Courbes planes. On appelle fonction vectorielle d'une variable réelle toute fonction de I dans un espace vectoriel réel E.

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1 Courbes planes Dans ou ce chapire, I es un inervalle e Á ou Á ou enier Généraliés Si l'on éuie le mouvemen 'un poin ans l'espace au cour u emps, à chaque insan, celui occupe une posiion P() Les cooronnées e ce poin, ans un repère (,, Œ, k) e l'espace, épenen e l'insan e son onc e la forme (f(),g(),h()) où f,g e h son es foncions e Á (ou 'une parie e Á) ans Á La foncion qui, à, associe (f(),g(),h()) es une foncion e Á ans Á 3 Nous allons nous inéresser, ans le care e cours, aux foncions e Á ans Á Touefois ceraines éfiniions peuven êre simplemen généralisées à Á 3 ou même Á n où n À, n 4 Remarque n noera inifféremmen les veceurs e Á n sous forme e veceurs lignes ou e veceurs colonnes Définiion n appelle foncion vecorielle 'une variable réelle oue foncion e I ans un espace vecoriel réel E Remarques Puisque l'on peu ienifier  à Á, les foncions e variables réelles à valeurs complexes peuven êre consiérées comme es foncions vecorielles Une foncion vecorielle es généralemen noée F e, par abus parfois, F() Pour les foncions vecorielles qui nous inéressen c'es-à-ire celles e Á ans Á, on a F = (f,g) où f e g son es foncions e Á (ou 'une parie e Á) ans Á L'éue e la foncion vecorielle F revien à l'éue e ces eux foncions f e g Toujours par abus e noaion, on peu renconrer la noaion (f(),g()) pour une foncion vecorielle à valeurs ans Á Définiions Soi F = (f,g) une foncion vecorielle éfinie sur I e à valeurs ans Á n i que F ame une limie finie l( Á ) quan en vers (ahéren à I) e on noe lim si e seulemen si = (l,l F() = l l ) avec lim f() = l e lim g() = l n i que F es coninue en I si e seulemen si lim F() = F( ) n i que F es coninue sur I si e seulemen si elle es coninue en ou poin e I Remarques La limie, si elle exise, es unique F = (f,g) es coninue en si e seulemen si f e g son coninues en F = (f,g) es coninue sur I si e seulemen si f e g son coninues sur I Francis Wlazinski

2 Définiion Soi F une foncion vecorielle e I ans Á F() F( ) n i que F es érivable en I si e seulemen si la foncion vecorielle Å ame une limie finie quan en vers Lorsque cee limie exise, on la noe F'( ) Elle es appelée veceur érivé e F en n i que F es érivable sur I si e seulemen si F es érivable en ou poin e I Propriéé Soi F = (f,g) une foncion vecorielle e I ans Á F es érivable en I si e seulemen si f e g son érivables en Dans ce cas, on a F'( ) = (f'( ),g'( )) Remarques F = (f,g) es érivable sur I œ f e g son érivables sur I Si F es érivable sur I, l'applicaion qui, à ou I, associe F'( ) es appelée foncion érivée e F e es noée F ou F n éfini e proche en proche les érivées successives e F Par exemple, F = F = F = F Si on muni le plan eucliien 'un repère (,, Œ), pour une foncion vecorielle F = (f,g) e I ans Á, pour une valeur e e I, on peu consiérer le poin M el que le veceur M ai pour cooronnées (f(),g()) ans (, Œ) Par abus e langage, on noe M() = (f(),g()) En cinémaique, le veceur érivé premier e M(), correspon au veceur viesse e le veceur érivé secon correspon au veceur accéléraion Exemple Un mobile M se éplace sur une rajecoire x() = 3 3 ln pour > y() = e C'es-à-ire M() a pour cooronnées (x(),y()) ans un repère (,, Œ) Le veceur viesse à un insan es V 3 3, e ans la base (, Œ) Le veceur accéléraion à un insan es 6 + 3, e ans la base (, ) Œ Propriéé Soien F e G eux foncions vecorielles e I ans Á ou Á 3 érivables sur I Soien λ un réel e ϕ une foncion numérique éfinie e érivable sur I Alors, on a sur I : a (λ F)' = λ F' b ( F + G)' = F' + G' c ( F G)' = F' G + F G' ( F G)' = F' G + F G' e (ϕ F)' = ϕ' F + ϕ F' Francis Wlazinski

3 Exemple Soien F() = ( 5 +, ) e G() = ( + 3; ) n veu calculer FG ère méhoe : F () = ( 5, ) e G () = (, 4 ) F'() G() + F() G'() = = ème méhoe : F() G() = = ( F() G())' = Propriéé (Développemen e Taylor) Soi p À* e soi F une foncion vecorielle coninûmen érivable jusqu'à l'orre p + sur I Soien inérieur à I e h Á / ( + h) I n a : F( + h) = F( ) + hf ( ) + h! F ( ) + + hp p! F(p) ( ) + h p (h) avec lim (h) h = Exemple Soi F() = ( + 5; ln ) n veu éerminer le éveloppemen e Taylor e F en à l'orre ère méhoe : F() = ( + 5; ln ) e F() = (6, ) F () = + 5, e F () = (7, ) F () =, e F () = (, ) D'où F( + h) = F() + hf () + h avec! F () + h (h) lim (h) h = = (; ) F( + h) = 6 + h 7 + h + h avec (h) lim (h) h = = (; ) F( + h) = 6 + 7h + h h h + h (h) avec lim (h) h = = (; ) ème méhoe : x() = + 5 x( + h) = ( + h) + 5( + h) = h + h h = 6 + 7h + h y() = ln y( + h) = ln ( + h) = h h + o(h ) = h + h ε (h) avec h lim h (h) = n obien le résula en posan (h) = (h) Francis Wlazinski 3

4 Courbes paramérées Définiion n appelle courbe (ou arc) paramérée plane (en cooronnées carésiennes) la onnée un couple F, I où F = (x,y) es une foncion vecorielle e Á ans Á e I B D F Soi (,, Œ) un repère (orhonormal) u plan n appelle suppor e la courbe (ou e l arc) l'ensemble es poins on les cooronnées corresponen à F(I) c'es-à-ire l ensemble es poins M els que M() (veceur u plan) ai pour cooronnées F () =(x(),y()) (veceur e Á ) ans (, Œ) quan varie sur I Remarques n parlera pluô e courbe si I = D F (qui peu êre à éerminer) Par abus, on noe parfois M() = F() Soi F éfinie sur Á par F() = (cos,sin ) e soi G éfinie sur Á par G() = (cos,sin ) Les arcs ( F,Á), ( F,[;π]) e ( G,[;π]) ne son pas les mêmes mais on même suppor qui es le cercle rigonomérique Une grane ifférence avec les courbes représenaives classiques es la possibilié 'avoir pour une même valeur e x plusieurs valeurs e y possibles ans une courbe paramérée La courbe : représenaive 'une foncion g e Á ans Á éfinie sur un inervalle I peu êre paramérée par le sysème x() = x() = )() où I Mais aussi par où ψ es une y() = g() y() = (go))() bijecion 'un inervalle J ans I e J : es le suppor e G, I où G() = (,g()) Exemples Les courbes paramérées (, ) où Á, ( 3, 6 ) Á e (an, an ) où ; on même suppor qui es la courbe représenaive e la foncion f : Á Á x Å x Touefois ces courbes paramérées son bien ifférenes Soi f : Á + Á e soi C sa courbe représenaive x Å ln x n peu paramérée C par x() = x() = où Á + ou par y() = ln y() = ln( ) où Á + n peu remarquer que, ans ce ernier cas, si on avai pris Á la courbe n aurai pas éé la même bien qu elle aurai eu le même suppor n peu aussi ire que le graphique es le même mais la façon on on le parcour es ifférene Francis Wlazinski 4

5 Remarque n pourra parfois se ramener à une courbe représenaive classique à parir 'une courbe paramérée Mais ce ype e courbe n'offre pas énormémen 'inerês ans ce cours x() = 3 + Par exemple, soi Γ la courbe paramérée éfinie par où Á y() = n a = 3 x e onc le suppor e Γ es la courbe représenaive e la foncion f éfinie sur Á par f(x) = ( 3 x ) x + 3 Propriéé Soi ( F,I) un arc paraméré où F es une foncion vecorielle sur I Soi ϕ une bijecion coninue e I sur J e soi G = F o ϕ c'es-à-ire F = G o ϕ n i que l arc paraméré ( G,J) es un reparamérage e ( F,I) Domaine e éfiniion e omaine uile 'éue Définiions L'ensemble e éfiniion e la courbe paramérée Γ éfinie par la onnée u couple e foncions F = (x,y) es l'inersecion es ensembles e éfiniion es foncions x e y n i que la courbe es simple si e seulemen si F es une injecion n i qu'une courbe simple es un chemin si son ensemble e éfiniion es inervalle fermé borné e Á Propriéé Soien T e T eux réels e soi T le plus pei muliple commun à T e T s'il exise C'es-à-ire, s'il exise k,k' Ä els que T = kt = k't Soi Γ une courbe paramérée éfinie sur D Γ par la onnée e M() = (x(),y()) n suppose e plus que D Γ es sable par une ranslaion e T Si x es périoique e plus peie périoe T e si y es périoique e plus peie périoe T, alors il suffi 'éuier Γ sur l'inersecion e D Γ avec ou inervalle e longueur T car M( + T) = M() Exemple x() = an Soi Γ la courbe paramérée éfinie par 3 y() = sin 5 Il fau où k Ä C'es-à-ire D Γ = Á \ { k Ä} 3 + k 3 + 6k x es périoique e périoe 3π car an es périoique e périoe π y es périoique e périoe 5π car sin es périoique e périoe π Donc il suffi 'éuier Γ sur l'inersecion e D Γ avec un inervalle e longueur 5π n pourra, par exemple, prenre : (ce n'es pas le plus simple, inrouire la noion e symérie) ; 3 Propriéé 3 ; 9 9 ; 5 5 ; ; 7 Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() Soien e eux élémens ifférens e D Γ = (x(),y()) 7 ; 5 Francis Wlazinski 5

6 Cas : Si x( ) = x( ) e y( ) = y( ) alors les poins M( ) e M( ) son ieniques Cas : Si x( ) = x( ) e y( ) = y( ) alors M( ) es obenu à parir e M( ) par la symérie 'axe x Cas 3 : Si x( ) = x( ) e y( ) = y( ) alors M( ) es obenu à parir e M( ) par la symérie 'axe y Cas 4 : Si x( ) = x( ) e y( ) = y( ) alors M( ) es obenu à parir e M( ) par la symérie par rappor à Cas 5 : Si x( ) = y( ) e y( ) = x( ) alors M( ) es obenu à parir e M( ) par la symérie par rappor à la roie 'équaion y = x Cas 6 : Si x( ) = y( ) e y( ) = x( ) alors M( ) es obenu à parir e M( ) par la symérie par rappor à la roie 'équaion y = x Conséquence Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = (x(),y()) n suppose que D Γ es un ensemble symérique par rappor à l'origine Si x es paire ou impaire e si y es paire ou impaire, ou si, D Γ, x( ) = y() e y( ) = x() ou si, D Γ, x( ) = y() e y( ) = x(), alors nous sommes ans l'un es 6 cas précéens, le poin M( ) es obenu à parir e M() par l'une es syméries énumérées e on peu réuire l'inervalle 'éue e Γ à D Γ + Á (ou D Γ Á suivan l'inérê) La euxième parie e la courbe es obenue par la ransformaion u plan corresponan au cas Exemple x() = cos Soi Γ la courbe paramérée éfinie par y() = sin n a D Γ = Á x es périoique e périoe π e y es périoique e périoe π Donc il suffi 'éuier Γ sur un inervalle e longueur π De plus, x es paire e y es impaire c'es-à-ire x( ) = x() e y( ) = y() pour ou réel Donc, on réui l'inervalle 'éue à [, ], les poins corresponans à l'inervalle [, ] éan obenus es premiers par la symérie 'axe x Définiion n i qu'un ensemble E e Á es symérique par rappor à α Á si e seulemen si on a l'implicaion : x E (α x) E Exemples Soi R Á L'inervalle [,R] es symérique par rappor à + R En effe, x [,R] x R R x R + R x + R + R R x R (R x) [,R] Soi R Á + L'ensemble ; R es symérique par rappor à 4 3R 4 ; R R Á es symérique par rappor à 3 [ ;] [;3] es symérique par rappor à Francis Wlazinski 6

7 Conséquence Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = (x(),y()) Si D Γ es symérique par rappor à R où R Á e si,, D Γ vérifian + = R, nous sommes ans l'un es 6 cas précéens alors le poin M( ) = M(R ) es obenu à parir u poin M( ) par l'une es syméries énumérées e on peu réuire l'inervalle 'éue e Γ à D Γ ; R (ou à D Γ R ; + suivan l'inérê) La euxième parie e la courbe es obenue par la ransformaion u plan corresponan au cas Remarques Si D Γ = [,R], il suffira 'éuier sur, R ou sur R, R La conséquence es une généralisaion e la conséquence En effe, la conséquence correspon au cas R = Exemple x() = cos Soi Γ la courbe paramérée éfinie par y() = sin n sai éjà qu'il suffi 'éuier Γ sur [, ] (exemple précéen) n a : [, ] symérique par rappor à x(π ) = x() e y(π ) = y() pour ou e [, ] Le poin M (π ) es onc obenu à parir u poin M() par la symérie 'axe y Donc on réui l'inervalle 'éue à,, les poins corresponans à l'inervalle éan obenus, es premiers par la symérie 'axe y De plus :, es symérique par rappor à 4 x e pour ou e = sin = y() y = cos = x(), Donc on réui l'inervalle 'éue à,, les poins corresponans à l'inervalle éan obenus 4 4, es premiers par la symérie 'axe y = x Il n'y a plus e résulas inéressans en ce qui concerne x 4 e y 4 Propriéé Soi ϕ une foncion numérique e soi K une ransformaion u plan Soi Γ une courbe paramérée éfinie sur D Γ n suppose que D Γ = ϕ( ), si = ϕ( ) alors M( ) es l'image e M( ) par K Alors il suffi 'éuier Γ sur Remarque Cee propriéé inègre les siuaions précéenes Francis Wlazinski 7

8 Exemple x() = Soi Γ la courbe paramérée éfinie sur ];+ [ par y() = Soi ϕ la foncion éfinie sur ];+ [ par ϕ() = n a ];+ [ = ];[ ];+ [ avec ];+ [ = ϕ(];[) ou ];[ = ϕ(];+ [) x n a surou = y() onc e M() son symériques par rappor à la roie y = x y M = x() Eue locale Soi F une foncion vecorielle coninûmen érivable jusqu'à l'orre n + sur I Soi Γ la courbe paramérée éfinie par M() = F() (= (x(),y())) Soi inérieur à I e soi h Á / ( + h) I Soi M = M( + h) e M = M( ) c'es-à-ire M = F( + h) e M = F( ) n a : F( + h) = F( ) + hf ( ) + h avec! F ( ) + + hn n! F(n) ( ) + h n (h) lim (h) h = r M M = M + M = M M = F( + h) F( ) Donc M M = hf ( ) + h! F ( ) + + hn n! F(n) ( ) + h n (h) Soi p le plus pei inice el que F (p) ( ) F (p) ( ) es le veceur ireceur e la angene à Γ en M Si F ( ) =, on i que M es un poin saionnaire ou singulier Soi q le plus pei inice el que F (q) ( ) e F (p) ( ) ne soien pas colinéaires Alors au voisinage e M, le veceur M M se compore comme h p F (p) ( ) + h q F (q) ( ) Si p es impair, alors h p < si h < e h p > si h > e si p es pair, alors h p > si h < e h p > si h > Si q es impair, alors h q < si h < e h q > si h > e si q es pair, alors h q > si h < e h q > si h > n a onc les résulas suivans : Si p es impair e q es pair alors M es un poin orinaire h < ( F q ) h > F ( p) Si p es impair e q es impair alors M es un poin 'inflexion F( q ) h > h < F ( p) Francis Wlazinski 8

9 Si p es pair e q es impair alors M es un poin e rebroussemen e ère espèce ( F q ) h > h < F ( p) Si p es pair e q es pair alors M es un poin e rebroussemen e ème espèce F ( q) F ( p) Exemples a Euier le comporemen e la courbe paramérée x() = 34 3 au voisinage e y() = x = = 6 y = = 4 x () = 3 6 x = 3 6 = y () = y = = x () = 36 x = 36 = 3 p = y () = y = x () = 7 x q = 3 y = 7 = 4 () = y = M = 6, M M = h + avec h3 + h 6 3 (h) lim (h) h = n a onc : h< h > F ( p) F ( q) Poin e rebroussemen e ère espèce Francis Wlazinski 9

10 x() = + cos b Euier le comporemen e la courbe paramérée au voisinage e y() = sin x( + h) = + h h3 + 4 h5 + h5 (h) y( + h) = h h3 x() = e y() = onc M (, ) + h5 + h5 (h) 5 (h) D'où M M = h h3 + h5 + h 5 (h) (h) Si on pose (h) =, on a bien lim (h) (h) h = F ( p) h > F ( q) h < M Poin 'inflexion c x() = Euier le comporemen e la courbe paramérée y() = ( + ) au voisinage u poin Puisque lim x() = e lim y() =, on a M = (,) n pose h = lorsque es proche e alors h es proche e n a onc oujours h < x() = = h = h h = h + h3 + o(h 3 ) h h + y() = ( + ) = h = ( + h) = + h + h D'où M M = h + h avec + h (h) lim (h) h = F ( q) h < F ( p) Poin orinaire 3 Poins inflexion Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = F() = (x(),y()) Francis Wlazinski

11 Si M = M( ) es un poin 'inflexion, alors le veceur érivé premier e le veceur érivé secon e F en son colinéaires c'es-à-ire e F ( ), F ( ) = Les poins inflexion e Γ se rouven parmi les soluions e x ()y () x ()y () = Aenion, ceci es une coniion nécessaire mais pas suffisane En effe, si on pren Γ éfinie par M() = F() = (, ) en = n a bien e F ( ), F ( ) = (à vrai ire c'es vrai pour ou réel ) Pouran Γ es la première iagonale e n'a onc pas e poin 'inflexion y () Si mainenan on consière x () si x () Ce quoien correspon à la pene e la angene à la courbe Γ au poin e il es noé p() n peu parfois éerminer p() même si x () = = y () La courbe Γ ame un poin inflexion en ou poin M() où la érivée e la pene s annule e change e signe n a p () = x ()y () x ()y () y () (x ()) (Aenion, en général p'() ) x () 4 Branches infinies Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = (x(),y()) n i que Γ ame une branche infinie lorsque en vers ( fini ou non) si lim M() = + c'es-à-ire si au moins une es cooronnées x() ou y() en vers l'infini lorsque en vers Les ifférens cas son alors les suivans : Si lim ( Á) e alors la roie 'équaion x = x x() = x lim es asympoe à Γ y() = x Si lim e ( Á) alors la roie 'équaion y = y x() = lim es asympoe à Γ y() = y y Francis Wlazinski

12 y() Si lim x() = e lim alors on éuie y() = lim x() y() Si lim alors Γ ame une branche parabolique ans la irecion y x() = y() Si lim alors Γ ame une branche parabolique ans la irecion x x() = y() Si lim ( Á*) e ( Á) alors la roie 'équaion y = ax + b es x() = a lim y() ax() = b asympoe à Γ y() Si lim ( Á*) e alors Γ ame une branche parabolique e x() = a lim y() ax() = pene a y() Si lim e si n'a pas e limie alors on ne peu rien ire x() = a y() ax() y() Si x() n'a pas e limie alors on ne peu rien ire Francis Wlazinski

13 Exemple Eue es branches infinies e la courbe paramérée Γ éfinie par : Nous avons es branches infinies lorsque en vers, ou ± lim x() = e lim + y() = + x() = + e lim y() = lim x() = y() = + ( ) Donc la roie 'équaion y = (c'es à ire l'axe es abscisses) es asympoe à Γ lim x() = e lim y() = Donc la roie 'équaion x = (c'es à ire l'axe es oronnées) es asympoe à Γ lim x() = e lim y() = y() x() = + Donc ( ) = + y() lim ( )( ) x() = y() x() = + ( ) = + ( + 3 ) = (3 + ) ( ) ( ) D'où lim y() x() = 3 Alors la roie 'équaion y = x + 3 es asympoe à Γ = ( 3 + ) ( ) 5 Poins oubles e poins muliples Il arrive que pour eux (ou plus) valeurs isincs e les poins obenus 'une courbe paramérée soien les mêmes Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = (x(),y()) x( ) = x( ) Pour éerminer l'exisence e la valeur e ces poins muliples, on résou le sysème y( ) = y( ) En praique, on pren pluô a e b ou r e s à la place e e Exemple x() = n cherche les poins oubles e Γ la courbe paramérée éfinie sur Á \{ ;} par y() = + + a n oi résoure : a a = b b b a + a + = b + b + ab ab 4a b + b + = ba ab 4b a + a + ab + a + b + = ba + b + a + Francis Wlazinski 3

14 ab ba 5a + 5b b + a = ab ba + a b + b a = ab (b a) + 5(b a) (b + a)(b a) = ab(b a) (b a) + (b a)(b + a) = ab + 5 (b + a) = ab + (b + a) = En posan S = a + b e P = ab P + 5 S = P + S = 'où P = e S = 3 Donc a e b son soluions e X SX + P = c'es-à-ire X 3X = = 3, X = e X = 3 3 D'où {a,b} = {X,X } 6 Plan 'éue Soi Γ une courbe paramérée éfinie par la onnée e M() = (x(),y()) = F() Ensemble e éfiniion e x e y Périoicié, parié e aures syméries possibles Déerminaion e F () Signe e x' e e y' Tableau e variaions Branches infinies Eue u comporemen aux poins saionnaires Quelques poins courbe Poins oubles 3 Courbes en cooronnées polaires 3 Cooronnées polaires 'un poin ans le plan n consière G le plan eucliien muni 'un repère orhonormal (,, Œ) M Soi M un poin e G iffèren e n peu connaîre la posiion e M avec la onnée 'une mesure θ e l'angle e roie (x, (M)) e la onnée e ρ la valeur algébrique M j i θ Le couple (ρ,θ) forme es cooronnées polaires e M Francis Wlazinski 4

15 Remarques Un angle e roie es éfini à π près Il n'y a pas unicié es cooronnées polaires (ρ,θ) 'un poin M Car il en es e même pour ous les couples (ρ,θ + kπ) e ( ρ,θ + π + kπ) où k Ä C'es-à-ire, plus simplemen, (( ) k ρ,θ + kπ) où k Ä es repéré par ρ = e θ quelconque Ne pas confonre avec l'image 'un nombre complexe z = ρe iθ où ρ es posiif Le passage es cooronnées polaires aux cooronnées carésiennes se fai grace aux formules: x() = ρ() cos y() = ρ() sin 3 Courbes planes en cooronnées polaires Nous allons nous inéresser à la consrucion es courbes planes on les cooronnées polaires es poins son liées par une relaion u ype ρ = f(θ) où f es une foncion numérique réelle (Á Á) érivable auan e fois que nécessaire Remarque n pourrai revenir aux courbes paramérée classiques grâce aux formules : x = ρ cos θ e y = ρ sin θ 3 Courbes pariculières Droie passan par Equaion : θ = θ + kπ où k Ä Droie ne passan pas par ax + by + c = avec c 'où a x + b c c y = r x = ρ cos θ e y = ρ sin θ onc a ρ cos θ + b c c ρ sin θ = n pose α = a c e β = b c Equaion : ρ = cos + sin Cercle e cenre e e rayon a Equaion : ρ = a ou ρ = a Cercle passan par (x a) + (y b) = r avec a + b = r car es un poin u cercle Donc x ax + y by = or x = ρ cos θ e y = ρ sin θ onc (ρ cos θ) aρ cos θ + (ρ sin θ) bρ sin θ = ρ ρ (a cos θ + b sin θ) = ρ(ρ (a cos θ + b sin θ)) = # Si ρ =, on obien le cercle réui au poin Francis Wlazinski 5

16 # Si ρ (a cos θ + b sin θ) =, on pose α = a e β = b Equaion : ρ = α cos θ + β sin θ (Cee équaion inègre le cas ρ = ) 3 Domaine 'éue Soi Γ la courbe plane 'équaion polaire ρ = f(θ) où f es une foncion numérique réelle (Á Á) L'ensemble e éfiniion D Γ e Γ es celui e f Comme pour les courbes paramérées, on éermine 'abor un omaine e représenaion propre c'es-à-ire une parie D e D Γ elle que Γ soi écrie enièremen une fois e une seule lorsque varie sur D Périoicié n suppose que : D Γ es sable par la ranslaion e T f(θ + T) = f(θ) c'es à ire ρ(θ + T) = ρ(θ) pour ou θ e D Γ Si T = k π où k Ä*, alors M(θ + T) = M(θ) e on peu réuire l'inervalle 'éue au moins à l'inersecion e D Γ e 'un inervalle e longueur T Si T = (k + )π où k Ä*, alors M(θ + T) = M(θ) son symériques par rappor à n a une représenaion propre sur un inervalle e longueur T Mais on peu réuire l'inervalle 'éue au moins à l'inersecion e D Γ e 'un inervalle e longueur T à cause e la symérie Si T = π / k où k Ä*, alors on peu réuire l'inervalle 'éue au moins à l'inersecion e D Γ e 'un inervalle e longueur T e on éermine le poin corresponan à θ + T à parir e celui corresponan à θ par une roaion angle T Aure cas : Si ρ(θ + π) = ρ(θ) alors on peu réuire l'inervalle 'éue au moins à l'inersecion e D Γ e 'un inervalle e longueur π car les poins e cooronnées (ρ,θ) e ( ρ,θ + π) son les mêmes Parié n suppose que l'on a réui l'ensemble 'éue 'une courbe Γ à D n peu réuire encore le omaine 'éue si f possèe es propriéés pariculières : Si f es paire, alors Γ es symérique par rappor à l'axe es abscisses e on peu réuire à D Á + Si f es impaire, alors Γ es symérique par rappor à l'axe es oronnées, e même, on peu réuire l'éue à D Á + Aures cas Si D es symérique par rappor à e si f(π θ) = f(θ), alors les poins M(π θ) e M(θ) son symériques par rappor à l axes y n peu réuire à D ; ou à D ; + De façon plus générale, si la courbe paramérée Γ ame une représenaion propre sur un inervalle D symérique par rappor à e si θ,θ D / θ + θ = α, on a f(θ ) = f(θ ),alors il suffi 'éuier Γ sur D ; ou à D la euxième ; + parie e la courbe s'obenan par la symérie 'axe la roie 'axe polaire En pariculier, si D = [,α], on peu réuire à, ou à, Francis Wlazinski 6 M θ α/ M θ

17 33 Eue locale au voisinage 'un poin Propriéé Soi M(θ) un poin 'une courbe Γ éfinie par (θ,ρ(θ)) Le veceur u (cos θ,sin θ) ans (,, Œ) orhonormal es un veceur uniaire u = ( sin θ) + (cos θ) Œ = (cos (θ + )) + (sin (θ + )) = v Œ (M(), u, v) es un repère orhonormal u plan i repère u mobile n a M =!u ou, plus précisemmen, M() =!()u() D'où M =! ()u() +!()v() =! u +! v Remarques v j u M θ i Si ρ(θ), c'es-à-ire si M(θ), alors M Le veceur M es le veceur ireceur e la angene en M en Γ Le poin M es soi un poin orinaire soi un poin 'inflexion!() Si ρ'(θ), la pene e la angene ans le repère (M(), u, v) es! () Si ρ(θ) = e ρ'(θ), on a M =! u La angene en M(θ) = fai un angle θ avec l'axe x Si ρ(θ) = e ρ'(θ) =, on a M = e M(θ) = es un poin saionnaire n rouve e même que la angene en M(θ) = fai un angle θ avec l'axe x 34 Eue e la concavié M =! ()u() +!()v() M =! ()u() +! e M, M!!! = = ρ + (ρ') ρρ'' ()v() +! ()v()!()u() = (! ()!())u +! ()v!! (((((Si ρ + (ρ') ρρ'' >, alors la concavié es ournée vers le pôle)))))) (((((Si ρ + (ρ') ρρ'' <, alors la concavié es opposée au pôle)))))) Si ρ + (ρ') ρρ'' = e s'il y a changemen e signe alors le poin M es un poin 'inflexion 35 Branches infinies Soi Γ la courbe en cooronnées polaires éfinie par (θ,ρ(θ)) ans une repère (,, Œ) Si ρ(θ) ± quan θ ±, alors Γ es une spirale qui s'éloigne e ou en ournan Si ρ(θ) quan θ ±, alors Γ es une spirale qui converge vers i poin asympoe Si ρ(θ) a ( Á) quan θ ±, alors Γ es une spirale qui s'enroule auour u cercle e cenre e e rayon a Francis Wlazinski 7

18 Si ρ(θ) ± quan θ θ, Si ρ sin(θ θ ) (fini) lorsque θ θ alors la roie passan par le poin H e cooronnées polaires (θ +,) e 'angle polaire θ es asympoe H j θ i Exemple La posiion e la courbe par rappor à la angene épen u signe e ρ sin(θ θ ) Si ρ sin(θ θ ) + alors la courbe es au essus e la angene (relaivemen au repère local) Si ρ sin(θ θ ) alors la courbe es au essous e la angene (relaivemen au repère local) Si ρ sin(θ θ ) ± lorsque θ θ la courbe ame une branche parabolique ans la irecion e la roie 'angle θ Si ρ sin(θ θ ) n'a aucune limie lorsque θ θ, une éue spécifique es nécessaire Soi Γ la courbe paramérée en cooronnées polaires éfinie par ρ = sin Un éue préalable monre que l'on peu éuier la courbe sur, D n a lim ρ = ± 6 n pose = θ 6 n a θ = + e θ proche e proche e 6 6 n a sin = sin sin + 3 sin cos 6 sin M en 3 sin cos M 3 en (en uilisan un éveloppemen limié) D'où lim sin 3 sin cos = 3 La roie passan par le poin H e cooronnées polaires (, ) e 'angle polaire es asympoe Poins oubles Le pôle es un poin muliple si ρ(θ) s'annule pour plusieurs valeurs e θ Un poin aure que le pôle 'angle polaire θ es un poin muliple 'une courbe éfinie par ρ = f(θ) si f(θ + kπ) = f(θ ) ou si f(θ + (k+)π) = f(θ ) pour un cerain enier k Siuaion que l'on peu résumer par f(θ + kπ) = ( ) k f(θ ) Francis Wlazinski 8

19 37 Plan 'éue Soi Γ une courbe paramérée éfinie par (θ,ρ(θ)) Ensemble e éfiniion e ρ Périoicié, parié e aures syméries possibles Déerminaion e ρ' Eue u signe e ρ' Tableau e variaions Tableau e valeurs incluan ρ' e ρ Branches infinies Poins oubles Représenaion e la courbe 4 Mérique es courbes 4 Longueur M M 3 M B 4 Soi Γ une courbe plane e soien A e B eux poins e Γ n consière l'arc AB e es poins M, M,, M n ifférens e successifs e l'arc AB A M n appelle ligne polygonale inscrie AM M M n B la réunion es segmens [AM ], [M M ], [M M 3 ],,[M n M n ], [M n B] La longueur e la ligne polygonale inscrie AM M M n B es L n = AM + i= M i M i+ + M n B La longueur l e l'arc AB es la limie es longueurs maximales e oues les lignes polygonales inscries AM M M n B quan le nombre n es coés e cee ligne en vers l'infini Remarquons que, ans ce cas, la longueur es segmens [M i M i+ ] en vers Supposons que l'arc AB possèe parou une angene e consiérons mainenan eux poins e celui-ci rès "proches" l'un e l'aure n H M ε M' La longueur λ e l'arc MM e la longueur u segmen [MM ] son eux infinimen peis équivalens Tangene T En effe, MM > > MH + HM avec HM = MH = MM cos e HM = MM sin D'où MM > > MM (cos + sin ) Francis Wlazinski 9

20 Quan M en vers M' (ce qui sera le cas quan nous augmenerons le nombre 'arêes ans les lignes polygonales inscries), ε en vers Donc cos ε + sin ε en vers Supposons mainenan que le plan soi muni 'un repère orhonormal (,, Œ) e que M ai pour cooronnées x e y ans ce repère La longueur e l'arc AM es une foncion e x que nous noerons s(x) Muni 'une orienaion e la courbe, s(x) fourni (e es appelée) une abscisse curviligne e M n noe les cooronnées e M' ans (,, Œ) par x + x e y + y e on suppose MM oriené ans le sens posiif n a onc s = M MM = ( x) + ( y) En posiion limie, on rouve s = (x) + (y) (s) = (x) + (y) ou plus généralemen (sans s'occuper e l'orienaion) De plus, en consiéran la limie es longueurs maximales e oues les lignes polygonales inscries AM M M n B, on obien que la longueur e l'arc AB es ˆ s Ce qui onne : Propriéés Soien A e B eux poins 'une courbe plane Γ e soi l la longueur e l'arc AB Si Γ es éfinie par y = f(x) e si A e B son les poins 'abscisses respecives x e x, on obien s = + y x = + (y ) x e l = ˆ + y x x x Si Γ es éfinie par M() = (x(),y()) e si A e B son obenus respecivemen avec e, on obien s = x y + = x () e l = + y () ˆ x + y Si Γ es éfinie par ρ = ρ(θ) e si A e B son obenus respecivemen avec θ e θ, on a x = ρ cos θ e y = ρ sin θ D'où x = cos θ ρ ρ sin θ θ e y = sin θ ρ + ρ cos θ θ (x) = cos θ (ρ) ρ sin θ cos θ ρ θ + ρ sin θ (θ) (y) = sin θ (ρ) + ρ sin θ cos θ ρ θ + ρ cos θ (θ) Donc s = (!) +! () =!() +! () e l = ˆ! +! Remarques Si F es coninûmen érivable sur [ ; ] La longueur e l arc ([ ; ], F) es le réel posiif : ˆ F () u Si ([u ;u ], G) es un aure paramérage e ([ ; ], F) alors ˆ F () = ˆ G () Si applicaion σ e I vers Á es une abscisse curviligne e (I, F) alors, pour ous, e I, la longueur e l arc ([ ; ], F) es σ( ) σ( ) x AB u Francis Wlazinski

21 4 Courbure y + T θ R M A x n muni le plan 'un repère orhonormal (,, Œ) Soi : le cercle e cenre e e rayon R Soi T le veceur ireceur e la angene au poin M e : éfini par mes, M K [] n a mes, T K [] K + [] L'abscisse curviligne e M compée à parir e A es s = Rθ Donc s = s = R a Rappel : L'angle α que fai le veceur u ans (,, Œ) avec le veceur vérifie an = b b a Plus généralemen : n muni le plan 'un repère orhonormal (,, Œ) Soi Γ une courbe plane e soien M e M' eux poins e Γ + M M' T' α T Soi T le veceur angen à Γ en M Soi α une mesure e l'angle, T n appelle courbure moyenne e l'arc oriené MM le rappor où s ésigne la variaion s e l'abscisse curviligne enre M e M' e ésigne une mesure e l'angle T, T α x n appelle courbure e Γ en M e on noe γ(m) la limie e la courbure moyenne quan M' en vers M C'es-à-ire γ(m) = s n appelle rayon e courbure l'inverse e la courbure (si celle-ci es non nulle) ie R(M) = (M) = s Si T es le veceur angen uniaire au poin M e si N es le veceur uniaire irecemen perpeniculaire au veceur T, nous savons que T = N Donc N = T = T s = T ou encore s s R(M) T s = (M)N Le cenre e courbure es le poin C(M) el que MC(M) = R(M)N Soi A un poin 'une courbe plane Γ que l'on suppose érivable en ou poin (sauf peu-êre un nombre fini) Si Γ es éfinie par y = f(x), on a T ans (,, Œ) f (x) E onc y = an e y = y x = y x = ( + an ) x = ( + (y ) ) x Francis Wlazinski

22 Soi x = + (y ) y Puisque (s) = (x) + (y), on obien y = + x x Si on suppose la courbe oriené ans le sens es x croissans, on a s x = + y x = + (y ) D'où R = s = s x ( + (y ) ) 3 = (si ) x y y Si Γ es éfinie par M() = F() = (x(),y()), on a an = y () x c'es-à-ire () = arcan y () x () Donc = y ()x () y ()x () (x ()) + y = x ()y () x ()y () () (x ()) + (y ()) x () Puisque (s) = (x) + (y), on obien s = x y + Si on suppose la courbe oriené ans le sens es croissans, on a s = x () + y () D'où R = s = s ((x ()) + (y ()) ) 3 = (si ) x ()y () x ()y () x ()y () x ()y () Si Γ es éfinie par ρ = ρ(θ) e si on pose!, on a T ans le repère u mobile =! Donc α = θ + ψ où θ es l'angle que fai le veceur normal avec e ψ es l'angle que fai le veceur angen avec le veceur normal! n a, e plus, an ψ = c'es-à-ire ) = arcan!!! Donc Remarque = + ) = +!! (!!! ) +!! s!! + ( =!! )!!! + (! ) Puisque (s) = (x) + (y), on obien =! +! Si on suppose la courbe oriené ans le sens es θ croissans, on a s =! + (! ) D'où R = s = s (! + (! ) ) 3 = (si! + (! )! + (! )!! )!! La courbure éan l'inverse u rayon e courbure, on rerouve les résulas sur les poins 'inflexion corresponan au cas où la courbure s'annule e change e signe Francis Wlazinski