Interpolation multirésolution de formes 2D

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1 Jourées de l Associatio Fracophoe d Iformatique Graphique, Bordeaux, 2006 Iterpolatio multirésolutio de formes 2D Mélaie Corillac 1, Baptiste Caramiaux 1, Stefaie Hahma 1 et Georges-Pierre Boeau 2 1 Laboratoire LMC-IMAG, INPG, Greoble 2 Laboratoire GRAVIR-INRIA, UJF, Greoble préom.om@imag.fr Abstract We preset a multiresolutio morphig algorithm usig "as-rigid-as-possible" shape iterpolatio combied with a agle-legth based multiresolutio decompositio of simple 2D piecewise curves. This ovel multiresolutio represetatio is defied itrisically ad has the advatage that the details orietatio follows ay deformatio aturally. The multiresolutio morphig algorithm cosists of trasformig separately the coarse ad detail coefficiets of the multiresolutio decompositio. Thus all LoD (level of detail) applicatios like LoD display, compressio, LoD editig etc. ca be applied directly to all morphs without ay extra computatio. Furthermore, the algorithm ca robustly morph betwee very large size polygos with may local details as illustrated i umerous figures. The itermediate morphs behave atural ad least-distortig due to the particular itrisic multiresolutio represetatio. Nous présetos ue ouvelle méthode de morphig de courbes plaes utilisat ue combiaiso etre ue iterpolatio "aussi-rigide-que-possible" et ue décompositio multirésolutio itrisèque. Cette ouvelle représetatio multirésolutio est basée sur les agles et logueurs, et présete l avatage que l orietatio des détails suit aturellemet importe quelle déformatio. Le pricipe du morphig multirésolutio est de trasformer séparémet les coefficiets grossiers et ceux de détails issus de la décompositio multirésolutio. Aisi, toutes les maipulatios des iveaux de détails (NdD) comme l affichage de NdD, la compressio, l éditio,... peuvet être appliquées directemet aux métamorphoses sas calcul supplémetaire. De plus, ous motros au travers de ombreuses figures la robustesse de otre algorithme sur des polygoes de grade taille avec de ombreux détails. Les polygoes itermédiaires se comportet aturellemet et leur distorsio est miimale grâce à la représetatio multirésolutio itrisèque que ous avos choisie. 1. Itroductio Le morphig (ou métamorphose) est la trasformatio progressive et lisse d u modèle e u autre par iterpolatio. Ce modèle peut être e dimesio 2 ue image ou ue courbe, ou e 3D ue surface ou u volume. Le problème est de créer ue trasitio etre deux formes qui soit esthétique et ituitive. Les formes itermédiaires doivet préserver l apparece et les propriétés des formes e etrée. La simple iterpolatio liéaire etre les deux formes s avère souvet iadaptée, car les formes itermédiaires ot tedace à beaucoup varier e volume ou ecore à voir les proportios de leurs formes caractéristiques chager. U autre effet égatif est que des détails géométriques peuvet disparaître pour réapparaître plus tard. Le processus de morphig se décompose e deux problèmes : le problème du couplage des sommets (trouver ue correspodace etre les caractéristiques géométriques des objets source et destiatio) et le problème de la trajectoire des sommets (trouver la trajectoire suivie par deux élémets correspodats au cours de la métamorphose). Ces deux problèmes suscitet toujours beaucoup d itérêt e recherche, puisqu il existe pas à ce jour de défiitio formelle d ue solutio satisfaisate. Travaux précédets Il est bie cou qu u bo couplage iitial des sommets sources et destiatios peut améliorer de maière sigificative la qualité du morphig [SG92]. La plupart des algorithmes de morphig imposet doc mauellemet le

2 2 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D couplage de quelques poits choisis [ACOL00, SGWM93, GG95] ou supposet simplemet que le problème est résolu [SG03, SR95]. Das [Mey94], le problème du couplage des poits est résolu de faço multirésolutio e utilisat les odelettes. Das otre travail, ous cosidéros que le couplage des poits est doé, et que seul le problème de la trajectoire des poits est à résoudre pour des formes polygoales 2D. De bos résultats sot gééralemet obteus e choisissat d abord ue représetatio alterative de la courbe ou surface avat de l iterpoler. Das le cas de formes polygoales 2D, Sederberg et al. [SGWM93] représetet les polygoes par u esemble de logueurs et d agles. Shapira et Rappoport [SR95] utiliset ue représetatio squelette-étoilé. Goldstei et Gotsma [GG95] utiliset ue représetatio multirésolutio basée sur l évolutio de la courbe. Le morphig est aussi appliqué à des élémets décrivat l itérieur de la forme 2D, comme des triagles. Aisi, Floater et Gotsma [FG99] ot utilisé des coordoées barycetriques pour métamorphoser des triagulatios compatibles, et Surazhsky et Gotsma [SG03] ot e plus iterpolé des composates itrisèques de ces coordoées. Alexa et al. [ACOL00] effectuet u morphig etre des triagulatios compatibles e utilisat des applicatios locales qui miimiset les distorsios. Metioos aussi ue techique de morphig multirésolutio de maillages par Lee et al. [LDSS99]. Pour les techiques de morphig de maillages 3D, u état de l art est proposé par Alexa [Ale02]. La clé d ue méthode réussie semble être l utilisatio d ue représetatio basée sur des propriétés itrisèques à la géométrie des objets de faço à ce que l iterpolatio de ses élémets doe automatiquemet u résultat satisfaisat. La méthode de morphig que ous présetos das cet article est basée sur ue ouvelle représetatio multirésolutio. Das la modélisatio de formes complexes comportat de ombreux détails géométriques qui sot doc difficiles à maipuler, l aalyse multirésolutio offre u outil puissat pour représeter et déformer efficacemet des objets à différets iveaux de résolutio. Aisi, ue forme complexe est décomposée e ue approximatio grossière aisi qu u esemble de coefficiets de détails, permettat à tout momet la recostructio du modèle iitial. La déformatio d objets complexes comportat de ombreux détails peut être délicate et coûteuse à calculer. Das u cadre multirésolutio, même les objets complexes peuvet être édités à ue échelle choisie avec deux pricipaux effets. Premièremet, modifier des poits de cotrôle basse-résolutio modifie la forme globale de l objet sas e affecter les détails. Deuxièmemet, modifier des coefficiets de détails fis modifie le caractère local de l objet sas affecter sa forme globale. Le morphig multirésolutio décompose doc la forme source et la forme destiatio e ue approximatio grossière et u esemble de coefficiets de détails, il calcule séparémet la suite de formes grossières itermédiaires et celle de détails, et efi recostruit toutes les formes itermédiaires. Le choix de la représetatio multirésolutio est détermiat pour la qualité des formes géérées. E modélisatio géométrique assistée par ordiateur (CAGD) ou e iformatique graphique, les courbes ot gééralemet ue représetatio multirésolutio (MR) basée sur les B-splies [FS94, CQ92, EG95, Ber05, HBS05] et sot défiies pour des applicatios particulières. Das le cas des déformatios, et le morphig appartiet à cette applicatio, l orietatio des détails est u problème majeur. Par exemple, ue aalyse multirésolutio basée sur ue odelette e préserve pas l orietatio des détails au cours de la trasformatio. E effet, les détails sot ecodés das u système global de coordoées. Ue représetatio multirésolutio qui ecode les détails e utilisat des repères locaux comme [FS94] résout ce problème mais est pas appropriée pour le morphig. E effet, les polygoes grossiers peuvet tirer profit du morphig itrisèque de Sederberg, mais les détails eux e le peuvet pas. Doc le morphig des détails souffrirait du même maque de réalisme qu u morphig liéaire des sommets. Aperçu Das cet article, ous itroduisos ue représetatio multirésolutio pour les courbes 2D polygoales basée sur la courbure. Tous les coefficiets de détails serot représetés itrisèquemet par agles et logueurs. Nous motros que, comme les repères locaux, la représetatio multirésolutio préserve l orietatio des détails au cours de la déformatio. E outre, ous étudios so utilisatio pour le morphig e la combiat avec la techique de morphig "as-rigid-as-possible" de Alexa et al. [ACOL00] qui s est avérée fourir des métamorphoses de boe qualité. Nous présetos doc u algorithme de morphig multirésolutio itrisèque aussi-rigide-que-possible. 2. Aalyse Multiresolutio basée sur la représetatio agle-logueur L aalyse multirésolutio divise u vecteur de coefficiets c e ue partie grossière c 1 et ue partie de détails d 1. Cette divisio peut-être appliquée récursivemet au ouveau vecteur c 1. Aisi le vecteur origial des coefficiets peut-être décomposé e ue hiérarchie de vecteurs dits de basse-résolutio c 1,...,c 0 et de vecteurs de détails d 1,...,d 0. Ce procédé est appelé aalyse ou décompositio. Le vecteur des coefficiets origiaux peut-être retrouvé depuis importe quelle séquece c j,d j,d j+1,...,d, j = 0,..., 1. Ce procédé est appelé sythèse ou recostructio. Pour plus de détails et fodemets mathématiques sur l aalyse multirésolutio, vous pouvez vous reporter au travail origial de Mallat [Mal89]. Ue vue d esemble des applicatios e iformatique graphique est doée das [SDS96]. Comme ous l avos expliqué das l itroductio, les

3 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D 3 déformatios d ue représetatio MR basée sur des odelettes souffret gééralemet d u maque de réalisme car l orietatio des détails reste fixe lors de la déformatio. C est pourquoi ous itroduisos das cet article ue autre méthode d aalyse MR pour des courbes liéaires par morceaux (polygoes 2D). Das le cadre applicatif du morphig, otre méthode possède deux propriétés importates : l orietatio des détails suit la déformatio aturellemet (voir Figure 3) et la représetatio MR est défiie itrisèquemet. Nous savos, grâce à la géometrie différetielle, qu ue courbe paramétrique est détermiée de maière uique, à isométrie près, par sa foctio courbure [Car76]. La courbure est ue propriété itrisèque d ue courbe. Das le cotexte des courbes plaes et liéaire par morceaux, les agles et logueurs défiisset itrisèquemet ue courbe, à isométrie près [Ada75, SGWM93]. Nous allos utiliser ces quatités itrisèques pour défiir les coefficiets grossiers et de détails d ue aalyse MR. Notos les sommets du polygoe à décomposer P i = (x i,y i ), i = 0,...,N 1. Nous trasformos alors la représetatio e coordoées (x, y) du polygoe iitial e ue représetatio e coordoées (θ,l), où θ i = ( P i 1 P i, P i P i+1 ) est l agle défii e ses trigoométrique de deux segmets cosécutifs de polygoe au poit P i et l i = P i P i+1, i = 0,...,N 2, voir Figure 1. Les coordoées (x,y) des poits de cotrôle P i peuvet être retrouvées directemet e utilisat par exemple P 0 comme poit iitial et P 0 P 1 comme segmet iitial (détermiat aisi la traslatio et la rotatio). θ p i i+1 l i-1 l i p i Figure 1: Des coordoées (x,y) aux coordoées (θ,l) (l i, θ i e foctio de P i 1,P i, P i+1 ) La représetatio MR agle-logueur que ous itroduisos maiteat foctioe exclusivemet avec les coordoées (θ, l). A l istar des odelettes paresseuses [Swe97], ous choisissos de e garder que la moitié des poits de cotrôle à chaque étape d aalyse afi d obteir le polygoe grossier L Aalyse L aalyse (décompositio) est ue procédure récursive cosistat à diviser u vecteur de coefficiets d u polygoe (θ +1,l +1 ) e u vecteur de coefficiets grossiers (correspodat au polygoe de basse-résolutio) (θ,l ) et e u vecteur de coefficiets de détails. L idice déote alors le iveau de résolutio. Les deux types de coefficiets (de détails et grossiers) au iveau doivet être déduits directemet de (θ +1,l +1 ) et vice-versa. E utilisat les règles basiques de trigoométrie pour les p i-1 triagles, ous déduisos les formules d aalyse suivates, illustrées das la Figure 2. A chaque étape, le polygoe fi (θ +1,l +1 ) est décomposé e so approximatio (θ,l ), appelé polygoe grossier, aisi qu u esemble de détails (α,β ) permettat la recostructio du polygoe fi (voir Partie 2.2). Les détails sot des agles. coefficiets grossiers θ i = θ +1 2i + θ +1 2i 1 + α i α i 1 π, l i = ( ) 2 ( l2i l2i +1 pour i = 0,...,2 1. coefficiets de détails ( αi l = arccos +1 ) 2 2 l +1 2i l2i cos(θ2i+1) li 2i+1 l+1 2i ), ( cos θ +1 2i+1 β i = θ +1 2i+1 α i π, pour i = 0,..., l 2i+1 p i+1 +1 θ θ 2i-1 2i+1 β i +1 l 2i l i α i +1 θ 2i θ i p i β i-1 +1 ), Figure 2: L aalyse. Le polygoe e poitillés appartiet au iveau de résolutio + 1, le polygoe e traits pleis appartiet au iveau. A partir d u polygoe à 2 +1 segmets, ue étape d aalyse crée u polygoe à 2 segmets et 2 coefficiets de détails, lesquels sot représetés par deux vecteurs bidimesioels de la forme : (θ +1,l +1 ) (θ,l ) (α,β ), où θ = (θ 0,...,θ 2 1 ), de même pour l,α,β. A partir d u polygoe à D segmets, 2 D < 2 +1, o peut doc effectuer jusqu à étapes d aalyse. p i-1 (1) (2)

4 4 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D 2.2. La Sythèse L aalyse fourit u polygoe grossier (θ 0,l 0 ) (ue forme géometrique simple) et u esemble de coefficiets de détails (α 0,β 0 ),...,(α,β ). La sythèse va recostruire le polygoe origial. Nous travaillos ecore e coordoées (θ, l). Aisi, l algorithme cosiste à calculer les logueurs l2i +1, l2i et les agles θ2i, θ2i+1 +1 au iveau + 1 grâce aux coefficiets grossiers et de détails au iveau. Ce procédé correspod à ue étape de sythèse. Nous pouvos esuite itérer l algorithme sur la forme recostruite avec les détails. Les formules de sythèse, comme celles d aalyse, sot obteues géométriquemet (voir Figure 2 pour ue illustratio). recostructio des logueurs recostructio des agles l2i +1 = li. si(βi ) si(αi +β i ) l2i+1 +1 = li. si(αi ) si(αi +β i ). θ +1 2i = θ i α i β i 1 θ +1 2i+1 = π + α i + β i. Figure 3: A gauche : courbe iitiale avec 256 poits de cotrôle. Au cetre : déformatio du polygoe grossier au iveau 6. A droite : déformatio du polygoe grossier au iveau 8. L orietatio des détails suit aturellemet l orietatio du polygoe grossier lors de la déformatio Les cas spéciaux Trois cas spéciaux écessitat u traitemet particulier sot à predre e cosidératio. Ils correspodet aux cas où les coefficiets de détails (α i, β i ) preet les valeurs (0,0), (0, π) et (π, 0). Géométriquemet, ces cas correspodet à des triagles dégéérés i.e. où p2i +1, p +1 2i+1 et p+1 2i+2 sot coliéaires. Lorsque ous stockos les valeurs des détails lors de l aalyse, ous e pouvos pas retrouver les logueurs correctes l2i +1, l2i+1 +1 au momet de la sythèse car ces valeurs reportées das les formules précédetes (3) provoquet ue divisio par 0. Aisi à l apparitio d u de ces cas, ous procédos de la maière suivate : β i est assigé à ue valeur spécifique au cas recotré. Cette valeur ous permettra de savoir quel traitemet appliquer lors de la sythèse, et ous assigos à α i le rapport des logueurs caractéristiques du triagle plat. Aisi la recostructio peut être effectuée sas les aberratios umériques metioées précédemmet. (3) (4) 3. Morphig multirésolutio E etrée, ous avos deux polygoes P S et P T avec le même ombre de poits de cotrôle, appelés polygoes source et destiatio. Nous cherchos à costruire les polygoes itermédiaires P t qui trasformet graduellemet P S e P T, pour t [0,1], où P S = P 0 et P T = P 1. Il existe de ombreux iterpolats possibles pour P t et il est particulièremet difficile de caractériser mathématiquemet de "bos" algorithmes de morphig, puisque le jugemet déped à la fois du domaie d applicatio et de la perceptio humaie de la géométrie. La méthode la plus triviale cosiste à iterpoler le log d u segmet etre les positios des poits couplés. Cette iterpolatio des sommets est coue pour modifier de maière icosistate de ombreuses propriétés géométriques, telles que les logueurs, les agles et l aire au cours du morphig. Sederberg et al. [SGWM93] ot préseté ue méthode améliorée d iterpolatio. Au lieu d iterpoler les positios des poits, l algorithme iterpole des etités d ue défiitio itrisèque du polygoe : les agles et les logueurs des arêtes. Ue telle représetatio des polygoes est ivariate par mouvemet rigide. Il e résulte que le morphig de deux caractéristiques se comporte aturellemet. Il s avère aussi que les proportios de toutes les caractéristiques géométriques sot préservées. Le travail de Lipma et al. [LSLCO05] peut être vu comme ue sorte de gééralisatio de la techique d iterpolatio 2D de Sederberg à l iterpolatio de maillages 3D. Ils itroduiset ue représetatio des surfaces ivariate par mouvemet rigide basée sur les formes fodametales discrètes itrisèques, et proposet d iterpoler les coefficiets de ces formes. L approche d iterpolatio etre des etités itrisèques a aussi été employée par Surazshky et Gotsma [SG03]. Ils calculet d abord des triagulatios compatibles des polygoes source et destiatio puis ils iterpolet la valeur moyee des coordoées barycetriques des triagles e utilisat ue descriptio par logueurs et agles. L itérêt d appliquer le morphig à des triagulatios compatibles est qu e gééral, les auto-itersectios peuvet être évitées. Cepedat, le calcul de triagulatios compatibles aisi que de représetatios alteratives de l itérieur des polygoes [SR95] est gééralemet difficile et coûteux. L algorithme que ous présetos das cette partie fait partie de la classe des algorithmes basés sur des représetatios itrisèques du cotour. Les polygoes e etrée sot représetés par la représetatio multirésolutio itrisèque que ous avos itroduite das la Partie 2. La ature multirésolutio de cette représetatio a l avatage de géérer les polygoes itermédiaires directemet à tous les iveaux de détails sas avoir à e calculer ue représetatio MR. Voici les caractéristiques de otre algorithme itrisèque MR qui le redet particulièremet approprié pour le morphig :

5 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D 5 L orietatio des détails suit la déformatio aturellemet. La représetatio MR est défiie itrisèquemet. Les formes itermédiaires iterpolet les polygoes source et destiatio de faço "aussi-rigide-que-possible" comme das [ACOL00]. Les formes itermédiaires peuvet être visualisées à tous les iveaux de résolutio grâce au morphig MR qui calcule séparémet l iterpolatio des coefficiets grossiers et de détails. Das le cas de courbes fermées, ous avos pas le problème de o-fermeture que présete la méthode de Sederberg [SGWM93] Algorithme Ue fois la représetatio MR de P S et P T calculée, ous disposos de deux esembles de coefficiets grossiers (θs 0,l0 S ), (θ T 0,l0 T ) et de deux esembles de coefficiets de détails (αs 0,β S 0),...,(α S,β S ), et (α0 T,β T 0),...,(α T,β T ). E pricipe, les formes itermédiaires sot maiteat géérées e iterpolat les coefficiets de cette représetatio itrisèque. Cepedat, ous devos faire particulièremet attetio aux coefficiets du polygoe grossier. Iterpoler les coordoées (θ, l) du polygoe grossier reviedrait à appliquer l algorithme de Sederberg [SGWM93] au polygoe grossier. Das ce cas, ous hériterios du problème de o-fermeture des polygoes itermédiaires das les cas où P S et P T sot fermés, ce qui impliquerait des optimisatios supplémetaires. Au lieu de cela, ous proposos ue solutio où ce problème e se produit pas. Nous devos aussi iterpoler les coefficiets de détails qui sot des agles. Chaque couple (α, β) représete u des triagles qui sera ajouté au polygoe grossier pour l ameer vers le polygoe fi. Le choix de la méthode d iterpolatio des détails est doc lui aussi détermiat pour obteir ue métamorphose satisfaisate. Iterpolatio "aussi-rigide-que-possible" des coefficiets grossiers : Das le cas de polygoes fermés à 3 2 sommets, les polygoes grossiers après étapes d aalyse PS 0 et P0 T sot des triagles. Das ce cas, ous iterpolos ces deux triagles avec l iterpolatio "aussi-rigide-quepossible" d Alexa [ACOL00]. La trasformatio affie A etre PS 0 et P0 T est décomposée e ue matrice de rotatio R γ et ue matrice symétrique S e utilisat la décompositio e valeurs sigulières : A = R γ S. Les triagles itermédiaires sot esuite obteus e iterpolat les composates de cette décompositio : A(t) = R tγ ((1 t)i + ts). Cette iterpolatio etre deux triagles est dite "aussi-rigide-que-possible" car les agles variet de maière pratiquemet liéaire. Das tous les autres cas, ous pouvos rééchatilloer la courbe pour avoir D 2 poits, où D est le petit ombre de poits de cotrôle grossiers. U polygoe grossier avec peu de sommets peut facilemet être triagulé et iterpolé par la méthode d iterpolatio d Alexa, localemet de distorsio miimale. Iterpolatio des coefficiets de détails : Les coefficiets de détails représetet itrisèquemet les triagles qui sot ajoutés au polygoe grossier pour l ameer à u iveau de résolutio plus élevé. Chaque couple d agles (α, β) représete u triagle. Les coefficiets de détails itermédiaires de iveau j sot obteus par iterpolatio liéaire : αt j = (1 t)α j S +tα j T, βt j = (1 t)β j S +tβ j T, pour 0 j et t [0,1]. L iterpolatio peut géérer des cas particuliers, correspodats à des triagles dégéérés. Nous procédos alors comme décrit das la Partie 2.3 pour permettre la recotructio au momet de la sythèse. Les formes itermédiaires sot les déformatios "aussirigides-que-possible" des formes source et destiatio. E effet, la recostructio de toutes les métamorphoses itermédiaires se fait par l ajout de triagles aux polygoes de plus basse résolutio à chaque iveau de résolutio. De plus, ces triagles sot obteus e iterpolat liéairemet les agles, voir l équatio 5. Notre méthode peut doc être cosidérée comme u morphig "aussi-rigide-que-possible" de courbes multirésolutios, selo la défiitio doée par Alexa. Ue autre itérêt de otre méthode est que ous obteos la représetatio MR complète de toutes les courbes itermédiaires ce qui ous permet de les visualiser à différets iveaux de résolutio Résultats et discussio Cotrairemet à la plupart des algorithmes de morphig existats, otre méthode est coçue pour les polygoes de très grade taille avec beaucoup de détails locaux. Cepedat, elle peut aussi bie traiter tous les autres polygoes simples et lisses. Par coséquet ous avos seulemet choisi des exemples comportat de ombreux détails fis, qui sot difficiles à métamorphoser. La plupart d etre eux ot été produits e extrayat le cotour d ue image. Correspodace des poits Pour le couplage des sommets, ous défiissos mauellemet u poit de départ pour le polygoe source et destiatio. Tous les sommets restats correspodet alors automatiquemet par leurs idices. Afi d éviter des autoitersectios des morphigs, les sommets doivet être orietés das le même ses, das le ses trigoométrique par exemple. De plus, les sommets de départ doivet soit correspodre à u caractère particulier des courbes, soit se correspodre géographiquemet, par exemple être les sommets d abscisses miimales. Das la Figure 4 ous choisissos le ez des aimaux comme poit de départ. (5)

6 6 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D Figure 4: Hérisso - Hippocampe (1536 poits) Le choix de plus d u sommet à coupler est possible avec otre méthode e sélectioat les sommets du polygoe grossier de la faço suivate. Ceci doe u cotôle supplémetaire à l utilisateur. Avat d effectuer le morphig etre le polygoe source et destiatio, ue aalyse multiresolutio est exécutée selo les algorithmes décrits das la Sectio 3.1. Puisque l aalyse MR est basée sur le sous-échatilloage, les sommets du polygoe grossier sot aussi des sommets du polygoe fi et sot séparés par 2 1 sommets. Ces relatios particulières etre les polygoes fis et grossiers peuvet maiteat être utilisées pour fixer mauellemet tous les sommets des courbes source et destiatio grossières e tat que poits de couplage pour le morphig. Ue fois que l utilisateur a mauellemet choisi trois ou quatre idices de sommets destiés à costruire le polygoe grossier, les polygoes fis sot rééchatilloés de sorte à ce qu ue puissace de deux du ombre de sommets se trouvet etre eux. C est aisi que ous procédos pour les Figures 4, 7. Pour les autres Figures 5 et 6, ous avos simplemet fixé le sommet d abscisse miimale comme poit de départ. Représetatio multirésolutio de toutes les courbes L algorithme de morphig iterpole les représetatios itrisèques du polygoe grossier et les coefficiets de détails. Nous obteos doc e sortie ue représetatio multirésolutio complète de chaque courbe itermédiaire. Aisi, toutes les maipulatios des iveaux de détails comme l affichage, la compressio, l éditio,... peuvet être appliquées directemet aux métamorphoses sas aucu calcul supplémetaire. La Figure 5 motre sur la première lige le morphig MR etre les cartes de Frace et d Allemage aisi que les morphigs des polygoes grossiers. Les courbes de résolutio complète (8192 sommets) sot obteues par ue sythèse complète (Partie 2.2). Les quatre autres liges correspodet aux métamorphoses de résolutios iférieures obteues par ue sythèse partielle. Figure 5: Frace - Allemage (8192 poits) à 5 iveaux de résolutio =13 (iveau le plus fi), 10, 8, 6, 4 L utilisateur peut e fait cotrôler deux paramètres de l iterpolatio. Il peut choisir d iterpoler ue représetatio plus ou mois grossière des polygoes. Notos que plus les polygoes grossiers ot de sommets, plus leur iterpolatio sera coûteuse. Il peut aussi choisir ue sythèse complète ou partielle pour visualiser les formes itermédiaires. Morphig MR aussi-rigide-que-possible Nous avos pu observer das tous os tests que les métamorphoses ot u comportemet aturel et que les trasformatios sot de distorsio miimale. E effet, la maière dot ous iterpolos les polygoes grossiers et les coefficiets de détails red otre méthode d iterpolatio de formes "aussi-rigide-que-possible". Pour l iterpolatio des polygoes grossiers, ous utilisos la méthode de Alexa [ACOL00] qui calcule l iterpolatio de distorsio miimale par optimisatio. Cette méthode exige gééralemet le calcul de triagulatios compatibles pour les objets source et destiatio. Cette étape parfois difficile et coûteuse est omise das otre cas, puisque les polygoes grossiers sot tout à fait triviaux (ils se composet de 1-3 triagles maximum). E outre, les détails sot trasformés e iterpolat

7 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D 7 liéairemet leurs représetatios itrisèques. Ici aussi, l iterpolatio est de distorsio miimale, puisque les agles variet liéairemet. E résumé, otre méthode de morphig MR se comporte de faço "aussi-rigide-que-possible". Toutes les figures témoiget de cette importate propriété. E particulier, ue comparaiso etre le morphig MR et le morphig itrisèque classique [SGWM93] représetée sur la Figure 6 soutiet clairemet otre affirmatio. Figure 6: Comparaiso morphig MR (lige du haut) - morphig itrisèque sas MR (513 poits) (lige du bas) Figure 8: Comparaiso de 4 méthodes de morphig itrisèque. Première lige : morphig MR. Deuxième lige : morphig itrisèque des coordoées (θ, l) des polygoes. Les polygoes des deux derières liges sot obteus e fermat les polygoes de la lige deux de deux faços différetes. Troisième lige : fermeture affie. Quatrième lige : mise au poit des arêtes selo [SGWM93]. Ue exemple délicat Bie que la méthode empêche pas explicitemet les autoitersectios, il est éamois rare d e observer. E effet, la maière dot ous iterpolos les polygoes grossiers garatit des trasformatios sas auto-itersectio, mais seulemet pour les polygoes grossiers. Cepedat, pour tester la robustesse de otre méthode sur cet aspect, ous employos u exemple très délicat représeté sur la Figure 7. Aucue auto-itersectio e se produit, cotrairemet à u morphig itrisèque sas multirésolutio, voir la Figure 8. U autre problème du morphig itrisèque est la ofermeture des polygoes itermédiaires. Das [SGWM93], il a été éocé que les polygoes itermédiaires sot toujours proches. Ceci pourrait être vrai pour des morphigs etre des formes similaires, comme illustré das [SGWM93]. Mais das les cas où les formes sot très différetes et compliquées avec beaucoup de détails, la o-fermeture est u réel problème puisque de grades parties des métamorphoses doivet être corrigées, voir la Figure 8. Notre méthode e présete pas ce problème, puisque les polygoes au iveau le plus grossier sot iterpolés e utilisat ue décompositio e triagles selo [ACOL00]. 4. Coclusio Nous avos préseté ue ouvelle représetatio multirésolutio de formes polygoales, basée sur les agles et logueurs. Combiée à l iterpolatio "aussi rigide que possible" de Alexa et al. [ACOL00], cette représetatio est utilisée pour défiir ue ouvelle méthode de morphig. L itérêt d ue représetatio itrisèque, telle que celle que ous décrivos, est que l orietatio des détails suit aturellemet importe quelle déformatio. Puisque ous iterpolos les représetatios multirésolutios des courbes, ous obteos sas calcul supplémetaire la représetatio MR de toutes les courbes itermédiaires. Nous iterpolos les polygoes grossiers de faço aussi rigide que possible, et les agles de détails sot iterpolés liéairemet. Notre méthode a doc u comportemet globalemet aussi rigide que possible. Das le cas de polygoes fermés, cotrairemet à la méthode de Sederberg, otre méthode e recotre pas le problème de o fermeture des formes itermédiaires. Comme toutes les méthodes de morphig iterpolat les cotours des formes et o ue représetatio de l itérieur des formes, otre méthode e peut pas garatir l absece d auto itersectios. Cepedat, ous motros au travers de ombreux exemples qu il est possible de les éviter e pratique. Nous travaillos actuellemet sur la gééralisatio de cette méthode aux maillages 3D. Remerciemets Ces travaux ot été fiacés e partie grâce au soutie du Réseau d Excellece Europée AIM@SHAPE (IST NoE No ) Merci à Nicolas Szafra pour avoir créé des exemples e extrayat des cotours d images. Refereces [ACOL00] ALEXA M., COHEN-OR D., LEVIN D.: Asrigid-as-possible shape iterpolatio. I SIGGRAPH 00: Proceedigs of the 27th aual coferece o Computer graphics ad iteractive techiques (New York, NY, USA, 2000), ACM Press/Addiso-Wesley Publishig Co., pp [Ada75] ADAMS J. A.: The itrisic method for curve defiitio. Computer Aided Desig 7, 4 (1975), [Ale02] ALEXA M.: Recet advaces i mesh morphig. Comput. Graph. Forum 21, 2 (2002),

8 8 M. Corillac, B. Caramiaux, S. Hahma et G.-P. Boeau / Iterpolatio multirésolutio de formes 2D Figure 7: Sapi de Noël - Arbre à fleurs (2048 poits) [Ber05] BERTRAM M.: Sigle-kot wavelets for ouiform b-splies. Computer Aided Geometric Desig 22, 9 (2005), [Car76] CARMO M. D.: Differetial Geometry of Curves ad Surfaces. Pretice Hall, [CQ92] CHUI C., QUAK E.: Wavelets o a bouded iterval. I Numerical Methods of Approximatio Theory, Braess D., Schumaker L., (Eds.). Birkhäuser Verlag, Basel, 1992, pp [EG95] ELBER G., GOTSMAN C.: Multiresolutio cotrol for ouiform bsplie curve editig. I The Third Pacific Graphics Coferece o Computer Graphics ad Applicatios, Seoul, Korea ([August 1995), pp [FG99] FLOATER M. S., GOTSMAN C.: How to morph tiligs ijectively. J. Comput. Appl. Math. 101, 1-2 (1999), [FS94] FINKELSTEIN A., SALESIN D. H.: Multiresolutio curves. Computer Graphics Proceedigs (SIG- GRAPH 94) (1994), [GG95] GOLDSTEIN E., GOTSMAN C.: Polygo morphig usig a multiresolutio represetatio. I Graphics Iterface 95 (1995), Caadia If. Process. Soc., pp [HBS05] HAHMANN S., BONNEAU G.-P., SAUVAGE B.: Area preservig deformatio of multiresolutio curves. Computer Aided Geometric Desig 22, 4 (2005), [LDSS99] LEE A. W. F., DOBKIN D., SWELDENS W., SCHRÖDER P.: Multiresolutio mesh morphig. Computer Graphics Proceedigs (SIGGRAPH 99) (1999), [LSLCO05] LIPMAN Y., SORKINE O., LEVIN D., COHEN-OR D.: Liear rotatio-ivariat coordiates for meshes. ACM Tras. Graph. 24, 3 (2005), [Mal89] MALLAT S.: A theory for multiresolutio sigal decompositio: The wavelet represetatio. IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece 11 (1989), [Mey94] MEYERS D.: Multiresolutio tilig. Computer Graphics Forum 13, 5 (1994), [SDS96] STOLLNITZ E., DEROSE T., SALESIN D.: Wavelets for Computer Graphics: Theory ad Applicatios. Morga-Kaufma, [SG92] SEDERBERG T. W., GREENWOOD E.: A physical based approach to 2-d shape bedig. Computer Graphics,(SIGGRAPH 92 Proceedigs) 26, 2 (1992), [SG03] SURAZHSKY V., GOTSMAN C.: Itrisic morphig of compatible triagulatios. Iteratioal Joural of Shape Modelig 9, 2 (2003), [SGWM93] SEDERBERG T., GAO P., WANG G., MU H.: 2-d shape bledig: A itrisic solutio to the vertex path problem. Computer Graphics,(SIGGRAPH 93 Proceedigs) 27 (1993), [SR95] SHAPIRA M., RAPPOPORT A.: Shape bledig usig the star-skeleto represetatio. IEEE Comput. Graph. Appl. 15, 2 (1995), [Swe97] SWELDENS W.: The liftig scheme: A costructio of secod geeratio wavelets. SIAM J. Math. Aal. 29, 2 (1997),