Chapitre 1 : Intégrales définies.

Transcription

1 Alyse - Cpire (/9) Cpire : Iégrles défiies. L éorie de l iégrio es issue de l écessié prique de clculer les ires e les volumes. Ds ou le cpire, ous e cosidéreros que des focios coiues. I. Cosrucio de l iégrle f (), f coiue sur [ ; ] :. Sudivisio de l iervlle [ ; ] : L sudivisio de l iervlle [ ; ], e iervlles de même mpliude, es l suie,,, vec = = k = k = = =. Défiiio de f () pour f posiive Docume : O pose S = mi ( f( ) ) = mi ( f( ) ) [ k; k ] [ k; k ] k= k= Docume : O pose S = m ( f( ) ) = m ( f( ) ) [ k; k ] [ k; k ] k= k= Propriéés de S e S : S es croisse e mjorée. S es décroisse e miorée. - lim S S = ( ) ( S ) e ( S ) so des suies djcees, elles coverge vers l même limie. O pose f () = lim S = lim S. - Florece NICOLAU 5-6

2 Alyse - Cpire (/9). Défiiio de f () pour f quelcoque O pose f ( ) f () = f() si f() si f() < = si f() - f() si f() < O les propriéés suives : [ ; ] f ( ) f ( ) f() = f ( ) - f ( ) f () e f () so défiies puisque f e f so coiues e posiives sur [ ; ]. O pose f () = f () - f (). II. Ierpréio géomérique de l iégrle : Ds le cs d ue focio f posiive, d mesure «l ire sous l coure», c es à dire l ire de l esemle des pois ( ; y) els que e y f(). y = f() Florece NICOLAU 5-6

3 Alyse - Cpire (/9) Ds le cs d ue focio f de sige quelcoque, d représee l ire sous l coure ( e u dessus de l e des scisses) mois l ire sur l coure ( e u dessous de l e des scisses). S d = S - S - S - III. Propriéés. P. Liérié : ( g( )) d = d gd ( ). λ d = λ d ( λ R ). P. Relio de Csles : Soi c ] ; [ c d = f d f d. c P. d =. P. d = d. P5. Si f es posiive lors d ( < ), d = f() = [ ; ] P6. Croissce : Si [ ; ] f() g() lors d gd ( ). P7. Mjorio : d d. Florece NICOLAU 5-6

4 Alyse - Cpire (/9) IV. Iégrles e primiives. Noio : d désige ue primiive de f.. Iégrle focio de s ore supérieure. Soi f : [ ; ] R coiue. O défii l focio G sur [ ; ] pr G() = f (). Propriéé : G es dérivle e G () = f() [ ; ]. De plus G() =. G es l primiive de f qui s ule e. Démosrio : Moros que G () = f() c'es-à-dire que G ( ) G ( ) lim = f() Posos R() = G ( ) G ( ) Moros lim R ( ) = R() = f() f() R() = f () f( ) or = = R() = f () f( ) R() = ( () ( )) f f Or f es coiue sur [ ; ] e doc e. D où ε> α> < α f() f() < ε Soi ε>. Supposos < α R() = ( () ( )) f f Florece NICOLAU 5-6

5 Alyse - Cpire (5/9) er cs : > R() f () f( ) doc < < α d où f() f() < ε R() ε R() ε e cs : < R() f () f( ) doc < < α d où f() f() < ε R() R() ε ε Doc ε> α> < α R() ε lim R ( ) = Doc G () = f(). Eemples : l = Clculer l dérivée des focios suives : F() = F () = G() = G () =. 7 Florece NICOLAU 5-6

6 Alyse - Cpire (6/9). Clcul d ue iégrle à prir d ue primiive. Téorème : Si f es coiue sur [ ; ] e F es ue primiive de f sur [ ; ] lors f () = F ( ) F ( ) ce que l o oe [ F ()]. Démosrio : Posos G() = f () G () = f() d près l propriéé ci-dessus. Doc F e G so primiives de f. C R ; [ ; ] G() = F() C E, o = G() = F() C doc C = - F() D où f ( ) = G ( ) = F ( ) F ( ) = rc rc = - = Eemple : = [ rc( ) ] d= = = E effe S = V. Méodes de clculs d iégrles.. Clcul à l ide de primiives. Eemple de clcul direc. 8 = l 8 = l() l(6) = l() l(6) l(6) = l() 5 = 5 l = l -5 l - = l() l(6) = - l(6) Florece NICOLAU 5-6

7 Alyse - Cpire (7/9) O décompose l focio à iégrer e ue somme de ermes que l o si iégrer. Divisio euclidiee e décomposiio e élémes simples des frcios rioelles. I = 5 5 = = ( )( ) 5 l l d près l eemple de clcul de primiive du cpire. I = (5 l l 7) (8 l l ) = l 7 = 6 l 7 l 6. Iégrio pr pries. Téorème : Si f es dérivle de dérivée f coiue sur [ ; ], Si g dme ue primiive G sur [ ; ], lors f( gd ) ( ) = f( G ) ( ) f'( Gd ) ( ). Eemples : I = I = I = si( d ) O pose f() = g() = si() d où f () = G() = cos( ). cos( ) cos( ) d = - cos cos( ) d si( ) = ( ) =. J = l( ) d O pose f() = l() g() = d où f () = G() =. d J = [ l( )] = l() - [ ] = l(). Florece NICOLAU 5-6

8 Alyse - Cpire (8/9). Cgeme de vriles. L iérê es de rsformer l focio à iégrer e ue focio do o coî l primiive. Téorème : Soi ϕ ue ijecio dérivle sur [α ; β], de dérivée ϕ coiue. Soie = ϕ(α) e = ϕ(β). Soi f ue focio coiue sur [ ; ]. β. O f ( ϕ( )) ϕ '( ) d = f ( ) α Prique du cgeme de vrile : o pose = ϕ() d où = ϕ () d iégrer e ere α e β iégrer e ere = ϕ(α) e = ϕ(β). Eemple : Clcul de I = ( ) d. L focio ϕ() = es ijecive sur [ ;]. D où le cgeme de vrile : = = d d =. I = (² ) (² ) = rc(). = = [ rc ] Remrque : Pour iégrer ue frcio rioelle e si, cos,, l méode géérle es le cgeme de vrile =. O oie ue frcio rioelle e à iégrer. Si = lors cos() = si() = () = Eemple : Clcul de J = si d L focio ϕ() = es ijecive sur ;. O pose = = De plus = e = 6 d d = = = l = l = l = l J = [ ] Florece NICOLAU 5-6

9 Alyse - Cpire (9/9) VI. Clcul pprocé d iégrles Soi {,,, } ue sudivisio de [ ; ] e iervlles de même mpliude égle à. Méode des recgles : k k f y = f() O pproce l iégrle d pr l somme des ires des recgles. Si es suffismme grd, k k k f () f k = k F HG k I K J. Méode des rpèes. f( k ) y = f() f( k ) k k O pproce l iégrle f()d pr l somme des ires des rpèes. Si es suffismme grd, f k f k f () ( ) ( ). k = Florece NICOLAU 5-6