P M 3 (R) iversible telle que M P( I 3 )P I 3,siet seulemet si a + b, si et seulemet si a b O coclut que f est diagoalisable si et seulemet si a + b, c est-à-dire si et seulemet si a b, puisque (a, b) R 9 Soit (,y) R fié ( ) Étudios les valeurs propres de A y O a, pour tout λ R : ( ) λ C C rg (A λ I ) rg y λ ( ) λ L L rg + ( λ)l λ y ( ) λ si λ λ + y rg λ λ + y sio Il e résulte : λ vp de A λ λ + y (λ ) + (y ) ( ) Si y <, alors l équatio ( ) ci-dessus, d icoue λ R, admet deu solutios distictes, doc A admet deu valeurs propres distictes, et doc, comme A est carrée d ordre, o coclut que A est diagoalisable das M (R) Si y >, alors l équatio ( ) a pas de solutio das R, doc A est pas diagoalisable das M (R) Supposos y Alors, A admet ue valeur propre et ue seule, qui est λ Si A était diagoalisable das M (R), ( il eisterait ) ( P ) GL (R) telle que A P( I )P I, d où, cotradictio ( ) y O déduit que A est pas diagoalisable das M (R) Fialemet : A est diagoalisable das M (R)sietseulemetsiy< a) Soit a RSoitλ ROa: rg ( 3 a λ 5 + a a ) M(a) λi 3 rg a a λ a 5 5 λ 3 λ λ 3 L L L rg a a λ a 5 5 λ Si λ 3, alors : rg ( ) M(a) λi 3 Si λ 3, alors, e divisat L par 3 λ,oa: rg ( ) M(a) λi 3 rg a a λ a 5 5 λ rg a λ a C C + C 5 λ Si λ, alors, e divisat C par λ : rg ( ) M(a) λi 3 rg a a 5 λ ( ) a + rg + 3 λ Si λ, alors : rg ( ) M(a) λi 3 O obtiet : rg ( ) si λ ouλ 3 M(a) λi 3 3 sio O coclut que les valeurs propres de M(a) sot : et3 Remarque : les valeurs propres de M(a) e dépedet pas de a b) Détermios les sous-espaces propres de M(a) Soit X y M 3,(R) O a : z X SEP ( M(a), ) M(a)X X 3 a 5 + a a a a a y y 5 5 z z (5 a) + ( 5 + a)y + az y a + ay + az az, 5 5y 3

30 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées doc : si a, alors SEP ( M(a), ) Vect,, et, si a, alors SEP ( M(a), ) Vect, d où : dim ( SEP ( M(a), )) si a si a X SEP ( M(a), 3 ) M(a)X 3X 3 a 5 + a a a a a y 3 y 5 5 z z a + (a 5)y + az z 5 5y 5z y doc : SEP ( M(a), 3 ) Vect, d où : dim ( SEP ( M(a), 3 )) Il e résulte que la somme des dimesios des sous-espaces propres de M(a) est égale à 3 si a, et est égale à si a Comme M(a) est diagoalisable si et seulemet si la somme des dimesios de ses sous-espaces propres est égale à 3, o coclut que M(a) est diagoalisable si et seulemet si a a) Détermios les valeurs propres de J das C Soit λ COa: λ rg (J λ I 3 ) rg λ λ λ rg λ L L λ λ rg λ L + λ L + λl λ λ rg λ λ + λ L L 3 λ rg λ λ 3 + λ + L3 + λ L Les valeurs propres de J sot doc les solutios de l équatio λ 3 λ, d icoue λ C D après le cours, cette équatio du troisième degré admet, das C, trois solutios (a priori o écessairemet distictes) ; motros que celles-ci sot deu à deu distictes Raisoos par l absurde : supposos que l équatio admette (au mois) ue solutio (au mois) double, otée λ D après le cours, λ aule le polyôme cosidéré et sa dérivée première, c est-àdire : λ 3 λ 3λ O déduit λ, puis, e reportat das la première équatio : 3 3 λ λ, doc λ 3, puis ( 3 ) 3, cotradictio Ceci motre que les racies du polyôme λ 3 λ sot toutes simples Aisi, l équatio λ 3 λ, d icoue λ C, admet eactemet trois solutios deu à deu distictes Il e résulte que J admet (das C) trois valeurs propres deu à deu distictes Comme J est carrée d ordre trois et admet trois valeurs propres deu à deu distictes, d après le cours, o coclut que J est diagoalisable das M 3 (C) b) Soit (a, b, c) C 3 Oa: a c b M(a, b, c) ba+ cb+ c c b a+ c a + b +c } {{ } J et o remarque que la troisième matrice, das cette derière epressio, est J D après a), ileisted D 3 (C) etp GL 3 (C) telles que J PDP O a alors J PD P, puis : M(a, b, c) a I 3 + bj + cj a I 3 + bpdp + cpd P P(a I 3 + bd + cd )P Comme a I 3 +bd+cd est diagoale, o coclut que M(a, b, c) est diagoalisable das M 3 (C) a) D abord, f est bie ue applicatio de M (R) dasluimême O a, pour tout α R et toutes M, N M (R): f (αm + N) A(αM + N) αam + AN α f (M) + f (N), doc f est liéaire O coclut : f L ( M (R) ) b) O a, pour toute M ( y z t ) M (R): M Ker ( f ) f (M) AM 4

31 Duod Toute reproductio o autorisée est u délit doc : ( )( y z t ) Ker ( f ) { ( ) y z t ( ) UebasedeKer(f )est ( ( ), et dim ( Ker ( f ) ) + z y + t, ; + z et y + t } c) Comme, pour toute matrice M ( ) + z y + t f (M), o a : + z y + t Im ( f ) { ( ) ab ab ;(a, b) R } Vect ( ( ), D autre part, d après le théorème du rag : { ( ) y ;(,y) R } y ( ) ) ( ) y M z t (R), ( ) ) dim ( Im ( f ) ) dim ( M (R) ) dim ( Ker ( f ) ) Il e résulte qu il y a égalité das l iclusio précédete : Im ( f ) { ( ) ab ;(a, b) R ab } Vect ( ( ) ( ) ), d) O calcule les images des élémets E, E, E 3, E 4 de B par f : ( )( ) ( ) f (E ) AE E + E 3, ( )( ) ( ) f (E ) AE E + E 4, ( )( ) ( ) f (E 3 ) AE 3 E + E 3, ( )( ) ( ) f (E 4 ) AE 4 E + E 4, d où la matrice de f das B : F e) La matrice F de f das B est symétrique réelle, doc, d après le cours, F est diagoalisable, et o coclut : f est diagoalisable 3 a) Motros que B est libre Soit (a, a, a, a 3 ) R 4 tel que 3 a k f k O a doc : k R, (a + a + a + a 3 3 )e, Corrigés des eercices c est-à-dire : R, a + a + a + a 3 3 Le polyôme a +a X+a X +a 3 X 3 s aule e tout réel, doc c est le polyôme ul, d où a a a a 3 Ceci motre que B est libre Puisque B est libre et que, par défiitio de E, B egedre E, o coclut : B est ue base de E Il e résulte : dim (E) Card (B) 4 b) Il est clair que, pour toute f E, f est deu fois dérivable sur R, doc φ( f ) f f eiste Calculos les images par φ des élémets de B O a, pour tout R : doc : φ( f )() e, φ( f )() ( ) e, φ( f )() ( )e, φ( f 3 )() (3 3 )e, φ( f ) f, φ( f ) f f, φ( f ) f f, φ( f 3 ) 3 f f 3 Comme φ est liéaire (par liéarité de la dérivatio), il e résulte : f E, φ( f ) E O coclut : φ est u edomorphisme de l espace vectoriel E De plus, la matrice M de φ das B est : M 3 c) La matrice M est triagulaire (supérieure) et ses termes diagoau sot tous o uls, doc M est iversible La matrice M est triagulaire (supérieure), doc ses valeurs propres se liset sur sa diagoale : M admet pour valeur propre et c est la seule Si M était diagoalisable, il eisterait P GL 4 (R) telle que M P( I 4 )P I 4, cotradictio O coclut que M est pas diagoalisable 4 Il s agit d ue matrice formée de et de e damier : A M p+ (R) 5

32 Chapitre Réductio des edomorphismes et des matrices carrées a) D après la défiitio de A : (i, j) ;, a ij a ji, doc A est symétrique réelle D après le cours, o coclut que A est diagoalisable b) Soiet λ R, X M p+(r) \{} O a : AX λx p p+ λ () p λ () p+ λ p+ (), (), λ λ 3 λ p+, λ λ 4 λ p λ p p ou λ 3 p+ 4 p (p + ) λ p λ λ p p λ p + λ p ou 3 p+ ou 3 p+ 4 p 4 p O coclut que les valeurs propres de A sot, p, p + et que les sous-espaces propres de A sot : SEP (A, ) { p+ M p+,(r); p+ et p }, qui est de dimesio p (o peut, par eemple, eprimer p et p+ e foctio de,, p ), SEP (A, p) { p+ M p+,(r); 3 p+ et 4 p } qui est de dimesio, egedré par le vecteur de coordoées (,,,,,,, ) SEP (A, p + ) { M p+,(r); p+ 3 p+ et 4 p }, qui est de dimesio, egedré par le vecteur de coordoées (,,,,,,, ) Remarque : La somme des dimesios des sous-espaces propres de A estégaleàp +, et o retrouve aisi le fait que A est diagoalisable 5 Il s agit de la matrice A () a) Puisque la matrice A est triagulaire (supérieure), les valeurs propres de A se liset sur sa diagoale, doc les valeurs propres de A sot et b) A () (), () doc A A c) Nous allos motrer que A est pas diagoalisable, e raisoat par l absurde Supposos que A est diagoalisable Il eiste alors P M (R) iversibleetd M (R) diagoale telles que A PDP Puisque les termes diagoau de D sot les valeurs propres de A, les termes diagoau de D sot parmi et, doc D D D où : A (PDP ) PD P PDP A Cotradictio avec b) O coclut : A est pas diagoalisable 6 a) Soit y Im ( f be) Il eiste E tel que y ( f be)() O a : ( f ae)(y) ( f ae) ( ( f be)() ) ( ) ( f ae) ( f be) (), } {{ } doc : y Ker ( f ae) Ceci motre : Im ( f be) Ker ( f ae) 6