Questionnaire examen final MTH1006. Sigle du cours. Sigle et titre du cours Groupe Trimestre

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1 Quesionnaire examen final MTH1006 Sigle du cours Idenificaion de l éudian(e) Nom : Prénom : Signaure : Maricule : Groupe : Sigle e ire du cours Groupe Trimesre MTH1006 Algèbre Linéaire AUTOMNE 2008 Professeur Local Téléphone Alain HERTZ A /41 Jour Dae Durée Heures Dimanche 2 Novembre h0 1h0 à 16h00 Documenaion Calcularice Toue Aucune Voir direcives pariculières Aucune Programmable Non programmable Direcives pariculières Les cellulaires, agendas élecroniques ou éléaverisseurs son inerdis. Documenaion permise: deux (2) feuilles synhèse (8 ½ x 11), reco verso. Imporan Ce examen conien x5 quesions sur un oal de x4 pages (excluan cee page) La pondéraion de ce examen es de 50 % Vous devez répondre sur : le quesionnaire le cahier les deux Vous devez remere le quesionnaire : oui non Bonne chance à ous! L éudian doi honorer l engagemen pris lors de la signaure du code de conduie.

2 École Polyechnique de Monréal page 1 École Polyechnique de Monréal MTH1006 Algèbre linéaire Dimanche le 2 Novembre 2008 de 1h0 à 16h00 QUESTION # 1 (8 poins) (Répondre à la page 2 du cahier) Considérons la marice A = (a) (b) La marice A es-elle orhogonale? Soi T : V V soien b 1 =, = + b e b 2 = k. (b1) Vérifier que { b, b, b es une base de V. (b2) Donner [ ] B une applicaion linéaire elle que [ T] C 1 2 } T avec B ( b1, b2, b) =. = A avec C= (,, k ) e Quelle es la dimension de Ker( T )? (d) Soi le sysème d équaions linéaires x α A y = β z γ ( ) Donner l ensemble de ous les veceurs [,, ] soluion unique. () α βγ pour lesquels le sysème a une

3 École Polyechnique de Monréal page 2 QUESTION # 2 (9 poins) (Répondre à la page 5 du cahier) Soi T : V V une applicaion linéaire définie par (a) Donner A [ T ] C T x + y + zk = 2x y x 2y + zk. ( ) ( ) ( ) C k. =, la marice représenaive de T dans la base = (,, ) (b) Vérifier que u = + + k e u = + + k son des veceurs propres de T Donner une base orhogonale de V consiuée de veceurs propres de T. W = u, u e v = k. Donner projw v. (d) Soi [ ] 1 2 QUESTION # (9 poins) (Répondre à la page 8 du cahier) Considérons la marice 1 2 A = (a) Vérifier que dé( A ) = 0. (b) Vérifier que λ = es une valeur propre de A. Déerminer oues les valeurs propres de A ainsi que leur muliplicié algébrique e leur muliplicié géomérique. (d) Donner la forme quadraique f ( xyz,, ) induie par A, c es-à-dire la foncion f elle que x f ( xyz,, ) = [ x yz] A y z (e) Donner le signe de la forme quadraique f. (f) Déerminer la naure de la quadrique d équaion carésienne f ( x, y, z ) =.

4 École Polyechnique de Monréal page QUESTION # 4 (14 poins) (Répondre à la page 11 du cahier) Soi le plan muni du sysème de coordonnées carésiennes { x, y }. Soi la conique d équaion carésienne (a) Quelle es la naure de la conique C? (b) Écrire ( ) ( ) C :4x + 4xy + y + 5x + 5 y = ** 4 ** sous la forme XAX KX f = avec X [ x y] =. Donner un changemen de variables qui ransforme( **) en une équaion sans erme mixe. (d) Donner l équaion (**) ransformée par le changemen de variables donné en. (e) Donner un somme de la conique dans le sysème de coordonnées { x, y }. (f) Dessiner la conique en page 15 en posiionnan clairemen le somme donné en (e) e les nouveaux axes x ' e y ' par rappor aux axes x e y. (Pour les fins de dessin, considérer 5 2.2). BONUS (2 poins) Donner un foyer de la conique dans le sysème de coordonnées { x, y }. QUESTION # 5 (10 poins) (Répondre à la page 16 du cahier) Considérons la forme quadraique ( ) f xyz,, = 4x y z 8x 2y (a) Pour chacune des équaions qui sui, déerminer la naure de la quadrique associée, un axe privilégié. (a1) f ( x, y, z ) = 2 (a2) f ( x, y, z ) = (a) f ( x, y, z ) = 4

5 École Polyechnique de Monréal page 4 (b) Déerminer la marice symérique A associée à f, c es-à-dire la marice A elle que (,, ) = + + avec = [ ] f xyz XAX KX f X x y z. La marice A déerminée en (b) es-elle semblable à la marice B ci-dessous? B 1 2 = (d) La marice B du poin es-elle diagonalisable?