Réponses et Indications (Réduction)

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1 Algèbre liéaire Réoses et Idicatios (Réductio) xercice ) S( ) = {,} A ) est le la de base ) ) A = PDP avec A + = + + et est la droite de base D = et P = car A = PD P et P = + + xercice ) ϕ ( u) = u Doc u est vecteur rore de ϕ associé à ( ) ) Ker ϕ est la droite de base v = e e e Doc est valeur rore de ϕ ) A I est as iversible car ses coloes vérifiet C = ( C ) est la droite de base w = e e e S( ϕ ) =,, et ( u, v, w) est ue base de vecteurs rores ) { } C xercice (d arès SC voie ) ) A = A I est as iversible car elle a deux coloes idetiques ) A = et A = A ) S( f ) {,} car X X est u olyôme aulateur de A, doc de f ) A I est as iversible car ses coloes vérifiet C = C + C 5) Si m =, A est diagoalisable car est la droite de base (,, ), et est le la d équatio x + y + z =, de base (,, ) et (,, ), doc dim + dim = 6) Si m, A est as diagoalisable car est la droite de base (,, ), et est la droite de base (,, ), doc dim + dim m d) B = car u, v et f ( w) = mu m e) P = car o cherche ue base ( u ', v', w' ) qui vérifie f ( u' ) = v', m f ( v') = et f ( w') = w', doc o choisit v ' = u, w ' = v et u' = w d arès d) m xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

2 Algèbre liéaire xercice (d arès HC voie ) ) S( h ) =,, est la droite de base u = (,, ), est le la de base v = (,, ) et w = (,, ) Ue base de vecteurs rores est ( u, v, w) ) H est as diagoalisable car S( h ) = { } et est le la d équatio x z =, de base (,, ) et (,, ) ) a = car c est la seule valeur commue aux deux cas récédets et H m I est H est diagoalisable car { } as iversible uisque ses coloes vérifiet C + C + C = Si m, est la droite de base v = (,, ) Si m =, est le la de base (,,) et (,, ) et v ) h m ( v ) = ( m,, m) = ( m) v et h m ( v ) = (, m, m ) = ( m ) v + ( m) v 5) La matrice de h m das ( v, v, v ) est H ' m = m m Doc S( h m ) = {, m} m Si m et m, est la droite de base v et Doc H m est diagoalisable si et seulemet si m xercice 5 (d arès DHC 7 voie S) ) Motrer que ( I, J, K, L) est libre Doc dim = m est la droite de base v = ) JK = L = KJ, KL = J = LK, LJ = K = JL, J = K = L = I Tous les roduits de deux matrices de est combiaiso liéaire de ces roduits, doc de I, J, K et L, doc aartiet à ) A = I, doc A est iversible et A = A (doc A ) ) ϕ est liéaire de das et bijective car ϕ ( M ) = N M = ϕ( N ) 5) Φ = doc Φ = I et S( ϕ ) {, } Or ϕ ( A ) = A et ϕ ( B) = B, doc S( ϕ ) = {, }, = Vect( L, B), = Vect( I, A), et ϕ est diagoalisable 6) ϕ est la symétrie ar raort à = Vect( I, ) arallèlemet à = Vect( L, ) A xercice 6 (d arès SC voie S et cricome 95 voie S) S( A ) =,, ) Trois valeurs rores distictes : { } B ) Droites vectorielles de base, de base et de base ) P = et D = ) f est liéaire et si P = a + bx + cx : f ( P) = ( a + b) + (a + b + c) X + ( b + c) X ) Si P = ( X +), alors f P) P ( = ) La matrice de f das la base (, X, X ) est égale à A xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

3 Algèbre liéaire f et les sous esaces rores sot les droites vectorielles de base ( X ), de base X et de base ( X +) Partie C + ) f est liéaire et P, T f ( X ) = X + X + ( ) X, doc d f ( X ) L L ) S( ) = {,, } O M M O O O M M M = M O O O M M M O O O M M O O L L ) Si P est u olyôme de degré < et de coefficiet domiat a, alors le coefficiet de alors f + X de (P) f est ( ) a (o ul) Or si P est vecteur rore, ( P) = λp, doc d f ( P) d P ) P vérifie : ( X + λ) P + ( X ) P' = a) crire P ( α) = b) Dériver fois la relatio c) Récurrece d) Cotradictio car P = d arès la formule de Taylor ) f ( P ) = ( + ) P 5) f a ( +) valeurs rores distictes λ = + our P, T xercice 7 (cricome voie S) ) La liéarité viet de la liéarité de la dérivatio et d f ( P) d P ) P, T f ( X ) = ( ) X X Doc ( ) = f et f ( X ) = X L L 6 O M M 8 O O M A = M M O O O (matrice triagulaire) M M M O O O ( ) M M M O O L L ) f a ( +) valeurs rores distictes λ = our P, T ) Comarer les coefficiets domiats de f (P) et de λ P 5) Utiliser la dimesio du sous-esace rore associé à λ = 6) H = et H = X ) Dériver la relatio ( ) et comarer avec f ( H ' ) ) Utiliser la dimesio du sous-esace rore associé à λ = ( ) et comarer ) les coefficiets domiats Puis remlacer H = X et H = X X H ' et H" das la relatio ( ) xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

4 Algèbre liéaire xercice 8 ) u = u = et u = u u Comme il s agit d ue récurrece double, il faut itroduire trois variables : u qui cotiedra u, v qui cotiedra u et w qui cotiedra u Iitialiser u := et v :=, uis faire ue boucle de := à avec w : = v, v : = u et u : = v ( ) * w / Afficher la valeur de u : Cas des matrices ilotetes 7 ) M =, ex(m ) = et l( I + M ) = ) est u sous-esace vectoriel de M ( ) de dimesio Les matrices de e sot as iversibles et seule la matrice ulle est diagoalisable a b ac ) a) Si A = c, alors A = et A = b) Doc : ex( A ) = I + A + A et l( I + A) = A A c) et d) Pour calculer l[ex( A )] et ex[l( I + A)], e as oublier de justifier l aarteace des matrices utilisées à e) Récurrece f) Calculer ex( A)ex( A) ) Motrer que si A et B sot deux matrices de : AB = A B = A B = 5) a) S( M ) = { } et est la droite vectorielle de base b) Chercher ( X, X X ) tel que MX =, MX = ax et MX = bx + cx Par exemle : P = et T = 6) Utiliser les roriétés de T et de ex(t ) car ex( M ) = P ex( T ) P : Cas des matrices diagoalisables ) S( B ) = {,}, P =, D = et B = PD P = = =! =! =! =! e e e e S et ex( B ) = + + e + e e + e =! =! =! =! ) Si ( d ) sot les élémets diagoaux de D, ex(d ) est la matrice diagoale ) dot les élémets diagoaux sot ( e ) Les roriétés sot coséqueces des roriétés de l exoetielle réelle et du roduit de matrices diagoales M = PD P, doc ex( M ) = P ex( D) P Les roriétés sot coséqueces du ) xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure - d

5 Algèbre liéaire 5 xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

6 Algèbre liéaire 6 ) a) Si f ( u) = λu, alors f [ g( u)] = λg( u) car f o g = go f b) Si S( f ) = { λ,, λ }, il existe ue base ( v,, v ) de vecteurs rores de f, et comme les sous-esaces rores de f sot de dimesio, tous les vecteurs g ( v ) sot coliéaires à v, doc la matrice de g das ( v,, v ) est aussi diagoale c) crire A = PDP et B = PD' P et utiliser le ) xercice 9 (Isiré d oral SCP 9) ) a) J aartiet à C et si A = ) et B = ) : α A + B = αa i + b ) ( a i, j ( b i, j (, j i, j b) λ = s( A) Résoudre s ( A λj ) = c) Utiliser b) et motrer que Vect( J ) Ker( s) = { } ) a) A C = A Ker(s) d arès ) et utiliser M ( ) = S A b) S Ker(s) est la droite vectorielle de base A C est la droite vectorielle de base Ue base de C est ( J, K, L) K = L = ) V = car o a JV = V, KV = LV = Doc A C AV = s( A) V ) a) Utiliser A V = s( A ) V et AV = s( A) V b) crire A das la base ( J, K, L) et calculer de la forme a + b a a b xercice (d arès SC 99 voie S) ) F = Ker( f λid ) λ ) f ( u) = λ u a b a a + b A O trouve les carrés magiques a + b a + b a a b a ou a b a a + b a b a + b a a b ) M M + I = Doc u F ( λ λ λ + ) u = Or λ λ + = ( λ )( λ ) F est la droite vectorielle de base (,, ) et F est le la vectoriel d équatio x y = et de base (,, ) et (,,) Ils sot sulémetaires (f diagoalisable) ) a) g h = Id Doc u u = g( u) + h( u) b) g o h = ho g = t v Im( h) u v = h( u), doc g( v) = c) Utiliser a) et b) our motrer Ker( g) + Ker( h) Ker( g) Ker( h) = a = a = a ) Raisoer ar récurrece :, et b = b = b =, uis motrer { } + + = a = a + b Doc a b = = xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

7 Algèbre liéaire 7 xercice (M Lyo voie ) ) A ossède deux coloes idetiques S( A ) =,,, doc A est diagoalisable (trois valeurs rores distictes) ) { } ) Droites vectorielles de base, de base et de base ) et 5) D = et P = Doc P = 6 6) et 7) = et R = 5 ) Les matrices de f et g sot resectivemet D et ) Ker f est la droite de base v = e e et Im f est le la de base v = e + e e et v = e + e + e ) Ker g = Ker f et Im g = Im f ) f [ h( v )] = H = car o cherche h tel que f [ h( v )] = v Das B : H ' = PHP f [ h( v )] = v xercice (d arès DHC voie S) ) Utiliser vo ( u Id) = P( u) = ) a) Utiliser : x F u( x) = x b) Utiliser Q ( ) c) Aliquer le théorème du rag à ( u Id ) our motrer dim F + dimkerv = ) Q ( u) = si et seulemet si F = { }, doc s il y a as de vecteur rore associé à ) = F Si dim =, u = Id (diagoalisable) Si dim =, motrer que ( ) est aussi valeur rore de u e utilisat u vecteur x de Ker v xercice (d arès cricome voie ) O dit qu ue matrice N carrée d ordre est ilotete s il existe u etier aturel o ul tel que N = tat doée ue matrice A carrée d ordre, o dira qu u coule (, N) de matrices carrées d ordre est ue décomositio de Duford de la matrice A si : est ue matrice carrée d ordre diagoalisable N est ue matrice carrée d ordre ilotete A = + N et N = N ) videt : = A et N = S( A ) =, doc A est as diagoalisable Ue décomositio est = I et ) { } N = car N = ) a) et b) N =, est diagoale et A = + N, mais N N xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure -

8 Algèbre liéaire 8 c) S( A ) = {,}, est la droite de base et est la droite de base d) Détermier ( X, X, X ) tel que AX = X, AX = X + X et AX = X O eut redre P = e) B = + N" où N " = (doc N " = ) f) ' = P P = et = N ' P N" P = g) B = ( + N") = + N" = (formule du biôme) + + A = PB P = ) Calculer ( A I) et motrer que ( A I) ( A I ) = ) S( A ) {,} (racies de P) et les matrices A I et A I e sot as iversibles car leurs coloes sot liées ( C = C our A I, et C = C our A I ) ) est la droite de base et est la droite de base, doc dim + dim ) a) C est le la de base v = (,,) et v = (,, ) et C est la droite de base v = (,,) b) Motrer que la famille v, v, ) est libre ( v c) A ' = xrimer f ( v ), f ( v ) et f ( v ) e foctio de ( v, v, v ) d) A' = N" (otatios de la artie A) Doc = et N = " xercices de Mathématiques CS - Catherie Laidebeure - N e) = P P = et N = PNP = 5) C et C sot sulémetaires car la famille ( v, v, v ) est ue base de 6) La matrice de est et celle de q est La matrice de g = + q est