Math-F-207 Corrigé Séance 6. Séance 6 : Tests d hypothèses

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1 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Exercces Exercce Séance 6 : Tests d hypothèses Consdérons une urne qu content r boules rouges et 5 r boules blanches. nous voulons tester l hypothèse nulle selon laquelle toutes les boules dans l urne sont de la même couleur,.e. nous consdérons le problème de test { H : r {, 5} H : {,, 3, 4} Nous décdons d adopter la règle de décson suvante : extrayons deux boules de l urne et rejetons H s et seulement s les deux boules ne sont pas de la même couleur. Que vaut le rsque de premère espèce de ce test? Calculez la foncton de pussance du test consdéré s le trage est fat avec remse. Réponse : la dmenson en r est donnée par r5 r/5. Calculez la foncton de pussance du test consdéré s le trage est fat sans remse. Réponse : La dmenson en r est donnée par r5 r/. Il est évdent que l erreur de premère espèce est nulle. En effet, la probablté, sous H de rejeter l hypothèse est celle de pocher boules de couleurs dfférentes lorsque toutes les boules de l urne sont de la même couleur sot blanches r ou nores r 5. Intéressons nous alors au trage avec remse. Dans ce cas, la pussance la dmenson sous la contre-hypothèse est donnée par IP H RH IP r {,,3,4} trer boules de couleurs IP [R B B R ] [IP [R ] IP [B ]] + [IP [B ] IP [R ]] r r r + r5 r 5 r où, R resp.b est ben évdemment l événement trer une boule de couleur rouge resp. blanche au ème trage. Dans le trage sans remse, Exercce IP H RH IP r {,,3,4} trer boules de couleurs IP trer une rouge et une blanche r r 5 rr Sot X,..., X n un échantllon aléatore smple de varables aléatores de lo normale de moyenne µ nconnue et de varance. Consdérons le problème de test : { H : µ µ où µ et µ sont des nombres réels fxés. H : µ µ

2 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Décrvez le test le plus pussant au nveau α pour ce problème Calculez la pussance de ce test. Le lemme de Neyman-Pearson nous dt que le test le plus pussant au nveau α est donné par la foncton de test s L X > kl X φ α X γ s L X kl X. s L X < kl X La vrasemblance de l échantllon de talle n est n L µ,σ X σ exp π σ X µ. Le rapport des vrasemblances est alors σ σ : L X π n/ exp X µ L X π n/ exp X µ exp X µ X + µ X + µ X µ exp X µ + µ + µ µ n Le test affrme alors RH L X > kl X X µ µ + µ µ n X µ µ + µ µ n > log k < log k µ µ n X µ + µ < log k S µ < µ, on trouve alors Dans le cas µ > µ, on trouve RH X > µ + µ RH X < µ + µ + log k nµ µ. log k nµ µ. Exercce 3 Nous dsposons d une pèce de monnae et nous ntéressons au problème de test suvant, en notant la probablté d apparton de ple p, pour p < p, { H : p p H : p p. Nous dsposons pour cela d un ensemble de n observatons X,..., X n.

3 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Détermnez le test PMα,.e. le test à pussance maxmale dans la classe des tests de nveau α. Sachant que, pour X Bn, /, on a IP [X 7], 9453 et IP [X 8], 9896, détermnez le test d hypothèse dans le cas p /, n et α, 5. Nous souhatons utlser le lemme de Neyman-Pearson. Consdérons alors le rapport de vrasemblance. Remarquons que X prend les valeurs Ple et Face avec probabltés respectves p et p. Les X sont donc..d. Bn,p. Λ L X L X px p X px p X P p X p n P X P X p p n P X P X p p p p p p Le lemme de Neyman-Pearson affrme qu on rejette l hypothèse nulle lorsque Λ est grand, c està-dre lorsque X > k α. Le problème c est que le rapport de vrasemblance ou de la même manère X ne peut prendre qu un nombre fn de valeurs dfférentes. Ans, l n exste pas nécessarement de soluton au problème IP [ X > k α ] α. Remarquons que la lo sous H du rapport de vrasemblance est connue pusque X Bnn, p sous H. L approche à emprunter est donc la suvante : Détermner la plus pette valeur k α naturelle telle que IP p X > k α α,.e. { } k α nf k IN IP p X > k α. Une fos ce k α fxé, nous savons que n IP p X > k α α < IP p X k α Afn de trouver le coeffcent γ apparassant dans le lemme, l sufft alors de résoudre l équaton pour l erreur de premère espèce : IP p RH α IP p X > k α + γip p X k α α γ α IP p X > k α IP p X k α En remplaçant les dfférentes quanttés dans le cas partculers n, p /, α, 5, on trouve k α 8 et γ, 5, 9896/, 9896, 9453, s X > 8 φx, s X 8 s X < 8

4 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Exercce 4 Soent X et X deux varables aléatores d de lo unforme sur [, θ]. Nous voulons tester l hypothèse nulle H : θ 3 contre l hypothèse H : θ < 3. Consdérons la collecton C des procédures de test qu consstent à rejeter H s et seulement s maxx, X < c, pour un certan c fxé dans ], [. Détermner, dans C, le test dont l erreur de premère espèce vaut exactement, 5. Réponse : c 3, 5 Calculez la foncton de pussance de ce test. Réponse : la pussance en θ est donnée par I 3, 5 [<θ 3,5] + I θ [3,5<θ<3] On mpose rappel : sous H, θ 3, La pussance est donnée par Exercce 5 IP H RH, 5 IP H maxx, X < c, 5 IP H X < c IP H X < c, 5 c c θ dx dx, 5 θ c 3 dx, 5 9 c, 5 c 3, 5 IP H RH IP H maxx, X < c IP H X < c IP H X < c c θ dx s c < θ θ θ dx s c > θ { c θ s c < θ s c > θ 3, 5 I θ [3,5<θ<3] + I [<θ<3,5] Soent X et X deux varables aléatores d de lo unforme sur [, θ]. Nous voulons tester l hypothèse nulle H : θ 3 contre l hypothèse H : θ < 3. Consdérons la collecton C des procédures de test qu consstent à rejeter H s et seulement s X < c, pour un certan c fxé dans ], [. Détermner, dans C, le test dont l erreur de premère espèce vaut exactement, 5. Réponse : c 3, 5 Calculez la foncton de pussance de ce test et comparez-là à la foncton de pussance du test obtenu à l exercce précédent. Réponse : la pussance en θ est donnée par I [<θ c] + c θ c I[c<θ c] + I[c<θ<3] θ

5 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Ade : détermner d abord la lo de X + X. Réponse : la foncton de répartton de X + X en x est donnée par x I[<x θ] + x θ θ I[θ<x θ] + I [θ<x] On mpose rappel : sous H, θ 3, IP H RH, 5 IP H X < c, 5 X + X IP H < c, 5 IP H X + X < c, 5 La pussance est donnée par IP H X < c X, 5 IP H X < c X X x f X x dx, 5 c c x 3. dx, c[x ] c 9 [x /] c, 5 9 c, 5 c 3, 5 IP H RH IP H X < c IP H X + X < c c IP H X < c X X x f X x dx c x θ I ],θ[x θ I ],θ[x dx dx Il reste à calculer cette ntégrale, dont la valeur dépend de θ. S θ > c, l est clar que les ndcatrces valent alors toujours, de sorte que l ntégrale dans ce cas donne c/θ. S θ c, l ntégrale devent alors θ c x θ I ],θ[x θ I ],θ[x dx dx Reste à tenr compte de la borne de la seconde ntégrale : Deux cas se présentent alors : S pour tout x, c x θ, alors les deux ntégrales se prennent de à θ et celle-c vaut alors. Cette condton est vérfée ss c θ θ,.e. ss θ c. Dans le derner cas, on réécrt l ntégrale en remarquant c x < θ x > c θ θ c θ θ dx dx + θ θ Cec condut à l expresson rencontrée dans l énoncé. Exercce 6 c θ c x dx dx. Consdérons tros test φ, φ et φ 3 assocés au même problème de test. Supposons que ces tests sont ndépendants ce qu sera le cas s, par exemple les tests sont effectués à partr d échantllons ndépendants. Consdérons alors les tros procédures suvantes :

6 Math-F-7 Corrgé Séance 6 Procédure A La procédure A rejette H s et seulement s les tros tests φ, φ, φ 3 rejettent H Procédure B La procédure B rejette H s et seulement s au mons deux des tros tests φ, φ, φ 3 rejettent H Procédure C La procédure C rejette H s et seulement s au mons un des tros tests φ, φ, φ 3 rejette H Exprmez les pussances des procédures A, B et C en foncton des pussances respectves p, p et p 3 des tests φ, φ, φ 3. Supposons mantenant p p p 3 p. tracez les graphes des pussances des procédure A, B et C en foncton de p. Comparez les performances des procédures à celles des tests φ, φ, φ 3. Le pussance de la procédure A est donnée par IP H RH IP H φrh φ RH φ 3 RH p p p 3 par ndépendance. Des calculs smlares en envsageant tous les cas possbles permettent de montrer que la pussance de B p p p 3 + p p 3 p + p 3 p p + p p p 3 et la pussance de C p p p 3. Nous lassons en exercce le graphe et l nterprétaton de celu-c dans le cas p p p p 3.