Là où on s y attend le moins, des

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1 REGARDS LOGIQUE & CALCUL L conjecture du crré inscrit Plcer sur une coure fermée qutre points formnt les coins d un crré est presque toujours possile. C est ien, mis comment se dérrsser du «presque»? Jen-Pul DELAHAYE Là où on s y ttend le moins, des questions mthémtiques difficiles surgissent, si difficiles prfois qu elles restent non résolues. Le cs dont nous llons prler est prticulièrement étrnge puisque l question est «presque» résolue depuis longtemps. Mlheureusement, les mthémticiens n ont pu enlever le «presque», mlgré des progrès récents et un siècle de tenttives diverses pr des chercheurs chevronnés. Voici le prolème. 1) Dessinez une oucle vec une crie sur un tleu : cercle, ellipse, ovoïde, polygone régulier, etc. 2) Trouvez qutre points de l coure qui soient les qutre sommets d un crré. Si vous êtes ptient et méthodique, vous réussirez quel que soit votre trcé sur le tleu (voir l figure 1). Le constt sur des cs prticuliers est intéressnt, mis peut-on démontrer qu il existe un tel crré pour toute coure fermée simple (qui revient à son point de déprt sns se couper) dessinée sur un pln? L réponse n est ps connue dns le cs générl, ien que de nomreux cs prticuliers ient été trités, lesquels recouvrent à peu près toutes les coures fermées simples hituellement envisgées en mthémtiques. Le prolème été formulé en 1911 pr le mthémticien llemnd Otto Toeplitz ( ). Depuis, une multitude d rticles mthémtiques lui ont été conscrés. J en i compté plus de 30, qui, tout en fisnt vncer l résolution de l énigme ou en tritnt certines vrintes, n en sont ps venus à out. L ffirmtion que «Toute coure fermée simple contient les qutre coins d u moins un crré» reste, ujourd hui encore, une conjecture. L énigme est liée u prolème concernnt le positionnement d une tle sur un monticule. Considérons un terrin omé, une petite colline, ssez régulier pour qu on puisse l ssimiler à une surfce continue. Chque ligne de niveu est une coure fermée simple ou l juxtposition de plusieurs coures fermées simples. Si l conjecture est vrie ou si les coures mises en jeu sont suffismment régulières pour entrer dns l clsse des coures pour lquelle l conjecture est prouvée (voir plus loin), lors sur chcune d elles, il existe qutre points formnt les sommets d un crré, où l on peut plcer les pieds d une tle crrée ynt des pieds de même huteur et supposés très fins et ssez longs. Pique-nique sur une colline À chque niveu possile, on pourr insi poser une tle crrée u moins dns une position stle et prfitement horizontle. Notons toutefois que, pour un niveu donné, l tle ser imposée et il fudr donc l friquer exprès pour que l écrtement entre les pieds soit le on, c est-à-dire égl u côté du crré inscrit sur l coure de niveu choisie. Heureusement, si l surfce du monticule est ssez régulière, le côté du crré inscrit vrier de mnière continue en prcournt les lignes de niveu, et on ur donc le résultt plus intéressnt en prtique : toute tle à se crrée donnée et ssez hute, dont les pieds ne sont ps trop écrtés, pourr être plcée horizontlement et d une fçon stle sur le monticule où l on souhite pique-niquer. Revenons u prolème initil d un crré ynt ses qutre coins sur une coure. Précisons que nous dirons «inscrit sur l coure» même si d utres intersections du crré vec l coure se produisent et que celui-ci sort donc de l zone intérieure délimitée pr l coure. Pour expliquer l sitution et l multitude de résultts démontrés utour de l conjecture de Toeplitz, il fut fire un effort de rigueur et nous formulerons quelques définitions. Une coure fermée simple C du pln est l ensemle des points C(t) du pln qund t vrie dns l intervlle des nomres réels compris entre 0 et 1 tel que C(t) soit une fonction continue qui ne prend ps deux fois l même vleur (l coure ne se coupe ps) suf en t = 0 et en t = 1 (l coure revient à son point de déprt). L propriété d être continue fit que l coure C se dessine sns voir à lever l crie. Cette condition de continuité ne grntit ps que l coure C soit totlement lisse. Elle peut voir des ngles et, pr exemple, un tringle équiltérl ou un polygone quelconque (non croisé) est une coure fermée simple. Les points où l coure fermée 82] Logique & clcul Pour l Science - n Février 2012

2 R e g r d s simple n dmet ps de tngente (il y en trois pour le tringle) peuvent être tous les points de l coure : tel est le cs des coures frctles comme le flocon de von Koch qui ne possède de tngente en ucun point. Cette coure dont l longueur est infinie est une coure fermée simple (voir l figure 3). Bien sûr, il peut y voir plusieurs crrés inscrits et, pour chque entier positif n, on connît des exemples de coures possédnt exctement n crrés inscrits (nous y reviendrons). Des cs prticuliers démontrés L conjecture n ps été prouvée dns le cs générl, mis un grnd nomre de cs prticuliers ont été trités. L conjecture est démontrée si l coure possède une tngente en tout point et si cette dernière vrie continûment qund le point glisse sur l coure, c està-dire si l coure est prfitement lisse comme un cercle ou une ellipse. L conjecture est démontrée si l coure délimite une zone intérieure convexe, c est-à-dire telle que si A et B sont deux points de l zone intérieure, lors le segment AB est entièrement contenu dns l zone intérieure. L conjecture est démontrée si l coure est dotée d un centre de symétrie ou d un xe de symétrie. L un des résultts les plus puissnts concernnt l conjecture été démontré en 1989 pr Wlter Stromquist, du Swrthmore College ux Étts-Unis. Il indique que l conjecture est vrie pour toute coure «loclement monotone». L propriété d être loclement monotone signifie en gros que l coure ne fit ps de zigzg à toute échelle (voir l figure 2) : elle peut en fire un peu, mis les zigzgs ne doivent ps s ccumuler en un point. Ce résultt permet de triter le cs de tous les polygones et de toutes les coures fermées otenues en collnt un nomre fini de outs de droites, d rcs de cercles, d ellipses, de sinusoïdes, etc. Toutes les coures que vous trcerez à l crie entrent dns le chmp du théorème de Stromquist! Pour l Science - n Février Crré inscrit et tle sur un monticule L conjecture de Toeplitz est l ffirmtion, toujours sns démonstrtion en 2012, que toute coure fermée simple (une oucle ne se coupnt ps) contient qutre points formnt les sommets d un crré (), que l on dénomme «crré inscrit». Le prolème de l tle crrée sur un monticule () est Jen-Frnçois Colonn ; un prolème du même type à trois dimensions: peut-on plcer horizontlement une tle pour qu elle soit stle, c està-dire telle que les qutre pieds (chcun de même longueur et infiniment fins, formnt un crré) touchent l surfce? Le théorème de l tle de Roger Fenn indique les conditions sur l surfce du monticule qui ssurent que toute tle à se crrée ps trop grnde pourr être convenlement posée. Ce théorème totlement démontré contourne l conjecture de Toeplitz toujours incertine. Nous voilà rssurés pour notre prochin pique-nique. Logique & clcul [83

3 R e g r d s 2. L conjecture de Toeplitz est presque démontrée Wlter Stromquist démontré en 1989 que si une coure fermée simple du pln est loclement monotone, lors elle possède nécessirement un crré inscrit. Pr définition, pour qu une coure soit loclement monotone (), on doit pouvoir ssocier, à chque point M de l coure, un système d xes Oxy de fçon qu un petit morceu de l coure utour de M soit tel que deux points de ce out de coure ne sont jmis sur une droite prllèle à l xe Oy. À l exception des coures frctles et de quelques coures izrres, toutes les coures envisgées en mthémtiques sont loclement monotones et donc le théorème de Stromquist démontre de mnière presque définitive l conjecture de Toeplitz. Le prolème est qu on ne sit ps se dérrsser du «presque»! L coure fermée simple () entournt le domine en leu est lisse en tous points, suf u centre où l condition de monotonie locle n est ps vérifiée. À moins d un rgument prticulier, on ne peut lui ppliquer le théorème de Stromquist et on n est donc ps certin qu elle possède un crré inscrit. O x M y Mlheureusement certines coures frctles ne sont ps loclement monotones, et l conjecture n est donc ps démontrée pour cette fmille de coures. On otient une coure pour lquelle l conjecture n est ps prouvée en mettnt out à out des morceux de l coure du flocon de von Koch de fçon à otenir une coure non symétrique. Le flocon de von Koch lui-même est un exemple intéressnt : s symétrie ssure qu il comporte u moins un crré inscrit. Une étude grphique empirique de Frncesco De Comité, u Lortoire d informtique fondmentle de Lille, suggère fortement que le flocon comporte une infinité de crrés inscrits, mis pour l instnt le résultt n est ps étli rigoureusement (voir l figure 3). Errre humnum est... Certines erreurs sont des pièges dns lesquels nous sommes irrésistilement ttirés. Un joli piège est à l origine de plusieurs résultts fux, heureusement repérés depuis leur puliction. Une idée nturelle pour démontrer le cs générl consiste à pprocher une coure fermée simple C pr une suite C 0, C 1, C 2,... de coures régulières (pr exemple des polygones) pour lesquelles on sit qu il y un crré inscrit. Prtnt de cette suite de crrés (qui n est ps nécessirement convergente), on sit en extrire une suite convergente de crrés (on ne retient que certins des crrés de l suite). Le fit que les coures C i convergent vers C ssure que le crré limite de l suite convergente extrite est un crré inscrit dns C. L conjecture est-elle démontrée? Héls non, cr, suf rgument supplémentire, rien n interdit à l suite extrite de crrés de converger vers un crré... de côté nul. Évidemment, cel n ucun intérêt, cr même si on ne l ps précisé dns l énoncé de l conjecture, il est clir qu on exclu le cs des crrés inscrits réduits à un seul point. De nomreuses tenttives de démonstrtion de l conjecture de Toeplitz et plusieurs démonstrtions de cs prticuliers exploitent l idée ici décrite en s rrngent pour que le crré limite ne se réduise ps à un point. L sitution ujourd hui est donc indéterminée, et il n est ps exclu que les coures fermées simples du pln qui contiennent les qutre coins d un crré constituent un sous-ensemle «migre» de l ensemle de toutes les coures fermées simples. L notion de «sous-ensemle migre» (llez voir l définition de Wikipédi...) exprime l idée de rreté dns le contexte topologique des ensemles de coures continues. Elle une certine nlogie vec le fit que les nomres rtionnels (rpports de deux entiers) sont rres dns l ensemle des nomres réels. Il est musnt de constter que les cs pour lesquels on démontré l conjecture recouvrent l grnde mjorité des coures que les mthémticiens envisgent, mis que cette prtie pourrit mlgré tout être infime («migre»). L pprente contrdiction tient à ce que les mthémticiens étudient en priorité les coures régulières et que celles-ci ne sont ps représenttives des coures qu on rencontrerit si on les choisissit u hsrd. L sitution est ssez nlogue à celle des nomres réels clculles, nomres pour lesquels il existe un lgorithme qui en énumère indéfiniment les décimles. Les nomres clculles constituent une prtie infime des nomres réels (c est un ensemle qui utnt d éléments qu il y d entiers, lors qu il y plus de nomres réels que d entiers), ce qui n empêche ps qu il fllu ttendre Aln Turing pour réliser en 1936 qu il existit des nomres non clculles et en désigner un! À défut de fire vncer directement l énigme réclcitrnte de Toeplitz, on tente de comprendre ce qui se psse dns des situtions mthémtiques proches. Que dire des rectngles, des tringles, des losnges? 84] Logique & clcul Pour l Science - n Février 2012

4 R e g r d s Si une coure fermée simple du pln possède un centre de symétrie, lors elle possède un crré inscrit: en superposnt l coure à une copie tournée de 90, on otient une figure invrinte pr rottion de 90. Les points communs à l coure initile et à s version tournée de 90 sont les sommets d un crré inscrit (). Le flocon de von Koch n est ps loclement monotone et le résultt de Stromquist ne s pplique ps. Toutefois, il possède un centre de symétrie et donc un crré inscrit. L figure () été otenue en recollnt des outs de coures prises sur 3. Le cs symétrique et l coure de von Koch le flocon de von Koch de mnière à éviter toute symétrie : on otient une figure qu ucun des théorèmes connus ne permet de triter : cette figure ne possède peut-être ucun crré inscrit. L figure (c) montre l prtie de l imge () où le flocon de von Koch rencontre s version tournée de 90. Chque point de rencontre détermine un crré inscrit. On est persudé qu il y un nomre infini de points d intersection, et donc de crrés inscrits. Ce trvil empirique rélisé pr Frncesco De Comité n pour l instnt ps été confirmé pr une démonstrtion. c Que deviennent ces questions qund on psse du pln à l espce? Que deviennent ces questions en géométrie discrète où l on envisge des coures composées de pixels en nomre fini (seules coures que l informtique considère)? Remplcer le crré pr un rectngle, un tringle, un losnge Commençons pr rendre le prolème plus fcile en remplçnt le crré recherché pr un rectngle. Cette version été résolue pr Herert Vughn en 1977 : toute coure fermée simple du pln contient u moins un rectngle inscrit. Cette propriété est démontrée en quelques lignes. Et dns l espce à trois dimensions, une coure fermée simple contient-elle toujours un rectngle inscrit? Non, un contre-exemple montré qu il existe des coures de l espce ne possédnt ucun rectngle inscrit (et donc ucun crré inscrit). Un résultt de 1995, positif cette fois, de Mrk Nielsen et S. Wright étlit que dns l espce, toute coure fermée simple symétrique pr rpport à un pln ou symétrique pr rpport à un point possède un rectngle inscrit. Et pour les tringles? L réponse est ctégorique : toute coure fermée simple du pln possède u moins un tringle équiltérl inscrit. Ce résultt se générlise à un tringle quelconque : si T est un tringle fixé, et que C est une coure fermée simple du pln, lors C contient u moins les trois sommets d un tringle semlle à T. En fit, M. Nielsen indiqué en 1992 qu il existe une infinité de points de l coure qui sont sommets d un tringle semlle à T inscrit dns C et que ces points forment un sous-ensemle dense de l coure : entre deux points différents de l coure, ussi proches soientils, il existe toujours un point P sommet d un tringle semlle à T inscrit dns C. Pour les losnges et donc ussi pour les prllélogrmmes, c est encore on : toute coure fermée simple du pln contient u moins un losnge inscrit. Le théorème de M. Nielsen qui étlit ce résultt montre de plus que, si une direction est fixée, on peut demnder u losnge recherché d voir deux de ses côtés prllèles à cette direction. V. Mkleev, de l Université de Sint-Pétersourg, étli en 2004 que le résultt étit encore vri dns l espce (sns, cette fois, que l on puisse imposer à certins côtés du losnge d être prllèles à une direction donnée). L AUTEUR Jen-Pul DELAHAYE est professeur à l Université de Lille et chercheur u Lortoire d informtique fondmentle de Lille (LIFL). Pour l Science - n Février 2012 Logique & clcul [85

5 R e g r d s 4. Qutre petits prolèmes Existe-t-il des coures fermées simples du pln qui possèdent des crrés inscrits pssnt pr chcun de leurs points? Un cercle et un crré ont ien sûr cette propriété. De nomreuses utres coures fermées possèdent cette propriété (dont toutes les coures invrintes pr une rottion de 90 ). Frncesco De Comité dessiné les figures,, c, d. Trouver une coure fermée simple du pln n ynt qu un seul crré inscrit. Solution : voir les figures e, f, g. Toute coure fermée simple du pln contient-elle les sommets d un pentgone régulier inscrit? (Autrement dit, l conjecture de Toeplitz vec les crrés se générlise-t-elle vec les pentgones?) Non. Un tringle équiltérl, à cuse des prolèmes créés pr les ngles, ne peut ps contenir les cinq points d un pentgone régulier. De l même fçon, une coure fermée simple du pln ne contient ps toujours un polygone régulier de plus de cinq côtés. Tout point P donné d une coure fermée simple C est-il le sommet d un tringle équiltérl inscrit dns C? Non. Soit C un tringle isocèle dont l ngle u sommet est inférieur à 120. Ce sommet P ne peut ps être le sommet d un tringle équiltérl inscrit dns C. c d e f g Les différents pixels d une coure (ssimilés à des petits crrés sur un qudrillge) forment une chîne de voisins. Dns le cs des coures fines, le mot «voisins» signifie «voir u moins un point en commun». Pour les coures épisses, deux Dns une coure «épisse», deux pixels voisins ont u moins un côté en commun (). Dns une coure «fine», deux pixels voisins ont u moins un point en commun (, deux exemples d une telle coure). Les propriétés de ces coures vis-à-vis des crrés inscrits sont différentes. 5. Les coures informtiques pixels voisins de l coure doivent voir u moins un côté en commun. Pour éviter les recoupements et imposer le retour u pixel de déprt (coure fermée simple), on joute dns les deux cs que chque pixel possède deux voisins exctement. Le prolème du crré inscrit dns le monde discret des pixels est lors clirement posé... et été résolu en 2011: toute coure épisse fermée simple possède u moins un crré inscrit () ; il existe des coures fines fermées simples qui n ont ps de crré inscrit (). 86] Logique & clcul Pour l Science - n Février 2012

6 R e g r d s Un crré est constitué de deux pires de côtés opposés prllèles et ses deux digonles ont même longueur. Une générlistion du crré dns l espce est le qudriltère ynt ses qutre côtés égux insi que ses deux digonles, que nous nommerons «le qusicrré». Json Cntrell et John McClery, ux Étts-Unis, ont démontré que toute coure fermée simple ssez régulière de l espce à trois dimensions possède un tel qusi-crré inscrit. «Assez régulière» signifie que l coure est non seulement continue, mis qu elle une tngente en chque point, tngente qui vrie continûment qund le point de tngence glisse le long de l coure. Les crrés inscrits peuvent-ils être nomreux? Peut-il pr exemple y en voir cinq, ni plus ni moins? Là encore, ien que les résultts soient récents, on n ps rencontré d ostcles mjeurs. Pour tout entier strictement positif n, il existe une coure fermée simple du pln qui possède exctement n crrés inscrits. Le résultt été démontré en 2008 pr Strshimir Popvssilev, u City College de New York, qui pu étlir qu on peut imposer de plus à l coure d être indéfiniment différentile (c est-à-dire prfitement lisse) et même qu on peut voir exctement n crrés inscrits en imposnt à l coure de délimiter une zone intérieure convexe. Le théorème est ptent pour les polygones, comme le montre l figure ci-dessous qui résout le cs n = 3 et qui se générlise de fçon évidente. Le nomre de crrés inscrits ser fréquemment impir. En effet, si l coure fermée simple est un polygone n ynt rien de prticulier, deux de ses côtés ne sont jmis prllèles ni orthogonux, ou si l coure fermée simple est extrêmement lisse, définie pr des fonctions nlytiques, lors le nomre de crrés inscrits est infini ou impir. Pr illeurs, le mthémticien jponis Shizuo Kkutni démontré en 1942 que tout volume convexe de l espce peut être enfermé dns un cue exinscrit dont chque fce toucher le volume. Notons enfin qu un théorème de l Anglis Roger Fenn réglé en 1970 le prolème de l tle évoqué u déut de l rticle. Si l fonction continue définissnt le monticule est positive sur un ensemle convexe et nulle illeurs, lors toute tle crrée ps trop grnde pourr être convenlement posée sur le monticule. Crrés inscrits sur coures pixellisées Les trvux de Feliú Sgols et Rúl Mrín, de l Institut polytechnique ntionl du Mexique, uront peut-être des pplictions puisqu ils concernent les figures dessinées vec des pixels et que des lgorithmes de clculs des crrés inscrits ont été proposés. Le pln discret n est qu un tleu de cses crrées, les pixels, constitunt un grnd qudrillge. Deux notions de coures discrètes sont nturelles : les coures fines et les coures épisses (voir l figure 5). Le prolème du crré inscrit se pose dns ce contexte : toute coure épisse fermée simple contient les qutre coins d un crré et il existe des coures fines fermées simples qui ne contiennent ucun crré inscrit (jmis qutre de leurs pixels ne sont les qutre coins d un crré). L démonstrtion du résultt positif concernnt les coures épisses n est ps ussi simple qu on l imgine. Cel montre une fois encore que ien des prolèmes du continu ont des trductions intéressntes dns le monde du fini des pixels et de l informtique. Le monde mthémtique est étrnge et certins pssges semlent interdits. Même dns des domines élémentires (comme celui des coures fermées simples du pln) pour lesquels on s imginit ien rmé pr les outils de l nlyse et de l géométrie, on utte sur des ostcles durs comme le dimnt. Rien ne nous permet de reconnître ces prolèmes difficiles vnt qu on ne se cogne à eux et ils semlent surgir u hsrd. Ils s musent à humilier une communuté vieille de plus de trois millénires! BIBLIOGRAPHIE B. Mtschke, Equivrint topology methods in discrete geometry, Thèse de l Univ. de Berlin, J. Cottnceu, L rndonnée du crré, Blog «Choux romnesco, Vche qui rit et intégrles curvilignes», 2011 : rchives/2011/03/20/ html I. Pk, Lectures on Discrete nd Polyhedrl Geometry, ~pk/geompol8.pdf F. Sgols et R. Mrín, Two discrete versions of the Inscried Squre Conjecture nd some relted prolems, Theoreticl Computer Science, vol. 412, pp , M. Nielsen, Rhomi inscried in simple closed curves, Geometrie Dedict, vol. 54, pp , M. Nielsen, Tringles inscried in simple closed curves, Geometrie Dedict, vol. 43, pp , V. Klee et S. Wgon, Old nd New Unsolved Prolems in Plne Geometry nd Numer Theory, Mthemticl Assocition of Americ, W. Stromquist, Inscried squres nd squre-like qudrilterls in closed curves, Mthemtik, vol. 36, pp , R. Fenn, The tle theorem, Bull. London Mth. Soc, vol. 2, pp , O. Toeplitz, Ueer einige Aufgen der Anlysis situs, Verhndlungen der Schweizerischen Nturforschenden Gesellschft in Solothurn, vol. 4, p. 197, Pour l Science - n Février 2012 Logique & clcul [87