TP 10 : Lois de Kepler

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1 TP 10 : Lois de Kepler Objectifs : - Estimer l msse de Jupiter à prtir de l troisième loi de Kepler. - Utiliser Stellrium, un simulteur de plnétrium «photo-réel». Compétences trvillées : - Démontrer que, dns l pproximtion des trjectoires circulires, le mouvement d un stellite, d une plnète, est uniforme. - Connître les trois lois de Képler et exploiter l troisième dns le cs d'un mouvement circulire. Mtériel (slle A020) : - Ordinteur + logiciel Stellrium - Règles grduées métlliques Johnnes Kepler ( ) étit doté d exceptionnelles qulités de mthémticien. Après de nombreuses nnées de clculs, il est prvenu, grâce ux données fournies pr Tycho Brhé, à énoncer trois lois qui portent désormis son nom. I. Première loi de Kepler Ouvrir l nimtion «TP_10_Kepler_lois.swf». L nimtion explique l 1 ère loi de Kepler, ppelée loi des orbites. «L orbite de chque plnète est une ellipse, dont l un des foyers est occupée pr le Soleil» Cette loi s pplique ux systèmes comme Plnète / stellites en orbite. On peut fire pprître les deux foyers, le centre de l ellipse, le demi-grnd xe et le demi-petit xe de l ellipse. On peut églement fire tourner l plnète utour de l étoile centrle (vec l souris). Sns modifier les utres prmètres, à droite, cliquer sur «Strt nimtion». Que remrquez-vous sur le mouvement de l plnète? Expliquer simplement cette observtion (Le vérifier en cliqunt sur «Newtonin fetures» en bs de pge.) Modifier le prmètre d excentricité de l ellipse. Quelles sont les deux vleurs extrêmes? Que se psse-t-il qund e = 0? II. Deuxième loi de Kepler Cliquer ensuite sur «Kepler s 2 nd Lw». L nimtion explique l 2 ème loi de Kepler, ppelée loi des ires. «Les plnètes blyent des ires égles en des temps égux.» - Choisir une vleur d excentricité ssez élevée, e = 0,5 environ. - Cocher «sweep continuously» (blyge continu) et lncer l nimtion «strt sweeping». A intervlles de temps réguliers, l couleur de l ire chnge. Fire vrier le prmètre d excentricité, et justifier l loi des ires. Temps, mouvement et évolution Chpitre 10 TP Lois de Kepler Pge 1

2 III. Troisième loi de Kepler : ppliction à l pesée de Jupiter Pour toutes les plnètes, le rpport entre le cube du demi grnd xe (noté ) de l trjectoire et le crré de l période (notée «T») est le même. Cette constnte est indépendnte de l msse de l plnète. T cte G. M Cliquer sur «Erse sweeps» (effcer les blyges). Cliquer ensuite sur «Kepler s 3 rd Lw». L nimtion explique l 3 ème loi de Kepler, ppelée loi des périodes. Dns l nimtion, l période est notée «P». Fire défiler les plnètes et vérifier l 3 ème loi de Kepler. En nlysnt l formule, quelles sont les plnètes qui ont les périodes les plus grndes? En cliqunt sur «Erth», on remrque que P 2 = 3 En quelles unités fut-il se mettre pour voir cette églité? IV. Appliction de l 3 ème loi de Kepler à l pesée de Jupiter On étudie l plnète Jupiter et ses qutre stellites principux (Jupiter en compte 63) : Io, Gnymède, Cllisto, Europe. 2 2 T 4 Appliquée à un stellite tournnt utour de Jupiter, l 3 ème loi de Kepler s écrit : 3 G. M J Pour chcun des qutre stellites : T est l période de révolution du stellite utour de s plnète ; est le demi-grnd xe de l orbite du stellite ; M J est l msse de l plnète Jupiter ; G = 6, est l constnte de l grvittion universelle ; Hypothèses du modèle : L msse d un stellite est négligeble devnt l msse de l plnète. Les utres stellites ont une influence négligeble sur le mouvement du stellite considéré. L'excentricité de l trjectoire est très fible u niveu de précision de nos mesures; nous pourrons lors estimer le demi grnd xe de l'orbite pr l'élongtion mximle du stellite. Si ce n'est ps le cs, il fudr effectuer plusieurs mesures à des dtes différentes. Objectif : on se propose de déterminer l période T et le demi-grnd xe de chque stellite. On pourr en déduire l msse de Jupiter pr l 3 ème loi de Kepler. Pour déterminer T et, il v flloir suivre l plnète et son stellite en continu. Pour cel, Stellrium v nous fournir un télescope idél. Temps, mouvement et évolution Chpitre 10 TP Lois de Kepler Pge 2

3 1) Prmétrges sur Stellrium : - Ouvrir Stellrium. - Afficher l dte/heure (touche F5). - Se mettre en monture équtorile : le pln Jupiter / stellites ser qusi horizontl. Cliquer une fois sur L'icône doit être "llumée". - Enlever le sol (touche G) : on pourr suivre l plnète même lorsqu'elle ser couchée sous l'horizon. - Enlever l'tmosphère (touche A) : on pourr suivre l plnète en plein jour. - Viser l plnète Jupiter. On peut ussi l rechercher à l'ide de l fonction de recherche (touche F3). - Se Centrer sur l plnète (brre d espce). - Avec l molette de l souris, zoomer pour pouvoir voir les stellites de Jupiter. - Augmenter l vitesse d'écoulement du temps pour dmirer le mouvement des stellites et juster le grossissement du télescope fin qu'ils ne sortent ps du chmp du télescope. - Le chmp de vision (FOV pour Field of Vision) doit voir pour vleur pproximtive FOV = 0,2. 2) Détermintion de l période T : Il suffit de mesurer l durée entre deux débuts d'occulttion du stellite pr s plnète, instnts où il pénètre derrière le disque plnétires. Ces deux instnts sont lus sur l'horloge en hut à guche de l'écrn. On complèter les fiches en fin d énoncé. 3) Détermintion du demi-grnd xe : On détermine l'ngle α sous lequel on voit le demi grnd xe de l'orbite du stellite. Connissnt l distnce D à lquelle se trouve l plnète (ffichée en unité stronomique U.A. en hut à guche de l'écrn) on en déduit = D.α ; en effet comme α est petit, tn(α) = α (voir schém ci-dessous). - A l'ide d'une règle grduée, mesurer sur l'écrn l lrgeur d du chmp du télescope (lrgeur de l écrn); cette lrgeur correspond à l'ngle d'ouverture θ du télescope. - En lissnt s'écouler le temps, plcer le stellite u mximum de son élongtion; rrêter le temps et mesurer u double décimètre sur l'écrn l distnce e le séprnt du centre de l plnète. e d - Noter l distnce D Terre-Plnète (en hut à guche). - Clculer = D.α (1 U.A= 1, m) On complèter les fiches en fin d énoncé. 4) Clcul de l msse de Jupiter M J : D M J 4 2 GT 2 3 α Recommencer vec les stellites ; Fire l moyenne des vleurs obtenues. M J moyenne =. Temps, mouvement et évolution Chpitre 10 TP Lois de Kepler Pge 3

4 Fiche de résultts Dte: Plnète : JUPITER Stellite : IO ******************************************************************* Dte: Plnète : JUPITER Stellite : EUROPE Temps, mouvement et évolution Chpitre 10 TP Lois de Kepler Pge 4

5 Dte: Plnète : JUPITER Stellite : GANYMEDE ******************************************************************* Dte: Plnète : JUPITER Stellite : CALLISTO Temps, mouvement et évolution Chpitre 10 TP Lois de Kepler Pge 5

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