GI FC Mathématiques Test 17/11/ Corrigé

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1 drée : 3 heres totl : 40 ponts Eercce QCM (6 ponts) 5 mntes ) S les dérvées prtelles d ne foncton de de vrbles s nnlent en n pont, lors ce pont est : n sommet n col sttonnre n pont d nfleon ) Q est-ce q n est ps égl à cos()? cos² cos² sn² sn² cos² 3) L dérvée de 3 (rcne cbqe) est : 3 3 4) S tros vecters, v et w sont coplnres, lors : v w w v ( ) 0 3 ( ) 0 3 ( v) w v w R ( ), 5) Sot n vecter d n espce vectorel dns leqel on défnt ne bse (, j ) et ne bse ( k, l ) j j k l 6) est le nombre complee clssqement défn pr ² -. Alors + : + + k l. Alors : Eercce Complees et vecters ( ponts) 45 mntes L objet de cet eercce est d pplqer des rottons dns le pln et d effecter des clcls de grnders O,, j dns leqel les drectons des géométrqes (ngle, re). On mnt le pln d n repère orthonormé ( ) de vecters sont perpendclres et les ntés de longers sont dentqes. Les qestons et sont lées, l qeston 3 est ndépendnte des de précédentes. ). Sot le pont A(3, ). En tlsnt les nombres complees, détermner l écrtre ecte des coordonnées d pont B, mge de A pr rotton de centre O et d ngle 4. pts 5 4 zb za e ( 3 + ) + + b. En tlsnt les nombres complees, détermner l écrtre ecte des coordonnées d pont C, mge de B pr rotton de centre O et d ngle 4.,5 pt 5 4 zc zb e GI FC34 06 Mthémtqes Test corrgé - Pge sr 5

2 c. Donner, en écrtre crtésenne, ms en pssnt pr l écrtre eponentelle, le nombre complee +. Qel est le len entre ce résltt et les de qestons précédentes? pt 4 + e e 4 4 On remrqe qe zc zb e za e. Donc zc za et en effet + 3 ( 3 + ) et C est l mge de A pr rotton de centre O et d n ngle drot (ce q est le résltt de l mltplcton pr ). ). Avec l otl vectorel, donner l écrtre ecte de l re d trngle ABC pts AB AC AB AC, Are(ABC) ( ) b. En dédre lors l dstnce entre le pont B et l drote (AC).,5 pt L re d n trngle est l moté d prodt d ne bse pr l hter correspondnte. En prennt comme bse le côté [AC], l hter est l dstnce d demndée : Are(ABC) AC Or, AC AC Donc ( ) ( ) d. 3 d 6 3 d, ) On envsge c encore ne rotton d pont A(3, ) tor de l orgne d repère, ms d ngle θ vrble, donnnt n pont M q pet donc décrre n cercle de centre O et de ron OA.. En tlsnt les nombres complees, détermner l écrtre ecte des coordonnées crtésennes d pont M, en foncton de cosθ et snθ. pt ( )( cosθ snθ ) cosθ snθ ( cosθ snθ ) M A e θ z z b. Avec l otl vectorel, détermner l o les vlers de θ q rendent l re d trngle OAM mmle. pts 3 3cosθ snθ 0 OA OM cosθ + 3snθ sn θ Eercce 3 Mtrces (5 ponts) 5 mntes Dns n espce vectorel de dmenson de, mn d ne bse (, j ) l mtrce est F. L re est mmle lorsqe snθ ± 3 4. Atrement dt, l mge pr f de tot vecter, sot θ ±., on défnt l pplcton lnére f dont est f ( ) F GI FC34 06 Mthémtqes Test corrgé - Pge sr 5

3 ) Détermner le vecter w tel qe f ( w). Atrement dt : résodre mtrcellement le sstème 8 3 svnt :.,5 pts Mtrce d sstème : F 3 4. det(f ) 0, non nl : solton nqe por le sstème Résolton pr l méthode de Crmer : 5 ; Résolton pr l nverse : F ) On crée dns cet espce ne novelle bse, formée pr les vecters et v. 5. Donner le conten des mtrces de pssge d ne bse vers l tre : [ v] et j. pt [ v] 5 5 j v v. 9 5 et [ ] 5 v. b. Donner l mtrce F v de l pplcton f dns l bse (, v) F j F [ v] v v,5 pt Eercce 4 Optmston commercle (7 ponts) 30 mntes Une socété vet lncer n nove prodt sr le mrché et s nterroge sr le pr de vente ntre à fer,, et sr l dépense à ccorder à l pblcté,, fn de mmser ses ftrs profts. Elle st q ne gmentton de r ne nflence négtve sr l qntté vende et q ne gmentton de r, elle, ne nflence postve. On modélser cel pr : qntté vende Le coût ntre de prodcton étnt, de mnère smplfée, estmé à 8, le bénéfce rélsé vt donc : (, ) ( 8)( ) f +. ) Donner les dérvées prtelles de f premer ordre. pts f (, ) ( ) 5( 8) f 6( 8) (, ) ) Rechercher le pont A ( A, A ) où ces dérvées s nnlent totes les de,5 pt ( 8) ( 8) 0 6( 8) 584 Pont sttonnre nqe : A(0, 584) GI FC34 06 Mthémtqes Test corrgé - Pge 3 sr 5

4 3) Donner les epressons des dérvées prtelles secondes de f ps ler vler pont A.,5 pt f f r (, ) 04 ; ( A, A ) 04 f 6 f s (, ) ; ( A, A ) ( ) f 3 8 f t (, ) ; ( A, 3 A ) 9, ). En dédre l ntre d pont A (sommet «ht», sommet «bs», o col) pt rt 5 3 s 3,086 0, postf, et comme r et t sont négtfs, le pont A est n sommet ht : l foncton f est mmle pont A. b. Conclre sr cette stton optmle : pr de vente ntre à fer, dépense à ccorder en pblcté, qntté vende, bénéfce rélsé. pt Por vor n bénéfce mml, l ft fer le pr de vente d prodt à 0 et nvestr 584 en pblcté. Dns ces condtons, on vendr 64 ntés, por n bénéfce de 304. Eercce 5 Intégrle (5 ponts) 5 mntes ln On défnt l foncton f sr ]0 + [ pr : f ( ). ) Donner ne prmtve de cette foncton, sot drectement, sot pr ntégrton pr prtes, sot en posnt le chngement de vrble ln.,5 pts Drectement : ln ln, dérvée de. Donc ln. ln d. ln ln ln IPP : cho :, v ln, donc ln, v.. d ln. d. d ln. ln : e d e d. Donc ln... ln d e d d e. ln ) En dédre l vler de. d où est n nombre réel strctement spérer à. pt ( ( ( )) ) ( ) ln. ln ln ln ln ln ln d 0 3) Qelle est, en foncton de, l vler de l re comprse entre l corbe de l foncton f et l e des bscsses, por comprs entre et?,5 pt Cette foncton est postve ss. L re recherchée est donc : ( ) ln ln. d +. ln ln + ( ln ln ) ( ln ) + ln ln d GI FC34 06 Mthémtqes Test corrgé - Pge 4 sr 5

5 Eercce 6 Éqton dfférentelle (6 ponts) 5 mntes L objectf est de résodre l éqton dfférentelle de Bernoll (E) svnte : dont l nconne est l foncton de vrble. ) Montrer q en posnt le chngement de foncton, sot + ln 0, et donc, l éqton qe dot vérfer est : ln pt («prme» désgnnt l dérvton pr rpport à ). + ln 0 + ln 0 + ln 0 ln ) Résodre l éqton dfférentelle lnére précédente (on emploer l méthode de vrton de l constnte lors de l détermnton d ne solton prtclère, et lors de cette recherche on r vntge à remrqer + ln ln qe l dérvée de est ). 4 pts * Recherche de H pr séprton des vrbles : d d ( EH) : 0. d. d ln ln + K C, C R * Recherche de P pr vrton de l constnte : ln P C ( ) ( E) : ln ( C ( ). + C ( ) ) C ( ) ln C ( ) + ln ln D près l ndcton donnée dns l qeston : vérfons qe l dérvée de est : ( + ln ln ) + ln ln ln + ln. Donc C ( ) C ( ). Enfn : ( ) + ln C P * Solton générle : + C + + ln H P 3) En dédre l solton générle de l éqton (E). 0,5 pt C + + ln. 0,5 pt ( ) ; ( ) C. ( ) C + + ln C ln 4) Donner l solton q, en prtcler, vérfe ( ) GI FC34 06 Mthémtqes Test corrgé - Pge 5 sr 5