Effets de la dépendance entre différentes branches sur le calcul des provisions

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1 Effets de l dépendnce entre dfférentes brnches sur le clcul des provsons Thème ASTIN : Contrôle des rsques Gllet Antonn Commsson de Contrôle des Assurnces 54, rue de Châteudun PARIS Serr Benmn Commsson de Contrôle des Assurnces 54, rue de Châteudun PARIS Les dépendnces entre les rsques en ssurnce non-ve peuvent être une des cuses de l sous-trfcton ou de provsons nsuffsntes pour couvrr l chrge de snstre fférent à une nnée de survennce. Les rsques peuvent être dépendnts sous dfférents ngles: rsques dépendnts u sen d une même brnche, ou encore types de rsques dépendnts Ce rpport s ttche à étuder les dépendnces entre deux sous-brnches de l ssurnce utomoble, ns que leurs mplctons, en ntrodusnt les copules qu permettent de décrre complètement l dépendnce entre les dfférents rsques. A l de de smultons, les conséquences de ces dépendnces en terme de provsonnement pour snstres restnt à pyer sont mses en évdence. Mots-clés: copule, dépendnce, modèle lnére générlsé, provsons, théore de l crédblté, trngle de lqudton

2 Introducton Dns l théore clssque RBC (Rsk Bsed Cptl, les rsques uxquels sont soums les compgnes d ssurnce (rsques ssurés ms uss utres rsques encourus pr l ssureur tels que les rsques d ctfs sont consdérés comme ndépendnts. Cependnt, ntutvement de nombreux exemples peuvent lsser penser que ce n est ps le cs en prtque. Il pprît lors nécessre de s ntéresser à cette dépendnce pouvnt exster entre les vrbles létores qu mpctent le résultt d une socété d ssurnce, et d évluer ses effets sur l snté fnncère de cette socété, de mnère à éventuellement détermner de nouvelles règles prudentelles à pplquer en mtère de solvblté. Un des prncpux rsques de dépendnce uquel peut fre fce une compgne d ssurnce est celu de l dépendnce entre les snstres des dfférentes brnches. Il semble pr exemple légtme de consdérer que le montnt des snstres de l brnche Dommge utomoble n est ps ndépendnt de celu de l brnche Responsblté Cvle en utomoble. En Frnce, l rtcle R du Code des Assurnces prévot que «l provson pour snstres restnt à pyer fférente ux opértons d ssurnce des véhcules terrestres à moteur est estmée en procédnt à une évluton dstncte: des snstres corporels correspondnt à des rsques de responsblté cvle, des utres snstres correspondnt à des rsques de responsblté cvle, des snstres correspondnt à des rsques utres que ceux de responsblté cvle». En prtque, cette évluton dstncte se ft le plus souvent de fçon ndépendnte, et l obet de ce rpport est de montrer que l prse en compte de l dépendnce entre les dfférentes brnches un mpct sur l ncerttude du montnt des provsons à consttuer. L morté des méthodes de clcul des provsons reposnt sur les trngles de règlement des snstres (ou trngles de lqudton, les trngles des dfférentes brnches servront à l modélston des dépendnces. De plus, les copules étnt l outl mthémtque ppropré pour étuder l structure de dépendnce entre des vrbles létores, l obectf est d pplquer cet outl ux trngles de règlement des snstres. 1. Trngle de lqudton et clcul des provsons 1.1 Présentton du trngle de lqudton des snstres En ssurnce dommges, selon les brnches consdérées, les snstres reltfs à un contrt sont consttés et pyés plus ou mons longtemps près leur survennce. Le montnt d un snstre en Responsblté Cvle à l sute d un ccdent de l route est prfos fxé pr une décson de ustce. Or, certns procès peuvent n boutr que plus de dx ns près l ccdent. Les presttons à pyer pr une compgne d ssurnce, reltves à une nnée de survennce, sont donc étlées sur pluseurs nnées de développement, et l est mportnt pour l compgne de conserver un hstorque de ces dfférents pements. Dns l sute, les nottons suvntes seront utlsées: C = ndce de l nnée de survennce du snstre = ndce de l nnée de développement (ou de déroulement, comptée à prtr de l nnée de survennce = montnt des snstres survenus l nnée et réglés l nnée comptble + (l s gt d un montnt non cumulé, c est-à-dre que l chrge totle des snstres de l nnée de survennce est égle à l somme des C pour 0 1

3 Conformément à ces nottons, l snstrlté d une brnche peut être représentée d une mnère synthétque dns un trngle comme celu présenté c-dessous pour l pérode de survennce : Année de développement Année de survennce 1997 C 97,0 C 97,1 C 97,2 C 97,3 C 97, C 98,0 C 98,1 C 98,2 C 98, C 99,0 C 99,1 C 99, C 00,0 C 00, C 01,0 1.2 Le trngle de lqudton, bse du clcul des provsons Du ft du déclge entre l exercce de survennce d un snstre et l exercce de règlement de ce snstre, l réglementton prudentelle mpose ux compgnes d ssurnce d estmer l chrge future des snstres fn de provsonner de quo fre fce à leurs enggements. L rtcle R du Code des Assurnces prévot ns que les entreprses dovent être en mesure de ustfer l évluton de «provsons technques suffsntes pour le règlement ntégrl de leurs enggements vs-à-vs des ssurés ou bénéfcres de contrts». Pour cel, de nombreuses méthodes cturelles ont été développées. Certnes sont mposées pr l réglementton (méthode du coût moyen, pr exemple, ms les entreprses d ssurnce ont uss l possblté d utlser des méthodes sttstques qu leur sont propres. L pluprt de ces méthodes reposent sur les trngles de lqudton des snstres. En effet, estmer les enggements futurs est équvlent à prévor l prte nféreure u trngle de lqudton (plus, éventuellement, à compléter le trngle vers l drote suvnt le nombre d nnées nécessres à l totle lqudton des snstres: Provson = (, où est l prte complémentre u trngle (prte nféreure, plus prolongement à drote. Les ctures s ppuent donc sur les trngles de lqudton qu résument l snstrlté pssée pour estmer l snstrlté future pr exercce de survennce. L méthode l plus répndue est celle dte de cdence des règlements, qu consste à estmer des coeffcents de pssge entre les dfférentes nnées de développement en supposnt que les nnées de survennce sont ndépendntes entre elles, et que les nnées de développement sont les vrbles explctves du comportement des règlements futurs. Ms cette méthode, comme l morté des méthodes utlsées, sont détermnstes, s ben qu ucune mesure de l ncerttude sur le clcul des provsons n est possble. Seule l espérnce des réserves est clculée, tnds qu ucune ndcton sur leur vrblté n est donnée. D utres méthodes, dtes sem-prmétrques, ont été développées. Elles consstent à C 2

4 fre des hypothèses sur l espérnce et l vrnce condtonnelle des snstres. Ms elles ne permettent n de vérfer l cohérence entre les hypothèses n de les tester sttstquement. C est pourquo une pproche prmétrque ser prvlégée dns l sute. Plus précsément, les trngles de lqudton seront modélsés à l de d un modèle lnére générlsé (GLM en ntrodusnt un prmètre pr nnée de survennce, un prmètre pr nnée de déroulement, et un prmètre spécfque à l compgne d ssurnce. Cette pproche permet de tester sttstquement le modèle, ms surtout d ssocer une lo de probblté à chcun des C, pour les couples (, observés, ms églement pour les couples (, non dsponbles, et donc d ssocer une dstrbuton ux provsons, rendnt possble le clcul de dfférentes mesures de rsque. 1.3 Modélston d un trngle de lqudton pr l méthode GLM Données utlsées Les données utlsées sont ssues des étts comptbles réglementres (étts C11 de l ensemble des compgnes d ssurnce non ve soumses u contrôle de l Commsson de Contrôle des Assurnces. L modfcton du Pln Comptble en 1995 rend dffcle l utlston des données ntéreures à cette dte. Enfn, les chffres reltfs à 2001 n étnt ps défntfs à l dte du début de cette étude, seuls les comptes des exercces 1995 à 2000 ont été explotés. L étt C11 de l exercce N présente les règlements effectués u cours de cette nnée N pour les snstres survenus u cours des exercces comptbles N, N-1, N-2, N-3, N-4, ns qu un montnt cumulé pour les snstres survenus vnt l nnée N-4. Ms, l étude concernnt les montnts non cumulés des snstres, cette dernère vleur n est ps utlsble. Les cnq utres vleurs représentent des pements effectués u cours de l même nnée clendre (+ constnt dns le trngle de lqudton, elles consttuent donc une dgonle dns le trngle de lqudton. Les sx exercces comptbles consdérés permettent donc d obtenr un ensemble de données consttunt un «prllélogrmme de lqudton»: Année de survennce Année de développement C 91, C 92,3 C 92, C 93,2 C 93,3 C 93, C 94,1 C 94,2 C 94,3 C 94, C 95,0 C 95,1 C 95,2 C 95,3 C 95, C 96,0 C 96,1 C 96,2 C 96,3 C 96, C 97,0 C 97,1 C 97,2 C 97, C 98,0 C 98,1 C 98, C 99,0 C 99, C 00,0 Les montnts C retenus sont les montnts nets de recours (montnts bruts recours IDA de fçon à n utlser que des données pertnentes. Pour des rsons prtques, seules les vleurs postves ont été conservées. De plus, les trngles de lqudton de nombreuses entreprses ne sont ps totlement explotbles pour cuse de données mnquntes. Or, dns 3

5 l sute les estmtons des los se feront socété pr socété. Ces estmtons ne seront donc menées que sur les compgnes dont le nombre de données est suffsnt. Cette sélecton peut présenter le rsque de consttuer un échntllon consttué unquement des plus grndes socétés (ce sont souvent celles qu fournssent le plus de données, ms cel ne devrt ps mener de bs sur les résultts pusque l on recherche une dépendnce entre deux brnches d ctvté en générl, et cel permet en plus d élmner certnes compgnes trop mrgnles. Les éventuels problèmes lés ux chngements de nom des socétés ou ux fusons de pluseurs entreprses ont été prs en compte dns l bse de données. Enfn, l dépendnce entre les trngles de lqudton drectement sur les montnts cumulés peut pprître dscutble. Cette pproche rsque en effet de souffrr d un effet «tlle du portefeulle». S une dépendnce postve devt être mse en évdence entre deux trngles de lqudton, l sert possble de penser que ce résultt s explque pr le ft qu une compgne qu commerclse u cours d un exercce plus de contrts, devr fre fce à une snstrlté ccrue dns toutes ses brnches smultnément. Or, ce qu est étudé et recherché dns ce rpport, c est une dépendnce entre les chocs de snstrlté, et non un effet du nombre de contrts commerclsés. C est pourquo, l est peut-être préférble d utlser des données homogénésées qu permettent de s ffrnchr de l mpct du volume du portefeulle. En plus de l explotton des montnts (C, l dépendnce entre les tux de snstres à prmes (C / P où P représente l prme cquse à l exercce de survennce (données dsponbles dns les étts comptbles C10 églement été étudée. Modélston mse en œuvre L modélston GLM se ft pr l donnée de deux éléments: l un sttstque, l utre détermnste. L composnte sttstque précse l dstrbuton à l de d une foncton vrnce qu détermne l relton entre l vrnce et l espérnce (foncton V c-dessous, tnds que l élément détermnste ssoce une foncton de len (foncton g c-dessous entre l espérnce des observtons et une mtrce de régresseurs X. Le modèle est donc le suvnt: - (C ndépendnts (, D - E(C = µ - Vr(C = φ V(µ - g(µ = X β où D est l ensemble des données observées. Les régresseurs sont c des vrbles ndctrces (une vrble ndctrce pr nnée de survennce, et une vrble ndctrce pr nnée de développement. Pour modélser les montnts des snstres, l est possble d utlser des los dscrètes ou des los contnues, et pr souc de smplfcton, on se lmter à une foncton de len logrthme. Les deux los les plus utlsées pour modélser des données dscrètes sont l lo de Posson (correspondnt à l foncton V(x = x, et l lo Bnomle Négtve (correspondnt à l foncton V(x = x²/r + x. L lo de Posson présente l vntge d être fcle d utlston et on peut montrer qu l s gt en ft de l lo sous-cente à l modélston très répndue du Chn-Ldder stochstque. Cependnt, les mesures d ustement des modèles utlsnt l lo de Posson sont le plus souvent peu stsfsntes. De plus, l lo de Posson mplque l églté entre l espérnce et l vrnce des données, lors qu en prtque on constte une 4

6 sur-dsperson, e une vrnce plus grnde que l espérnce. C est pourquo l lo Bnomle Négtve, qu respecte cette dernère proprété, ser églement utlsée dns l sute. Dns le cs contnu, les los les plus clssques sont l lo Normle (V(x = 1, l lo Inverse Gussenne (V(x = x 3, ns que l lo Gmm (V(x = x². Dns l sute, c est l lo Gmm qu ser systémtquement utlsée pour les modélstons en contnu. Cette lo est en effet, en générl, préférble à l lo Normle en mtère d ustement ux données, et présente des résultts comprbles vec ceux obtenus à l de de l lo Inverse Gussenne, ms l dstrbuton Gmm est plus smple d utlston en prtque. 2. Modélston de l dépendnce pr les copules 2.1 Pourquo un nouvel outl pour modélser l dépendnce? L ndcteur clssque de dépendnce, l corrélton, peut ne ps être suffsnt pour modélser l dépendnce. Il ne consttue en effet qu un ndcteur du degré de dépendnce, ms ne décrt ps à lu seul l totlté de l structure de dépendnce. Deux vrbles létores peuvent pr exemple être très dépendntes pour leurs vleurs extrêmes et fblement pour des vleurs ntermédres (dépendnce en U, ou fortement dépendntes pour des vleurs élevées et fblement pour les vleurs bsses (dépendnce en J, ou encore fortement dépendntes pour les vleurs bsses et fblement pour les vleurs élevées (dépendnce en L. Toutes les vrntes entre ces stutons extrêmes sont possbles. Dns le cs du clcul des provsons en ssurnce non-ve, le chox de cette structure est centrl. En effet, s ce clcul est effectué à l de d un crtère de type Vlue t Rsk (VR, c est un quntle qu est recherché, et s l dépendnce se stue u nveu des vleurs élevées (et que les los sont à queues de dstrbuton épsses, le quntle ser plus élevé que s l dépendnce est concentrée sur les vleurs ntermédres. On ne peut donc ps se contenter d une lo normle bvrée qu de plus n ms été pproprée dns l modélston des snstres en ssurnce. Il est donc prmordl d utlser un outl qu permet de chosr quelle est l structure de dépendnce qu correspond u meux u cs des trngles de lqudton. C est pourquo, dns l sute l dépendnce entre les trngles de lqudton ser modélsée à l de des copules qu sont l forme mthémtque pertnente de l étude de l dépendnce. 2.2 Présentton des copules Défnton et théorème d exstence Une copule C de dmenson deux est une foncton ynt les proprétés suvntes: - son domne de défnton est I² vec I = [0;1], - C est bornée et 2-crossnte, e pour tout (x 1, x 2, y 1, y 2 I 4, tel que x 1 x 2 et y 1 y 2, C(x 2, y 2 C(x 2, y 1 C(x 1, y 2 + C(x 1, y 1 0, - pour tout u I et tout v I, C(u, 1 = u et C(1, v = v. Le théorème de Sklr est le théorème fondmentl de l théore des copules en montrnt leur exstence et leur uncté dns certns cs. 5

7 Théorème de Sklr: Sot H(u;v une dstrbuton onte de dmenson 2 dont les los mrgnles sont F et G. Il exste lors une copule notée C telle que pour tout couple (x ;y R²: ( x; y = C( F( x G( y H ; S de plus, F et G sont contnues, C est unque. Les copules permettent donc de séprer l étude des los mrgnles d une prt, et de l structure de dépendnce d utre prt. Le théorème de Sklr s étend à des los ontes de dmenson supéreure à deux. On obtent lors des copules de dmenson égle à l dmenson de l lo onte. Les grndes fmlles de copules Il exste une multtude de copules permettnt de crctérser l ensemble des structures de dépendnce possbles. Cependnt, seul le sous-ensemble des copules prmétrques ser exploté dns l sute. Cet ensemble est consttué de nombreuses fmlles (cf nnexe 1 pr exemple qu offrent une dversté suffsnte pour modélser toutes les structures de dépendnce les plus courntes. On dstnguer les fmlles de copules à un prmètre, et celles à deux prmètres. Toutes ces copules dovent être comprées à l copule ndépendnte (défne pr C(u,v = uv, crctérstque de deux vrbles létores non dépendntes. Estmton des prmètres des copules Le chox d une copule prm un sous-ensemble de fmlles prmétrques se déroule en deux étpes. Tout d bord, l est détermné à l ntéreur de chque fmlle quelle est l copule l plus pproprée. Pus, c est prm cette lste de melleures copules qu est chose l copule optmle. Pour chosr l melleure copule de chque fmlle, et donc pour estmer le(s prmètre(s de cette copule, dfférentes méthodes sont à dsposton. L premère méthode est celle dte du Mxmum de Vrsemblnce. Cette méthode consste à chosr des los mrgnles et une copule prmétrques, et à mxmser l vrsemblnce des observtons sur l ensemble des prmètres (ceux des los mrgnles et celu ou ceux de l copule. Ce procédé fournt lors des estmteurs sns bs, convergents et symptotquement normux. Ms l mxmston de l vrsemblnce peut se révéler dffcle lorsque le nombre de prmètres est très élevé. C est pourquo l est souvent préférble d utlser une utre méthode. Une seconde possblté est de séprer l estmton des prmètres des los mrgnles et ceux de l copule. En effet, l vrsemblnce des observtons d une seule vrble létore peut s écrre sns vor à spécfer l copule. Il est donc possble d estmer les prmètres des los mrgnles pr mxmum de vrsemblnce clssque. L vrsemblnce globle des observtons est ensute écrte en remplçnt les prmètres des los mrgnles pr leurs estmteurs, et enfn mxmsée pr rpport ux prmètres de l copule. Cette méthode, connue sous le nom d IFM (Inference Functons for Mrgns, cf [3] pour plus de détls, boutt à un estmteur églement convergent, symptotquement norml et sns bs, ms présente des proprétés sttstques dfférentes de l estmteur du mxmum de vrsemblnce. 6

8 Enfn, une utre méthode qu ser utlsée dns l sute repose sur l utlston des mesures de concordnce comme le tux de Kendll pr exemple. Pr défnton, le coeffcent de corrélton de Kendll de deux vrbles létores X 1 et X 2 est: * * * * {( X X ( X X > 0} Pr{ ( X X ( X 0} τ ( X1, X 2 = Pr X 2 < où (X 1 *, X 2 * et (X 1, X 2 sont ndépendnts et de même lo. Ce coeffcent, contrrement u coeffcent de corrélton lnére de Person, ne dépend ps des los mrgnles. Il s exprme unquement en foncton de l copule. Il est donc révélteur de l structure de dépendnce. De plus, pour certnes copules prmétrques, ce tux de Kendll peut être exprmé fclement en foncton du prmètre de l copule. Il est donc possble d utlser le tux de Kendll pour estmer le prmètre de l copule. 2.3 Les copules pplquées ux trngles de lqudton Hypothèses Cette étude se lmte u cs de l dépendnce entre deux brnches B1 et B2, ms pourrt se générlser à plus de deux brnches. Les nottons suvntes seront doptées: 1 c 2 c C 1 2 et C F 1 2 et F = élément (, du trngle de lqudton de l brnche B1 = élément (, du trngle de lqudton de l brnche B2 = les vrbles létores ssocées = les fonctons de réprtton ssocées Il ser supposé que l dépendnce entre les trngles de lqudton se stue u nveu des éléments ynt l même plce dns chcun des trngles: les montnts des snstres des brnches B1 et B2 pyés u cours d une même nnée comptble et rttchés à un même exercce de survennce sont dépendnts entre eux, ms ndépendnts de tous les utres montnts: H1: C 1 et C kl 2 ndépendnts s (, (k,l L dépendnce entre les deux trngles ser églement modélsée de fçon dentque quelle que sot l nnée de survennce et quelle que sot l nnée de développement. Pusque d près le théorème de Sklr (cf 2.2, cette dépendnce peut s exprmer à l de d une copule C, cette hypothèse peut se réécrre: H2: P(C 1 c 1, C 2 c 2 = C(F 1 (c 1, F 2 (c 2 (, Enfn, l dépendnce qu exste entre les trngles de lqudton ser supposée lée à l nture même des brnches consdérées, et non ux crctérstques ntrnsèques des compgnes étudées. Cel sgnfe donc que l structure de dépendnce entre les trngles de lqudton pourr être modélsée pr le bs d une seule et même copule vlble pour toutes les socétés d ssurnce. Cette hypothèse permet de chosr l copule déqute à prtr d un nombre de données plus mportnt pusque les éléments des trngles de toutes les compgnes pourront être utlsés, sns vor à se contenter d une seule socété. 7

9 Le chox de l copule Le chox emprque de l copule dépend des los mrgnles spécfées pour les éléments des trngles de lqudton. C est pourquo, l copule optmle ser recherchée dns dfférentes stutons, en foncton des los mrgnles utlsées. Il ser ns possble d étuder à quel pont les dfférentes structures de dépendnce trouvées dffèrent ou non les unes des utres. Dns le cs où une structure de dépendnce dentque sert mse en évdence, cel renforcert les résultts de l étude. Modélston des C pr des los Bnomles Négtves Les éléments des trngles de lqudton ont dns un premer temps été modélsés à l de de los Bnomles Négtves qu sont des los dscrètes. Le théorème de Sklr ne nous permet ps lors de conclure à l uncté de l copule. On se contenter donc de chercher une copule melleure que les utres qu pourrt modélser l structure de dépendnce étudée. «L» copule optmle ser recherchée prm le sous-ensemble des copules prmétrques présenté en nnexe, ce qu permet l utlston de l méthode du Mxmum de Vrsemblnce. L vrsemblnce des observtons (pour une seule compgne, en notnt D l ensemble des observtons dsponbles, est donnée pr: P {( C, C = ( c, c, (, D } = (, D P ( C 1 = c 1, C 2 = c 2 pr ndépendnce des éléments d un même prllélogrmme (cf 1.3 et des éléments des deux trngles n ynt ps les mêmes coordonnées (hypothèse H1. De plus, les C 1 et les C 2 sont des vrbles létores à los dscrètes. On donc: P (C 1 1 = c, C 2 = c 2 = P (C 1 c 1, C 2 c 2 - P (C 1 c 1 1, C 2 c 2 - P (C 1 c 1, C 2 c P (C 1 1 c 1, C 2 c 2 1 D où, pr pplcton de H2, en notnt C l copule modélsnt l structure de dépendnce des deux trngles: P(C 1 1 = c, C 2 = c 2 = C (F 1 (c 1, F 2 (c 2 - C (F 1 (c 1 1, F 2 (c 2 - C (F 1 (c 1, F 2 (c C (F 1 (c 1 1, F 2 (c 2 1 En notnt P = P(C 1 = c 1, C 2 = c 2, θ le vecteur des prmètres à estmer, et en pssnt u logrthme, l log-vrsemblnce L(θ des observtons pour une compgne s écrt donc: L(θ = (, D ln ( P Enfn, en supposnt que les dfférentes compgnes sont ndépendntes, l sufft de sommer sur les dfférentes socétés pour obtenr le crtère à mxmser. 8

10 Cette expresson de l vrsemblnce pourrt être utlsée pour estmer en une seule étpe les prmètres des los mrgnles en même temps que le(s prmètre(s de l copule. Cependnt, l exste un nombre mportnt de prmètres correspondnt ux los mrgnles. Seze prmètres pr compgne sont en effet estmés. Ce nombre peut éventuellement être rédut s l on mpose des prmètres pr nnée de survennce dentques ou encore des cdences de règlement (et donc des prmètres pr nnée de développement semblbles pour chque compgne, ms l rester touours u mnmum un prmètre pr socété. Il est donc préférble de prvléger une estmton en deux étpes. Dns un premer temps, on estme les los mrgnles conformément à l méthode décrte u 1.3, pus dns un second temps on estme le(s prmètre(s de l copule: c est l méthode IFM (cf supr. L estmteur obtenu pr cette méthode présente des proprétés sttstques légèrement dfférentes de l estmteur du mxmum de vrsemblnce. Pr souc de smplfcton, on supposer lors que les vleurs des prmètres des los mrgnles trouvées u cours de l premère étpe sont les vres vleurs (et non des estmteurs, ce qu permet d obtenr dns l seconde étpe un estmteur du mxmum de vrsemblnce clssque. D une mnère rgoureuse, cel revent à trvller condtonnellement u ft que les prmètres des los mrgnles sont égux à leurs estmteurs. L mxmston de l expresson de l log-vrsemblnce été rélsée pour les grndes fmlles de copules présentées en nnexe dns le cs des brnches responsblté cvle en utomoble (RC et utomoble hors responsblté cvle (HRC. Les résultts sont présentés dns le Tbleu 1. Fmlle de copules Prmètre(s estmé(s -Log Vrsemblnce Correlted Frlty = 9,04 p = 0, ,2 Gumbel α = 1, ,0 Clyton α = ,0 Frlty α = 0, ,0 Frnk α = ,8 Al-Mkhl-Hq θ = 0, ,8 Indépendnce , 9 Tbleu 1: Résultts des estmtons pr Mxmum de Vrsemblnce C ~ los Bnomles Négtves / Brnches RC et HRC L premère consttton est que c est le cs ndépendnt qu fournt l vleur de l log-vrsemblnce l plus fble. Intégrer une structure de dépendnce ccroît l vrsemblnce des observtons, ce qu semble donc confrmer que les données étudées ne sont ps ndépendntes. Prm les fmlles de copules étudées, c est l fmlle Correlted Frlty qu mxmse l vrsemblnce. C est donc cette fmlle qu ser retenue pour effectuer les smultons dns l sute. Cependnt, le crtère du mxmum de vrsemblnce n est ps suffsnt pour le chox de l copule cr l ne tent ps compte de l mpct du nombre de prmètres de l copule. En effet, l vrsemblnce tendnce à croître lorsque l on 9

11 ugmente le nombre de prmètres. C est pourquo, une sére de tests sttstques permet églement de confrmer que cette fmlle est sgnfctvement melleure que les utres. L méthodologe ssocée à ces tests est décrte dns [2]. Pr exemple, s l hypothèse H 0 : «Fmlle Gumbel» est testée contre H : «Fmlle Correlted Frlty», en notnt L 0 l vrsemblnce des observtons obtenue vec l fmlle de copules Gumbel, et L celle obtenue vec l fmlle Correlted Frlty, c est l sttstque T suvnte qu ser consdérée: T = - 2 ln [L 0 / L ] Cette sttstque de test sut symptotquement une lo du χ² à r degrés de lbertés, où r est le nombre de prmètres du «modèle complet» (cf [2] mons celu du modèle restrent, dns ce cs précs r = 4 1 = 3. L hypothèse ser reetée à un nveu de sgnfctvté d u mons α qund T > χ²(r ; α. Le Tbleu 2 résume les résultts du test de l hypothèse H : «Fmlle Correlted Frlty» contre l hypothèse H 0 : «utre fmlle», à un nveu de sgnfctvté de 5%. L ensemble de ces tests renforcent le chox de l fmlle Correlted Frlty pour modélser l structure de dépendnce entre les brnches RC et HRC. H : Correlted Frlty H 0 T R χ²(r ; 0,05 Décson Gumbel 29,6 3 7,81 Reet de H 0 Clyton 29,6 3 7,81 Reet de H 0 Frlty 29,6 3 7,81 Reet de H 0 Frnk 31,2 3 7,81 Reet de H 0 Al-Mkl-Hq 31,2 3 7,81 Reet de H 0 Indépendnce 31,4 4 9,49 Reet de H 0 Tbleu 2: Tests de l hypothèse H : «Fmlle Correlted Frlty» contre dverses H 0 Modélston des C pr des los Gmm Les éléments des trngles de lqudton ont ensute été modélsés à l de de los Gmm. Ces los sont contnues, et le théorème de Sklr permet donc d nvoquer l uncté de l copule recherchée. L méthodologe utlsée pour rechercher cette copule est l même que dns le cs des los dscrètes, ms l expresson de l vrsemblnce est dfférente. L vrsemblnce des observtons (pour une seule compgne, en notnt D l ensemble des observtons possbles, est, pr ndépendnce des éléments d un même prllélogrmme (cf 1.3 et des éléments des deux trngles n ynt ps les mêmes coordonnées (hypothèse H1: 10

12 P {( C, C = ( c, c, (, D } = f (, D ( c, c où f est l densté du couple (C 1, C 2. En notnt C l copule modélsnt l structure de dépendnce des deux trngles (hypothèse H2: 1 2 f ( c 1, c 2 = 2 C( F 1 ( c 1, F u v 2 ( c 2 f 1 ( c 1 f 2 ( c 2 où u (resp. v est l dfférentelle pr rpport u premer (resp. second rgument de l copule. En notnt f = f (c 1, c 2, θ le vecteur des prmètres à estmer, et en pssnt u logrthme, l log-vrsemblnce L(θ des observtons pour une compgne s écrt donc: L(θ = (, D ln( f Enfn, en supposnt que les dfférentes compgnes sont ndépendntes, l sufft de sommer sur les dfférentes socétés pour obtenr le crtère à mxmser. Le tbleu 3 résume les résultts de l mxmston de l expresson de l logvrsemblnce pour les dfférentes fmlles de copules dns le cs des brnches RC et HRC. Fmlle de copules Prmètre(s estmé(s Log Vrsemblnce Correlted Frlty = 7,89 p = 0,41 89,9 Frnk Générlsée α = -2,34 ξ = 1,53 56,1 Frnk α = -2,39 53,4 Gumbel α = 1,28 52,6 Al-Mkhl-Hq θ = 0,68 43,2 Hevy Rght Tl α = 2,21 38,6 Clyton α = 0,19 20,0 Frlty α = 0,17 20,0 Indépendnce - 0 Tbleu 3: Résultts des estmtons pr Mxmum de Vrsemblnce C ~ los Gmm / Brnches RC et HRC Dns ce cs églement, c est l utlston de l fmlle Correlted Frlty qu mxmse l log-vrsemblnce, et le cs ndépendnt fournt l vrsemblnce l plus fble. Comme précédemment, des tests sttstques ont été ms en œuvre et ont confrmé ces résultts. 11

13 Grphe 1: Grphe de l densté de l copule Correlted Frlty L effet du nombre de contrts ne peut être nvoqué pour explquer ces résultts. L étude sur les tux de snstrlté (C / P fournt en effet des estmtons comprbles à celle rélsée sur les montnts des snstres drectement. Il s gt donc ben d une dépendnce de l snstrlté entre les deux brnches qu est c mse en évdence. A l de de l copule détermnée précédemment, l est mntennt possble de chffrer les conséquences de l dépendnce entre les trngles de lqudton sur le montnt des provsons. 3 Impct sur le clcul des provsons 3.1 Méthodologe retenue Pour évluer l mpct de l prse en compte de l dépendnce entre les trngles de lqudton, le montnt totl des snstres (snstres RC + snstres HRC ser évlué d bord en supposnt que les brnches sont ndépendntes, pus en tennt compte de l dépendnce. A prtr des los des dfférents éléments des trngles, l est possble de connître l dstrbuton du montnt totl des snstres restnt à pyer (somme des éléments des prtes nféreures des trngles, et donc de clculer les provsons nécessres et de comprer un certn nombre de mesures de rsque. Dns une premère pproche, l été décdé de ne ps prendre en compte le prolongement à drote du trngle, ndspensble en prtque à l évluton des provsons réglementres. Cel sgnfe donc que seule l dépendnce entre les montnts de snstres réglés u cours des cnq premères nnées ser étudée, ms cel n est ps de nture à modfer les conclusons de cette étude. 12

14 RC HRC provson 1998 provson 1999 RC 1999 HRC Le clcul explcte des los des sommes des snstres étnt trop complexe, les dstrbutons ont été obtenues pr smulton. Chcune des smultons se déroule en tros grndes étpes: 1 ère étpe smulton des éléments de l prte nféreure du trngle HRC à l de des los obtenues pr l méthode décrte en 1.3; ces éléments sont grdés en mémore pour être utlsés u cours de l 2ème étpe; ls sont ensute sommés pour obtenr les snstres restnt à pyer HRC (SAP HRC. 2 ème étpe smulton des éléments de l prte nféreure du trngle RC à l de des los obtenues en 1.3 et de l copule chose selon l méthode décrte plus hut, c est-à-dre que ces éléments sont clculés condtonnellement ux éléments du trngle HRC; on obtent ns les snstres restnt à pyer RC condtonnellement à ceux de l brnche HRC (SAP RC HRC. 3 ème étpe smulton des éléments de l prte nféreure du trngle RC vec l même méthode qu à l premère étpe, ms ndépendmment des deux étpes précédentes; on obtent SAP RC. On pose lors: SAP ndépendnce = SAP HRC + SAP RC SAP dépendnce = SAP HRC + SAP RC HRC 3.2 Résultts et nterprétton Les résultts qu suvent ont été clculés à prtr d un échntllon de 5000 couples (SAP ndépendnce ; SAP dépendnce obtenus pr smulton comme explqué précédemment. Le tbleu 4 présente quelques sttstques de bse reltves à ces deux stutons pour une compgne dont les montnts ont été modélsés pr des los Gmm et l copule pprtent à l fmlle Correlted Frlty. Les données de cette compgne ont été multplées pr un coeffcent c qu ne ser ps dvulgué pour des rsons de confdentlté. SAP ndépendnce SAP dépendnce Moyenne Vrnce Mnmum Mxmum Tbleu 4: Sttstques de bse 13

15 L prse en compte de l dépendnce ne modfe donc ps l moyenne des snstres à pyer. Ce résultt est logque pusque l espérnce est une foncton ddtve et l espérnce de deux vrbles létores, même non ndépendntes, est égle à l somme de leur espérnce. Pr contre, l vrnce du montnt totl des snstres est beucoup plus grnde lorsque les deux brnches sont supposées postvement dépendntes, que lorsqu elles sont supposées ndépendntes. Le mnmum et le mxmum montrent que cette sur-dsperson est vlble ux deux extrêmes de l dstrbuton. Cette stuton résulte de l copule utlsée pour modélser l dépendnce entre les deux trngles. En effet, le prmètre de l copule Correlted Frlty est postf, ce qu s nterprète comme le sgne d une dépendnce postve: qund les montnts des snstres HRC sont élevés (resp. fbles, ceux de l brnche RC ont plus de rsque d être élevés (resp. fbles eux uss. L représentton des couples (SAP HRC ; SAP RC et (SAP HRC ; SAP RC HRC sur les Grphes 2 et 3 llustrent prftement cette dépendnce postve. Le cs dépendnt est crctérsé pr un nuge de ponts crculre, tnds que l smulton à l de de l copule fournt un nuge de ponts plus llongé et pontu ux deux extrémtés. Cs dépendnt Cs ndépendnt SAPhrc SAPhrc SAPrc Grphe 2: Cs dépendnt SAPrc Grphe3: Cs ndépendnt Cette dépendnce postve sur les snstres un mpct drect sur le montnt des cptux à provsonner pour que l compgne sot en mesure de fre fce à ses enggements. Les provsons peuvent pr exemple être détermnées de mnère à ce que l probblté de rune (c, l probblté que le montnt des snstres futurs sot supéreur u montnt des provsons consttuées sot nféreure à un certn seul. Or, en comprnt les fonctons de dstrbuton (cf Grphes 4 et 5, l pprît que l foncton correspondnt u cs dépendnt se stue u-dessous de celle correspondnt u cs ndépendnt pour les vleurs les plus élevées (en ft, les courbes se crosent en un seul pont, et compte tenu du ft que l espérnce est l même dns les deux cs, cel sgnfe que le rsque ssocé u cs dépendnt est plus rsqué, u sens de l domnnce stochstque d ordre 2, que le rsque ssocé u cs ndépendnt. Cel sgnfe donc que s l probblté de rune est fxée à un nveu suffsmment fble, les provsons à consttuer vont être plus élevées dns le cs dépendnt que dns le cs ndépendnt, et l écrt entre les deux stutons est d utnt plus élevé que l consttuton des provsons est prudente (c est-à-dre que l probblté de rune est fxée à un nveu fble. Le Tbleu 5 résume les cptux nécessres dns les deux cs en foncton du rsque toléré. 14

16 1 0,8 0,6 0,4 cs ndépendnt cs dépendnt 1 0,8 cs ndépendnt cs dépendnt 0, , Grphes 4 et 5: Comprson des fonctons de dstrbuton des snstres restnt à pyer seul de provsons à consttuer probblté de rune Cs ndépendnt cs dépendnt 15% % % % ,1% Tbleu 5: Provsons P à consttuer en foncton du seul α de l probblté de rune toléré P = Inf {x / Pr(SAP > x α} 4. Lmtes et extensons 4.1 Lmtes de l modélston L premère lmte de l modélston décrte précédemment se stue u nveu des données utlsées pour clbrer le modèle. On dspose en effet d un nombre nsuffsnt de données (éléments des trngles pour estmer de mnère totlement fble les prmètres. Ce nombre de données est d utnt plus fble que les étts C11 réglementres ne conservent l trce que de cnq nnées de développement, ce qu ne permet ps de modélser correctement l évoluton des snstres u-delà de ces cnq ns. Cel est prtculèrement problémtque dns le cs des brnches longues où les snstres peuvent n être réglés ntégrlement que plus de dx ns près leur survennce (comme c est le cs pour l brnche responsblté cvle en utomoble. Aux restrctons sur l quntté d nformton s oute l qulté de l nformton. En plus du ft que les étts C11 ne sont ps touours correctement rensegnés pr les socétés, les données, pour être explotbles, dovent être cohérentes entre elles. Ce problème est fortement lé à celu du chox de l pérode hstorque consdérée. S l envronnement du mrché évolue, le mode de règlement des snstres se modfe, s ben que l hstorque ne permet ps de modélser les snstres futurs. Une soluton pour résoudre ce problème est de tenr compte de l nflton des snstres: les montnts des snstres étnt ctulsés, cel permet de trvller vec un ensemble cohérent de données. 15

17 Le chox des los retenues pour modélser les éléments des trngles peut églement être dscuté. En effet, l étude précédente se restrent à des los Bnomles Négtves ou à des los Gmm, lors que les modèles lnéres générlsés permettrent d exploter d utres los, clssques ou mons clssques. Cependnt, les los utlsées pportent tout de même des résultts reltvement stsfsnts, et l structure de dépendnce mse en évdence est robuste u chox de l lo mrgnle. De même, le chox de l copule est lmté à l ntéreur du sousensemble des copules prmétrques. Ms l fut noter que cet ensemble est ssez étendu pour modélser l ensemble des structures de dépendnce rencontrées en prtque. Ms l fblesse l plus mportnte de l modélston précédente est l hypothèse d ndépendnce des éléments d un même trngle et l ndépendnce entre les éléments de trngles dfférents qu n ont ps une poston smlre. Il n est en effet ps stsfsnt de se contenter de modélser l dépendnce entre les dfférentes brnches que nous l vons ft usqu à mntennt. Cette modélston est surtout lmtée dns le cs de l dépendnce entre deux brnches dont les durées de développement sont dfférentes, comme pr exemple l brnche Dommge utomoble (brnche courte où les snstres sont réglés beucoup plus rpdement que dns l brnche Responsblté Cvle en utomoble (brnche longue. Ans, pour les nnées de développement supéreures à cnq, les éléments du trngle de l brnche Dommge serent très vte nuls tnds que ceux de l brnche Responsblté Cvle serent touours des montnts mportnts. Il est donc nécessre de développer de nouveux modèles plus stsfsnts et prennt en compte l dépendnce de fçon plus rélste. 4.2 Evoluton de l dépendnce en foncton de l nnée de développement Nouvelles hypothèses Pour tenter de répondre u prncpl défut des modélstons précédentes, une premère possblté est d estmer une copule pr nnée de développement. Il ser touours supposé que l dépendnce entre les trngles de lqudton se stue u nveu des éléments ynt l même plce dns chcun des trngles, ms l dépendnce entre les deux trngles ne ser plus modélsée de fçon dentque quelle que sot l nnée de développement. En effet, cec permet de résoudre les problèmes lés à deux brnches de durée de développement dfférentes (cf supr pour lesquelles les montnts des snstres d une brnche peuvent rpdement devenr nuls et donc être totlement ndépendnts des montnts de l utre brnche. Ces hypothèses peuvent donc se réécrre comme sut: H1: C 1 et C kl 2 ndépendnts s (, (k,l H2 bs: P(C 1 c 1, C 2 c 2 = C (F 1 (c 1, F 2 (c 2 (, Chque copule C modélser donc l structure de dépendnce l nnée de survennce. Enfn, on conserver l hypothèse selon lquelle les structures de dépendnce sont une crctérstque des brnches, et non des socétés. Une copule pr nnée de développement ser donc à chosr pour toutes les socétés. 16

18 Résultts L méthode d estmton des prmètres des copules nchngée. Les tbleux 6 et 7 résument ces estmtons pour les tros melleures (u sens de l log-vrsemblnce l plus élevée fmlles de copules dns chcune des tros stutons suvntes: - modélston des montnts des snstres pr une lo dscrète, - modélston des montnts des snstres pr une lo contnue, Correlted Frlty Gumbel Frnk Correlted Frlty Gumbel Frnk Année de développement =7,79 p=0,47 A=3,69 p=0,16 =14,57 p=0,00 =9,30 p=0,10 =10,55 p=0,36 (-4639,2 (-4438,5 (-2606,6 (-2198,8 (-1974,9 α = 1,42 α = 1,09 α = 1,00 α = 1,01 α = 1,02 (-4650,8 (-4438,5 (-2606,7 (-2199,7 (-1986,0 α = -1,98 α = -0,48 α = -0,40 α = -0,21 α = -0,39 (-5219,7 (-4968,0 (-2744,9 (-2398,1 (-2205,9 (les nombres entre prenthèses représentent l vleur de l log-vrsemblnce Tbleu 6: Résultts des estmtons pr Mxmum de Vrsemblnce C ~ los Bnomles Négtves / Brnches RC et HRC Année de développement =7,04 p=0,71 =3,96 p=0,81 =5,12 p=0,18 =1,32 p=0,34 =29,40 p=0,22 (60,6 (57,8 (2,2 (4,52 (11,8 α = 2,51 α = 2,33 α = 1,10 α = 1,05 α = 1,16 (71,6 (72,0 (2,0 (1,2 (11,1 α = -8,04 α = -7,07 α = -0,92 α = -0,86 α = -1,27 (72,4 (67,0 (2,2 (2,7 (6,3 (les nombres entre prenthèses représentent l vleur de l log-vrsemblnce Tbleu 7: Résultts des estmtons pr Mxmum de Vrsemblnce C ~ los Gmm / Brnches RC et HRC On retrouve donc, comme précédemment, que globlement c est l fmlle Correlted Frlty qu modélse le meux l structure de dépendnce entre les trngles de lqudton des brnches RC et HRC, et ce, quelles que soent les los mrgnles retenues. Ms cette modélston pporte une nformton sur l évoluton du degré de dépendnce en foncton de l nnée de développement. Pour toutes les fmlles de copules utlsées, le prmètre de dépendnce ( ou α, selon les fmlles commence pr décroître (en vleur bsolue lorsque l nnée de développement ugmente. Or, plus ce prmètre est élevé, plus grnde est l dépendnce. Cel sgnfe donc que les montnts des snstres (ns que les tux de snstrlté des brnches RC et HRC sont de mons en mons dépendnts lorsque l on s élogne de l nnée de survennce. Cel est conforme à ce qu étt ttendu pour ces brnches: en HRC, les snstres sont réglés plus rpdement qu en RC, et les éléments du trngle devennent rpdement nuls et donc ndépendnts des montnts du trngle RC. Ms on peut tout de même remrquer que pour l cnquème nnée de développement ( = 4, l dépendnce semble retrouver un nveu élevé. 17

19 Cette évoluton de l dépendnce en foncton de l nnée de développement se retrouve églement u trvers du prmètre p de l fmlle Correlted Frlty. En effet, cette fmlle est obtenue pr combnson de l copule ndépendnte et celle de Clyton, et c est le prmètre p qu donne plus ou mons de pods à l une ou l utre de ces copules: lorsque p tend vers 0, l copule converge vers l copule ndépendnte, et lorsque p tend vers 1, elle converge vers l copule de Clyton. Donc, plus p est grnd, plus on s élogne de l ndépendnce. Or, p dmnue lorsque l nnée de développement ugmente, ce qu confrme que l dépendnce dmnue qund on s élogne de l nnée de survennce. Des smultons ont été effectuées à prtr de ces copules. Les résultts pour une compgne sont synthétsés dns les tbleux 8 et 9. SAP ndépendnce SAP dépendnce Moyenne Vrnce Mnmum Mxmum Tbleu 8: Sttstques de bse seul de provsons à consttuer probblté de rune cs ndépendnt cs dépendnt 15% % % % ,1% Tbleu 9: Provsons P à consttuer en foncton du seul α de l probblté de rune toléré P = Inf {x / Pr(SAP > x α} Il s gt de l même compgne utlsée en 3.2, et ces tbleux sont donc à mettre en regrd vec les tbleux 4 et 5. Ces résultts sont comprbles à ceux obtenus vec une seule copule pour toutes les nnées de développement. L vrnce est cependnt plus élevée dns le cs où l dépendnce est prse en compte en tennt compte de l spécfcté de l nnée de développement que dns l cs où l dépendnce est modélsée globlement. De même, les quntles et le mxmum sont légèrement plus élevés. Cec peut s explquer pr le ft que l dépendnce mse en évdence est plus forte pour les nnées proches de l nnée de survennce, et donc pour les montnts élevés qu ont un pods plus mportnt dns le montnt totl des snstres. S l mpct sur l vrnce est réel, l effet sur les provsons n est toutefos ps sgnfctf. Cel est lé ux données utlsées pour estmer les coeffcents des copules. Dns le cs dt de l copule pr nnée de développement, chque coeffcent de l copule est estmé à prtr des données ssues de l nnée de survennce correspondnte, tnds que dns le cs d une seule copule, les coeffcents sont estmés à prtr de toutes les données observées, y 18

20 comprs les montnts des snstres réglés u cours de leur nnée de survennce (nnée de développement 0, lors qu ucun montnt de l nnée de développement 0 n est smulé. Or, c est u cours de cette nnée que l dépendnce est l plus élevée, s ben qu en moyenne l dépendnce globle des snstres restnt à pyer est plus mportnte que dns le cs d une copule pr nnée de développement. En résumé, dns le cs d une copule pr nnée de développement, l dépendnce est plus forte sur les montnts élevés, et dns le cs d une seule copule l dépendnce moyenne est plus élevée. 5 Un nouveu modèle: crédblté et dépendnce 5.1 Introducton Le modèle présenté c-dessous tend à répondre à deux crtques formulées à l égrd des modèles précédents. L premère crtque consste à remrquer que lors des smultons d un élément C des prtes nféreures ux trngles de lqudton, les nformtons reltves à cette nnée de survennce ne sont ps prses en compte. S le modèle ft ntervenr des coeffcents pour l nnée de survennce, une prte de l nformton est ntégrée dns ce coeffcent. Ms dns le cs contrre, tous les éléments C, pour fxé, sont smulés suvnt l même lo, lors que les éléments déà connus des lgnes du trngle (C 0, pourrent être utlsés pour compléter l nformton sur les montnts futurs et dfférencer les smultons selon les nnées. L seconde crtque concerne l hypothèse d ndépendnce de deux éléments qu n occupent ps des postons smlres dns les trngles de lqudton. Il est en effet plus rsonnble de penser que ce sont les lgnes des trngles qu sont dépendntes entre elles, et non les éléments un à un. C est pourquo, fn de prendre en compte ces deux remrques, un modèle nspré de l théore de l crédblté été ms en œuvre. Cette théore est clssquement utlsée dns le clcul des coeffcents de Bonus-Mlus en ssurnce utomoble. Elle consste à supposer qu l exste un prmètre crctérstque du rsque de l ndvdu, ms l ssureur ne peut ps l observer à l souscrpton du contrt. Ms chque nnée, l observton du nombre d ccdents subs pr l ssuré permet à l ssureur d vor une dée plus précse de l vleur de ce prmètre, et d en tenr compte dns l élborton du trf de l nnée suvnte. Cette dée ser donc pplquée dns le cs des trngles de lqudton en supposnt que chque nnée de survennce est crctérsée pr un prmètre crctérstque de l snstrlté de l nnée, ms nobservble, et les montnts des snstres déà réglés permettront d obtenr un ndcteur de ce prmètre. On esser donc de générlser l théore de l crédblté en deux dmensons (un prmètre pr brnche d ctvté et c est sur ce couple de prmètres que l dépendnce ser modélsée. Ce modèle permet donc, en combnnt copule et crédblté, de présenter de fçon rélste l dépendnce entre les trngles de lqudton (lgne à lgne, et non plus élément pr élément et d utlser u mxmum l nformton dsponble. 5.2 Hypothèses On consdère deux brnches et b. Dns ce nouveu modèle, on ne suppose plus que les C sont ndépendnts à l ntéreur d un même trngle quels que soent et. On suppose qu l exste une vrble létore δ (resp. δ b, d espérnce égle à 1, crctérstque de l ntensté de l chrge totle des snstres de l nnée pour l brnche (resp. b. Cette vrble ne représente ps le montnt totl des snstres de l nnée (cr elle est chose d espérnce égle à 1, ms elle consttue un ndcteur de l snstrlté. 19

21 On supposer: b δ ~ γ ( et δ ~ γ ( b b ; ; et on noter F et F b les fonctons de réprtton ssocées, et f et f b les fonctons de densté. D utre prt, on supposer que: u v H1: ( δ δ ; vec ( ; v { ; b}² u sont ndépendnts s, ce qu sgnfe que les montnts de snstres de deux nnées dfférentes sont ndépendnts. En revnche, pour fxé, les vrbles δ et δ b ne sont ps ndépendntes. C est donc sur cet ndcteur de l chrge totle des snstres que l on modélser l dépendnce entre les brnches et b. En supposnt que cette dépendnce est dentque quelle que sot l nnée de survennce, d près le théorème de Sklr, l exste une unque copule C telle que: b P( δ x, δ y C( F ( x, F ( y = Remrque: le ft de chosr des los pour δ et δ b ndépendntes de l nnée oblge à utlser des montnts de snstres comprbles: l fut donc tenr compte de l nflton, uss ben monétre, que technque ou urdque (évoluton de l ursprudence. On supposer ensute que les snstres sont réglés chque nnée de mnère létore suvnt une lo de Posson condtonnellement ux δ ou δ b : lo de C condtonnellement à δ : C δ ~ P( δ exp( β lo de C b condtonnellement à δ b b b b b : C δ ~ P( δ exp( β où β et β b sont des prmètres. On suppose donc que chque nnée de développement, en moyenne une même frcton de l chrge snstre est réglée: frcton des snstres réglés en moyenne pour l brnche b = b k b ( β b ( β Avec les données dsponbles, on ne peut estmer que les β et les β b pour comprs entre 0 et 4. Il est donc nécessre d utlser des hypothèses supplémentres, du type décrossnce logrthmque ou exponentelle, pour les utres prmètres. Les β et β b peuvent être consdérés sot comme des prmètres propres ux entreprses, sot comme des prmètres crctérstques des brnches (uquel cs les mêmes prmètres serent pplqués à toutes les compgnes. On peut montrer que l lo suve pr les C (lo de Posson composée vec une lo Gmm est en ft une lo Bnomle Négtve. Cependnt, l estmton des prmètres ne peut ps se fre dns les mêmes condtons dns le modèle décrt en 1.3. En effet, les C ne sont plus ndépendnts. L ndépendnce n est vlble que condtonnellement ux δ ou ux δ b. exp exp k. 20

22 Les prmètres seront donc estmés à l de de l méthode des moments: E( C = E[ E( C δ ] = E[ δ exp( β ] = exp( β E[ δ ] = exp( β E[( C exp( β 2 C ] = (1/ exp(2β En utlsnt l contreprte emprque de ces moments, on peut estmer les prmètres: 1 exp(β ˆ = c (n = nbre d observtons dsponbles pour l nnée de développement n (1/ ˆ = c ˆ 2 [( exp( β c exp(2 ˆ β ] 5.3 Chox de l copule Le chox de l copule représente l premère dffculté dns l mse en prtque de ce modèle. En effet, contrrement ux utlstons «clssques» des copules, les rélstons des vrbles létores δ et δ b ne sont ps connues. Seules les vleurs des c le sont. On ne peut donc ps pplquer les méthodes clssques de fçon mmédte. Ms l est touours possble d écrre l vrsemblnce des observtons en ntrodusnt une copule. On obtent lors une expresson, certes complexe, ms en théore possble à mxmser. Cependnt, une utre méthodologe, nsprée de l théore de l crédblté été explorée. L théore de l crédblté permet de clculer un prédcteur des δ à l de des données observées. En effet, l est pr exemple possble de clculer l lo de δ condtonnellement ux observtons. On noter (c obs les rélstons des C observées (notées (C obs pour l nnée : l( δ ( c obs = P(( C P(( C obs obs = ( c = ( c obs δ obs f ( δ D près le modèle, les (C obs sont ndépendnts condtonnellement à δ. On obtent donc: P(( C obs = ( c obs δ f ( δ = obs exp( δ exp( β exp( β c c! ( δ c ( δ Γ( 1 exp( δ D où: l( δ ( c obs exp = δ + obs exp( β ( δ + c obs + exp( β obs + c obs 1 Γ( + c obs 21

23 On reconnît lors l densté de l lo Gmm suvnte: γ + + c, exp( β obs obs S l on souhte effectuer des smultons des snstres restnt à pyer, on est donc en mesure d pporter une précson supplémentre. On ne se contenter ps de smuler δ et δ b selon l lo supposée pror (lo Gmm de prmètre ou b, ms c est l lo condtonnelle c-dessus qu ser utlsée. Ms cette nformton supplémentre peut églement être utlsée pour estmer le(s prmètre(s de l copule recherchée. En effet: E ( δ ( c obs = + + obs obs c exp( β A prtr des estmtons des prmètres déà effectuées, l espérnce condtonnelle c-dessus fournt lors un prédcteur de δ : ˆ δ = ˆ + ˆ + obs obs c exp( ˆ β et on peut montrer que: ˆ δ δ et ˆ b δ δ b On obtent ns un échntllon de couples ˆ (, ˆ b δ δ sur lequel on peut clculer un tux de Kendll emprque. En supposnt que ce tux de Kendll converge vers le tux de Kendll des (δ,δ b, on dspose lors d un estmteur du tux de Kendll des (δ,δ b, à prtr duquel on peut retrouver le prmètre de certnes copules. L utlston de l théore de l crédblté permet donc de substtuer des prédcteurs ux δ nobservés, et d estmer ns le prmètre des copules. Cependnt, l méthode du Mxmum de Vrsemblnce et l méthode IFM ne peuvent être utlsées pusqu on ne dspose ps des los des prédcteurs. Seule l méthode du tux de Kendll est explotble, ce qu restrent le nombre de fmlles de copules que l on peut utlser (les copules à deux prmètres, telles que l fmlle Correlted Frlty, ne peuvent en prtculer ps être explotées. 5.4 Résultts Les résultts des estmtons pr l méthode des moments pour une socété prtculère et pour les brnches = RC et b = HRC, fournt: 22

24 ˆ exp( β ,69 ˆ b exp( β ,49 ˆ exp( β 1 879,29 ˆ b exp( β 1 423,54 ˆ exp( β 2 271,56 ˆ b exp( β 2 12,94 ˆ exp( β 3 151,34 ˆ b exp( β 3 6,00 ˆ exp( β 4 97,84 ˆ b exp( β 4 4,88 1 / â 0, / bˆ 0,0850 Ces estmteurs permettent de clculer des prédcteurs pour chque nnée de survennce, pr exemple pour les nnées 1997 à 2000: δˆ b δˆ ,1440 1, ,1253 1, ,1049 1, ,1109 1,1992 D où un tux de Kendll (clculé à prtr de l ensemble des nnées 1991 à 2000: τ = 0,6111 On est ns en mesure de retrouver le prmètre correspondnt pour certnes fmlles de copules. On obtent: Fmlle Prmètre de dépendnce Clyton 3,1363 Gumbel 2,5698 Al-Mkhl-Hq 0,8176 Normle 0,8189 Frle-Morgenstern 2,7500 Cependnt, on peut s nterroger sur l vldté de ces estmteurs, vu le fble nombre de données utlsées pour leur obtenton. Ms l exste une modélston qu permet de trvller vec un échntllon de plus grnde tlle. Il sufft en effet de supposer que pour une brnche donnée, les δ de toutes les socétés suvent l même lo (mêmes prmètres et b pour toutes les compgnes. On estme ns pour chque compgne des estmteurs des β (on peut églement supposer que les cdences de règlement sont dentques pour toutes les socétés, uquel cs les β se décomposerent en c + γ vec c un terme spécfque à l compgne, et γ un terme dentque pour toutes les compgnes, un estmteur pour et un estmteur pour b. On dspose ns d un couple de prédcteurs pr compgne et pr nnée de survennce (chque lgne de chque socété est ssocée à une rélston ndépendnte de l vrble δ. Cette méthode sous-entend donc une hypothèse déà fte précédemment dns les modélstons, à svor que l structure de dépendnce entre les trngles de lqudton est 23

25 crctérstque des brnches, et non des socétés. A prtr d un tel modèle vec des cdences de règlement dfférentes pour toutes les socétés, on trouve lors les résultts suvnts: τ = 0, / â 0, / bˆ 0,0307 D où: Fmlle Prmètre de dépendnce Clyton 1,5940 Gumbel 1,7963 Al-Mkhl-Hq 0,7528 Normle 0,6419 Frle-Morgenstern 1,9947 Les coeffcents obtenus à prtr de l ensemble des socétés sont donc plus fbles que ceux obtenus u prgrphe précédent à l de d une seule compgne. Ms l reste dffcle de comprer les résultts pusque dns un cs ls sont obtenus à prtr d une dzne de données (donc peu fbles, et dns l utre, ls le sont à prtr d un nombre beucoup plus mportnt. Il est cependnt possble d ffrmer que l dépendnce entre les vrbles δ (ndcteurs de snstrlté est très forte. Le coeffcent de l copule normle pr exemple, qu dot être comprs entre 1 et 1, 1 étnt l dépendnce l plus forte, est de l ordre de 0,6. De même, les coeffcents des copules de Gumbel et de Clyton sont plus élevés que ceux obtenus lors de l modélston de l dépendnce sur les éléments des trngles drectement. S toute comprson entre les résultts de ces deux modélstons n est ps nécessrement pertnente (ce ne sont ps les mêmes éléments qu sont modélsés!, cel tend tout de même à légtmer l modélston de l dépendnce entre les trngles de lqudton u nveu des lgnes de ce trngle, et non élément pr élément. Dns les modélstons précédentes, l dépendnce exstt, ms étt dffclement dentfble, lors que cette nouvelle modélston offre une présentton ntutve de cette dépendnce, et l met en évdence de fçon très clre. 5.5 Estmton des provsons Pour estmer les provsons à consttuer, l méthodologe est dentque à celle utlsée en 3.1. Dns le cs ndépendnt, on smule l prte nféreure des deux trngles de fçon ndépendnte, à prtr des los connues des C. Cependnt, les C d un même trngle ne sont ps smulés de fçon ndépendnte. On smule en premer leu les δ, pus les C condtonnellement ux δ. Ms l théore de l crédblté v être utlsée lors de cette smulton. En effet, on peut utlser les observtons dsponbles pour smuler les δ condtonnellement à ces observtons (cette lo condtonnelle est connue, vor c-dessus. 24

26 Dns le cs dépendnt, on smule le trngle de l brnche, pus celu de l brnche b condtonnellement ux smultons de l brnche. Ms l dépendnce pourrt ntervenr à deux moments u cours de ces smultons: tout d bord, u moment de l smulton de δ b condtonnellement à δ, ms églement u moment de l smulton de δ. En effet, on vu que les résultts de l théore de l crédblté permettent d effectuer les smultons des δ condtonnellement ux observtons. Or, compte tenu de l dépendnce entre les brnches et b, l sert nécessre d ntégrer l ensemble des observtons (de l brnche, ms uss de l brnche b pour smuler δ. Mlheureusement, le clcul de l lo de δ, condtonnellement ux observtons des trngles des brnches et b, ne permet ps de reconnître une lo clssque du ft de l ntroducton de l copule, ce qu rend mpossble toute smulton de δ condtonnellement ux observtons de l brnche et de l brnche b. Cette nformton supplémentre pportée pr le second trngle ne ser donc ps explotée dns les smultons, ms c est un pont sur lequel l est possble d mélorer le modèle qu y ggnert en précson dns les prédctons. Le tbleu 10 présente les résultts de 5000 smultons de snstres restnt à pyer d une socété en modélsnt l dépendnce à l de de l fmlle Gumbel (le coeffcent de l copule utlsé est celu estmé à prtr de l ensemble des socétés, c est-à-dre 1,7963 Cs ndépendnt Cs dépendnt Moyenne 129,6 129,4 Vrnce 195,5 220,7 Mnmum Mxmum % % % % ,1% ,01% Tbleu 10: Résultts des smultons des snstres restnt à pyer Brnches RC et HRC quntle Ces résultts sont comprbles à ceux obtenus vec les modélston précédentes. On retrouve l ugmentton de l vrnce, et donc de l ncerttude, ce qu se trdut pr des quntles plus élevés dns le cs où l dépendnce est prse en compte. L mpct sur les provsons à consttuer est églement comprble vec celu des modélstons précédentes. Sns nfrmer les conclusons trées précédemment, ce nouveu modèle permet donc de compléter l modélston de l dépendnce entre trngles de lqudton. 25

27 Grphe 6: Grphe de l densté de l copule Gumbel Concluson L réglementton frnçse mpose ux ssureurs de consttuer des provsons «suffsntes» pour fre fce entre utres ux snstres à pyer. Or, les résultts obtenus mettent en évdence une dépendnce postve systémtque entre les règlements des snstres des brnches Dommge et Responsblté Cvle en utomoble. S ces résultts sont corroborés, l devrt condure les entreprses à consttuer des provsons pour «dépendnce de rsque entre brnches». Un modèle bsé sur l théore de l crédblté, clssquement utlsée en ssurnce utomoble pour le clcul du coeffcent de Bonus-Mlus perms une modélston rélste de l dépendnce entre les trngles de règlement ns que de psser outre l dffculté lée à l dfférence entre les vtesses de règlement des brnches. Les résultts obtenus renforcent l mse en évdence de l dépendnce postve entre les brnches Dommge et Responsblté Cvle en utomoble. Enfn, l sert ntéressnt de comprer les provsons ns détermnées ux provsons effectvement consttuées pr les ssureurs, fn d étuder les bon et les ml sur ces provsons et l structure fnncère de l entreprse. 26

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