Mathématiques discrètes Chapitre 4 : relations binaires

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Marie-Anne Martel
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1 U.P.S. I.U.T. A, Déprtement Informtique Année Mthémtiques isrètes Chpitre 4 : reltions inires 1. Générlités Définition Soient E 1, E 2,...E n es ensemles. Une reltion n-ire est l onnée un sous-ensemle e E 1 E 2... E n. Autrement it, est l onnée un ensemle e n-uplets ( 1, 2,..., n ). Une mnière e représenter une reltion n-ire est e onner l liste es n-uplets ns un tleu ynt n olonnes. Cette notion est utilisée en informtique pour les ses e onnées reltionnelles. Exemple 1 Spetle Genre Lieu West Sie Story Musique Zénith Crmen Musique Cpitole Don Jun Théâtre Cpitole Julio Iglesis Musique Zénith Ii n =.... Les ensemles onsiérés sont Dns e ours, nous llons nous intéresser u s n = 2, et lorsque les eux ensemles sont ientiques. Définition Soit E un ensemle. On ppelle reltion inire sur l ensemle E une proposition qui est vrie pour ertins ouples (x, y) E E et fusse pour les utres. Le grphe e l reltion inire R est l ensemle G R es ouples (x, y) E E tels que xry : G R = {(x, y) E E xry}. L onnée u grphe une reltion inire est équivlente à l onnée e l reltion inire. Nottion : Si R est l reltion, x E et y E, on érit xry si x est en reltion ve y. Exemples 2 E = R, et xry ssi x y. E = N, et xry ssi y = 2x. E = N, et nrm ssi n ivise m. E = Z, et [5] ssi est un multiple e 5. 1

Une mnière e représenter une reltion n-ire est e onner l liste es n-uplets ns un tleu ynt n olonnes. Cette notion est utilisée en informtique pour les ses e onnées reltionnelles.

2 Représenttions (lorsque l ensemle E est fini) Illustrons pr l exemple simple suivnt, ve E = {,, } et G R = {(, ), (, ), (, )}. liste ns un tleu (omme i-essus ns l exemple 1, utilisé en informtique mis rrement en mthémtiques) E E igrmme rtésien : igrmme sgittl : mtrie iniene : Exerie e ours 1. On onsière l ensemle E = {0, 1, 2, 3} et l reltion inire R onnée pr son grphe G R = {(0, 1), (1, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 3)}. Donner l représenttion e R sous forme e liste, e igrmme sgittl et e mtrie iniene. Propriétés es reltions inires Définition Soit R une reltion inire sur l ensemle E. R est réflexive si x E, xrx. R est symétrique si x E, y E, (xry yrx). R est ntisymétrique si x E, y E, (xry et yrx) x = y. R est trnsitive si x E, y E, z E, (xry et yrz) xrz. 2

On onsière l ensemle E = {0, 1, 2, 3} et l reltion inire R onnée pr son grphe G R = {(0, 1), (1, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 3)}.

3 Exemples 3 E = {,,, }. Convention : pour simplifier on ne représente qu une fois E sur le igrmme sgittl. simplifié en - réflexive. symétrique. non ntisymétrique r R et R et. non symétrique r R mis R. trnsitive. ntisymétrique : si x y lors on n ps simultnément xry et yrx. non trnsitive r R, R mis R. 3

sgittl. simplifié en - réflexive. symétrique. non ntisymétrique r R et R et.

4 Exerie e ours 2. On onsière l reltion inire onnée pr le igrmme sgittl suivnt. Déterminer s mtrie iniene et ses propriétés. Exerie e ours 3. Soit E = {0, 1, 4, 7, 8, 11}. ) Représenter le igrmme sgittl e l reltion inire éfinie sur E pr : ) Etuier les propriétés e R. xry x + y est pir. 2. Reltion équivlene Définition Soit E un ensemle et R une reltion inire sur E. On it que R est une reltion équivlene si R est réflexive, symétrique et trnsitive. Exemples 4 E = l ensemle es étuints e première nnée. x y ssi x et y sont nés l même nnée. C est une reltion équivlene. E = Z, soit m un entier positif non nul. L ongruene moulo m est éfinie pr : x y [m] ssi y x est un multiple e m. C est une reltion équivlene. Définition Soit R une reltion équivlene sur E. Si E, on ppelle lsse équivlene e l ensemle e tous les éléments e E qui sont équivlents (pr R) à. On l note ou ȧ : = {x E xr}. Remrque : si R lors =. Définition L ensemle es lsses équivlene est ppelé ensemle quotient, noté prfois E/R. Ces notions sont utiles en rithmétique et en ryptogrphie. 4

On it que R est une reltion équivlene si R est réflexive, symétrique et trnsitive. Exemples 4 E = l ensemle es étuints e première nnée. x y ssi x et y sont nés l même nnée.

5 Exemples 5 ns Z, pour l ongruene moulo 3 : 0 = {, 6, 3, 0, 3, 6 } 0 = 3 = = {, 5, 2, 1, 4, 7 } 1 = 4 = = {, 4, 1, 2, 5, 8 } 2 = 5 = 8... l ensemle quotient est noté Z/3Z = {0, 1, 2}. moulo 2 : Z/2Z = {0, 1}. 0=ensemle es entiers pirs, 1=ensemle es entiers impirs. Exerie e ours 4. Soit E = {3, 4, 9, 10} et R l reltion inire éfinie sur E pr : ) Montrer que R est une reltion équivlene. ) Déterminer les lsses équivlene e R. xry x y est pir. 3. Reltions orre Définition Soit E un ensemle et R une reltion inire sur E. On it que R est une reltion orre si R est réflexive, ntisymétrique et trnsitive. Exemples 6 E = l ensemle es pitles européennes. xry ssi x est vnt y ns l orre lphétique. E = R, x y l reltion orre usuel. Exerie e ours 5. On onsière l ensemle E = N es entiers nturels, et on le munit e l reltion inire n m : n ivise m ssi m est un multiple e n. Vérifier que est une reltion orre sur E. Exerie e ours 6. On onsière un ensemle E, on munit P(E) e l reltion inire. Vérifier que est une reltion orre sur P(E). Définition Soit E un ensemle et une reltion orre sur E. Deux éléments x et y e E sont omprles si x y ou y x. On it que l reltion orre est un orre totl si eux éléments quelonques sont omprles. Dns le s ontrire on it que est un orre prtiel. Exemples 7 E = R, orre usuel. Deux réels sont toujours omprles. C est on un orre totl. E = N, orre e l ivisiilité. 2 5 et 5 2 : 2 et 5 ne sont ps omprles. C est un orre prtiel. 5

Soit E = {3, 4, 9, 10} et R l reltion inire éfinie sur E pr : ) Montrer que R est une reltion équivlene. ) Déterminer les lsses équivlene e R. xry x y est pir. 3.

6 Définitions Soit E un ensemle, une reltion orre sur E et A une prtie e E. - on it que x E mjore A, ou que x est un mjornt e A si y A, y x. - on it que x E minore A, ou que x est un minornt e A si y A, x y. - le plus petit élément e A est (s il existe) un x A tel que y A, x y. C est un minornt e A qui pprtient à A. On le note p.p.e ou mina. - le plus grn élément e A est (s il existe) un x A tel que y A, y x. C est un mjornt e A qui pprtient à A. On le note p.g.e ou mx A. - l orne inférieure e A est (s il existe) le plus grn élément e l ensemle es minornts e A. On le note inf A. - l orne supérieure e A est (s il existe) le plus petit élément e l ensemle es mjornts e A. On le note sup A. Exemple 8 E = R, orre usuel. A = [1, 2[. L ensemle es mjornts e A est : L ensemle es minornts e A est : inf A..., min A... sup A..., et mxa... NB : sup A et inf A ne sont ps néessirement es élements e A. Exerie e ours 7. On onsière l ensemle E = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} es iviseurs e 36 muni e l reltion. Prenons A = {4, 6}. Déterminer si l prtie A met un mx, un min. Quels sont les mjornts e A? En éuire sup A. Quels sont les minornts e A? En éuire inf A. Proposition : Soit E un ensemle, une reltion orre sur E et x, y eux éléments e E. Les propriétés suivntes sont équivlentes : i) x y, ii) inf(x, y) = x, iii) sup(x, y) = y. Digrmme e Hsse Afin e mettre en éviene l hiérrhie, on peut représenter une reltion orre sur un ensemle fini pr une version simplifiée e son igrmme sgittl que l on ppelle igrmme e Hsse : on ôte u igrmme sgittl les oules (réflexivité) et toutes les flèhes qui peuvent se retrouver pr trnsitivité. Exemples 9 est remplé pr on v u plus petit u plus grn, et on met une flèhe entre eux élements s il n y ps élément interlé entre les eux. 6

- le plus grn élément e A est (s il existe) un x A tel que y A, y x. C est un mjornt e A qui pprtient à A. On le note p.g.e ou mx A.

7 E = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} muni e l reltion Exerie e ours 8. On onsière E = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} l ensemle es iviseurs e 30, muni e l reltion. Vérifier que son igrmme e Hsse est Définition Un ensemle E muni une reltion orre est un treillis si : (x, y) E 2, sup(x, y) et inf(x, y) existent et sont ns E, où sup(x, y) et inf(x, y) représentent respetivement les ornes supérieure et inférieure e {x, y}. On note ussi : inf(x, y) = x y et sup(x, y) = x y. Exemples 10 (P(E), ) est un treillis, r si A, B P(E), lors A B = A B P(E) et A B = A B P(E) On pren E = N et xry si et seulement si x y (x ivise y). (N, ) est un treillis. x y = P GCD(x, y) le plus grn ommun iviseur. x y = PPCM(x, y) le plus petit ommun multiple. E = {,,,, e, f} On éfinit l reltion orre R sur E pr le igrmme e Hsse suivnt : f e E n est ps un treillis r n existe ps. En effet et e sont es mjornts e {, } mis ne sont ps omprles. 7

inf(x, y) représentent respetivement les ornes supérieure et inférieure e {x, y}. On note ussi : inf(x, y) = x y et sup(x, y) = x y.

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