Produit scalaire, espaces euclidiens.

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1 Prod scalare esaces ecldes Cha : cors comle Prod scalare réel Défo : rod scalare sr -esace vecorel esace réhlbere réel Théorème : eemles classqes Théorème : égalé de Cachy-Schwarz Défo : forme bléare symérqe o dégéérée Théorème 3 : éqvalece o dégéérée défe Théorème 4 : cas d égalé das l égalé de Cachy-Schwarz or rod scalare Défo e héorème 5 : orme e dsace assocée à rod scalare égalé de Mows Théorème 6 : égalés des «de olarsao» Orhogoalé Défo : vecers orhogoa vecers ares (o ormés) famlle orhogoale orhoormale Théorème : lberé d e famlle orhogoale o orhoormale Théorème : de Pyhagore Théorème 3 : rocédé d orhogoalsao e d orhoormalsao de Gram-Schmd Défo e héorème 4 : orhogoal d e are d esace réhlbere réel Défo 3 : sos-esaces vecorels orhogoa slémeares orhogoa Théorème 4 : cas de sos-esaces vecorels de dmeso fe Théorème 5 e défo 4 : somme drece orhogoale de sos-esaces vecorels 3 Proecos orhogoales Défo 3 : roecer orhogoal Théorème 3 : slémeare orhogoal d sos-esace vecorel de dmeso fe Théorème 3 : eresso de la roeco orhogoale sr sos-esace vecorel de dmeso fe Défo 3 e héorème 33 : dsace d vecer à sos-esace vecorel de dmeso fe Théorème 34 : égalé de Bessel 4 Esaces ecldes Défo 4 : Théorème 4 : Théorème 4 : Théorème 43 : Théorème 44 : Théorème 45 : Théorème 46 : Théorème 47 : Théorème 48 : esace vecorel eclde esece de bases orhoormales das les esaces ecldes de la base comlèe orhogoale o orhoormale caracérsao marcelle des bases orhogoales o orhoormales eresso marcelle d rod scalare dmeso de l orhogoal d sos-esace vecorel das esace eclde caracérsao e dmeso fe des slémeares orhogoa reréseao d e forme léare à l ade d rod scalare vecer ormal à hyerla d esace eclde 5 Aomorhsmes orhogoa e marces orhogoales Défo 5 e héorème 5 : edomorhsme orhogoal das esace vecorel eclde Théorème 5 : becvé des edomorhsmes orhogoa e dmeso fe aomorhsmes Défo 5 : marce orhogoale Théorème 53 : caracérsao des marces orhogoales ar lers vecers lges o coloes Théorème 54 : caracérsaos des aomorhsmes orhogoa Théorème 55 : aomorhsme orhogoal e sos-esaces sables Théorème 56 e défo 53 : les groes (O(E)o) (O( ) ) (SO(E)o) e (SO( ) ) Défo 54 : soméres d esace vecorel eclde soméres osves e égaves Théorème 57 : marce de assage ere bases orhoormales 6 Rédco des edomorhsmes symérqes des marces symérqes réelles Défo 6 : edomorhsme symérqe PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - -

2 Théorème 6 : Théorème 6 : Théorème 63 : Théorème 64 : Théorème 65 : Théorème 66 : caracérsao marcelle des edomorhsmes symérqes caracérsao des roecos e syméres orhogoales valers rores d e marce symérqe réelle d edomorhsme symérqe orhogoalé des esaces rores d edomorhsme symérqe (héorème secral) dagoalsablé des edomorhsmes symérqes dagoalsablé des marces symérqes réelles 7 Esaces ecldes de dmeso o 3 Défo 7 : oreao d esace vecorel oreao de ar sos-esace vecorel Théorème 7 e défo 7 : rod me Théorème 7 e défo 73 : rod vecorel de de vecers e dmeso 3 Théorème 73 : roréés d rod vecorel Théorème 74 : eresso d rod vecorel das e base orhoormale drece Théorème 75 : eresso géomérqe d rod vecorel Théorème 76 : élémes de O() : marces orhogoales Théorème 77 : aomorhsmes orhogoa d esace vecorel eclde de dmeso Théorème 78 : rod de roaos commavé de SO() e SO(E) or E de dmeso Théorème 79 : aomorhsmes orhogoa d esace vecorel eclde de dmeso 3 Théorème 70 : élémes de O(3) : marces orhogoales 3 3 PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - -

3 Prod scalare Cha : cors comle Prod scalare réel Défo : rod scalare sr -esace vecorel esace réhlbere réel So E -esace vecorel O d qe ϕ es rod scalare sr E s e seleme s ϕ es e forme bléare symérqe osve o dégéérée so ecore : ϕ es e alcao de E E das ϕ es bléare : ( y ) E E ( ' y' ) E E ( λ µ ) ² ϕ ( λ + µ y ' ) λ ϕ( ' ) + µ ϕ( y ') e : ϕ ( λ ' + µ y' ) λ ϕ( ' ) + µ ϕ( y' ) ϕ es symérqe : ( y ) E E ϕ ( ϕ( y ) ϕ es osve : E ϕ ( ) 0 ϕ es défe : E ( ϕ ( ) 0 ) ( 0 ) O d alors qe (Eϕ ) es esace réhlbere réel Théorème : eemles classqes Les alcaos svaes défsse des rods scalares sr les esaces vecorels dqés : ( y ) ( ) ( ) y ( y y ) ( a y das ( f g ) (C 0 ([ a b ]) ( f g) a b f ( ) g( ) d das C 0 ([ a b ] ) a où [ a b ] es segme cls das ( A B ) M () ( A B) a r( A B) Démosrao : L alcao roosée (oos-la ( ) ) es correceme défe de ( ) das Il es clar q elle es symérqe sqe : ( y ) ( ) ( y y ( Elle es de ls léare ar raor à sa remère varable sqe : ( y y' ) ( λ λ' ) ( λ y + λ' y') λ( + λ'( y' ) sas dffclé Ef elle es o dégéérée sqe s or : o a : y ( 0 alors e arcler or : y e cela doe : PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) e os les éa osfs o cocl à : 0 so : 0 De même l alcao (oée ecore ( ) ) es correceme défe de E das car (e oa E l esace vecorel C 0 ([ a b ])) or o : ( f g ) E f g es coe es à valers réelles sr [ a b ] De ls elle es symérqe de faço mmédae Ps elle es léare ar raor à sa deème varable (d fa de la léaré de l égrale sr [ a b ]) Ef s or : f E o a : ( f g) 0 or oe foco g de E l égalé es alors vrae e arcler or : g f ce q doe : f ( ) d 0 Mas comme la foco b a f es coe e osve sr [ b a ] o e déd be qe : f 0 s : f 0 Ef l alcao défe sr M () es correceme défe (les marces so carrées à coeffces réels) Par léaré de la race elle es bléare

4 De ls : ( A B ) M () r( B A) r( ( B A)) r( A B) e l alcao es symérqe Ps : A M () o e oer : C A A e : c a a Doc : r ( A A) c a a a 0 e s : B M () r( A B) 0 alors e arcler or : B A o e déd qe : r ( A A) a 0 e comme somme de carrés de réels o cocl qe : Théorème : égalé de Cachy-Schwarz So E -esace vecorel m d rod scalare ( ) Alors : ( y ) E² ( ( ) ( y a 0 e : A 0 Démosrao : So ψ la foco défe de das ar : ψ ( ) ( + y + Psqe le rod scalare es e forme osve ψ es égaleme à valers das + Par allers : ψ ( ) ( ) + ( + ( y e lsa la bléaré e la symére de ( ) Dsgos alors de cas : ( y 0 Das ce cas ψ es e foco affe de q rese osve : elle es doc cosae e : ( 0 O a be alors : 0 ( ( ) ( y 0 ( y 0 e doc : ( y > 0 Das ce cas ψ es e foco olyomale d secod degré Comme elle rese osve elle adme a ls e race réelle (doble) e so dscrma es égaf o l so : ( ( )( y 0 ce q doe à ovea : ( ( ) ( y Défo : forme bléare symérqe o dégéérée So ϕ e forme bléare symérqe sr -esace vecorel E O d qe la forme ϕ es o dégéérée s e seleme s : E ( y E ( ϕ ( 0 ) ( 0 ) Théorème 3 : éqvalece o dégéérée défe So E -esace vecorel e so ϕ e forme bléare symérqe sr E Alors ϕ es o dégéérée s e seleme s ϕ es défe O e doc remlacer «o dégéérée» ar «défe» das la défo d rod scalare Démosrao : O e commecer ar remarqer qe das la reve de l égalé de Cachy-Schwarz o lse à ac mome le fa qe le rod scalare es e forme défe Ps o ravalle ar doble mlcao [] S ϕ es o dégéérée so : E el qe : ϕ ( ) 0 O cosae alors d arès l égalé de Cachy-Schwarz qe : y E ϕ ( 0 Or ϕ éa o dégéérée o e déd qe : 0 e ϕ es défe [ ] S ϕ es maea sosée défe e s es el qe : y E ϕ ( 0 alors e arcler or : y e o e déd qe : ϕ ( ) 0 PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 4 -

5 Or ϕ éa sosée défe o cocl be qe : 0 Théorème 4 : cas d égalé das l égalé de Cachy-Schwarz or rod scalare So (E ( ) ) esace réhlbere réel Alors : ( y ) E ( ( ) ( y s e seleme s ( y ) es lée Démosrao : S l o rered la démosrao de l égalé de Cachy-Schwarz o cosae qe s cee égalé deve e égalé alors : das le cas où : ( y 0 alors y es l sq rod scalare es e forme défe la famlle ( y ) es lée das le cas où : ( y 0 cela sgfe qe le dscrma de la foco q ava serv d ermédare es lle e doc qe le rôme oé ψ adme e race doble Areme d : λ ( + λ y + λ 0 e doc le vecer + λ y es l ce q s écr ecore : + λ y 0 Das os les cas o cosae be qe ( y ) es lée Défo 3 e héorème 5 : orme e dsace assocée à rod scalare égalé de Mows So (E ( ) ) esace réhlbere réel Alors l alcao défe ar : E a ( ) es e orme sr E aelée orme assocée a rod scalare ( ) De même l alcao d défe sr E ar : ( y ) E d( y es aelée dsace assocée à la orme (o a rod scalare ( ) ) Ef l égalé raglare vérfée ar es aelée égalé de Mows Démosrao : Il y a doc qare os à vérfer (vor chare : «ormes») or o vecer de E la qaé ese sqe ( ) es réel osf e : + s or : E o a : 0 alors : ϕ ( ) 0 e doc : 0 or : E e : λ λ ( λ λ ) λ ( ) λ ( ) λ ef or : ( y ) E o a grâce à l égalé de Cachy-Schwarz : + y ( + y + ( ) + ( + ( y + y + y ( + y ) d où l égalé raglare or Théorème 6 : égalés des «de olarsao» So (E ( ) ) esace réhlbere réel e la orme assocée à ( ) O a les égalés svaes : ( y ) E + y + y + ( ( ( + y ² ² y ²) ( + y ² y ²) 4 Démosrao : Il sff d écrre : ( y ) E + y ( + y + + y + ( e : y ( y + y ( PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 5 -

6 d où les égalés roosées Orhogoalé Défo : vecers orhogoa vecers ares (o ormés) famlle orhogoale orhoormale So (E ( ) ) esace réhlbere réel e la orme assocée à ( ) De vecers e y de E so ds orhogoa or ( ) s e seleme s : ( 0 De même vecer de E es d ares (o ormé) s e seleme s : So ( ) I e famlle de vecers de E O d qe la famlle es orhogoale or ( ) s e seleme s : ( I ) ( ) ( ( ) 0 ) O d qe la famlle es orhoormale or ( ) s e seleme s elle es orhogoale e s de ls os les vecers de la famlle so ormés Théorème : lberé d e famlle orhogoale o orhoormale So (E ( ) ) esace réhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ) I e famlle de vecers de E S la famlle es orhogoale or ( ) e e comore as le vecer l elle es lbre S la famlle es orhoormale or ( ) elle es lbre Démosrao : Comme les combasos léares q o e evsager e comore oors q a ls ombre f de coeffces o ls o e oer la famlle ( ) or eer doé Alors s or : ( λ ) o a : λ + λ 0 alors : ( + + λ + λ ) 0 e ar léaré ar raor à la deème varable o obe : λ 0 (sqe la famlle es orhogoale) Doc s os les so o ls o cocl be a fa qe : λ 0 e la famlle es lbre S maea o cosdère e famlle orhoormale elle es orhogoale e e coe as le vecer l doc elle es lbre Théorème : de Pyhagore So (E ( ) ) esace réhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ) e famlle fe orhogoale de vecers de E Alors : Démosrao : O e ar eemle rocéder ar récrrece sr Por : s ( ) es e famlle orhogoale de E le héorème 6 doe le résla vol S maea o sose le résla vra or o famlle orhogoale de vecers de E (avec : ) alors éa doé e famlle orhogoale ( + ) de vecers de E la famlle + ) es e famlle de de vecers de E orhogoale car : ( + + ( ) ( + ) + + ( + ) Doc : E la récrrece es ermée PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 6 -

7 Théorème 3 : rocédé d orhogoalsao e d orhoormalsao de Gram-Schmd So (E ( ) ) esace réhlbere réel e la orme assocée à ( ) So ( ) e famlle lbre de vecers de E O e cosrre e famlle ( e e ) de vecers de E elle qe : e 0 e Vec ) ( ( e ) 0 e O a das ce cas : Vec ) Vec( e e ) ( Par allers l ese e qe famlle ( ε ε ) de vecers de E elle qe : ε Vec ) ( ( ε ) 0 ε ε ( ε ) > 0 O a ecore das ce cas : Vec ) Vec( ε ε ) Ef : ε e : ε ( (( ε (( ε ) ε + + ( ε ) ε + + ( ε PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) ( ε ( ε Démosrao : orhogoalsao de la famlle : o rocède à la cosrco ar récrrece e mora e même ems qe la famlle obee vérfe be : Vec ) Vec( e e ) ) ε ) ε ( - O do alors redre e coléare à e l es ossble de rover e el qe : e 0 e : e Vec( ) Il sff or cela de chosr ar eemle : e O a alors e ls (e qelqe so e fa le cho de e ) : Vec( e ) Vec( ) - Sosos maea qe or : o a cosr e famlle ( e e ) elle q dqé e qe de ls : Vec ) Vec( e e ) ( e el qe : e Vec( ) doc sos la forme : λ + + λ e ' e + + λ' e + λ' e e ) es orhogoale s e seleme s : O cherche alors e O e ass écrre La famlle ( + e sos la forme : λ e e ) 0 λ ' ( e e ) λ ( e ) ( + (sqe les remers so déà orhogoa de à de) e comme les e so o ls or : l es éqvale d écrre : ( e ) λ ' + λ e ( e ) o ecore : e λ e e Or le vecer das le croche es o l (sqe la famlle ( e e ) es lbre) doc l es ossble de rover vecer e réoda a codos mosées (e rea : λ 0 ) ) ε ) ε ) )

8 Ef v l écrre de e o a : Vec ( e e ) Vec( e e ) Vec( ) ( e ) E comme de même o a : e + e e λ o a ass : Vec ) Vec( e e ) ( d où l égalé e cec qelqe so le cho de e - La récrrece es doc ermée e l esece d e famlle orhogoalsée éable orhoormalsao de la famlle O va morer q à chaqe éae de la cosrco l y a q vecer q réod a codos q es cel roosé Por ε o do ormer e e vérfer ese qe : ( ε ) > 0 Cela doe doc : ε ± e faleme : ε or qe le rod scalare so osf So maea : O sose qe or : os les vecers ε so corresode à ce roosés Alors de la même faço qe das la remère are ε s écr : ε ( ε ) λ ε λ ( ε ) ε λ y ε où o a osé : y ( ε ) ε Ps : ε eraîe : λ ± y O a alors : ε λ ( ε ) e q es o l or les mêmes rasos q ava ( ε ) ε e la codo : ( ε ) > 0 eraîe : λ + e faleme : ε y ( ε ) ε ce q erme la récrrece Défo e héorème 4 : orhogoal d e are d esace réhlbere réel So (E ( ) ) esace réhlbere réel So A e are de E O aelle orhogoal de A oé A l esemble des vecers de E orhogoa à os les vecers de A so : A { E y A ( 0 } Por oe are A de E A es sos-esace vecorel de E E arcler : E {0} e : {0} E Démosrao : Il es clar qe A es cls das E De ls : y A ( 0 y ) 0 e : 0 A Ef : ( ' ) (A ) ( λ λ' ) y A ( λ + λ' ' λ( + λ'( ' 0 e : λ + λ' ' A aleme A es be sos-esace vecorel de E De ls s : E alors e arcler es orhogoal l-même e : ( ) 0 d où : 0 De même o vecer es orhogoal à 0 PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 8 -

9 Défo 3 : sos-esaces vecorels orhogoa slémeares orhogoa So (E ( ) ) esace réhlbere réel Soe e G des sos-esaces vecorels de E O d qe e G so orhogoa s e seleme s : ( y ) G ( 0 O oe alors arfos : G O d qe e G so slémeares orhogoa das E s e seleme s e G so slémeares das E e orhogoa e o oe alors : E G Théorème 5 : cas de sos-esaces vecorels de dmeso fe So (E ( ) ) esace réhlbere réel Soe e G des sos-esaces vecorels de E de dmeso fe de bases resecves B e B G e G so orhogoa s e seleme s o vecer de B es orhogoal à o vecer de B G e G so slémeares orhogoa das E s e seleme s o obe e base orhogoale (orhoormale) de E e réssa des bases orhogoales (orhoormales) de e de G Démosrao : O e rocéder ar doble mlcao [] s o vecer de es orhogoal à o vecer de G c es e arcler vra or les vecers de B e de B G [ ] sqe : Vec (B ) e : G Vec (B G ) la bléaré d rod scalare more q alors o vecer de es orhogoal à o vecer de G s c es vra or les vecers de B e de B G La deème éqvalece es mmédae e rassembla les caracérsaos de «slémeares» e «orhogoa» Théorème 6 e défo 4 : somme drece orhogoale de sos-esaces vecorels So (E ( ) ) esace réhlbere réel Soe des sos-esaces vecorels de E S les sos-esaces vecorels so orhogoa de à de alors la somme + + es drece O d alors qe les sos-esaces vecorels so e somme drece orhogoale e o la oe ecore : o : Démosrao : So vecer ar eemle de l erseco : Alors o e l écrre : ( + + ) + + chaqe ( ) ( + + ) ( ) + + ( ) aarea à l esace O cosae qe : 0 doc : 0 e ce résla es deqe e erverssa les rôles de esaces aleme la somme es be drece 3 Proecos orhogoales Défo 3 : roecer orhogoal So (E ( ) ) esace réhlbere réel corresoda Soe e G des sos-esaces vecorels slémeares de E e le roecer de E sr das la dreco G O d qe es roecer orhogoal de E s : G Théorème 3 : slémeare orhogoal d sos-esace vecorel de dmeso fe So (E ( ) ) esace réhlbere réel de dmeso fe o o So sos-esace vecorel de dmeso fe m de E Alors es slémeare de das E aelé slémeare orhogoal de das E PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 9 -

10 Démosrao : O va morer qe o vecer de E e se décomoser de faço qe comme somme d vecer de e de Por cela so ( e em ) e base orhoormale B de e so vecer de E S e s écrre : + avec : e : alors : ( m ) K m e + + m em e es orhogoal à o vecer de E arcler : m ( e ) ( e ) + ( e ) sqe la base B es orhoormale Doc e e valor qe : m ( e ) e e : Récroqeme cee qe décomoso ossble cove car o a be : sqe B egedre + ar cosrco m ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) e 0 à ovea arce qe la base B de es orhoormale e e lsa la léaré d rod scalare ar raor à sa remère varable E sqe B egedre e à l ade de la bléaré d rod scalare o e déd qe : y ( y ) 0 e o a be : Théorème 3 : eresso de la roeco orhogoale sr sos-esace vecorel de dmeso fe So (E ( ) ) esace réhlbere réel de dmeso fe o o So sos-esace vecorel de dmeso fe m de E So ( e em ) e base orhoormale de e la roeco orhogoale de E sr Alors or o vecer de E o a : m PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) ( ) ( e ) e Démosrao : O ve de morer q vecer de E ova se décomoser sva la somme drece : m E e : e ) e + ( sqe la base chose das es orhoormale Das ce cas la roeco orhogoale () de sr s écr : ( ) ( e ) e Défo 3 e héorème 33 : dsace d vecer à sos-esace vecorel de dmeso fe So (E ( ) ) esace réhlbere réel de dmeso fe o o e la orme assocée So sos-esace vecorel de dmeso fe m de E Por vecer de E o aelle dsace de à oée d ( ) la qaé : d( ) f z Cee valer es aee e qe vecer de q es () O a doc : d( ) ( ) Démosrao : To d abord or vecer de E l esemble { m z la roeco orhogoale de sr z z } es o vde (l coe : or : z 0 ) e l es cosé de réels osfs doc l es moré e l adme e bore férere De ls e oa la roeco orhogoale () de sr o a : z z + z

11 Or : ( ) e : ( z) doc ces de vecers so orhogoa e le héorème de Pyhagore e s alqer or doer : z z + z Il es alors clar qe : z z e doc : z ( z ) ( z > ) Doc la valer es le ls e éléme de l esemble { z férere e cee derère es aee q e : z () z } doc ass sa bore Théorème 34 : égalé de Bessel So (E ( ) ) esace réhlbere réel de dmeso fe o o e la orme assocée So sos-esace vecorel de dmeso fe m de E So ( e em ) e base orhoormale de Por o vecer de E o a : Démosrao : So vecer de E e : m ( e ) m ( e ) e + sa décomoso sva la somme : E sqe la base roosée das E es orhoormale Alors les de vecers de cee décomoso éa orhogoa le héorème de Pyhagore s alqe à ovea e la base de éa orhoormale l eresso de la orme a carré es alors caoqe e : m 4 Esaces ecldes m ( e ) e + ( e ) e ( e ) m Défo 4 : esace vecorel eclde O aelle esace eclde esace vecorel réel de dmeso fe m d rod scalare Théorème 4 : esece de bases orhoormales das les esaces ecldes So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso Il ese des bases de E orhoormales or ( ) Démosrao : Il sff de cosdérer e base de E (doc e famlle lbre) e de l alqer le rocédé d orhoormalsao de Schmd or ober e ovelle famlle lbre de vecers de E (sqe orhogoale sas le vecer l) doc e base orhoormale de E Théorème 4 : de la base comlèe orhogoale o orhoormale So (E ( ) ) esace vecorel eclde So ( ) e famlle orhogoale de vecers de E e comora as le vecer l Alors l es ossble de comléer la famlle ( ) e e base orhogoale de E De même s ( e e ) es e famlle orhoormale de vecers de E l es ossble de comléer cee famlle e e base orhoormale de E Démosrao : O lse cee fos le héorème de la base comlèe alqé à la famlle ( ) e e base de E La famlle comléée e alors êre orhogoalsée sva le rocédé de Schmd q doe or les remers vecers les vecers e-mêmes Das le cas d e famlle ( e e ) de déar orhoormale o alqe l orhoormalsao or PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - -

12 ober e base de E orhoormale do les remers vecers so ecore ( e e ) Théorème 43 : caracérsao marcelle des bases orhogoales o orhoormales So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso So : B ( e e ) e base de E O oe M la marce d rod scalare das la base B défe ar : m ( e e ) La marce M es symérqe O a de ls les éqvaleces svaes : (B es orhogoale) ( M es dagoale) (B es orhoormale) ( M I ) Pls gééraleme s M es la marce d e forme bléare symérqe d esace eclde E alors M es symérqe Démosrao : Psqe : ( ) m ( e e ) ( e e ) m la marce M es be symérqe De ls les de réslas svas so resqe mmédas sqe : (B es orhogoale) ( ( e e ) 0 m ) ( M es dagoale) (B es orhoormale) ( ( e e ) δ ) ( M I ) Théorème 44 : eresso marcelle d rod scalare So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso e so : B ( e e ) e base de E Soe e y des vecers de E e X e Y les marces coloes de lers coordoées das B Alors : ( X M Y où M es la marce d rod scalare das la base B S B es orhoormale o a de ls : ( X Y y (forme caoqe d rod scalare réel das e base orhoormale) ( e ) e ( e ) Démosrao : Por le remer o l sff de déveloer : O oe or commecer : Y ' M Y e o a : y' m y Ps X M Y es e marce à e lge e e coloe e so sel coeffce va alors : y' m y D are ar e lsa la bléaré d rod scalare o obe égaleme : ( ( e y ( e e ) y m e les de eressos so égales s o cofod la marce avec so qe coeffce S la base es orhoormale alors : la marce M va I e o a be : ( X Y y So : + PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - - m δ e + e la décomoso de sva la base orhoormale B O e alors calcler : ( e ) ( e e ) d où l eresso de

13 Ef : ( ) ( e ) v les eressos rovées récédemme Théorème 45 : dmeso de l orhogoal d sos-esace vecorel das esace eclde So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso So sos-esace vecorel de E Alors : dm( ) dm( ) De ls : ( ) Démosrao : Psqe es de dmeso fe dm( ) + dm( ) De ls : y ( 0 doc : es slémeare de das E e : ( so : ) ( ) E comme : dm(( ) ) dm( ) ( dm( )) dm( ) o e déd qe : Théorème 46 : caracérsao e dmeso fe des slémeares orhogoa So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso ( ) Soe e G des sos-esaces vecorels de E e G so slémeares orhogoa das E s e seleme s o obe e base orhogoale de E e réssa e base orhogoale de e e base orhogoale de G Démosrao : Rasoos ar doble mlcao : [] S e G so slémeares orhogoa das E alors e réssa des bases orhogoales de e de G o obe o d abord e base de E e os les vecers de la base de éa orhogoa à os ce de la base de G la base de E obee es be orhogoale [ ] S la réo de de bases orhogoales de e de G doe e base orhogoale de E alors les vecers de la base de e ce de G so orhogoa ere e e e G so orhogoa d arès le héorème 4 De ls l es clar qe e G so slémeares das E Théorème 47 : reréseao d e forme léare à l ade d rod scalare So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso So ϕ * e forme léare sr E Alors l ese qe vecer : a E el qe : E ϕ *( ) ( a ) Démosrao : So : B ( e e ) e base orhoormale de E Alors : ( a a ) E e ϕ *( ) a Le vecer : a a e es alors be el qe : E ϕ *( ) ( a ) sqe B es orhoormale Ps s a ' réod égaleme a roblème alors : E ϕ *( ) ( a ) ( a' ) d où : ( a a' ) 0 O a doc : a' a E e : a' a d où : a ' a Théorème 48 : vecer ormal à hyerla d esace eclde So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 3 -

14 So H hyerla de E e : B ( e e ) e base orhoormale de E Ue éqao de H das B for alors vecer orhogoal à H d ass vecer ormal à H Démosrao : S : a + a 0 es e éqao de H das B alors : H er(ϕ*) où ϕ * es la forme + léare défe ar : E Le vecer : a e ϕ *( ) a H ϕ *( ) 0 ( a ) a e es alors orhogoal à H sqe : 5 Aomorhsmes orhogoa e marces orhogoales Défo 5 e héorème 5 : edomorhsme orhogoal das esace vecorel eclde So (E ( ) ) esace réhlbere réel de dmeso fe o o e la orme assocée So : L(E) O d qe es edomorhsme orhogoal de E s e seleme s coserve la orme o le rod scalare de E c'es-à-dre : ( y ) E ( ( ) ( ) ( o de faço éqvalee : E ( ) Démosrao : S coserve le rod scalare alors : E ( ) ( ( ) ( )) ( ) e coserve be la orme S ar allers coserve la orme alors : ( y ) E ( ( ) ( ) ( ( ) + ( avec la léaré de e doc : ( ( ) ( ) ( + y y ) ( e coserve le rod scalare ( ) ( ) ( ( + Théorème 5 : becvé des edomorhsmes orhogoa e dmeso fe So (E ( ) ) esace eclde e la orme assocée So : L(E) edomorhsme orhogoal de E Alors es becf e doc o edomorhsme orhogoal d esace vecorel eclde es aomorhsme : o arle doc d aomorhsme orhogoal De ls e e admere comme valer rore qe ± Démosrao : Psqe E es esace eclde l es de dmeso fe e l sff de démorer qe l edomorhsme es ecf Or : E ( er( ) ) ( ( ) 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Sosos maea qe λ es valer rore (doc réelle) de e so vecer rore assocé Alors : ( ) λ e : ( ) λ λ mas ass : ( ) e comme es o l : λ y ) Défo 5 : marce orhogoale So : O d qe : A M () es e marce orhogoale s e seleme s : A A I o : A A I PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 4 -

15 Théorème 53 : caracérsao des marces orhogoales ar lers vecers lges o coloes So : Ue marce : A M () es orhogoale s e seleme s ses coloes cosdérées comme des vecers de (o ses lges) forme e base orhoormale de or le rod scalare caoqe de De ls s : A M () es orhogoale alors : de( A ) ± Démosrao : So : A M () O e o d abord remarqer qe : ( A A I ) ( A A ) ( A A I ) ( A orhogoale) Ps s o oe B la marce : B A A ses coeffces so : b a a ( C C ) où le rod scalare es c le rod scalare caoqe de e où o a oé de A cosdérées comme des vecers de Doc A es orhogoale s e seleme s : B I C C les coloes doc s e seleme s la famlle (formée de vecers) ( c c ) es orhoormale das doc e forme e base orhoormale De même e oa L L les lges de A e : B' A A o démore l are éqvalece Ef s A es orhogoale alors : de( I ) de( A A) de( A)de( A) (de( A)) Théorème 54 : caracérsaos des aomorhsmes orhogoa So (E ( ) ) esace eclde e la orme assocée So : L(E) es aomorhsme orhogoal s e seleme s sa marce das e base orhoormale de E es e marce orhogoale es aomorhsme orhogoal s e seleme s l mage d e base orhoormale de E ar es e are base orhoormale E arcler s es aomorhsme orhogoal alors : de( ) ± Démosrao : So A la marce de das e base B orhoormale de E S A es orhogoale alors : E ( ( ) ( )) ( A X )( A X ) e oa X la marce des coordoées de X das la base B e arce qe B es orhoormale Doc : ( ( ) ( )) X A A X X I X X X ( ) e es be aomorhsme orhogoal S maea o sose orhogoal alors : ( y ) E o a : ( ( ) ( ) ( E oa X e Y les marces coloes des coordoées de X e de Y das B o obe : ( X Y ) M () X A AY X Y Noos alors : B A A e so X la marce coloe formée de 0 saf cel de la lge q va Alors : l X A A X l X B X l b l e : X X l δ l O e déd qe : B I e doc : A A I areme d A es orhogoale So maea : B ( e e ) e base orhoormale de E S es orhogoal alors ar coservao d rod scalare la famlle ( e ) ( e ) ) es clareme e famlle orhoormale (doc e base) de E E s récroqeme o sose qe ( e ) ( e ) ) es orhoormale alors : E e ( ( ( δ ) ( e ) ( e ) ( ( e ) ( e )) PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 5 -

16 e doc : ( ) Psqe coserve la orme c es doc be aomorhsme orhogoal E arcler s es orhogoal e s A es sa marce reréseave das e base orhoormale de l esace alors : de( ) de( A) ± Théorème 55 : aomorhsme orhogoal e sos-esaces vecorels sables So (E ( ) ) esace eclde Soe aomorhsme orhogoal de E e sos-esace vecorel de E sable ar Alors es égaleme sable ar Démosrao : Psqe es sable ar o a : ( ) e éa becf doc coserva la dmeso : ( ) Por : Doc : () o e écrre : e y ' y y ' ( e : ( ( ) y') ( ( ) ( ) ( 0 es doc égaleme sable ar Théorème 56 e défo 53 : les groes (O(E)o) (O() ) (SO(E)o) e (SO() ) So (E ( ) ) esace vecorel eclde de dmeso e la orme assocée Alors l esemble des edomorhsmes orhogoa de E oé O(E) forme groe or la lo o aelé groe orhogoal de E e sos-groe de (Gl(E)o) De même l esemble O( ) des marces orhogoales de M () forme groe or la lo aelé groe orhogoal d ordre e sos-groe de (Gl( ) ) Par allers les élémes de O(E) do le déerma va forme sos-groe de O(E) aelé Groe sécal orhogoal de E de même les marces de O( ) do le déerma va forme sos-groe de O( ) aelé groe sécal orhogoal d ordre Ef s o fe e base orhoormale B de E l alcao de L(E) das M () q à edomorhsme assoce sa marce das la base B d somorhsme de groes de (O(E)o) das (O( ) ) Démosrao : O(E) : O a or commecer : O(E) Gl(E) De ls l es clar qe d coserve la orme doc c es aomorhsme orhogoal e : O(E) E Ps s e v coserve la orme das E alors : E Doc : ( v ) O(E) ov O(E) Ef or o das O(E) es becf e : E ov ( ) ( v( )) v( ) ( ) ( ( )) O( ) : De la même faço oe marce orhogoale éa versble o a : O( ) Gl( ) De ls : I I I doc : I O( ) e : O() Ps : ( A B ) O( ) ( A B)( A B) B A A B B I B I e : A B O( ) Ef : A O( ) A A e : ( A ) A ( A) A A A I e : A O( ) SO(E) : O a : d E O(E) e sqe : de( d E ) o e déd qe : SO(E) Ps : ( v ) SO(E) alors : de( ov ) de( )de( v) e : ov SO(E) PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) so : Ef s : SO(E) de( ) (de( )) e : SO(E) SO(E) es be sos-groe de O(E) O more de la même faço qe SO( ) forme sos-groe de O( ) L alcao roosée es be e alcao de O(E) das O( ) d arès le héorème 54 C es morhsme de groes mllcafs car : ( v ) O(E) ma(ov B ) ma( B ) ma( v B ) O(E)

17 Ef : - c es be e alcao ecve sqe l alcao de L(E) das M () l es - elle es srecve sqe or e marce orhogoale doée A l edomorhsme de E el qe : A ma( B) es orhogoal oors d arès le héorème 54 Théorème 57 : marce de assage ere bases orhoormales So (E ( ) ) esace eclde e la orme assocée So B e base orhoormale de E e B e are base de E S o oe P la marce de assage de B à B alors B es orhoormale s e seleme s P es orhogoale Démosrao : So doc B e bas orhoormale de E e B e are base de E e oa P la marce de assage de l e à l are Les coeffces de P so (e coloe) les coordoées des vecers de B ermés das la base B ( ' ) Or das ce cas : { } C C ( C C ) or le rod scalare caoqe (des coloes C e ' ' C C ' ' ( e' e' ' ) C ' de P ) das où les e' so les vecers de B e où le rod scalare es cee fos cel das E E effe la base B éa orhoormale la forme qe red le rod scalare es ecore caoqe Il es alors clar qe : ( P P I ) ( ( ' ) { } C C δ ( e' e' ) ) (B orhoormale) ' ' ' 6 Rédco des edomorhsmes symérqes des marces symérqes réelles Défo 6 : edomorhsme symérqe So (E ( ) ) esace eclde O d q edomorhsme de E es symérqe s e seleme s : ( y ) E ( ( ) ( ( ) Théorème 6 : caracérsao marcelle des edomorhsmes symérqes So (E ( ) ) esace eclde So : L(E) L edomorhsme es symérqe s e seleme s sa marce reréseave das oe base orhoormale de E es symérqe Démosrao : La démosrao es smlare à celle d héorème 54 Soe : B ( e e ) e base orhoormale de E e : A ma( B) S A es symérqe alors or e y das E de marces coloes de coordoées das B oées X e Y o a : ( ( ) ( A X ) Y X AY X AY X ( AY ) ( ( ) e es symérqe S es symérqe alors : ( e ( e )) ( e a e ) a ( e e ) a e : ( ( e ) e ) ( e ( e )) a E sqe : ( e ( e )) ( ( e ) e ) o e déd qe : a a e A es symérqe Remarqe : l esemble des edomorhsmes symérqes d esace eclde forme esace vecorel sos-esace vecorel de L(E) PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 7 -

18 Théorème 6 : caracérsao des roecos e syméres orhogoales So (E ( ) ) esace vecorel eclde U roecer (o e symére) es orhogoal(e) s e seleme s c es edomorhsme symérqe Démosrao : Soe e G de sos-esaces vecorels slémeares de E doc els qe : E G e le roecer de E sr das la dreco G Sosos qe es edomorhsme symérqe Alors : ( y ) G o a : y ( e : ( ) 0 e : ( ( ( ) ( ( ) (0 0 doc : G e sqe : dm( ) dm( G) dm( G ) o e déd qe : Areme d le roecer es roecer orhogoal G Sosos maea qe es roecer orhogoal e so B e base orhoormale de E adaée à la décomoso e somme drece orhogoale : E G I Alors e oa : dm() la marce de das la base B s écr : ma( B 0 ) 0 0 Psqe cee marce es symérqe es edomorhsme symérqe Par allers s s es e symére o oe le roecer assocé q doc vérfe : s d E S s es e symére orhogoale alors es roecer orhogoal doc es edomorhsme symérqe e doc s ass S s es edomorhsme symérqe alors ass e es roecer orhogoal s es alors e symére orhogoale Théorème 63 : valers rores d e marce symérqe réelle d edomorhsme symérqe So : So : A M () e marce symérqe réelle Alors A cosdérée comme éléme de M () es elle qe oes les races de so olyôme caracérsqe so réelles e doc a oes ses valers rores réelles So (E ( ) ) esace eclde e so : L(E) symérqe Toes les races d olyôme caracérsqe de so réelles Démosrao : So λ e race de χ A éveelleme comlee e X vecer rore (das ) assocé à λ Alors : A X λ X O e écrre : X A X λ X X λ mas ass sqe A es symérqe e réelle e vérfe : X A X X A X ( A X ) X ( λ X ) X λ X X λ A A e doc : E comme X es vecer rore l es o l doc : 0 e : λ λ Doc oe race de χ A es réelle De même s es edomorhsme symérqe de E sa marce das more qelle base orhoormale de E es symérqe réelle doc les races de χ q so celles de χ so oes réelles A PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 8 -

19 Théorème 64 : orhogoalé des esaces rores d edomorhsme symérqe So (E ( ) ) esace eclde e so : L(E) symérqe S λ e µ so des valers rores dsces de les esaces rores assocés E λ () e E µ () so orhogoa Démosrao : Toes les valers rores de so réelles Soe λ e µ de valers rores dsces de e e y des élémes de E λ () e E µ () Alors : ( ( ) ( µ µ ( mas ass : ( ( ) ( ( ) ( λ λ( Or : λ µ doc : ( 0 e les sos-esaces rores E λ () e E µ () so be orhogoa Théorème 65 : dagoalsablé des edomorhsmes symérqes So (E ( ) ) esace eclde e so : L(E) symérqe Il ese e base orhoormale de E das laqelle l edomorhsme es dagoalsable E es de ls la somme drece orhogoale des sos-esaces rores de Démosrao : O effece cee démosrao ar récrrece sr la dmeso de l esace S es edomorhsme symérqe d esace eclde de dmeso l es évdemme dagoalsable sqe sa marce das oe base de E es de alle doc dagoale Sosos le résla acqs or o edomorhsme symérqe d esace vecorel do la dmeso es eer : doé So alors edomorhsme symérqe d esace eclde E de dmeso + Psqe χ es scdé das adme a mos e valer rore λ e vecer rore assocé e Noos alors E le slémeare orhogoal de Vec ( e ) das E E es sable ar : E effe : E e ( )) ( ( e ) ) λ ( e ) 0 ( sqe es orhogoal à e Doc : ( ) Vec( e ) e : () E Noos alors ' l edomorhsme d ar das E : l esace E es de dmeso sqe slémeare das E de Vec ( e ) L edomorhsme ' de E es symérqe car : ( y ) E ( '( ) ( ( ) ( ( ) ( '( ) Doc l ese e base orhoormale ( e e + ) de E formée de vecers rores de ' Mas ces vecers so ass vecers rores de e e réssa cee famlle à e o obe e base orhoormale ( e e + ) de E formée de vecers rores de ce q erme la récrrece Théorème 66 : dagoalsablé des marces symérqes réelles So : So : A M () e marce symérqe réelle Alors A es dagoalsable e l es ossble de la dagoalser ar l ermédare d e marce orhogoale Démosrao : S désge l edomorhsme de caoqeme assocé à A l es symérqe or le rod scalare caoqe de sqe la base caoqe es orhoormale or ce rod scalare e A es symérqe réelle Doc es dagoalsable e ses esaces rores so orhogoa S o cosdère alors e base de vecers rores de formée de la réo de bases orhoormales des dfféres esaces rores de o obe e base de vecers rores de q es e base orhoormale La marce de assage P de la base caoqe à cee base de vecers rores es alors orhogoale e s o oe ef D la marce P A P elle es dagoale areme d o ve de dagoalser A PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 9 -

20 ar l ermédare d e marce orhogoale 7 Esaces ecldes de dmeso o 3 Das ce aragrahe E désge esace eclde de dmeso o 3 Défo 7 : oreao d esace vecorel oreao de ar sos-esace vecorel Ue oreao de E corresod a cho d e base de E décréée comme drece Toe base de E es alors so drece so drece sva qe le déerma de la marce de assage de cee ovelle base à la base de référece es osf o égaf S es sos-esace vecorel de E ( la o e droe) oreer erme alors de défr e oreao de das o sos-esace slémeare de das E de la faço svae : s B es e base drece de e base d slémeare G de sera drece s la cocaéao de B e de B G es e base drece de E Eemle : So 3 m de so rod scalare caoqe e de so oreao caoqe (la base caoqe B c es drece) So : Vec( e ) avec : e ( ) e m de l oreao doée ar ce vecer Alors : Π Vec e e ) où : e e ) ((0)(0 )) es slémeare de das 3 (sqe la réo ( 3 ( 3 des de bases de Π e de forme e base de 3 ) e e ) es e base drece de Π das l oreao de ar ( e 3 E effe la marce de assage P de B c à e e ) vérfe : de( ) 0 ( e3 PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) P Remarqes : S o red a déar e base orhoormale comme base drece e q o eame les ares bases orhoormales de E alors le déerma de la marce de assage va oors ± Oreer e droe (das le la o l esace) corresod doc à la doée d vecer de orme Oreer la das 3 reve alors à chosr e base orhoormale d la comme base drece mas de faço éqvalee à chosr vecer de orme e ormal a la E effe l oreao de 3 d ar le cho de ce vecer ormal a la e oreao das le la Théorème 7 e défo 7 : rod me So E es esace eclde de dmeso o 3 oreé S B e B so de bases orhoormales dreces de E alors : s E es de dmeso : ( v ) E de B ( v) de B ( v) s E es de dmeso 3 : ( v w ) E 3 de B ( v w) de B ( v w) Cee valer varae es oée : [ v] de B ( v) o : [ v w] de B ( v w) sva le cas e es aelé rod me de e de v o de v e w sva le cas Démosrao : Por vecer de E de marce de coordoées X e X ' das B e B o a : X PX ' où P es la marce de assage de B à B S o oe A e A ' les marces des coordoées de ( v ) (o de ( v w )) das les bases B e B o a alors e lsa rod ar blocs : A PA' Doc : de B ( v) de( A) de( P A') de( P)de( A' ) + de( A' ) de B ( v) de même s E es de dmeso 3 Théorème 7 e défo 73 : rod vecorel de de vecers e dmeso 3 So E es esace eclde de dmeso 3 oreé Soe e v de vecers de E Il ese qe vecer w de E oé E [ v ] ( w ) v e aelé rod vecorel de e de v el qe : 0 0 0

21 Démosrao : L alcao de E das défe ar : a [ v ] es e forme léare sr E doc le héorème 47 gara q l ese qe vecer w das E el qe : E [ v ] ( w ) Théorème 73 : roréés d rod vecorel So E es esace eclde de dmeso 3 oreé Le rod vecorel a les roréés svaes : l es bléare : ( ' v v' ) E 4 ( λ λ' ) ( λ v + λ' v' ) λ v + λ' v' e : ( λ + λ' ' ) v λ v + λ' ' v l es aleré : ( v ) E v v ( v ) E v es orhogoal à e à v ( v ) E ( v 0 ) (( v ) es lée) ( e v coléares) ( v ) E (( v ) lbre) ( e v o coléares) (( v v ) es e base drece de E Démosrao : Soe v v' das E λ e λ das Alors : E ( ( λ v + λ' v') ) [ λ v + λ' v' ] λ[ v ] + λ'[ v' ] λ( v ) + λ'( v' ) d où : ( ( λ v + λ' v') ) ( λ v + λ' v' ) e ar cé : ( λ v + λ' v' ) λ v + λ' v' O more de même la relao smlare ar raor à la remère varable Soe e v das E Alors : E ( v ) [ v ] [ v ] ( v ) ( v ) e ar cé : v v Ps : ( v ) [ v ] 0 de même or v ce q more qe v es orhogoal à e à v De ls : - s ( v ) es lée alors : E ( v ) [ v ] 0 e comme 0 vérfe ass : ( 0 ) 0 ar cé o a : v 0 - s ( v ) es lbre alors : w E el qe ( v w ) es e base de E e : ( v w) [ v w] 0 e doc le vecer v es o l Das ce derer cas o a alors : [ v v] ( v v) v > 0 e la base (v v ) es e base drece de E Théorème 74 : eresso d rod vecorel das e base orhoormale drece So E es esace eclde de dmeso 3 oreé m d e base orhoormale drece B Soe e ' de vecers de E de coordoées resecves ( y z ) e ( ' y' z' ) das B Alors ' a or coordoées das B ( y z' y' z z ' z' y' y ' ) Démosrao : S o oe ( a b c ) les coordoées de v das : B ( ) alors : ' a ( v ) [ v ] y y' 0 y z' z y' z z' 0 O obe les de ares coordoées de la même faço avec e Théorème 75 : eresso géomérqe d rod vecorel So E es esace eclde de dmeso 3 Soe e v de vecers o coléares de E e Π le la egedré ar e v PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - -

22 S o oree Π à l ade d vecer are ormal à Π (doc drgea e orea : Π ) alors : v v s( θ ) où θ es l agle oreé ( v ) Démosrao : Noos : e el qe ( ) so e base orhoormale d la elle qe ( ) so drece Alors : e : θ ]0π[ v v (cos( θ ) + s( θ ) ) v E effe avec : v v ( + y ) alors : + y e : v! θ [0π] cos(θ ) y s(θ ) Das ce cas θ es be l agle oreé ( v ) e : v ( v (cos( θ ) + s( θ ) )) v s( θ ) Remarqe : Por ros vecers v w de E esace eclde de dmeso 3 oreé o a : v rerésee la srface d arallélogramme déf ar les vecers e v [ v w] rerésee le volme d aralléléède cosr sr les vecers v e w Théorème 76 : élémes de O() : marces orhogoales So : A O() e marce orhogoale de alle cos( θ ) s( θ ) s : de( A ) + l ese réel θ el qe : A s( θ ) cos( θ ) cos( θ ) s( θ ) s : de( A ) l ese réel θ el qe : A s( θ ) cos( θ ) Démosrao : a c Noos : A O() b d Alors das os les cas : a + b c + d e : a c + b d 0 sqe les vecers coloes de A cose e base orhoormale de m de so rod scalare caoqe Doc l ese θ e θ ' réels els qe : a cos(θ ) b s(θ ) c s(θ ') d cos(θ ') De ls o a ass : cos( θ )s( θ ') + s( θ )cos( θ ') 0 s( θ + θ ') so : θ + θ ' π avec : cos( θ ) ( ) s( θ ) O e doc écrre : A s( θ ) ( ) cos( θ ) Ef : cos( θ ) s( θ ) s : de( A ) + alors : ( ) + e : A s( θ ) cos( θ ) cos( θ ) s( θ ) s : de( A ) alors : ( ) e : A s( θ ) cos( θ ) Remarqe : S o defe E a la comlee e rerésea des vecers ar ler affe alors la roao vecorelle d agle θ es reréseée ar l alcao : z a z e θ Théorème 77 : aomorhsmes orhogoa d esace vecorel eclde de dmeso So E esace vecorel eclde de dmeso oreé PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - -

23 So aomorhsme orhogoal de E e A la marce de das e base : B ( ) orhoormale drece de E cos( θ ) s( θ ) s : de( ) + alors l ese réel θ el qe : A s( θ ) cos( θ ) S es as l deé de E es la roao de E d agle θ θ éa doé ar : cos( θ ) r( ) cos( θ ) s( θ ) s : de( ) alors l ese réel θ el qe : A s( θ ) cos( θ ) θ θ es alors la symére orhogoale ar raor à la droe D d éqao : s ycos 0 e l agle de D avec la droe drgée ar es égal à θ Démosrao : S es aomorhsme orhogoal de E alors sa marce reréseave A das e base orhoormale de E es alors orhogoale e o se rove das l des de cas récédes De ls s : cos( θ ) s( θ ) de( ) + alors : de( A ) + e : θ A s( θ ) cos( θ ) Dsgos alors de cas S : θ 0 ( π ) alors es l deé de E so es e roao de E d agle θ e o obe θ ar : r ( A) cos( θ ) r( ) S ar allers : cos( θ ) s( θ ) de( ) alors : de( A ) e : θ A s( θ ) cos( θ ) Psq alors A es symérqe réelle elle es dagoalsable e ses valers rores (réelles) λ e λ vérfe e lsa race e déerma : λ + λ 0 e : λ λ Doc λ e λ vale e 0 La marce de das e base de vecers rores es alors e : d E 0 es doc be e symére vecorelle Comme ef les esaces rores de so orhogoa c es e symére orhogoale La droe ar raor à laqelle s oère cee symére es l esemble des vecers varas de θ θ θ (cos( θ ) ) + s( θ ) y 0 s s cos y 0 doés ar : A X 0 so : o : s( θ ) (cos( θ ) + ) y 0 θ θ θ + cos s cos y 0 Comme ef so le ss so le coss ms e facer es o l o e déd be qe la droe varae ar es la droe D do l éqao das la base B es be celle aocée θ θ θ Le vecer cos s es alors drecer de D e l agle de ce vecer avec es be Théorème 78 : rod de roaos commavé de SO() e SO(E) or E de dmeso Le groe SO() es commaf S E es esace vecorel eclde de dmeso le groe SO(E) es commaf E arcler de marces orhogoales de déerma + comme o comme de roaos das la eclde Démosrao : S A e A ' so de marces de roao d agle θ e θ alors : cos( θ ) s( θ ) cos( θ ') s( θ ') cos( θ + θ ') s( θ + θ ') A A' A' A s( θ ) cos( θ ) s( θ ') cos( θ ') s( θ + θ ') cos( θ + θ ') PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 3 -

24 S r e r ' so de roaos de E de marces resecves A e drece de E alors ror ' es la roao d agle θ + θ ' A ' das e base orhoormale Théorème 79 : edomorhsmes orhogoa d esace vecorel eclde de dmeso 3 So E esace vecorel eclde de dmeso 3 oreé So aomorhsme orhogoal de E s : de( ) + e s es as l deé de E alors adme e droe de vecers varas So alors Π le la orhogoal à - S : r ( ) alors es la symére orhogoale ar raor à (o roao d agle π aor de ) - S : r ( ) alors or vecer o l de Π (o orhogoal à ) le vecer : () es vecer o l de S das ce cas o oree avec e Π avec l oreao de ar celle de es alors la roao d ae e d agle + θ où θ es doé ar la relao : cos( θ ) + r( ) s : de( ) e s es as d E alors l esemble des vecers chagés e ler oosé ar es e droe de E Noos ecore Π le la orhogoal à - S : r ( ) + es la symére orhogoale ar raor à Π - S : r ( ) + alors or vecer o l de Π (o orhogoal à ) le vecer : () es ecore vecer o l de S das ce cas o oree avec e Π avec l oreao de ar celle de alors es la comosée de la roao d ae e d agle + θ où θ es doé ar la relao : cos( θ ) r( ) e de la symére orhogoale de E ar raor à Π Démosrao : To d abord le olyôme caracérsqe χ de es de degré 3 à coeffces réels doc l adme e race réelle a mos Dsgos alors de cas : χ adme ros races réelles e ça e e êre qe o χ adme e race réelle e de races comlees cogées : λ ± λ e λ Le rod des races de χ va ar allers de( ) De cas alors se résee : de( ) + Les races de χ so doc ( ) o ( + ) s les ros races so réelles e ( λ λ) avec : λ s l y a des races o réelles O cosae doc qe es oors valer rore de So e 3 vecer rore de orme q es vecer rore de assocé à la valer rore Noos : Vec e ) e : ( 3 Π Psqe es évdemme sable ar Π es égaleme sable ar (héorème 55) L edomorhsme ' d ar das Π es e somére de Π sqe ' coserve la orme O cosdère alors ( e e ) e base orhoormale de Π e o a oe : B ( e e e3 ) ma( e ( ') 0 e ) Alors : ma B ( ) 0 O cosae ese qe : de( ) de( ' ) e doc : de( ') + e le héorème 77 more qe : cos( θ ) s( θ ) 0 cos( θ ) s( θ ) θ ma( e ) ( ' ) e e : ma B ( ) s( θ ) cos( θ ) 0 s( θ ) cos( θ ) 0 0 θ θ Les races de χ so alors : e e - s : θ 0 ( π ) alors es valer rore rle de e : d E - s : θ π ( π ) alors es valer rore smle de e l esace rore assocé es la droe PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 4 -

25 O a alors de ls : r ( ) e es la symére orhogoale ar raor à - das os les ares cas es as l deé e : r ( ) es alors valer rore smle de e l esace rore assocé es la droe θ θ Les ares races de χ (doc les races de χ ) so e e e e ' a as de valer rore ' De ls s o oree Π avec la base ( e e ) ' es la roao d agle + θ où θ es doé ar la relao : cos( θ ) + r( ) Pls gééraleme s es vecer o l de Π alors () es o coléare à (sqe ' a as de valer rore doc as de vecer rore) Doc la famlle ( ( ) ( ) ) es e famlle lbre de E doc e base de E e de ls drece S o oree alors avec : () e Π avec l oreao de ar ce cho sr la famlle ( ( ) ) es e base drece de Π e la roao das le la Π s effece das le ses drec Rese à eamer le cas : de( ) Les races de χ so ( ) ( + + ) o ( λ λ) e es oors valer rore de So e 3 vecer rore de orme q es vecer rore de assocé à la valer rore Noos à ovea : Vec( e 3 ) e : Π Π es oors sable ar e l edomorhsme ' d ar das Π es ecore e somére de Π O cosdère alors ( e e ) e base orhoormale de Π e o a oe : B ( e e e3 ) ma( e ( ') 0 e ) Alors : ma B ( ) 0 O cosae ese qe : de( ) de( ' ) e doc : de( ') + areme d ' es ecore e roao d la Π 0 0 O aelle alors s la symére orhogoale ar raor à Π e : ma B (s) Comme comosée de de soméres so es e somére de E de ls osve car : de( so ) de( s)de( ) ( )( ) Ef es varae ar cee somére cos( θ ) s( θ ) 0 cos( θ ) s( θ ) 0 Doc : θ ma B ( so ) s( θ ) cos( θ ) 0 e : ma B ( ) s( θ ) cos( θ ) O erme avec la même dscsso : - s : θ π ( π ) alors es valer rore rle de e : d E - s : θ 0 ( π ) alors es valer rore smle de e l esace rore assocé es la droe O a alors de ls : r ( ) + e : s es la symére orhogoale ar raor à Π - das os les ares cas es as d E e : r ( ) + es alors la comosée de la symére orhogoale s ar raor à Π e de la roao décre ls ha E arcler l agle θ de cee roao es doé ar la relao : cos( θ ) r( ) Ef s es vecer o l de Π le vecer : () oree (e Π) de elle sore qe la roao s effece das le ses osf Théorème 70 : élémes de O(3) : marces orhogoales 3 3 So : A O(3) e marce orhogoale de alle 3 3 PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 5 -

26 cos( θ ) s( θ ) 0 s : de( A ) + alors : θ P O(3) A P s( θ ) cos( θ ) 0 P 0 0 cos( θ ) s( θ ) 0 s : de( A ) alors : θ P O(3) A P s( θ ) cos( θ ) 0 P 0 0 Démosrao : S o aelle l edomorhsme caoqeme assocé (das 3 m de so rod scalare caoqe) es edomorhsme orhogoal de 3 doc l ese comme o l a v das la démosrao d héorème 79 e base orhoormale de 3 das laqelle la marce de es d des de yes roosés (la dfférece se fasa ar l eame d déerma de ) Il sff alors d aeler P la marce de assage de la base caoqe de 3 à la base B évoqée a-desss : cee marce es orhogoale d où le résla aocé PSI Dy de Lôme Chare : Prod scalare esaces ecldes (Cors comle) - 6 -