g f dt. Montrer que les fonctions f et g sont nulles sur [0, 1].

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1 Eercces du chapre ) So ue applcao moooe de [a, b] das Morer que es égrable ) Soe e g deu ocos égrables sur [, ] elles que :,, g g Morer que les ocos e g so ulles sur [, ] ) alculer cos lm! arcs, lm ; d ) So la oco dée sur + par / s e a) Morer que es dérvable sur + La oco es-elle égrable sur [,]? b) Toue oco admea des prmves es-elle égrable? c) Toue oco égrable adme-elle des prmves? 5) A l ade des sommes de Rema, calculer (sas ulser de prmve!) : a) ; b) c) e ; d) / cos 6) alculer les lmes suvaes : a) lm k ; b) d) k lm ; e) k lm!! k k k k ; lm ; lm ; c) k k k 7) So ue applcao coue e posve de [a, b] das Pour ou réel, o pose : Morer que : J J J b J a 8) So ue applcao coue de [, ] das Pour ou aurel, o pose : I s e J cos alculer lm I e lm J 9) So ue oco coue sur [, ] Morer que : lm s cos ) Euder la oco dée sur par arcs arcscos ) alculer les prmves des oco suvaes sur : ) cos ) s ) s cos ) cos 8 5) s 6) cos 7) cos s 8) cos s ) alculer les prmves des ocos suvaes : ) cos ) s ) s ) cos 5) cos 6) cos 7) cos 8) s ) So I cosd Démorer la relao de récurrece : ) O pose, pour ;, I co a I I alculer I 6

2 a) rouver ue ormule de récurrece ere I e I b) alculer I, I, I c) doer l epresso de I 5) alculer les égrales suvaes : 8 a) d (poser u ) b) d ) E posa u ) E égra par pares 6) O pose I arcs a) Eablr ue relao de récurrece ere I e I ; b) alculer I, I, I 7) alculer ue prmve des ocos suvaes : ; ; ) alculer : d d ) alculs dvers : d d d cos a 7 s ) E ecore : 7 a b cos cos s 5 cos s 5 6 s cos coss + s cos e e s 5cos E pour r : 5 e e e e l cos e 9 5 s l arca 8 e e 5 9 arcs s

3 orrgé : ) osdéros ue subdvso régulère de [a, b],,,, u v Alors crossae, u more e v majore, e, e les ocos e escaler u e v dées sur, e u,; a b v,; a b u,; a b b a a,; b a,; b lm v u es doc égrable ) es égrable, doc borée Supposos que,,, g M M M b a M Alors : v,; a b, doc ; alors g g M O e dédu que Doc M =, es la oco ulle, e g égaleme ) Au vosage de : cos cos l ; D aure par cos cos l cos O e dédu que la lme e es l,, arcs, doc arcs, doc!!! arcs Or ) a) es dérvable sur / * lm! comme produ de composées de ocos dérvables E :, doc lm arcs! Doc par F éa lm lm s, doc es dérvable e, e Pour, / s cos es pas borée au vosage de, es doc pas égrable sur [, ] / b) adme ue prmve (), mas es pas égrable c) Ue oco e escaler es égrable, mas adme pas de prmve 5) a) b) S S ; b) S ; 6 e ep ep e / e car l c) S car / d) S k / k k e ; / l / e l ; k e ep ep e L égrale e es la pare réelle, doc

4 k 6) a) k k k k k d, a = e b = Doc lm arc a k O recoaî ue somme de Rema, avec ; k k k k k k O recoaî ue somme de Rema, avec b) k k k k d a = e b = Doc lm l c) k k l k k k k k k lm k k d : : O recoaî ue somme de Rema, avec : L égrale représee l are d u dem-dsque = e b = Doc k ceré e A(/, ), de rayo ½, so d) k k k k 8 O recoaî ue somme de Rema, avec : k / lm d l k lm ; l k e) So u k, a = e b = Doc! k l u l! k O recoaî ue somme de Rema, avec : l, a = e b = Doc u d lm l l l l 7) Il su d applquer l égalé de auchy-schwarz à u, v Doc l lm e!! e 8) s sup s sup sup, car es borée sur O e dédu doc que lm,,, I cos s De même que précédemme, o démore que la secode égrale ed vers quad ed vers l, e doc que lm J 9) ) La oco es dérvable sur comme composée de ocos dérvables, elle es pare e de pérode π, l su doc de l éuder sur, / s arcs s s arccos cos F es cosae, doc :,,, a,

5 ) ) cos cos s d d ) s d cos d s ; ) s cos s d ) cos d s cos d s s 5) cos d cos s d cos cos 6) cos d cos cos d s s ) s cos d s d cos d s ) s cos d cos 9 ) ) cos s (par pares) ; ) s cos s cos ; ) ( 6 + )os[] + ( + )S[] ; 5) 6) ( + 6os[] + ( + 6 )S[]) + ; 7) 8) ( 6 + )os[] + ( + )S[] ) Iégrao par pare I 6 = 7 + 9π 5π ) a) ; ) + π u d du, avec u u, 8 u d u l l u b) ) d u u u du, avec 9 7 u s cos ; 8 os [] + os[] + S[] + S[] + ; 6 u, d, 6 7 d u 9 u du u u ) 5) O a d abord le chageme de varable s u, qu doe l eercce l 7 7 ; 6) arca 85 9 udu, u, / d u u u u u du, I u cos udu, pus o a comme das arca ) d u du u u u u e posa u du cos u 8 d a /8 arca a /8 u e posa u a /, cos, d

6 udu d du u l u l, avec u u u, u, d 8 d d arca l l 6 u arg sh, ou ecore O calcule sh u, d ch udu so : udu d à l ade du chageme de varable / argsh ch u argsh ch u argsh +chu u shu d / du du du argsh argsh argsh ; / / O calcule d argsh-argsh 5 8 d à l ade du chageme de varable arg h / u c, ou ecore ch u, d sh udu sh u chu u shu sh argch argch / arg ch / 6 arg ch arg ch so : d du du 8) ( ) d= ( +) d= 5 d ) ; ( 7 + ) + (chageme de varable u (5 + 9 ) + (dem) ; Ta[] d= + Ta[] (écrre a a ) ; d (dem) ; (drec) ; s cos cos cos d d s u d d cos cos d d l s s s (orme cos ) ; (orme u 7 uu ) ; ( orme u u ) ; d u u du u (chageme de varable u / 5/ d du u u d u u du 7 8 (chageme de varable u ); d 5 5 d u u / a bd u bu du b a b a b a a 5 5a );

7 (chageme de varable u a b ) ; cos cos d d s s s u u u d u u du u u u u 5 7 / d s cos d s cos d s 6 6 9) d d cos s s d cos s s d udu s / d d u 5 d u 5du 5u 5 u u u s 5 s 5 d d u u du /5 d e e d e 5 d e e u d e d du du u l u e l e e e u u u u e d ue du u e e u, pus égrao par pares d d d arca arca arcs 5 5 d d 8 d l 8 arca 8 8 d 8 8 arca d s 5 cos 5 s 5 s 5 5cos5 / ) (le es mpossble ) u du e d du u arca u e arca e u u d e d e arca e cos d s arca s 5 5

8 e d e l l l d (Les derères e égra par pares) arcs arcs d l l d arca d arca d arca arca l d d u u du u u 5 5 d d s u u a

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